Phương pháp cực trị và ứng dụng

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T ĐÀO TH NGÂN PHƯƠNG PHÁP C C TR VÀ NG D NG LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C HÀ N I - NĂM 2015 NHIÊN Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ĐÀO TH NGÂN PHƯƠNG PHÁP C C TR VÀ NG D NG LU N VĂN Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s 60460113 Gi ng viên hư ng d n PGS TS NGUY N ĐÌNH SANG HÀ N I - NĂM 2015 M cl c L IM ĐU DANH M C HÌNH V B NG KÝ HI U KI N TH C CƠ B N 1.1 Đ nh nghĩa giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh 1.1.1 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m 1.1.2 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m 5 n PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR 2.1 Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s 2.1.1 Phương pháp d 2.1.3 Nh n xét v phương pháp 2.1.4 Bài t p áp d ng 2.2 Phương pháp mi n giá tr 2.2.1 Phương pháp 2.2.2 Ví d 2.2.3 Nh n xét v phương pháp 2.2.4 Bài t p áp d ng 2.3 Phương pháp b t đ ng th c 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Ví d 2.3.3 Nh n xét v phương pháp i nh t (GTNN) t hàm s tt ph p 51.2 Các u ki n đ 61.3 Đ nh lý b 92.1.2 Ví 9 10 12 13 14 14 14 18 18 19 19 21 27 28 29 29 29 31 31 32 32 32 35 35 36 36 37 40 40 41 41 51 NG D NG C A PHƯƠNG PHÁP C C TR 3.1 ng d ng c c tr đ gi i phương trình b t phương trình 3.1.1 Phương pháp ng d ng 3.1.2 Bài t p áp d ng ng d ng c c tr đ gi i bi n lu n phương trình b t phương 3.2 trình có ch a tham s 3.2.1 Phương pháp ng d ng 3.2.2 Bài t p áp d ng ng d ng ch ng minh b t đ ng th c 3.3.1 3.3 Phương pháp ng d ng 3.3.2 Bài t p áp d ng 53 53 53 57 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.4 Bài t p áp d ng Phương pháp lư ng giác hóa 2.4.1 Phương pháp 2.4.2 Ví d 2.4.3 Nh n xét v phương pháp 2.4.4 Bài t p áp d ng Phương pháp hình h c 2.5.1 Phương pháp 2.5.2 Ví d 2.5.3 Nh n xét v phương pháp 2.5.4 Bài t p áp d ng Phương pháp vectơ 2.6.1 Phương pháp 2.6.2 Ví d 2.6.3 Nh n xét v phương pháp 2.6.4 Bài t p áp d ng Ví d t ng quát 2.7.1 Ví d 2.7.2 Bài t p áp d ng 58 58 64 65 65 69 K T LU N 71 TÀI LI U THAM KH O 72 ii L IM ĐU Các v n đ liên quan đ n c c tr ng d ng c a c c tr nh ng toán r t quan tr ng có nhi u d ng toán g n v i ng d ng th c t nh t toán h c ph thông Ví d toán tìm đư ng ng n nh t, di n tích l n nh t, t ng chi phí nh t, l i nhu n cao nh t Đ c bi t, v c c tr thư ng toán khó, t ng h p m i kì thi t t nghi p, cao đ ng - đ i h c C c tr bao g m c c tr t đ i c c tr tương đ i Trong lu n văn khái ni m c c tr đư c đ c p đ n c c tr t đ i (g m giá tr l n nh t giá tr nh nh t) Trong chương trình ph thông khái ni m hàm nhi u bi n chưa đư c đ c p đ n, lu n văn dù có nh ng toán nhi u bi n s đư c đưa v đ gi i theo toán c c tr m t bi n ho c c a m t t p h p Lu n văn "Phương pháp c c tr ng d ng" s trình bày phương pháp c c tr đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s , bi u th c, t p h p ng d ng c a phương pháp Tuy nhiên vi c chia phương pháp ch tương đ i, v i phương pháp có r t nhi u ng d ng khác nhau, ph m vi phương pháp toán sơ c p gi i h n c a m t lu n văn th c sĩ không th trình bày h t t t c phương pháp ng d ng đư c Do đó, lu n văn s đ c p sâu vào phương pháp b n ng d ng thư ng g p toán toán ph thông nh t Trên s đó, n i dung lu n văn đư c chia làm ba chương: Chương 1: Ki n th c chu n b G m ki n th c b n v giá tr l n nh t, giá tr nh nh t Chương 2: Phương pháp tìm c c tr Trình bày phương pháp: Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s ; phương pháp mi n giá tr ; phương pháp b t đ ng th c; phương pháp lư ng giác hóa; phương pháp hình h c; phương pháp vectơ Cu i chương ví d t ng quát v n d ng nhi u phương pháp khác Chương 3: ng d ng c a phương pháp c c tr Trình bày ng d ng thư ng g p toán h c sơ c p: ng d ng c c tr đ gi i phương trình b t phương trình; ng d ng c c tr đ gi i bi n lu n phương trình, b t phương trình có ch a tham s ; ng d ng c c tr đ ch ng minh b t đ ng th c M i ng d ng có ví d chi ti t t p áp d ng Đ hoàn thành lu n văn, trư c h t em xin bày t s bi t ơn sâu s c t i ngư i th y kính m n PGS TS Nguy n Đình Sang Ngư i tr c ti p hư ng d n, truy n th ki n th c, hư ng nghiên c u giúp em hoàn thành luân văn Em chân thành c m ơn th y, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h c, Trư ng Đ i h c Khoa h c t nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i, nh ng ngư i gi ng d y, hư ng d n em trình h c, b n bè giúp đ , đóng góp ý ki n, đ ng viên em h c t p, nghiên c u hoàn thành lu n văn M c dù n l c, c g ng hi u bi t có h n th i gian h n ch mà v n đ tương đ i r ng nên em không tránh kh i thi u sót Kính mong th y cô, b n bè góp ý đ em hoàn thi n Em xin chân thành c m ơn! Hà N i, ngày tháng 10 năm 2015 H c viên Đào Th Ngân DANH M C HÌNH V Hình 1: B ng bi n thiên hàm s y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| Hình 2: Tam giác ABC đ u c nh đơn v Hình 3: Đ th x + y = x2 + y2 = Hình 4: Đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB, ch a Hình 5: Đ th elip Hình 6: B ng bi n thiên hàm s f (x) = √4 2x + √ CAB √ 2x + − x B NG KÝ HI U N T p s t nhiên N∗ T p s đ m Z T p s nguyên R T p s th c C T p s ph c GTLN Giá tr l n nh t GTNN Giá tr nh nh t [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} Chương KI N TH C CƠ B N 1.1 1.1.1 Đ nh nghĩa giá tr l n nh t (GTLN), giá tr nh nh t (GTNN) Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t hàm s • Cho hàm s y = f (x) xác đ nh t p D ⊂ R S M đư c g i GTLN c a hàm s y = f (x) D n u đ ng th i th a mãn hai u ki n: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0) = M Ký hi u: M = max f (x) x∈D • Cho hàm s y = f (x) xác đ nh t p D ⊂ R S M đư c g i GTNN c a hàm s y = f (x) D n u đ ng th i th a mãn hai u ki n: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0) = m Ký hi u: m = f (x) x∈D Chú ý: Ta có th thay D ⊂ R t p xác đ nh c a hàm f (x) b ng t p [a, b] d n đ n khái ni m max f (x) , f (x) [a,b] 1.1.2 [a,b] Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t t p h p • Cho U m t t p c a t p s th c R S α đư c g i c n c a U , ký hi u α = sup U , n u đ ng th i th a mãn hai u ki n sau: α ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: α − ε < xε ≤ α N u α ∈ U α s l n nh t c a U , ký hi u α = max U V y: α = max U ⇔ α ≥ x, ∀x ∈ U α∈U • Cho U m t t p c a t p s th c R S β đư c g i c n dư i c a U , ký hi u β = inf U , n u đ ng th i th a mãn hai u ki n sau: β ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: β + ε > xε ≥ β N u β ∈ U β s nh nh t c a U , ký hi u β = U V y: β = U ⇔ β ≤ x, ∀x ∈ U β∈U Sup inf c a m t t p bao gi t n t i có th ±∞ Chú ý: Cho hàm f (x) xác đ nh [a, b] (hay t ng quát f xác đ nh t p D) G i U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đó: max U = max f (x) max f (x) , [a,b] D U = f (x) f (x) [a,b] 1.2 D Các u ki n đ • Hàm s f liên t c [a, b] ⊂ R đ t GTLN, GTNN đo n Ký hi u: max f, f [a,b] [a,b] • Hàm s f liên t c đơn u [a, b] ⊂ R thì: max f = max {f (a) , f (b)}, [a,b] f = {f (a) , f (b)} [a,b] • Đi m d ng: Các m thu c t p xác đ nh c a hàm f (x) mà t i đ o hàm c a b ng ho c không t n t i đư c g i m d ng (đi m t i h n) c a hàm cho Gi s f (x) hàm s liên t c [a, b] ⊂ R ch có m t s h u h n m t i h n x1, x2, , xn thì: Xét hàm f (t) = 5t + t Ta có f (t) = 5tln5 + > 0, ∀t ∈ R Do đó, f (t) hàm đ ng bi n R Đ b t phương trình có nghi m ∃x cho: f (x2 − mx) ≤ f (2x − mx + m) Khi ∃x cho: x2 − mx ≤ 2x − mx + m ⇔ m ≥ x2 − 2x Suy m ≥ x2 − 2x = −1 R K t lu n: V y m ≥ −1 3.2.2 Bài t p áp d ng Bài 1: Tìm m đ phương trình sau có nghi m: 2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + m 43 Đáp s : < m < Bài 2:(Đ thi Toán 2004 - B) Tìm m đ phương trình sau có nghi m: m √ √ 1+a − √ √4 √ 2 − x +2=21 − x +1+ x − − x 2 − ≤ m ≤ Bài 3: Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m: √ 2x2 + − m < −2 − 2x − x2 − 4x √ Đáp s : m > 11 + 2 Bài 4: Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m: Đáp s : x4 − mx3 + (m + 2) x2 − mx + < Đáp s : m < − c m > ho Bài 5: Tìm m đ b t phương trình có nghi m x ∈ [−1; 1]: 3x4 − 20x3 + 36x2 − 24m − 12m2 ≥ √ √ Đáp s : −6 − 213 ≤ m ≤ −6 + 213 6 64 √ 3.3 ng d ng ch ng minh b t đ ng th c 3.3.1 Phương pháp ng d ng Ch ng minh b t đ ng th c m t d ng c a toán c c tr mà bi t giá tr c c tr c n tìm phương phương pháp gi i đ có đư c giá tr Ta có th s d ng tr c ti p phương pháp bi t ho c ph i v n d ng lúc nhi u phương pháp Nhi u toán đư c gi i b ng cách bi n đ i bi u th c cho u ki n v hàm s xác đ nh t p D đó, sau ta tìm GTLN, GTNN c a hàm s D đ rút u c n ch ng minh Ví d 3.3.1 Cho a, b, c dương th a mãn a2 + b2 + c2 = Ch ng minh r ng: √ 33 a+ b c b2 + c2 c2 + a2 + a2 + b2 ≥ Cách gi i a+b+c − a2 − b − c Bi n đ i v trái thành √ Xét f (x) = x (1 − x2), x ∈ (0; 1) Ta có f (x) = − 3x2 = ⇔ x = √ Tính f (0) = f (1) = 0; f Suy ra: Khi < x (1 − x2) ≤ =9 √ x ≥ 3x2 − x2 √ Vy b a+ √3 √ 3 c √ 3 (x2 + y2 + z2) = 3 √3 b + c c + a2 + a2 + b ≥ D u b ng x y ch a = b = c = Ví d 3.3.2 Cho a, b, c ba s dương Ch ng minh r ng: a+b a+b+c Cách gi i Đ tT = 2+ b+c a+b+c 2+ a+b a+b+c 2+ c+a a+b+c b+c a+b+c 2+ 65 ≤ 62 c+a a+b+c Khi đó:  1 2 T =  a + + + c + (12 + Á p a + )a+ n g + b + t c đ n g + + + c     c + ac y ++ c = r a k h i c h c h o k h i : b a c a  x v C a u c h y c a +++ V2 c a ++ c + n g 1a t h u b d + D p s b c a+ a a t a c ó : ⇔ T ≤ a = c + ) Ví d 3.3.3 (MO Romanian 2004) Ch ng minh r ng v i ba s dương a, b, c, t a a + b c ca đ ( (ab ( u c + b) a c ++ ó + b aab + c) ) (bc : n g b a ( t a đ t n g b h + b+ c c ca ab ≤ a t h b c ( c + a ) c y b : ) a+ c) ≥ c ca ab a √ b √ c √ bc (c + a) c + a + ca (a + b) a + b + h= i a b+ c= a át bc (c + a) cM i d T a+ Á p c + CĐ g ab (b + c) b + c C a u c h y c h o b a c p s t a c ó : + c a ( a b + b ) + a b ( b c b + c) ( a + b + c) 66 S u y r a : c 2M c) ≥ b M t khác, áp d ng b t đ ng th c AG ta có: a+ bc c ab b+ ca ≥3 1+1+1 abc ≥ a +27+ c b 27 a Vy bc (c + a) (a + b + c)2 + ca (ab+ b) + ab (bc+ c) ≥ ch a = b = c , d u b ng x y Ví d 3.3.4 Cho ba s dương a, b, c: a2 + b2 + c2 = Ch ng minh r ng: ab + bc + ca + a + + c ≤ 14 b Cách gi i t2 − Vì ≤ ab+bc+ca ≤ a2+b2+c2 ≤ Đ t t = a+b+c ⇒ ab+bc+ca = nên ≤ t2 ≤ ⇔ √ 3 ≤ t ≤ Ta xét: = t2 + − 3, ∀t ∈ √3; ab + bc + ca + a + b + c f (t) = t2 > √ √ 3; t −5 3; nên f (t) đ ng bi n 0, ∀t ∈ Ta có f (t) = t2 Suy ra: ab + bc + ca + a + + c ≤ max f (t) = f (3) = 14 b [√3;3] D u b ng x y ch khi: ⇔ a = b = c = a+b+c=3 a=b=c Ví d 3.3.5 Cho s dương a, b, c, d th a mãn a + b + c + d = Ch ng minh r ng: 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Cách gi i Ta khai tri n v trái: VT = + 1+1+1+1 + + + + + + + abcd ab ac ad bc bd cd 1+1+1+1 + abc abd bcd acd abcd 67 ≥ 54 Áp d ng b t đ ng th c AG cho t ng c m ta đư c: VT ≥ √4 + abcd Đ tt= + 6 (abcd) 4 (abcd) √4 + abcd abcd ≤ a + b + c + d = 1, t ∈ 0; đó: 4 , V T ≥ + + t62 + t43 + t14 ≥ + 4.4 + 6.42 + 4.43 + 44 = 54 t V y ta có u c n ch ng minh, d u b ng x y ch khi: ⇔a=b=c=d=1 a+b+c+d=1 a=b=c=d S d ng phương pháp vectơ ch ng minh b t đ ng th c 3.3.6 (Đ thi Đ i h c 2003 - A) Cho x, y, z ba s dương th a mãn Ví d x + y + z ≤ Ch ng minh r ng: P= z2 + z12 ≥ 82 √ y2 + y12 + x2 + x2 + Cách gi i Đ −= t → x, , − = y, − = z, Khi đó: → x b y z → c a P = |− | + |− | + |− | ≥ |− + − + − | → → → →→→ b a c a b c Đi u tương đương: x2 + x2 + y + y12 + (x + y + z) + + + xyz z + z12 ≥ Suy ra: (x + y + z) + + + xyz P≥ 2 ≥ x+y+z 3√xyz + 33 xyz Đ tt= (xyz) , ≤ t ≤ ≤ Khi P ≥ t + Xét: t f (t) = t + 1, t ∈ 0; , t 68 Ta có f (t) = − < 0, ∀t ∈ 0; Hàm f (t) ngh ch bi n 0; t Suy ra: = f (t) ≥ f √ VyP ≥ 9 82, d u b ng x y ch x = y=z=1 Cách gi i2 Ta có Su y ra: (x + y + z) + + + 12 P≥ xyz 2 P= 81 (x + y + z) + + +1 − 80 (x + y + z)2 x yz Áp d ng b t đ ng th c AG ta có: P ≥ 18 (x + y + z) + + − 80 (x + y + z)2 ≥ 162 − 80 = 82 x yz √ V y P ≥ 82, d u b ng x y ch x = y = z = 3.3.2 Bài t p áp d ng Bài 1: Cho ba s th c a, b, c thu c (0; 1) Ch ng minh r ng: +c+a+ b c1 + a + c + + (1 − 1) (1 − b) (1 − c) < b b Bài 3: Cho a, b > 1, ch ng minh r ng: a3 + b3 − (a2 + b2) ≥ ( a − 1) (b − 1) Bài 4: (IMO 1995) Cho a, b, c > th a mãn abc = Ch ng minh r ng: Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i a, b, c > th a mãn abc = 1, ta đ u có: a( + b3 b (c1+ + a) + c c ) (a1 + b) ≥ (ab + bc + ca) a2 + b + c2 ≥3 b+c c+a a+b Bài 5: (Đ thi Đ i h c 2005 - A) Cho x, y, z s dương th a mãn: + + = xyz Ch ng minh r ng 2x + y + z + x + 21y + z + x + y1+ 2z ≤ Bài 6: (Đ thi Đ i h c 2005 - B) Ch ng minh r ng ∀x ∈ R, ta có: x x 12 x + 15 + 20 ≥ 3x + 4x + 5x Khi đ ng th c x y ra? Bài 7: (Đ thi Đ i h c 2005 - D) Cho s dương x, y, z th a mãn xyz = Ch ng minh r ng: √ + x3 + y + xy √ √ + y3 + z3 + yz + z3 + x3 ≥ 3√3 zx Khi đ ng th c x y ra? Bài 8: (Đ thi Đ i h c 2009 - A) Ch ng minh r ng v i m i s th c dương x, y, z th a mãn x (x + y + z) = 3yz, ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + (x + y) (x + z) (y + z) ≤ (y + z)3 70 K T LU N Sau th i gian h c t p t i khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - ĐHQGHN, đư c th y cô tr c ti p gi ng d y đ c bi t s hư ng d n nhi t tình c a th y PGS TS Nguy n Đình Sang, em hoàn thành lu n văn "PHƯƠNG PHÁP C C TR VÀ NG D NG" Lu n văn đ t đư c m t s k t qu sau: Trình bày, phân tích, áp d ng phương pháp c c tr g m: • Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s • Phương pháp mi n giá tr • Phương pháp b t đ ng th c • Phương pháp lư ng giác hóa • Phương pháp hình h c • Phương pháp vectơ Trình bày ng d ng c c tr thư ng g p toán h c ph thông: • ng d ng c c tr đ gi i phương trình b t phương trình • ng d ng c c tr đ gi i bi n lu n phương trình b t phương trình có ch a tham s • ng d ng c c tr đ ch ng minh b t đ ng th c Các phương pháp đ u quan tr ng t i ưu cho nh ng toán khác Th c hành nhi u, thành th o phương pháp s giúp có l a ch n phương pháp nhanh, phù h p nh t cho toán tìm c c tr bi t cách v n d ng linh ho t phương pháp c c tr vào toán ng d ng 71 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Văn M u, 2006, B t đ ng th c áp d ng, Nhà xu t b n Giáo D c [2] Nguy n Văn M u - Nguy n Văn Ti n, 2009, M t s chuyên đ Đ i s b i dư ng h c sinh gi i THPT, Nhà xu t b n Giáo D c Vi t Nam [3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014,Phương pháp hàm s gi i toán - Phương trình, B t phương trình, H phương trình, Ch ng minh b t đ ng th c, Giá tr l n nh t giá tr nh nh t,Nhà xu t b n Đ i H c Qu c Gia 72 ... 2: Phương pháp tìm c c tr Trình bày phương pháp: Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s ; phương pháp mi n giá tr ; phương pháp b t đ ng th c; phương pháp lư ng giác hóa; phương pháp hình h c; phương. .. trung vào n i dung chi ti t sau: • Các phương pháp tìm c c tr : Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s , phương pháp mi n giá tr , phương pháp b t đ ng th c, phương pháp lư ng giác hóa, phương pháp. .. 5 n PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR 2.1 Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s 2.1.1 Phương pháp d 2.1.3 Nh n xét v phương pháp 2.1.4 Bài t p áp d ng 2.2 Phương pháp mi n