Phương pháp cực trị và ứng dụng

2.4 Phương pháp lư ng giác hóa... Th vào phương trình ellip, ta đư c:... ng d ng phương pháp vectơ gi i phương trình sau đây.

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

HÀ N I - NĂM 2015

M cl c

1.1.1 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m t hàm s 5

1.1.2 Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a m tt ph p

51.2 Các đi u ki n đ

61.3 Đ nh lý cơ b n 7

2 PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR 9 2.1 Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm s 9

2.1.1 Phương pháp

92.1.2 Ví d 10

2.1.3 Nh n xét v phương pháp 12

2.1.4 Bài t p áp d ng 13

2.2 Phương pháp mi n giá tr 14

2.2.1 Phương pháp 14

2.2.2 Ví d 14

2.2.3 Nh n xét v phương pháp 18

2.2.4 Bài t p áp d ng 18

2.3 Phương pháp b t đ ng th c 19

2.3.1 Phương pháp 19

2.3.2 Ví d 21

2.3.3 Nh n xét v phương pháp 27

i

2.4 Phương pháp lư ng giác hóa 29

2.4.1 Phương pháp 29

2.4.2 Ví d 29

2.4.3 Nh n xét v phương pháp 31

2.4.4 Bài t p áp d ng 31

2.5 Phương pháp hình h c 32

2.5.1 Phương pháp 32

2.5.2 Ví d 32

2.5.3 Nh n xét v phương pháp 35

2.5.4 Bài t p áp d ng 35

2.6 Phương pháp vectơ 36

2.6.1 Phương pháp 36

2.6.2 Ví d 37

2.6.3 Nh n xét v phương pháp 40

2.6.4 Bài t p áp d ng 40

2.7 Ví d t ng quát 41

2.7.1 Ví d 41

2.7.2 Bài t p áp d ng 51

3 NG D NG C A PHƯƠNG PHÁP C C TR 53 3.1 3.2 3.3 ng d ng c c tr đ gi i phương trình và b t phương trình 3.1.1 Phương pháp ng d ng 3.1.2 Bài t p áp d ng

ng d ng c c tr đ gi i và bi n lu n phương trình và b t phương trình có ch a tham s 3.2.1 Phương pháp ng d ng 3.2.2 Bài t p áp d ng

ng d ng ch ng minh b t đ ng th c 3.3.1 Phương pháp ng d ng 3.3.2 Bài t p áp d ng

53

53

57

58

58

64

65

65

69

ii

các phương pháp c c tr đ tìm các giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm

s , bi u th c, t p h p và ng d ng c a các phương pháp này Tuy nhiên

vi c chia các phương pháp ch là tương đ i, cùng v i đó các phương pháp có r t nhi u ng d ng khác nhau, trong ph m vi phương pháp toán

sơ c p và gi i h n c a m t bài lu n văn th c sĩ không th trình bày h t t t c các phương pháp và ng d ng đư c Do đó, lu n văn s đ c p và đi sâu vào 6 phương pháp cơ b n và 3 ng d ng thư ng g p trong các bài toán toán ph thông nh t

Trên cơ s đó, n i dung lu n văn đư c chia làm ba chương:

1

G m các ki n th c cơ b n v giá tr l n nh t, giá tr nh nh t Chương 2: Phương pháp tìm c c tr

Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đ o hàm - kh o sát hàm

s ; phương pháp mi n giá tr ; phương pháp b t đ ng th c; phương pháp

lư ng giác hóa; phương pháp hình h c; phương pháp vectơ Cu i

chương là các ví d t ng quát v n d ng nhi u phương pháp khác nhau Chương 3: ng d ng c a phương pháp c c tr

c c tr đ gi i phương trình và b t phương trình; ng d ng c c tr đ gi i và

bi n lu n phương trình, b t phương trình có ch a tham s ; ng

d ng c c tr đ ch ng minh b t đ ng th c M i ng d ng có các ví d chi ti t

và bài t p áp d ng

Đ hoàn thành lu n văn, trư c h t em xin bày t s bi t ơn sâu s c

t i ngư i th y kính m n PGS TS Nguy n Đình Sang Ngư i đã tr c ti p

hư ng d n, truy n th ki n th c, hư ng nghiên c u giúp em hoàn thành luân văn này

Em cũng chân thành c m ơn các th y, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin h

c, Trư ng Đ i h c Khoa h c t nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i, nh ng ngư

i đã gi ng d y, hư ng d n em trong quá trình h c, cùng các b n bè đã giúp đ , đóng góp ý ki n, đ ng viên em trong h c t p, nghiên c u và hoàn thành lu n văn này

M c dù đã n l c, c g ng nhưng hi u bi t có h n và th i gian h n ch mà

v n đ tương đ i r ng nên em không tránh kh i thi u sót Kính mong các

th y cô, b n bè góp ý đ em hoàn thi n hơn

Em xin chân thành c m ơn!

Hà N i, ngày 9 tháng 10 năm 2015

H c viên Đào Th Ngân

2

• Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p D ⊂ R S M đư c g i là GTLN

c a hàm s y = f (x) trên D n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n:

f (x) ≤ M, ∀ x ∈ D

∃ x0 ∈ D : f (x0) = M

Ký hi u: M = max f (x)

x∈D

• Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p D ⊂ R S M đư c g i là GTNN

c a hàm s y = f (x) trên D n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n:

• Cho U là m t t p con c a t p s th c R S α đư c g i là c n trên đúng

c a U , ký hi uα = sup U , n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n sau:

α ≤ x, ∀ x ∈ U

∀ε > 0, ∃ xε ∈ U sao cho:α − ε < xε ≤ α

5

α ≥ x, ∀ x ∈ U

α = max U ⇔ α∈ U

• Cho U là m t t p con c a t p s th c R S β đư c g i là c n dư i đúng

c a U , ký hi uβ = inf U , n u đ ng th i th a mãn hai đi u ki n sau:

Sup và inf c a m t t p bao gi cũng t n t i nhưng có th là ±∞

Chú ý: Cho hàm f (x) xác đ nh trên [a, b] (hay t ng quát hơn là f xác đ nh trên t p D) G i U = { y ∈ R|∃ x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y } Khi đó:

max U = max f (x) max f (x) ,

[a,b] Dmin U = min f (x) min f (x)

• Hàm s f liên t c và đơn đi u trên [a, b] ⊂ R thì:

max f = max { f (a) , f (b) },

Gi s f (x) là hàm s liên t c trên [a, b] ⊂ R và ch có m t s h u h n đi m

t i h n x1, x2, , xn thì:

6

max f = max { f (a) , f (x1) , f (x2) , • • • , f (xn) , f (b) },

[a,b]

min f = min { f (a) , f (x1) , f (x2) , • • • , f (xn) , f (b) }

[a,b]

1.3 Đ nh lý cơ b n

Đ nh lí 1.1 Gi s y = f (x) là hàm liên t c trên [a, b] ⊂ R Khi đó:

1 Phương trình f (x) = c có nghi m thu c [a, b] khi và ch khi:

1.Đi u ki n c n: Đ t h (x) = f (x) − c Theo đ nh nghĩa, ∃ x1 ∈ [a, b],

f (x1) = min f và ∃ x2 ∈ [a, b] , f (x2) = min f Khi đó h (x1) < 0, h (x2) > 0

[a,b] [a,b]

Vì h là hàm liên t c nên t n t i nghi m h (x) = 0 trên [a, b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, n u ∃x0 ∈ [a, b] mà c = f (x0) thì min f ≤ f (x0) ≤

max f Do đó min f ≤ c ≤ max f

2.Đi u ki n c n: Vì f (x) ≥ c có nghi m ∈ [a; b] nên ∃ x0 ∈ [a; b] sao cho

f (x0) ≥ c Ta luôn có max f (x) ≥ f (x) , ∀ x ∈ [a; b], suy ra max f (x) ≥

[a,b] [a,b]

f (x0) ≥ c

7

max f (x) Vì max f (x) ≥ c nên f (x1) ≥ c V y phương trình f (x) ≥ c có

[a,b] [a,b]

nghi m thu c [a; b]

3.Đi u ki n c n: Vì f (x) < c có nghi m ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho

f (x0) < c Ta có min f (x) ≤ f (x) , ∀ x ∈ [a; b] nên min f (x) ≤ f (x0) < c

[a,b] [a,b]

Đi u ki n đ : Ngư c l i, theo đ nh nghĩa ∃ x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) =

min f (x) Vì min f (x) < c nên f (x1) < c V y b t phương trình f (x) < c

[a,b] [a,b]

có nghi m thu c [a; b]

4.Đi u ki n c n: Theo đ nh nghĩa ∃ x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) = min f (x)

Các đ nh lý trên đây đã cho ta th y t m quan tr ng c a c c tr , ti p ta s

t p trung vào các n i dung chi ti t sau:

8

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TÌM C C TR

Các bài toán tìm c c tr r t đa d ng và ph c t p M i bài toán có th áp d ng các phương pháp khác nhau đ gi i quy t ho c có nh ng bài toán l i c n ph i h p nhi u phương pháp khác nhau Chương này s trình bày m t s phương pháp c c

Cách 2 : N u D = [a; b] Tính f (a) , f (x1) , f (x2) , , f (xn) , f (b) đư c:

x∈[a,b max] f (x) = max { f (a) , f (x1) , f (x2) , , f (xn) , f (b) } ,

min f (x) = min { f (a) , f (x1) , f (x2) , , f (xn) , f (b) }

x∈[a,b]

9

Cách gi i

Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN c a t p h p, nhưng b ng phương pháp

đ t n ph , ta đưa v bài toán tìm GTLN, GTNN c a hàm s Ta bi n đ i:

ta xét

=

Ta

có:

−

t

= 1

⇒

x

= 2

k

π,

m i

n

y

= m i

k

π K

tlun:

V y

u bài toàn ta c n có nh ng bư c bi t đ i như đ t n

ph , bi n đ i tương đương, r i sau đó m i áp d ng phương pháp này

1 2

2.2.1 Phương pháp

Gi s f (x) là hàm liên t c trên [a, b] Khi đó phương trình f (x) = y0 có

nghi m trên [a, b] khi và ch khi min f ≤ y0 ≤ max f

1 Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a = 0) có nghi m khi và ch khi ∆ ≥ 0 2 Phương trình a sin x + b cos x = c có nghi m khi và ch khi a2 + b2 ≥ c2

K t lu n:

V y a = 0 thì GTLN c a hàm s y đ t giá tr nh nh t

14

V

y 0

∆ = a2 −

4y0 (y0 − b) ⇔

Suy

Đ

b

Cách gi i

2 cos 2x − sin 2x + 4

Bi n đ i phươn

g trình

y0 =

c o s

ng:

2

= 4

s i n

β

=

5

K t lu n:

5P +

8) ≤ 0

Vì h s a = 50 > 0

đ b t phương trình có nghi m thì ∆ ≥ 0 nên:

−

P

2

+ 1 0

P

−

1 6

≤

0

1 6

Th l i v trí đ t, ta có:



z

(6 + 2 + 3)

B à i t p á p d n g

Bài 1:(ĐH Sư ph m TP HCM 2000) Tìm GTLN, GTNN c a hàm s :

x

+

2

n

x y

= 2 +

c o s

x

vi

x

∈

[ 0

s :

max y

=

18

1 (L

Ví d 2.3.5 (Đ thi Đ i h c 2007 - A) Cho x, y, z là các s th c dương thay

23

Ti p theo là m t s ví d s d ng phương pháp Cauchy

Cách gi i

M t s ví d áp d ng phương pháp giá tr tuy t đ i

Ví d 2.3.8 : (Đ i h c D - 2008) Cho x, y là hai s th c không âm thay đ i Tìm GTLN, GTNN c a bi u th c:

2 (x + 1) ln (x + 1) − x2 + x (2 − 3 ln 3) ≥ 0

K t lu n:

V y min f (x) = 0 t i x = 0 và x = 2

2.3.3 Nh n xét v phương pháp

Các b t đ ng th c này đã đư c gi ng d y trong sách giáo khoa ph thông

Tuy nhiên ch y u yêu c u h c sinh v n d ng ch ng minh các b t đ ng th c

đây, chúng ta còn s d ng hai b t đ ng th c này đ tìm giá tr l n nh t, giá tr nh

nh t, do đó đòi h i kĩ năng tách, ghép bi u th c đ v n d ng hai b t đ ng th c thành

th o hơn Ch ng h n, v i các bài toán có ch a t ng, tích c a các s không âm chúng ta nên nghĩ t i ngay b t đ ng th c Cauchy C n chú ý

khi gi i bài toán ph i xem d u b ng có x y ra không?

27

Bài 1: Cho hai s dương a, b: a2 + b2 = 1 Tìm GTNN c a bi u th c:

2.4 Phương pháp lư ng giác hóa

α + β = π ⇒ cos α = sin β = 1 − cos2 β ⇒ c2 + d2 = 1 √

2

K t lu n:

V y max ( | a | + | b | ) là 1

Bi n đ i tan theo sin và cos ta đư c:

P = sin2 a cos2 b − sin2 b cos2 a cos2 a cos2 b − sin2 b sin2 a

Phương pháp này thư ng áp d ng v i bài toán có ch a căn mà bi u th c trong căn có đi u ki n N u không đ t b ng lư ng giác thì cách gi i khác r t ph c t

p Tuy nhiên khi đ t c n chú ý đi u ki n c a bi n m i sau khi đ t

2.4.4 Bài t p áp d ng

√Đáp s : max y = 2, t i x = 0. min y = 2, t i x = ± 1

Bài 4: Cho các s x, y, z, t liên h theo bi u th c:

2.5 Phương pháp hình h c

2.5.1 Phương pháp

Phương pháp này s d ng các tính ch t trong hình h c đ gi i các bài toán

c c tr đ i s Tuy nhiên các tính ch t trong hình h c r t nhi u nên không có

phương pháp c th hay d ng bài t p t ng quát Các tính ch t thư ng dùng là tính

ch t v tam giác, đư ng th ng, đư ng tròn, kho ng cách hai đi m, Ch ng h n khi cho đi u ki n là hàm b c nh t thì ta nghĩ t i tính ch t đư ng th ng, cho đi u ki n

Trong h tr a đ Oxy, l y đi m M (x − 1; − y) , N (x + 1; y) V i ba đi m

√

• N u y < 2 thì f (y) = 2 1 − y2 + 2 − y Ta có:

f (y) = √ 2y − 1

y2 + 1 1

Suy ra f (y) ≥ 2 + 3, d u b ng đ t đư c khi và ch khi O, M, N th ng hàng

Ta có P = a (2 − b) + b (2 − c) + c (2 − a), ∀ a, b, c ∈ [0; 1] • N u a =

b = c = 0 thì P = 0, suy ra GTNN c a P b ng 0

c nh AB, BC, CA l n lư t l y các đi m M, N, P sao cho AM = a, BN = b,

CP = c Ta có hình sau:

33

D u b ng x y ra khi hai trong ba đi m M, N, P trùng nhau, đi m còn l i tùy

ý Không m t t ng quát ta cho a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2]

Cách gi i

V đư ng th ng x + y = 1 và đư ng tròn x2 + y2 = 1 trên h tr c t a đ

Giao đi m c a hai đ th là (1; 0) và (0; 1) Khi đó mi n nghi m c a b t phương trình

đi u ki n là mi n đư c g ch chéo

• D th y t i (1; 0) v√ (0; 1), AB đ t giá tr l n nh t và AB = 1 Khi đó giá à

Đây là phương pháp khó đòi h i cá nhân thành th o tính ch t hình h c, t

đó có s liên tư ng v n d ng vào bài toán c c tr đ i s

D u b ng x y ra khi và ch khi M ≡ G (tr ng tâm tam giác)

Khai tri n b t đ ng th c trên ta đư c:

Ví d 2.6.2 Cho a, b, c là ba s th c dương th a mãn đi u ki n:

ab + bc + ca = 3abc Tìm GTNN c a bi u th c:

bi u th c M = sin2 A + sin2 B + sin2 C đ t GTLN

Cách gi i

−→ + −→ + −→ −

OA OB OC

38

2 ≥ 0

a2 + b2 + c2 ≤ 9R2

Vì a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C nên:

4R2 sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ 9R2 Suy ra sin2 A + sin2 B + sin2 C ≤ 9

M = cos 2A + cos 2B + cos 2C Cách gi i

−nên O n m trong

Suy ra: ABC ta có OA OB OC −→ + −→ + −→

Bài 3: Xác đ nh tam giác ABC đ bi u th c sau đ t GTLN:

Q = sin A + sin B + sin C

√

2

Bài 4: V i m i tam giác ABC Tìm GTLN c a bi u th c:

T = cos A + cos B + cos C

3

Đáp s : Tam giác ABC đ u và M ax P =

2

40

Vi c chia các phương pháp ch là tương đ i và không có phương pháp nào t i

ưu v i m i bài toán M t bài toán có th gi i b ng nhi u cách b i các phương pháp khác nhau Th c hành nhi u s giúp chúng ta có kinh nghi m ch n phương pháp nhanh, thích h p nh t Dư i đây là m t s ví d t ng quát

   2 cos2α

42

Khi đó:

P=1

2 sin 1+1 2 α cos2 α =

2 sin2 2 α ≥ 2

Suy ra P ≥ 2 D u b ng x y ra khi và ch khi:

sin2 2 α = 1 ⇔ α ∈ Thay vào v trí đ t ta đư c x = y = 1

D ng đư ng tròn tâm O, đư ng kính AB = 1 L y C thu c đư ng tròn, ta

đư c tam giác CAB vuông t i C, CB = a, CA = b

Ta có:

P =x+y = 1

2 a 1+1 2 b2 = 212 ha

43

lu

n:

V y min P = 2, t i

x = y = 1

Cách gi i 7 Phương pháp vectơ

√ x + y • 1 + 1 ≥ √ x • √ + √ y •

n:

V y min P = 2, t i

x = y = 1

Ví d 2.7.2 (Đ i h c Kh i B - 2008) Cho hai s th c x, y thay đ

i và th a mãn h th c x2 + y2 = 1 Tìm GTLN, GTNN c a

Khi P = 2: Phương trình vô nghi m

Xét P = 2 : Đ phương trình có nghi m thì ∆ ≥ 0, tương đương:

Cách gi i 3 Phương pháp lư ng giác hóa

x = sin α

Đt y = cos α v iα ∈ [0; 2 π ] Ta có:

2 sin2 α + 6 sin α cos α = 1 − cos 2 α + 6 sin 2 α

P = 1 + 2 sin α cos α + 2 cos2α

46

• Tìm GTNN c a A = 2x − 2 + 3 1 − x Tính A = 2 − 3 2 3

1

5 5

Bi n đ i tương đương

a

đư

c:

25

+ A

0

36 9 9

Đ

phương

trình

có

nghi

thì

5 ≥ 0,

9

−

3 6 9

tương

đương:

− 9A2 − 36 + 189 ≥

0 ⇔ − 7 ≤ A

3

8 9

8 9

N u A = 3 ⇔ x = , y = − N u A = − 7 ⇔ x = − , y =

5 5

Suy ra − 9x0 = 2 Th vào phương trình ellip, ta đư c:

Bài 3 : (Đ thi Đ i h c B - 2007) Cho x, y, z là ba s th c dương thay đ i Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

y = z = 0 Bài 9 : (Đ thi Đ i h c A, A1 - 2013) Cho các s th c dương

a, b, c th a mãn đi u ki n (a + c) (b + c) = 4c2 Tìm GTNN c

a bi u th c:

√

Bài 11 : (Đ thi THPT Qu c gia 2015) Cho các s th c a, b, c

5

2

2

f (2x + 1) = f ( − 3x)

53

n u ∃x0 th a mãn h trên thì x0 là nghi m c a phương trình A = B N u ta

đoán trư c đư c nghi m thì vi c dùng b t đ ng th c d dàng hơn, nhưng có

nhi u bài không đoán đư c nghi m thì ta v n dùng b t đ ng th c đ đánh giá đư c

có d ng:

√

5

2 + 7 + 4 (x + 1) = 3 √ 2 + 3

x

+ 1

Theo b t

đ ng th c

AG cho

ba s ta có:

2+1 =3

2+1

Du

= 2

V

í

d 3

1

4

G

i i phươn

g trình:

√ 13x2 −

6x + 10 +

5x2 − 13x + 17 + 17x2 − 48x + 36 = √

2

Cáchg

+

x

−

3 2 +

2

D u b ng x y ra khi và ch khi x = M t khác, ta bi n đ i v ph i đư c:

Đ t x = sin t, t ∈ 0; π Phương trình tr thành:

√ 2

1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t)

Bi n đ i tương đương ta đư c:

√ 2 cos t = 2 sin t cos t 3 − 4 sin2 t

ng d ng phương pháp vectơ gi i phương trình sau đây

Ví d 3.1.6 Gi i phương trình | x2 − 4x + 5 − x2 − 10x + 50 | = 5 Cách gi i

T p xác đ nh D = R Ta bi n đ i phương trình thành:

| (x − 2)2 + 12 − (x − 5)2 + 52| = 5 Đ