Đề dự bị đại học năm 2005

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI A: Câu I: (2 đ)Gọi (C m ) là đồ thò của hàm số : y = 2 2 2 1 3x mx m x m + + − − (*) (m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (*) ứng với m = 1. 2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trò nằm về hai phía trục tung. Câu II: ( 2 điểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 2 4 ( 1) ( 1) 2 x y x y x x y y y  + + + =  + + + + =  2. Tìm nghiệm trên khỏang (0; π ) của phương trình : 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos ( ) 2 4 x x x π − = + − Câu III: (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 4 1 ( ; ) 3 3 , phương trình đường thẳng BC là 2 4 0x y− − = và phương trình đường thẳng BG là 7 4 8 0x y− − = .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2) . a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O và vuông góc với BC.Tìm tọa độ giao điểm của AC với mặt phẳng (P). b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC. Câu IV: ( 2 điểm). 1. Tính tích phân 3 2 0 sin .I x tgxdx π = ∫ . 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm hàng ngàn bằng 8. Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI A: Câu I: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số 2 1 1 x x y x + + = + . 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thò ( C ) . Câu II:( 2 điểm). 1. Giải hệ phương trình : 2 1 1 3 2 4 x y x y x y  + + − + =   + =   2. Giải phương trình : 3 2 2 cos ( ) 3cos sin 0 4 x x x π − − − = Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 12 4 36 0x y− − + = . Viết phương trình đường tròn (C 1 ) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngòai với đường tròn (C). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, B, C, S. b) Tìm tọa độ điểm A 1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC. Câu IV: ( 2 điểm). 1. Tính tích phân 7 3 0 2 1 x I dx x + = + ∫ . 2. Tìm hệ số của x 7 trong khai triển đa thức 2 (2 3 ) n x− , trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . n n n n n C C C C + + + + + + + + + = 1024. ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có: 2 9 (1 )(1 )(1 ) 256 y x x y + + + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi nào? ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI B: Câu I: (2 điểm). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số 4 2 6 5y x x= − + 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : 4 2 2 6 log 0x x m− − = . Câu II: 2 điểm) 1. Giải hệ phương trình : 2 1 1 3 2 4 x y x y x y  + + − + =   + =   2. Giải phương trình : 3 2 2 cos ( ) 3cos sin 0 4 x x x π − − − = Câu III: (3 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) : 2 2 64 9 x y + = 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của (E) biết d cắt hai hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AO = 2BO. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1 x y z : 1 1 2 d = = và 2 1 2 : 1 x t d y t z t = − −   =   = +  ( t là tham số ) a) Xét vò trí tương đối của d 1 và d 2 . b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d 1 và N thuộc d 2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : 0x y z− + = và độ dài đọan MN = 2 . Câu IV: ( 2 điểm) 1. Tính tích phân 2 0 ln e x xdx ∫ . 2. Một độ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. Câu V: (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = 3 4 . Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ . Khi nào đẳng thức xảy ra ? ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI B: Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = 2 2 2 1 x x x + + + (*) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số (*) . 2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua điểm I . Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 2 8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ 2. Giải phương trình : 2 2 cos 2 1 ( ) 3 2 cos x tg x tg x x π − + − = Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn : (C 1 ): x 2 + y 2 9 = và (C 2 ): x 2 + y 2 2 2 23 0x y− − − = . Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C 1 ) và (C 2 ). Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C 1 ) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C 2 ). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P) : 2 2 1 0x y z+ − + = . a) Gọi M 1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác đònh tọa độ điểm M 1 và tính độ dài đọan MM 1 . c) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng x-1 y-1 z-5 : 2 1 -6 = = Câu IV: ( 2 điểm). 1. Tính tích phân 4 sin 0 ( cos ) x tgx e x dx π + ∫ . 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? Câu V: (1 điểm) Chứng minh rằng nếu 0 1y x≤ ≤ ≤ thì 1 4 x y y x− ≤ . Đẳng thức xảy ra khi nào? ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 1 KHỐI D: Câu I: (2 điểm) Gọi (C m ) là đồ thò của hàm số y= – x 3 + ( 2m + 1) x 2 – m – 1 (1) (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi =m 1 . 2) Tìm m để đồ thò (C m ) tiếp xúc với đường thẳng y= 2mx – m – 1. Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ − 2. Giải phương trình : 3 sin ( ) 2 2 1 cos x tg x x π − + = + Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 4 6 12 0x y− − − = . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2 3 0x y− + = sao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C). 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O 1 A 1 B 1 với A(2;0;0), B(0; 4; 0), O 1 (0; 0; 4) a) Tìm tọa độ các điểm A 1 , B 1 . Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O 1 . b) Gọi M là trung điểm của AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O 1 A và cắt OA, OA 1 lần lượt tại N, K . Tính độ dài đọan KN. Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân 3 2 1 ln ln 1 e x I dx x x = + ∫ . 2. Tìm k { } 0;1;2; .;2005∈ sao cho 2005 k C đạt giá trò lớn nhất. ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 1 2 1 2 7 7 2005 2005 ( 2) 2 3 0 x x x x x m x m + + + +  − + ≤   − + + + ≥   ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI D: Câu I: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số 2 3 3 1 x x y x + + = + . 2. Tìm m để phương trình 2 3 3 1 x x m x + + = + có 4 nghiệm phân biệt Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình : 2 2 2 2 1 9 2 3 3 x x x x − −   − ≤  ÷   . 2. Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x+ + − − = Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(0;5), B(2; 3) . Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R = 10 . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D 1 (0; 2; 2) a) Xác đònh tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 .Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB 1 D 1 ) và ( AMB 1 ) vuông góc nhau. b) Chứng minh rằng tỉ số khỏang cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC 1 (N ≠ A) tới 2 mặt phẳng ( AB 1 D 1 ) và ( AMB 1 ) không phụ thuộc vào vò trí của điểm N. Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân 2 2 0 ( 2 1) cosI x xdx π = − ∫ . 2. Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức : 2 2 2 6 12 n n n n P A P A+ − = . ( P n là số hóan vò của n phần tử và k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử) Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1. Chứng minh rằng : 2 2 2 3 1 1 1 2 x y z y z x + + ≥ + + + . . 1 2 1 2 7 7 2005 2005 ( 2) 2 3 0 x x x x x m x m + + + +  − + ≤   − + + + ≥   ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI D:. Chứng minh rằng : 3 4 3 4 3 4 6 x y z + + + + + ≥ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC (DỰ TRỮ ) MÔN TOÁN NĂM 2005 DỰ BỊ 2 KHỐI A: Câu I: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến