Xấp xỉ nghiệm bài toán bù đơn điệu phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGÔ TRỌNG TOÀN XẤP XỈ NGHIỆM BÀI TOÁN BÙ ĐƠN ĐIỆU PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Giáo viên hướng dẫn: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TS Nguyễn Bường, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Yên Thủy B - Hòa Bình bạn lớp Cao học K4C, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số kiến thức sở 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Phương pháp lặp Newton giải phương trình phi 1.4 Thuật toán giảm cho toán phi tuyến 1.5 Thuật toán Maps tuyến Phương pháp giải toán bù đơn điệu phi tuyến 2.1 Giới thiệu 2.2 Định lí tương đương 2.3 Tính hội tụ 2.4 Phương pháp giải 2.4.1 Phương pháp đường dốc 2.4.2 Thuật toán 2.4.3 Phép xấp xỉ Mangasarian Solodov 2.5 Một số kết thực nghiệm số 2.5.1 Phương pháp BFGS (Giới hạn nhớ ) 2.5.2 Nhận xét 2.5.3 Nhận xét cuối Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 12 15 15 15 18 20 20 21 22 23 24 25 27 Mở đầu Nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực toán học khác giải tích lồi, phương trình toán lý quy hoạch toán học, lý thuyết trò chơi, mô hình kinh tế phát biểu dạng toán sau Xét toán bù NCP(F) x ≥ 0, F (x) ≥ 0, xT F (x) = 0, (1) F : Rn → Rn hàm cho trước Trong nhiều báo gần đây, toán xem toán cực tiểu với mục đích áp dụng phương pháp tối ưu để giải (1) Chẳng hạn, Mangasarian Solodov [8] giới thiệu toán cực tiểu không ràng buộc với tính chất : Mọi cực tiểu toàn cục hàm mục tiêu nghiệm (1) Yamashita Fukushima [11] chứng minh rằng: Mỗi điểm dừng hàm Mangasarian Solodov cực tiểu toàn cục nghiệm (1) F khả vi liên tục F xác định dương ∀x ∈ Rn Trong luận văn sử dụng công thức giới thiệu [4] để giải lại (1) toán tối ưu không ràng buộc Bố cục luận văn gồm có hai chương : Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức giải tích hàm, toán tử đơn điệu,phương pháp lặp New tơn giải phương trình phi tuyến, thuật toán giảm cho toán phi tuyến, thuật toán Maps Chương 2: Bài toán bù đơn điệu phi tuyến Trong chương luận văn phát biểu toán bù đơn điệu, chứng minh định lý tương đương, trình bày phương pháp xấp xỉ Mangasasian Solodov Phần cuối trình bày số kết thực nghiệm số toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do thời gian có hạn khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức sở 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Giả sử E không gian véc tơ trường K Tích vô hướng E ánh xạ ϕ : E × E → K thỏa mãn (i) ϕ(x, x) > x = 0; ϕ(x, x) = x = (ii) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (iii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (iv) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) Kí hiệu ϕ(x, y) = x, x Khi ||x|| = x, x Xác định chuẩn E Định nghĩa 1.2 Không gian véc tơ E với tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Một không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert không đủ bổ sung thành không gian Hilbert Định nghĩa 1.3 Hai véc tơ x, y ∈ E gọi trực giao với nhau, kí hiệu x⊥y ,nếu x, x = Véc tơ x gọi trực giao với tập M ⊂ E x trực giao với véc tơ M Tập M ⊥ = {x| x, x = 0, ∀y ∈ M } gọi phần bù trực giao M Bổ đề 1.1 M ⊥ không gian đóng E Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.4 Cho toán tử tuyến tính liên tục A không gian Hilbert E , tồn toán tử A∗ < Ax, y >=< x, A∗ y > Toán tử A∗ gọi toán tử liên hợp A Một số tính chất toán tử liên hợp : (i) (A∗ )∗ = A (ii) (A∗ + B ∗ ) = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ (iii) (AB)∗ = B ∗ A∗ ⊥ ⊥ (iv) N (A) = Re (A∗ ) , N (A∗ ) = Re (A) Định lí 1.1 Cho M không gian đóng không gian Hilbert E phần tử E biểu diễn dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ , y phần tử M gần x nhất, tức x − y ≤ x − u , ∀u ∈ M Đặt P (x) = y , P gọi toán tử chiếu lên M Cho không gian Affine định nghĩa Ax = q, A ∈ Rn×m , q ∈ Rm , định nghĩa phép chiếu PA,q x → PA,q x = arg { ω − x |Aω = q} , PA = PA,0 Bổ đề 1.2 Với x ∈ Rn q ∈ Rm ,thì PA,q x = PA x + PA,q Chứng minh ω = PA,q1 x1 ω = PA,q2 x2 Từ định nghĩa phép chiếu, ta có Aω i = q i , xi − ω i ⊥N (A), i = 1, Từ ta có ∀λ ∈ R, A(ω + λω ) = q + λq x1 + λx2 − (ω + λω )⊥N (A) Điều có nghĩa ω + λω = PA,q1 +λq2 (x1 + λx2 ) Bổ đề 1.3 Giả sử D ∈ Rn cho d ∈ D d ≈ Khi với y ∈ Rn , q ∈ R(A), d ∈ D ta có PAD,q = O( q ), PAD,q y = O( q ) + O( y ), DPAD Dy ≈ PA y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử A+ ma trận nghịch đảo A, nghĩa A+ ma trận (n × m) cho AA+ q = q, q ∈ R(A) Khi ta có imize { x − y |ADz = q} Suy PAD,q y − y ≤ D−1 A+ q + y Do PAD,q = O( q ) PAD,q y = O( q ) + O( y ) Từ kết ta có ∀z = Rn , DP ADDz = O( z ) Lấy z = PA y = y − AT ω, ω ∈ Rm ta PAD Dz = PAD Dy − PAD DAT ω = PAD Dy, DPAD Dy = O( PA y ) Bằng cách tương tự, với thay đổi y = Dy , ta có DA y = O( DPAD Dy ) Vậy DPAD dy ≈ PA y 1.2 Toán tử đơn điệu Cho X không gian Banach phản xạ với không gian liên hợp X ∗ Cả hai có chuẩn ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X ký hiệu x∗ , x Cho toán tử A với miền xác định D(A) ⊆ X miền ảnh R(A) ⊆ X ∗ Định nghĩa 1.5 Toán tử A gọi đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) Toán tử A gọi đơn điệu chặt dấu đạt x = y Ví dụ 1.1 Hàm số f : R → R đơn điệu đồng biến Định nghĩa 1.6 Tập hợp Gr(A) = {(x, A(x)) : x ∈ X} gọi đồ thị toán tử A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm toán tử đơn điệu mô tả dựa đồ thị Gr(A) toán tử A không gian tích X × X ∗ Định nghĩa 1.7 Toán tử A gọi đơn điệu x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) Tập Gr(A) gọi tập đơn điệu thỏa mãn bất đẳng thức Định nghĩa 1.8 Nếu Gr(A) không chứa tập đơn điệu khác X × X ∗ toán tử A gọi toán tử đơn điệu cực đại Ví dụ 1.2 Toán tử A : R4 → R4 xác  39 32  30 34 A =  32 34 58 −20 −5 định ma trận  −20  −5  26 có định thức khác đơn điệu Khi đó, A toán tử đơn điệu cực đại Định nghĩa 1.9 Nếu với x ∈ X ta có Ax, x ≥ A gọi toán tử xác định không âm, ký hiệu A ≥ Nhận xét 1.1 Nếu A toán tử tuyến tính không gian Banach X tính đơn điệu tương đương với tính xác định không âm toán tử Ví dụ 1.3 Toán tử A : R5 → R5 xác định  10 28  5 20 A=  10 28 5 20 28 20 28 20 96 ma trận     xác định không âm Định nghĩa 1.10 Toán tử A gọi d-đơn điệu, tồn hàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = thỏa mãn tính chất A(x) − A(y), x − y ≥ [d( x ) − d( y )]( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.11 Toán tử A gọi đơn điệu tồn hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = A(x) − A(y), x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = CA t2 với CA số dương toán tử A gọi đơn điệu mạnh Nhận xét 1.2 Nếu toán tử A có tính chất tuyến tính A gọi đơn điệu mạnh Ax, x ≥ mA x , mA > 0, ∀x ∈ D(A) Ví dụ 1.4 Hàm số f : R → R xác định f (x) = 2012x toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh Cho L tập N = {1, , n} AL ma trận đường chéo cấp n.n phần tử đường chéo cho   > i ∈ L, aii =  = i ∈ / L Khi AN ma trận đường chéo xác định dương Nếu aii = ∀i AN = In ma trận đơn vị Rn 1.3 Phương pháp lặp Newton giải phương trình phi tuyến Xét hệ phương trình phi tuyến f (x) = 0, ánh xạ từ Rn vào Giả sử f khả vi liên tục Thuật toán sinh dãy lặp xk Giả sử có xk để tìm xk+1 ta giải hệ phương trình tuyến tính f (xk )+∇f (xk )(x−xk ) = Giả sử ma trận ∇f (xk ) không suy biến Ta thu xk+1 cách xk+1 = xk − ∇f (xk )−1 f (xk ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... tơn giải phương trình phi tuyến, thuật toán giảm cho toán phi tuyến, thuật toán Maps Chương 2: Bài toán bù đơn điệu phi tuyến Trong chương luận văn phát biểu toán bù đơn điệu, chứng minh định... 1.2 Toán tử đơn điệu 1.3 Phương pháp lặp Newton giải phương trình phi 1.4 Thuật toán giảm cho toán phi tuyến 1.5 Thuật toán Maps tuyến ... ảnh R(A) ⊆ X ∗ Định nghĩa 1.5 Toán tử A gọi đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) Toán tử A gọi đơn điệu chặt dấu đạt x = y Ví dụ 1.1 Hàm số f : R → R đơn điệu đồng biến Định nghĩa 1.6