CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7 HAY NHẤT

rất hay và bổ ích kèm theo nhiều lời giải lôi cuốn người đọc tạo nên một môi trường học bổ ích 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111122222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

Trang 1

DÃY SỐ THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau

a 2, 5, 10, 17, 26, b 6, 14, 24, 36, 50, c 4, 28, 70, 130, 208,

d 2, 5, 9, 14, 20, e 3, 6, 10, 15, 21, f 2, 8, 20, 40, 70,

Đáp số:

a 1 + n² b n(n + 5) c (3n – 2)(3n + 1)

d n(n + 3)/2 e (n + 1)(n + 2)/2 f n(n + 1)(n + 3)/3

Bài 2: Tính

a A = 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n b A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Đáp số:

a n(n + 1)/2 b A = 333300

Bài 3: Tính A = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 99.101

Hướng dẫn:

A = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1)

A = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + + 99.100 + 99

A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99)

A = 333300 + 4950 = 338250

Bài 4: Tính A = 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 97.100

Bài 5: Tính A = 4 + 12 + 24 + 40 + + 19800

Hướng dẫn:

(1/2)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100

A = 666600

Bài 6: Tính A = 1 + 3 + 6 + 10 + 14 + + 4950

Hướng dẫn: nhân 2

Bài 7: Tính A = 6 + 16 + 30 + 48 + + 19998

Bài 8: Tính A = 2 + 5 + 9 + 14 + + 4949 + 5049

Bài 9: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100

Hướng dẫn:

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + + 98.99.100.(101 – 97)

4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + 3.4.5.6 – 2.3.4.5 + + 98.99.100.101 – 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101

A = 2449755

Bài 10: Tính A = 1² + 2² + 3² + + 99² + 100²

Hướng dẫn:

A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + + 99(98 + 1) + 100(99 + 1)

A = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + + 98.99 + 99 + 99.100 + 100

A = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + (1 + 2 + 3 + + 99 + 100)

A = 333300 + 5050

A = 338050

Tổng quát: 1² + 2² + 3² + + (n – 1)² + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

Bài 11: Tính A = 2² + 4² + 6² + + 98² + 100²

Hướng dẫn:

A = 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²)

Bài 12: Tính A = 1² + 3² + 5² + + 97² + 99²

Hướng dẫn:

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2²(1² + 2² + 3² + + 49² + 50²)

Bài 13: Tính A = 1² – 2² + 3² – + 99² – 100²

Hướng dẫn:

A = (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) – 2(2² + 4² + 6² + + 98² + 100²)

Bài 14: Tính A = 1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99²

Hướng dẫn:

A = 1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)

A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99

A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99)

Trang 2

Bài 15: Tính A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 + 99.101

Hướng dẫn:

A = 1(1 + 2) + 3(3 + 2) + 5(5 + 2) + + 97(97 + 2) + 99(99 + 2)

A = (1² + 3² + 5² + + 97² + 99²) + 2(1 + 3 + 5 + + 97 + 99)

Bài 16: Tính A = 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 98.100 + 100.102

Hướng dẫn:

A = 2(2 + 2) + 4(4 + 2) + 6(6 + 2) + + 98(98 + 2) + 100(100 + 2)

A = (2² + 4² + 6² + + 98² + 100²) + 4(1 + 2 + 3 + + 49 + 50)

Bài 17: Tính A = 1³ + 2³ + 3³ + + 99³ + 100³

Hướng dẫn:

A = 1²(1 + 0) + 2²(1 + 1) + 3²(2 + 1) + + 99²(98 + 1) + 100²(99 + 1)

A = (1.2² + 2.3² + 3.4² + + 98.99² + 99.100²) + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = [1.2(3 – 1) + 2.3(4 – 1) + 3.4(5 – 1) + + 98.99(100 – 1)] + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = 1.2.3 – 1.2 + 2.3.4 – 2.3 + 3.4.5 – 3.4 + + 98.99.100 – 98.99 + (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²)

A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100) – (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99) (1² + 2² + 3² + + 99² + 100²) Bài 18: Tính A = 2³ + 4³ + 6³ + + 98³ + 100³

Bài 19: Tính A = 1³ + 3³ + 5³ + + 97³ + 99³

Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

Tính chất:

Tính chất 1: Nếu a c

b d thì ad = bc Tính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau

a c a b d c d b

b d c d ba c a

Tính chất 3: a c a c a c

b d b d b d

Tính chất trên còn mở rộng: a c e a b c a b c

b d f b d f b d f

    (với giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa) Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c

2 3 5 ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5 Có thể viết a : b : c = 2 : 3 : 5.

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Tìm hai số x, y biết x y

2 3 và x + y = 20.

Giải: Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

x y x y 20

4

2 3 2 3 5



Do đó: x = 8 và y = 12

Ví dụ 2: Tìm ba số x, y, z biết x y y; z

3 4 3 5 và 2x – 3y + z = 6 Theo đề ta suy ra x y z

9 12 20 (*)

→ x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 3

9 12 20 18 36 20 18 36 20 2

 

Do đó: x = 27, y = 36, z = 60

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết x y

2 5 và xy = 40.

Hiển nhiên x ≠ 0

Nhân cả hai vế của x y

2 5 với x =>

2

x xy 40

8

2  5  5  Suy ra x² = 16 nên x = 2 hoặc x = –2

+ Với x = 4 ta có y = 10

+ Với x = –4 ta có y = –10

Trang 3

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng

a x y z

10 6 21 và 5x + y – 2z = 28 b

x y y z

;

3 4 5 7 và 2x + 3y – z = 124

c 2x 3y 4z

3  4  5 và x + y + z = 49 d

x y

2 3 và xy = 54

e x y

5 3 và x² – y² = 4 f

x y z

y z 1 z x 1 x y 2           Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng

a 3x = 2y, 7y = 5z, x – y + z = 32 b x 1 y 2 z 3

  và 2x + 3y – z = 50

c 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95 d x y z

2 3 5 và xyz = 810

e y z 1 z x 2 x y 3 1

  f 10x = 6y và 2x² – y² = –28 Bài 3: Tìm x, y biết rằng 1 2y 1 4y 1 6y

Bài 4: Cho a + b + c + d ≠ 0 và a b c d

b c d  a c d  a b d  a b c  Tìm giá trị của

a b b c c d d a

A

c d a d a b b c

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng

a x 7

y 3 và 5x – 2y = 87 b

x y

19 21 và 2x – y = 34

c

8 64216 và x² + y² + z² = 14. d

2x 1 3y 2 2x 3y 1

Bài 6: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30

Bài 7: Tìm các số x, y, z biết

a x: y: z = 3: 4: 5 và 5z² – 3x² – 2y² = 594

b x + y = x: y = 3(x – y)

Đáp số: a x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = – 9; y = – 12; z = – 15

b x = 4/3; y = 2/3

Bài 8 Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng?

DS: a = –2,25; b = 0,75

Bài 9: Cho a b c

b c c a a b Biết a + b + c ≠ 0 Tìm giá trị mỗi tỉ số đó

Bài 10 Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9; 10; 11; 8 Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinh của trường đó

Bài 11: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: [ab(ab – 2cd) + c²d²][ab(ab – 2) + 2(ab + 1)] = 0 thì chúng lập thành một tỉ lệ thức

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a c

bd Chứng minh

a b c d



Ta có a c a b

b  d c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a b a b a b

c d c d c d

Vậy a b c d

a b c d



  (đpcm)

Trang 4

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a c

bd Chứng minh rằng:

ab a b

cd c d







Từ giả thiết:



      

 Vậy

ab a b

cd c d





 (đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tỉ lệ thức: a c

b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau

a 3a 5b 3c 5d

3a 5b 3c 5d



(a b) a b (c d) c d



a b c d



d

2 2

ab (a b)

cd (c d)





3a 4b 3c 4d



7a 5ac 7b 5bd 7a 5ac 7b 5bd



Bài 2: Cho a b c

b  c d Chứng minh rằng

3

a b c a

b c d d

 



  Bài 3: Cho a b c

20032004 2005 Chứng minh 4(a – b)(b – c) = (c – a)²

Bài 4: Cho 1 2 3 2014

a a

a a a  a Chứng minh

2014

1

a a a a a

   



    Bài 5: Cho 1 2 8 9

a a

a a  a a và a1 + a2 + + a9 ≠ 0 Chứng minh a1 = a2 = = a9

Bài 6: Chứng minh nếu a c

bd thì

a b a

b d d





 Bài 7: Chứng minh nếu a b c a

a b c a



  thì a² = bc

Bài 8: Cho tỉ lệ thức

a b ab

c d cd





 Chứng minh rằng: a c

b d. Bài 9: Chứng minh rằng nếu u 2 v 3

u 2 v 3



  thì u v

2 3 Bài 10: Chứng minh nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) trong đó a, b, c khác nhau và khác 0 thì ta có

a(b c) b(c a) c(a b)

Bài 11: Cho a c

b d Các số x, y, z, t thỏa mãn xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0 Chứng minh

xa yb xc yd

za tb zc td



Bài 12: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn b² = ac; c² = bd và b³ + c³ + d³ ≠ 0 Chứng minh

a b c a

b c d d

 



 

Bài 13: Cho P =

2 2

ax bx c

dx ex f

 

  Chứng minh nếu a b c

d  e f thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. Bài 14: Cho a b ' 1

a ' b  và

b c '

1

b ' c  Chứng minh abc + a’b’c’ = 0 Bài 15: Cho tỉ lệ thức 2a 13b 2c 13d

3a 7b 3c 7d



  Chứng minh rằng a c

b d Bài 16: Cho dãy tỉ số bz cy cx az ay bx

  Chứng minh x y z

a b c

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nếu a ≥ 0 → |a| = a

Nếu a < 0 → |a| = –a

Trang 5

Nếu x ≥ a => |x – a| = x – a; và x ≤ a => |x – a| = a – x

* Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

|a| = 0 <=> a = 0 |a| ≠ 0 <=> a ≠ 0

|a| = |b| <=> a = b or a = –b –|a| ≤ a ≤ |a|

|a| = –a <=> a ≤ 0; |a| = a <=> a ≥ 0

Nếu a < b < 0 → |a| > |b| Nếu 0 < a < b → |a| < |b|

|ab| = |a||b| |a/b| = |a|/|b|

|A|² = A² |a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| <=> ab ≥ 0

Nếu k > 0 thì |A(x)| = k <=> A(x) = k hoặc A(x) = –k

Bài 1: Tìm x, biết

a |2x – 5| – 4 = 0 b 1/3 – |5/4 – 2x| = 1/4 c 1/2 – |x + 4/3| = –1/3 d 3 – 4|2x + 1| = 7

a 2|2x – 3| = 1/2 b 7,5 – 3|5 – 2x| = –4,5 c |x + 0,25| – |–3,75| = –2

a 2|3x – 1| + 1 = 5 b |x/2 – 1| = 3/2 c |–x + 2/5| + 1/2 = 3,5

a 2 3x 1 5



   b 3 4 x 3 7

2 5  4 4 c

3 1 5 5 4,5 x

4 2 3 6

a 6,5 9: x 1 2

4

   b 11 3: 4x 1 7

4 2  5 2 Bài 6: Tìm x, biết

a |5x – 4| = |x + 2| b |2x – 3| – |3x + 2| = 0 c |2 + 3x| = |4x – 3| d |7x + 1| – |5x + 6| = 0

a |3x + 8| = |4x – 1| b 5x 7 5x 3 0

4  2  8 5  Bài 8: Tìm x, biết

a |x + 2| = 3 – 2x b 2|x| – 3x + 15 = 0 c |7 – x| = 5x + 1

a |9 + x| – 2x = 0 b |5x| – 3x – 2 = 0 c |x + 6| – 9 = 2x d |2x – 3| + x = 21

a |3x – 1| + 2 = x b |x + 15| + 1 = 3x c |2x – 5| + x = 2

a |2x – 5| = x + 1 b |3x – 2| – 1 = x c |3x – 7| = 2x + 1

a |x – 5| + 5 = x b |x + 7| – x = 7 c |3x – 4| + 4 = 3x

Ví dụ: Tìm x biết rằng |x – 1| + |x – 3| = 2x – 1 (1)

Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Từ đó sẽ tìm được x

x – 1 = 0 <=> x = 1

x – 3 = 0 <=> x = 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x – 1 và x – 3 dưới đây

Xét x < 1 ta có: (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1

<=> x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét 1 ≤ x ≤ 3 ta có (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1 <=> x = 3/2 (giá trị này thuộc khoảng đang xét)

Xét x > 3 ta có: (x – 1) + (x – 3) = 2x – 1

<=> –4 = –1

Vậy x = 3/2

a |x| + 2|x – 5| = 8 b 3|x + 4| – 5|x + 3| + |x – 9| = 9

Trang 6

c 21 x x 1 8 1

5   5   d

2 x 3 x 3 2 x

a |x + 5| + |x – 3| = 9 b |x – 2| + 2|x – 3| + |x – 4| = 2 c |x + 1| + |x + 3| + |2x – 1| = 7

d 2|x + 2| + |4 – x| = 11

a |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9 b |x + 1| – |x + 2| – 1 = 0 c |x – 1| + 3|x – 3| – 2|x – 2| = 4

d |x + 5| – |1 – 2x| – |3x + 4| = 0 e |x| – |2x + 3| – x + 1 = 0 f |x| + |1 – x| = x + |x – 3|

a |x – 3| + |x + 5| – 8 = 0 b |2x – 1| + |2x – 5| – 4 = 0 c |x – 3| + |3x + 4| + |2x – 1| = 8 Bài 17: Tìm x, biết

a |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| = 4x – 4 b |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + |x + 4| = 5x

c |x + 2| + |x + 3/5| + |x + 2/5| = 4x – 3 d |x + 1,1| + |x + 1,2| + |x + 1,3| + |x + 1,4| = 5x + 5,5 Bài 18: Tìm x, biết

a x 1 x 2 x 3 x 100 101x

b x 1 x 1 x 1 x 1 100x

c x 1 x 1 x 1 x 1 50x

a ||2x – 1| + 1/2| = 3 b |4x² + |2x + 1|| = 4x² + 2 c |x²|x + 3/4|| = x²

a |2|2x – 1| – 1| – 2/5 = 0 b |2|x + 2| – 3| = 8/5 c |x|x² + 3/4|| = x

a |x(x² – 3/4)| = x b (x 1) 2x 3 2x 3

a ||2x – 3| – x + 1| = 4x – 1 b ||x – 1| – 1| = 2 c ||3x + 1| – 5| = 2

Bài 23: Tìm x, y thỏa mãn

a |3x – 4| + |3y + 5| = 0 b |x – 2y| + |y + 1,5| = 0 c |3 – 2x| + |4y + 5| = 0

a |15 – x| + (y – 12)² = 0 b 2 1 1x 1,5 7 5y 0

3 2 3    5 6  c |2x – 2014| + |5y – 2015| = 0 Bài 25: Tìm x, y thỏa mãn

a |5x + 10| + |6y – 9| ≤ 0 b |x + 2y| + |2y – 3| ≤ 0 c |x – y + 2| + |2y + 4| ≤ 0

a |12x + 8| + |11y – 5| ≤ 0 b |3x + 2y| + |4y – 1| ≤ 0 c |x – 2| + |xy – 10| ≤ 0

a |x – 3y|11 + (y + 4)12 = 0 b (x + y)2016 + 2017|y – 1|³ = 0 c |x – y – 5| + 2015(y – 3)2016 = 0 Bài 28: Tìm x, y thỏa mãn

a (x – 1)² + (y + 3)4 = 0 b 2(x – 5)6 + 5|2y – 7|5 = 0 c |x + 3y – 1| + (3y – 2)2016 = 0 Bài 29: Tìm x, y thỏa mãn

a 3|x – y|5 + 10|y + 2|7 ≤ 0 b 1 2016 12

(x )

  |4y – 6/5| ≤ 0 Bài 30: Tìm x, biết

a |x + 5| + |3 – x| – 8 = 0 b |x – 2| + |x – 5| – 3 = 0 c |x – 5| + |x + 1| – 6 = 0

d 2|x + 3| + |2x + 5| = 11 e |x + 1| + |2x – 3| = |3x – 2| f |x – 3| + |5 – x| + 2|x – 3| = 2

g |x – 4| + |x – 6| – 2 = 0 h |x + 1| + |x + 5| – 4 = 0 i |3x + 7| + 3|2 – x| = 13

j |5x + 1| + |3 – 2x| – |4 + 3x| = 0 k |x + 2| | |3x – 1| + |x – 1| = 3 ℓ |x – 2| + |x – 7| – 4 = 0 Bài 31: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a |x – y – 2| + |y + 3| = 0 b (x + y)² + 2|y – 1| = 0

Trang 7

Bài 32: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a |x – 3y|5 + |y + 4| = 0 b |x – y – 5| + (y – 3)4 = 0 c |x + 3y – 1| + 3|y + 2| = 0

a |x + 4| + |y – 2| – 3 = 0 b |2x + 1| + |y – 1| – 4 = 0 c |3x| + |y + 5| = 5 d |5x| + |2y + 3| = 7 Bài 34: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a 3|x – 5| + |y + 4| – 5 = 0 b |x + 6| + 4|2y – 1| = 12 c 6|x| + |y + 3| = 10 d 12|x + 1| + |2y + 3| = 21 Bài 35: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn

a y² = 3 – |2x – 3| b y² = 5 – |x – 1| c 2y² = 3 – |x + 4| d 3(2y + 1)² = 12 – |x – 1|

a |x| + |y| ≤ 3 b |x + 5| + |y – 2| ≤ 4 c |2x + 1| + |y – 4| – 3 ≤ 0 d |3x| + |y + 5| ≤ 4

a 5|x + 1| + |y – 2| – 7 ≤ 0 b 4|2x + 5| + |y + 3| ≤ 5 c 3|x + 5| + 2|y – 1| ≤ 3

d 3|2x + 1| + 4|2y – 1| ≤ 7

Bài 38: Tìm số nguyên x thỏa mãn

a |x – 1| + |4 – x| = 3 b |x + 2| + |x – 3| = 5 c |x + 1| + |x – 6| = 7 d |2x + 5| + |2x – 3| = 8

Bài 39: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau

a x + y = 4; |x + 2| + |y| = 6 b x + y = 4; |2x + 1| + |y – x| = 5

c x – y = 3; |x| + |y| = 3 d x – 2y = 5 và |x| + |2y – 1| = 6

Bài 40: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đồng thời

a x + y = 5 và |x + 1| + |y – 2| = 4 b x – y = 3 và |x – 6| + |y – 1| = 4

c x – y = 2 và |2x + 1| + |2y + 1| – 4 = 0 d 2x + y = 3 và |2x + 3| + |y + 2| – 8 = 0

Bài 41: Tìm số nguyên x thỏa mãn

a (x + 2)(x – 3) < 0 b 3(2x – 1)(2x – 3) < 0 c 4(3x + 1)(5 – 2x) > 0

a (2 – x)(x + 1) = |y + 1| b (x + 3)(1 – x) – 2|y| = 0 c (x – 2)(5 – x) – |y – 1| – 2 = 0

a (x + 1)(3 – x) = 2|y| + 1 b (x – 2)(5 – x) – |y + 1| = 1 c (x – 3)(5 – x) = |y + 2|

a |x + 2| + |x – 1| = 3 – 2(y + 2)² b |3x + y + 2| + 5 = y 5 630

 

c |y – 4| + 5 = 2

10 (x 1) 2 d |x – 1| + |3 – x| = 2y 8 36

 

e |2x + 3| + |2x – 1| = 32

(y 5) 2 f |x + 3| + |x – 1| = y 216y 2

  

g |3x + 1| + |3x – 5| = 2

12 (y 3) 2 h |2x – y| + 5 = y 4 420

 

i (x + y – 2)² + 7 = y 114y 3

   j (x – 2)² + 4 = 3 y 2203y 1

   Bài 45: Tính giá trị của biểu thức

a A = 2x + 2xy – y với |x| = 2,5; y = –3/4 b B = 3a – 3ab – b với |a| = 1/3; |b| = 0,25

c C = 3x² – 2x + 1 với |x| = 1/2

Bài 46: Tính giá trị của biểu thức

a A = 6x³ – 3x² + 2|x| + 4 với x = –2/3 b B = 2|x| – 3|y| với x = 1/2; y = –3

c C = 2|x – 2| – 3|1 – x| với x = 4

Bài 47: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a A = 0,5 – |x – 3,5| b B = –|1,4 – x| – 2 c C = 3 x 2

4 x 5





d D = 2 x 3

3 x 1



 e E = 5 – |2x – 1,5| f F = –|10,2 – 3x| + 14

g G = 4 – |5x – 2| – (3y + 12)² h H = x 5 412

  i I = x 2 31

 

Trang 8

Bài 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = 1,7 + |3,4 – x| b B = |x + 2,8| – 3,5 c C = |3x + 8,4| – 14,2

d D = |4x – 3| + |5y + 7| + 7 e E = 2(3x – 1)² – 4

a A = 54 3x 7 315

  b B = 45 3x 5 204y 5 8

3 (x 3y)  5 x 5 14  Bài 50: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a A = 2 7x 5 11

7x 5 4

 

  b B = 2y 7 13

2 2y 7 6

 

  c C = 15 x 1 32

6 x 1 8

 

  Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a A = |x + 5| + 2 – x b B = |2x – 1| + 2x + 6 c C = |4x + 3| + 4x – 5

d D = 2|x – 3| + 2x + 5 e E = 5|x – 1| + 4 – 5x f F = 4|x + 5| + 4x

a A = –|x – 5| + x + 12 b B = –|2x + 3| + 2x + 4 c C = –|3x – 1| + 7 – 3x

d D = –2|x – 5| + 2x + 1 e E = –3|x – 4| + 8 – 3x f F = –5|5 – x| + 5x + 7

a A = |x + 1| + |x – 5| + 1 b B = |x – 2| + |x – 6| + 5 c C = |2x – 4| + |2x + 1|

d D = |x + 2| + |x – 3| – 1 e E = |2x – 4| + |2x + 5| d F = 3|x – 2| + |3x + 1|

a A = |x + 3| + |2x – 5| + |x – 7| b B = |x + 1| + |3x| + |x – 1| + 5

c C = |x + 2| + 4|2x – 5| + |x – 3| d D = |2x + 3| + 5|x + 1| + 2|x – 1| + 3

Bài 55: Cho x + y = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1| + |y – 2|

Bài 56: Cho x – 2y = 3, tìm giá trị của biểu thức B = |x – 6| + |2y + 1|

Bài 57: Cho x – y = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2|x + 1| + |1 – 2y|

Bài 58: Cho 2x + y = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = |2x + 3| + |y + 2| + 12

DÃY SỐ TỰ NHIÊN, PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

Bài 1: Tính tổng S = 2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … + 2012

Bài 2: Cho biểu thức A = 1 – 2 + 3 – 4 + + 99 – 100

a Tính A

b A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

c A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên?

Bài 3: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +

a Biết rằng A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng?

b Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n?

Bài 4: Cho A = 1 – 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +

a Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A

b Tìm số hạng thứ 2012 của A

Bài 5: Tìm giá trị của x biết (x + 2) + (x + 7) + (x + 12) + + (x + 47) = 655

Bài 6:

a Tìm x biết x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 2012) = 2012.2013

b Tính M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2012 2013

Bài 7: Tính tổng S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001

Bài 8: Cho A = 3 + 3² + 3³ + + 3100 Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n

Bài 9: Cho A = 3 + 3² + 3³ + + 32004

a Tính tổng A

b Chứng minh A chia hết cho 130

c A có phải là số chính phương không? Vì sao?

Bài 10:

a Cho A = 1 – 3 + 3² – 3³ + – 32015 + 32016 Chứng minh 4A – 1 là lũy thừa của 3

b Chứng minh B + 2 là luỹ thừa của 2 biết B = 2 + 2² + 2³ + + 22016

Bài 11:

a Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 260 Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15

b Chứng minh rằng tổng 2 + 2² + 2³ + … + 22016 chia hết cho 42

Bài 12: Cho A = 2 + 2² + 2³ + + 299 + 2100 Chứng minh A chia hết cho 31

Trang 9

Bài 13: Cho S = 5 + 5² + 5³ + + 596.

a Chứng minh S chia hết cho 126

b Tìm chữ số tận cùng của tổng S

Bài 14: Cho A = 1.2.3 29.30 và B = 31.32.33 59.60

a Chứng minh B chia hết cho 230 b Chứng minh B – A chia hết cho 61

Bài 15: Cho A = 1 + 2 + 2² + 2³ + + 22015 và B = 22016 So sánh A và B

Bài 16: Cho M = 3 + 3² + 3³ + + 3100

a M có chia hết cho 4, cho 12 không? Vì sao?

b Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M + 3 = 3ⁿ

Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 + 3 + 3² + 3³ + + 3119

a Thu gọn biểu thức M

b Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết: 1 1 1 2 2015

3 6 10   n(n 1) 2016 Bài 19:

a Tính A = 2 2 2 2

1.3 3.5 5.7   99.101

b Cho S = 3 3 3 3

1.4 4.7 7.10   n(n 3) với n là số tự nhiên Chứng minh: S < 1

Bài 20: So sánh A = 2 2 2

60.63 63.66  117.120 và B =

40.44 44.48  76.80 Bài 21: Tính

a A = 1 1 1 1 1 1

10 40 88 154 238 340     b B =

1.2.3 2.3.4  98.99.100 Bài 22: So sánh A = 1 1 12 13 1001

     và B = 2

Bài 23: Tính

a A = 2 2 2 2 2

15 35 63 99 143   

1 2 1 2 3 1 2 3 4         1 2 100  

Bài 24: Tính giá trị các biểu thức A =

3 5 99

1.99 3.97 5.95 99.1

   

Bài 25: Tính B =

2 3 4 100

99 98 97 1

   

Bài 26: Chứng minh rằng: 100 – (1 1 1 1 ) 1 2 3 99

2 3 100 2 3 4 100

        

Bài 27: Tính B/A biết A = 1 1 1 1

2 3 4   200 và B =

199 198 197    2  1 Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy số 1 ;1 ;11 1 1 ;1 1 ;1 1 ;

3 8 15 24 35 Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1; ; 1 ; 1 ;

6 66 176 336 Bài 30: Tính A

B biết A =

1.2 3.4 5.6   17.18 19.20 và B =

11 12 13   19 20 Bài 31: Tìm x, biết ( 1 1 1 )x 1 1 1

1.101 2.102  10.110 1.11 2.12  100.110

Trang 10

Bài 32: Tính

a S = 1 + a + a² + a³ + + aⁿ, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

b S1 = 1 + a² + a4 + + a2n, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

c S2 = a + a³ +a5 + + a2n+1, với a ≥ 2, n là số nguyên dương

Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 4² + 4³ + + 499, B = 4100 Chứng minh rằng 3A < B

Bài 34: Tính giá trị của biểu thức:

a A = 9 + 99 + 999 + + 999 9 b B = 9 + 99 + 999 + + 999 9

Bài 35: Tính |x| biết

a 1 1 1 1

1.3 3.5  47.49x b

1.4 4.7  97.1002

c 4 4 4 2x 5

1.5 5.9 97.101 101



    d (1 1)(1 1)(1 1) (1 1 ) x 21

f 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 = 11x – 1 g (1² + 2² + 3² + + 49²)(2 – x) = –11/5

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN, SỐ THỰC, CĂN BẬC HAI

Bài 1: Viết các số thập phân dưới dạng phân số tối giản

0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13)

Bài 2: Tính

a 10,(3) + 0,(4) – 8,(6) b [12,(1) – 2,3(6)]:4,(21) c 0,(3) + 3,(3) – 0,4(2)

Bài 3: Tính tổng các chữ số trong chu kỳ tối thiểu khi biểu diễn số 116

99 dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Bài 4: Tính tổng tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,(12)

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau và làm tròn đến hàng đơn vị

a A (11,81 8,19).2, 25

6,75



 b B (4,6 5 : 6, 25).4

4.0,125 2,31





 Bài 6: Rút gọn biểu thức M 0,5 0,(3) 0,1(6)

2,5 1,(6) 0,8(3)



Bài 7: Chứng minh 0,(27) + 0,(72) = 1

Bài 8: Tìm x biết

a 0,1(6) 0,(3)x 0,(2)

0,(3) 1,1(6)





3 0,(3) 0,(384615) x 50

13



c [0,(37) + 0,(62)]x = 10 d 0,(12): 1,(6) = x: 0,(4)

Bài 9: Cho biểu thức A =

m 3m 2m 5 m(m 1)(m 2) 6

   (m là số tự nhiên)

a Chứng minh rằng A là phân số tối giản

b Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

Bài 10: So sánh các số 25 9 và 25 9

c Chứng minh với a, b > 0 thì a b < a b

a (x – 3)² = |3 – x| b (x – 1)² + |2 – 2x| = 0

a x 2 x 0  b 16(x – 1)² = 9

Bài 13: Cho A = x 1

x 1



 Chứng minh rằng với x = 16/9 hoặc x = 25/9 thì A có giá trị nguyên Bài 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

a A = 7

3 1

x 1



 c C = 2 x 1

x 3







Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	510,5 KB