Tính tựa chuẩn tắc, tính giả chuẩn tắc và quy tắc nhân tử Lagrange

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ YẾN TÍNH TỰA CHUẨN TẮC, TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC VÀ QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục ii Mở đầu 1 ĐIỀU KIỆN CẦN FRITZ JOHN 1.1 KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.2 ĐIỀU KIỆN CẦN FRITZ JOHN 10 1.3 NHÂN TỬ LAGRANGE CÓ THÔNG TIN VÀ NHÂN TỬ LAGRANGE MẠNH 17 TÍNH TỰA CHUẨN TẮC, TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 29 2.1 TÍNH TỰA CHUẨN TẮC VÀ TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC 29 2.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC 35 2.3 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TÍNH TỰA CHUẨN TẮC 38 HÀM PHẠT CHÍNH XÁC 43 3.1 TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC VÀ HÀM PHẠT CHÍNH XÁC 43 3.2 BIỂU DIỄN MỞ RỘNG CỦA TẬP RÀNG BUỘC 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.3 CÁC VÍ DỤ 50 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lí thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng lí thuyết toán cực trị Các quy tắc nhân tử Lagrange thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả Thông thường người ta thiết lập điều kiện cần tối ưu kiểu Fritz John từ dẫn điều kiện cần tối ưu kiểu Kuhn-Tucker với điều kiện quy khác Các điều kiện cần tối ưu dẫn cách thiết lập định lí luân phiên làm công cụ sở sử dụng định lí tách tập lồi phương pháp hàm phạt xác Các nhân tử Lagrange với vài tính chất phụ hữu ích nghiên cứu tính chất nghiệm tối ưu Năm 2002, D P Bertsekas A E Ozdaglar [3] thiết lập quy tắc nhân tử Lagrange kiểu Fritz John, nhân tử Lagrange có thêm tính chất phụ (tính chất (CV)) Ba loại nhân tử Lagrange nghiên cứu bao gồm vectơ nhân tử Lagrange có thông tin, mạnh tối thiểu Các điều kiện quy tổng quát tính tựa chuẩn tắc tính giả chuẩn tắc điểm chấp nhận được đưa vào để đảm bảo khác nhân tử Lagrange ứng với hàm mục tiêu Việc tiếp cận phương pháp hàm phạt xác tỏ hiệu điều kiện tính tựa chuẩn tắc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính giả chuẩn tắc Luận văn trình bày kết Bertsekas Ozdaglar [3] lí thuyết nhân tử Lagrange toán tối ưu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập với điều kiện quy tổng quát tính tựa chuẩn tắc tính giả chuẩn tắc nghiệm tối ưu Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện cần kiểu Fritz John với nhân tử Lagrange có thêm tính chất (CV) Ba loại vectơ nhân tử Lagrange nghiên cứu bao gồm vectơ nhân tử Lagrange có thông tin, mạnh tối thiểu Mối quan hệ loại vectơ nhân tử Lagrange trình bày cho trường hợp nón tiếp tuyến lồi Chương trình bày điều kiện quy tổng quát đảm bảo nhân tử Lagrange ứng với hàm mục tiêu khác Đó điều kiện quy tính tựa chuẩn tắc tính giả chuẩn tắc nghiệm Chú ý điều kiện giả chuẩn tắc mạnh điều kiện tựa chuẩn tắc Một điều kiện quy (CQ1) -(CQ6) điều kiện giả chuẩn tắc Chương trình bày cách tiếp cận phương pháp hàm phạt xác Kết điều kiện giả chuẩn tắc kéo theo thừa nhận hàm phạt xác Trong trường hợp nón pháp tuyến lồi điều kiện tựa chuẩn tắc kéo theo thừa nhận hàm phạt xác Nếu tập ràng buộc quy việc thừa nhận hàm phạt xác kéo theo thừa nhận nhân tử Lagrange Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, Phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khoá học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K3 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Dương thị Yến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương ĐIỀU KIỆN CẦN FRITZ JOHN Chương trình bày điều kiện cần Fritz John với nhân tử Lagrange có thêm tính chất (CV) Các vectơ nhân tử Lagrange có thông tin, mạnh tối thiểu trình bày với mối quan hệ chúng Các kết chương Bertsekas-Ozdaglar [3] 1.1 KẾT QUẢ BỔ TRỢ Xét toán tối ưu có dạng M inf (x), (1.1) x∈C đó, tập ràng buộc C bao gồm ràng buộc đẳng thức, ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập trừu tượng C = X ∩ {x|h1 (x) = 0, , hm (x) = 0} ∩ {x|g1 (x) ≤ 0, , gr (x) ≤ 0} (1.2) Giả sử f, hi , gj hàm trơn (khả vi liên tục) từ Rn vào R; X tập đóng, khác rỗng Rn Tất vectơ xem vectơ cột, dấu " ’ " kí hiệu phép chuyển vị, x y kí hiệu tích vô hướng hai vectơ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x y Ta dùng chuẩn Euclide ||x|| = (x x) Nhắc lại: Vectơ y tiếp tuyến tập S ⊂ Rn x ∈ S y = tồn dãy {xk } ⊂ S cho xk = x với k xk → x, y (xk − x) → ||xk − x|| ||y|| Một cách tương đương là: Tồn dãy {xk } ⊂ S, với xk → x dãy xk − x k k số dương {α } cho α → → y αk Tập hợp tất tiếp tuyến S x kí hiệu TS (x) gọi nón tiếp tuyến S x Nón cực nón T xác định T ∗ = {z|z y ≤ 0, y ∈ T } Với nón T = ∅, ta có T ⊂ (T ∗ )∗ Dấu "=" xảy T tập lồi đóng Với tập X đóng điểm x ∈ X, ta kí hiệu nón pháp tuyến X x NX (x), NX (x) nhận từ TX (x)∗ qua phép lấy bao đóng: z ∈ NX (x) tồn dãy {xk } ⊂ X {z k } cho xk → x, z k → z z k ∈ TX (xk )∗ với k Một cách tương đương, đồ thị NX (.), mà ta xem ánh xạ đa trị {(x, z)|z ∈ NX (x)}, bao đóng đồ thị TX (.)∗ Nói chung, ta có TX (x)∗ ⊂ NX (x), với x ∈ X Tuy nhiên, NX (x) không TX (x)∗ , không lồi Khi TX (x)∗ = NX (x), ta nói X quy x Hai tính chất quan trọng tính quy (xem [10]): (i) Nếu X lồi quy x ∈ X; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Nếu X quy x ∈ X TX (x) lồi Một điều kiện cần cổ điển để vectơ x∗ ∈ C cực tiểu địa phương f C là: f (x∗ ) y ≥ 0, ∀y ∈ TC (x∗ ), (1.3) TC (x∗ ) nón tiếp tuyến C x∗ Trong trường hợp C biểu diễn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức ta nhận nhân tử Lagrange Ta nói tập ràng buộc C (1.2) nhận nhân tử Lagrange điểm x∗ ∈ C với hàm mục tiêu trơn f mà x∗ cực tiểu địa phương toán (1.1), tồn vectơ λ∗ = (λ∗1 , , λ∗m ) µ∗ = (µ∗1 , , µ∗r ) thỏa mãn điều kiện sau: m ∗ r λ∗i ∇hi (x∗ ) [∇f (x ) + i=1 µ∗j ∇gj (x∗ )] y ≥ 0, + ∀y ∈ TX (x∗ ), (1.4) j=1 µ∗j ≥ 0, µ∗j = 0, ∀j = 1, , r (1.5) ∀j ∈ / A(x∗ ), (1.6) A(x∗ ) = {j|gj (x∗ ) = 0} tập số ràng buộc bất đẳng thức tích cực x∗ Điều kiện (1.6) gọi điều kiện bù (gọi tắt (CS)) Cặp (λ∗ , µ∗ ) thoả mãn (1.4) - (1.6) gọi vectơ nhân tử Lagrange tương ứng với f x∗ Tập hợp vectơ nhân tử Lagrange tương ứng với f x∗ tập đóng lồi (có thể tập rỗng) Điều kiện (1.4) tương thích với tính chất đặc trưng cổ điển nhân tử Lagrange: biểu tính dừng hàm Lagrange Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x∗ Khi X tập lồi, (1.4) tương đương với m ∗ r λ∗i ∇hi (x∗ ) [∇f (x ) + µ∗j ∇gj (x∗ )] (x − x∗ ) ≥ 0, + i=1 ∀x ∈ X (1.7) j=1 Bởi X lồi, TX (x∗ ) bao đóng tập phương chấp nhận FX (x∗ ), vectơ có dạng α(x − x∗ ) với α > x ∈ X Nếu X = Rn (1.7) có dạng m ∗ r λ∗i [ f (x ) + ∗ µ∗j hi (x ) + i=1 gj (x∗ )] = 0, j=1 với điều kiện (1.5) (1.6) Khi X = Rn , với hàm trơn f mà x∗ cực tiểu địa phương nó, tồn nhân tử Lagrange f (x∗ ) y ≥ 0, ∀y ∈ V (x∗ ), V (x∗ ) nón biến phân chấp nhận cấp x∗ , cho V (x∗ ) = {y| hi (x∗ ) y = 0, i = 1, , m, gj (x∗ ) y ≤ 0, j ∈ A(x∗ )} Từ suy tập ràng buộc thừa nhận nhân tử Lagrange x∗ TC (x∗ ) = V (x∗ ) Trong trường hợp ta nói x∗ tựa quy hay tính tựa quy x∗ Bởi tính tựa quy trừu tượng, ta cho điều kiện thừa nhận nhân tử Lagrange dễ kiểm chứng Các điều kiện gọi điều kiện quy Một số điều kiện quy thường dùng: (CQ1) X = Rn x∗ điểm quy theo nghĩa gradients ràng buộc bất đẳng thức bất đẳng thức tích cực hi (x∗ ), i = 1, , m gradients ràng buộc gj (x∗ ), j ∈ A(x∗ ), độc lập tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 1.3 NHÂN TỬ LAGRANGE CÓ THÔNG TIN VÀ NHÂN TỬ LAGRANGE MẠNH 17 TÍNH TỰA CHUẨN TẮC, TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY 29 2.1 TÍNH TỰA CHUẨN TẮC VÀ TÍNH GIẢ CHUẨN TẮC... kiện quy tổng quát đảm bảo nhân tử Lagrange ứng với hàm mục tiêu khác Đó điều kiện quy tính tựa chuẩn tắc tính giả chuẩn tắc nghiệm Chú ý điều kiện giả chuẩn tắc mạnh điều kiện tựa chuẩn tắc Một... bao gồm vectơ nhân tử Lagrange có thông tin, mạnh tối thiểu Các điều kiện quy tổng quát tính tựa chuẩn tắc tính giả chuẩn tắc điểm chấp nhận được đưa vào để đảm bảo khác nhân tử Lagrange ứng với