Thông tin tài liệu
BÀI TẬP TOÁN ĐẠI SỐ ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC Chương I Phép nhân phép chia đa thức I II III IV Nhân đơn thức với đa thức Nhân đa thức với đa thức _1_ Hằng đẳng thức đáng nhớ _2_ Phân tích đa thức thành nhân tử _3_ Chia đa thức _6_ Bài tập ôn tập chương I _9_ Chương II Phân thức đại số I Phân thức đại số _10_ II Tính chất phân thức đại số _11_ III Các phép toán phân thức _13_ Bài tập ôn tập chương II _16_ Chương III Phương trình bậc ẩn I Mở đầu phương trình _19_ II Phương trình bậc ẩn _20_ III Giải toán cách lập phương trình _25_ Bài tập ôn tập chương II _30_ Chương IV Bất phương trình bậc ẩn I Bất đẳng thức _32_ II Bất phương trình bậc ẩn _40_ III Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối _42_ Bài tập ôn tập chương IV _43_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 Đại số - oOo - CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Câu Thực phép tính sau: a) ( x –1)( x x ) b) (2 x 1)(3 x 2)(3 – x ) c) ( x 3)( x x – 5) d) ( x 1)( x – x 1) e) (2 x 3x 1).(5x 2) Câu Thực phép tính sau: f) ( x x 3).( x 4) a) 2 x y(2 x – 3y 5yz) b) ( x – y)( x y xy y) 2 x y.(3 xy – x y ) e) ( x – y )( x xy y ) Câu Chứng minh đẳng thức sau: d) xy( x y – x 10 y ) 1 f) xy –1 ( x – x – 6) 2 c) a) ( x y)( x x y x y xy3 y ) x y5 b) ( x y)( x x y x y xy3 y ) x y5 c) (a b)(a3 a2 b ab2 b3 ) a b4 d) (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 Câu Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A ( x 2)( x x x x 16) với x b) B ( x 1)( x x x x x x x 1) c) C ( x 1)( x x x x x x 1) với x với x d) D x(10 x 5x 2) 5x (4 x x 1) với x 5 Câu Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A ( x x y xy y3 )( x y) với x 2, y b) B (a b)(a a3b a2b2 ab3 b4 ) ĐS: A 211 ĐS: B 255 ĐS: C 129 ĐS: D 5 ĐS: A 255 16 với a 3, b 2 ĐS: B 275 1 c) C ( x xy y )( x y ) x y x y xy3 với x , y ĐS: C 2 16 Câu Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A (3 x 7)(2 x 3) (3 x 5)(2 x 11) b) B ( x 2)( x x 1) x( x x 3x 2) c) C x ( x x 3x 2) ( x 2)( x x 1) d) D x(2 x 1) x ( x 2) x x e) E ( x 1)( x x 1) ( x 1)( x x 1) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số Câu * Tính giá trị đa thức: a) P( x ) x 80 x 80 x 80 x 80 x 15 ĐS: P(79) 94 với x 79 b) Q( x ) x14 10 x13 10 x12 10 x11 10 x 10 x 10 ĐS: Q(9) với x c) R( x ) x 17 x 17 x 17 x 20 với x 16 ĐS: R(16) d) S( x ) x10 13x 13 x 13x 13 x 13 x 10 ĐS: S(12) 2 với x 12 II HẰNG ĐẲNG THỨC Câu Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x x b) x x 16 d) x 12 x 48 x 64 e) x x 12 x f) ( x 2)( x x 4) g) ( x 3)( x x 9) h) x x i) x –1 k) x x l) x – m) 16 x –8 x o) 36 x 36 x p) x 27 b) (5 x – y )2 c) (2 x y )3 n) x x Câu Thực phép tính: a) (2 x 3y )2 d) x y x2 y g) (3x – y )3 1 e) x 4 c) ( x 5)( x 5) 2 f) x 3 h) ( x 3y)( x xy y ) y i) ( x 3).( x 3x 9) k) ( x y z)( x y – z) l) (2 x –1)(4 x x 1) m) (5 3x )3 Câu 10 Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A x 3x x với x 19 b) B x x x với x 11 ĐS: a) A 8005 b) B 1001 Câu 11 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2 x 3)(4 x x 9) 2(4 x 1) b) (4 x 1)3 (4 x 3)(16 x 3) c) 2( x y3 ) 3( x y2 ) với x y d) ( x 1)3 ( x 1)3 6( x 1)( x 1) e) ( x 5)2 ( x 5)2 f) x 25 ĐS: a) 29 b) c) –1 Câu 12 Giải phương trình sau: (2 x 5)2 (5 x 2)2 d) a) ( x 1)3 (2 x )(4 x x ) x( x 2) 17 x2 e) f) 29 b) ( x 2)( x x 4) x ( x 2) 15 c) ( x 3)3 ( x 3)( x x 9) 9( x 1)2 15 d) x ( x 5)( x 5) ( x 2)( x x 4) 10 11 ĐS: a) x b) x c) x d) x 15 25 Câu 13 So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A 1999.2001 B 20002 b) A 216 B (2 1)(22 1)(24 1)(28 1) c) A 2011.2013 B 20122 d) A 4(32 1)(34 1) (364 1) B 3128 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số Câu 14 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A 5x – x b) B x – x c) C x – x d) D –x x 11 e) E x x Câu 15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f) F x x a) A x – x 11 b) B x – 20 x 101 c) C x x 11 d) D ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) e) E x x y y f) x x y 8y g) G x – xy 5y 10 x – 22 y 28 HD: g) G ( x y 5)2 ( y 1)2 Câu 16 Cho a b S ab P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: a) A a2 b b) B a3 b3 c) C a4 b III PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I Phương pháp đặt nhân tử chung Câu 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x c) x x x b) x y3 x y d) x ( x 1) 5( x 1) e) x ( x 1) 4( x 1) Câu 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f) 3 x xy xz a) x y xy xy b) x y 8x y3 x y c) x y3 x y x y 18 xy e) a3 x y a3 x a x y 2 d) x y 21xy z xyz 14 xy VẤN ĐỀ II Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Câu 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x x b) x y xy x d) x (a b) x ab e) x y xy x y Câu 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ax x a2 2a b) x x ax a d) xy ax x 2ay e) x ax x a Câu 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x y y b) x x x c) ax by ay bx f) ax ay bx by c) x 4ax x 2a f) x y y3 zx yz c) x x y x y d) x 3y 2( x y )2 e) x x x 36 f) x y x y Câu 22 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x 3)( x 1) 3( x 3) b) ( x 1)(2 x 1) 3( x 1)( x 2)(2 x 1) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số c) (6 x 3) (2 x 5)(2 x 1) d) ( x 5)2 ( x 5)( x 5) (5 x )(2 x 1) e) (3 x 2)(4 x 3) (2 x )( x 1) 2(3 x 2)( x 1) Câu 23 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (a b)(a 2b) (b a)(2a b) (a b)(a 3b) b) xy3 xyz 15y z c) ( x y )(2 x y ) (2 x y )(3 x y ) ( y x ) d) ab3c2 a2b2c2 ab2c3 a2bc3 e) x ( y z) y (z x ) z2 ( x y ) VẤN ĐỀ III Phương pháp dùng đẳng thức Câu 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 12 x b) x x d) x 24 xy 16 y e) x2 xy y g) 16a4b6 24a5b5 9a6b4 h) 25x 20 xy y Câu 25 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: c) 12 x 36 x f) x 10 x 25 i) 25x 10 x y y a) (3x 1)2 16 b) (5 x 4)2 49 x c) (2 x 5)2 ( x 9)2 d) (3x 1)2 4( x 2)2 e) 9(2 x 3)2 4( x 1)2 f) 4b2c2 (b2 c2 a2 )2 g) (ax by)2 (ay bx )2 h) (a2 b2 5)2 4(ab 2)2 i) (4 x 3x 18)2 (4 x 3x )2 k) 9( x y 1)2 4(2 x 3y 1)2 l) 4 x 12 xy y 25 m) x xy y 4m2 4mn n2 Câu 26 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 64 b) x y3 y3 Câu 27 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: d) 8x 27 e) 27 x c) 125 x f) 125 x 27 y3 a) x x 12 x b) x 3x 3x c) x 27 x 27 x 3 d) x x x e) 27 x 54 x y 36 xy 8y3 Câu 28 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x y y xy b) x y c) 25 a2 2ab b2 d) 4b2c2 (b2 c2 a2 )2 e) (a b c)2 (a b c)2 4c2 Câu 29 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x 25)2 ( x 5)2 b) (4 x 25)2 9(2 x 5)2 c) 4(2 x 3)2 9(4 x 9)2 d) a6 a4 2a3 2a2 e) (3x x 2)2 (3x x 2)2 Câu 30 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( xy 1)2 ( x y)2 b) ( x y)3 ( x y)3 c) x y x y xy 3y d) 4( x y ) 8( x ay) 4(a2 1) e) ( x y)3 3xy( x y 1) Câu 31 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 5x 3x www.facebook.com/VanLuc168 b) a5 a a3 a2 a VanLucNN c) x 3x x y3 www.TOANTUYENSINH.com Đại số d) x x y 45 xy 27 y3 e) 3x (a b c) 36 xy(a b c) 108y (a b c) VẤN ĐỀ IV Một số phương pháp khác Câu 32 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x 5x b) x x 30 c) x x d) x x 18 e) x x f) x x 14 g) x x h) x x 12 i) x x 10 Câu 33 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x x b) x x c) x 50 x d) 12 x x 12 e) 15 x x f) a2 5a 14 g) 2m 10m h) p2 36 p 56 i) x 5x Câu 34 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x xy 21y2 b) 5x xy y c) x xy 15y d) ( x y)2 4( x y) 12 e) x xy 10 y f) x yz xyz 14 yz Câu 35 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) a a2 b) a a2 c) x x d) x 19 x 30 e) x x f) x x 14 x Câu 36 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử) a) x b) x 64 c) x x d) x x e) x x f) x x g) x x 24 h) x x HD: Số hạng cần thêm bớt: a) x b) 16 x c) x x i) a 4b d) x e) x f) x g) x h) x x i) 4a2b2 Câu 37 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) ( x x )2 14( x x ) 24 b) ( x x )2 x x 12 c) x x 5x x 12 d) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) e) ( x 1)( x 3)( x 5)( x 7) 15 f) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) 24 Câu 38 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) ( x x 8)2 3x ( x x 8) x b) ( x x 1)( x x 2) 12 c) ( x 8x 7)( x 8x 15) 15 d) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 VẤN ĐỀ V Tổng hợp Câu 39 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x x b) 16 x x c) x 2 x d) x 3x e) x 3x x f) x x g) (a2 1)2 4a2 h) x 3x – x 12 i) x x x k) x – x – x l) (2 x 1)2 – ( x –1)2 m) x x – www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số Câu 40 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y x y b) x( x y) x 5y c) x 5x 5y y d) x x y 10 x 10 xy e) 27 x 8y3 f) x – y – x – y g) x y xy y 2 h) x y x i) x y k) x 3x x – 27z3 l) x x – y Câu 41 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: m) x –3 x xy –3y a) 5x 10 xy 5y 20 z2 b) x z2 y xy c) a3 ay a2 x xy d) x xy z2 y e) 3x xy 3y 12z2 f) x xy 25z2 y g) x y2 yz z2 h) x – xy y – xz yz i) x – xy tx – 2ty k) xy 3z y xz l) x xz xy yz Câu 42 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: m) ( x y z)3 – x – y3 – z3 a) x x z y z xyz y3 b) bc(b c) ca(c a) ab(a b) c) a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) d) a6 a4 2a3 2a2 e) x x x x x x x f) ( x y z)3 x y3 z3 g) (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 Câu 43 Giải phương trình sau: h) x y3 z3 xyz a) ( x 2)2 – ( x –3)( x 3) b) ( x 3)2 (4 x )(4 – x ) 10 c) ( x 4)2 (1 – x )(1 x ) d) ( x – 4)2 – ( x – 2)( x 2) e) 4( x – 3)2 – (2 x –1)(2 x 1) 10 f) 25( x 3)2 (1 – 5x )(1 x ) g) 9( x 1)2 – (3 x – 2)(3 x 2) 10 Câu 44 Chứng minh rằng: h) 4( x –1)2 (2 x –1)(2 x 1) 3 a) a2 (a 1) 2a(a 1) chia hết cho với a Z b) a(2a 3) 2a(a 1) chia hết cho với a Z c) x x với x Z d) x x với x Z IV CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ I Chia đa thức cho đơn thức Câu 45 Thực phép tính: a) (2)5 : (2)3 d) (2 x ) : (2 x )3 Câu 46 Thực phép tính: a) ( x 2)9 : ( x 2)6 www.facebook.com/VanLuc168 b) ( y)7 : ( y)3 c) x12 : ( x10 ) e) (3 x )5 : (3x )2 f) ( xy )4 : ( xy )2 b) ( x y)4 : ( x 2)3 c) ( x x 4)5 : ( x x 4) VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số d) 2( x 1)3 : ( x 1) Câu 47 Thực phép tính: e) 5( x y )5 : ( x y )2 a) xy : 3y b) x y3 : xy c) x y : xy d) x y : xy3 e) (4 x y3 ) : x y f) xy3z4 : (2 xz3 ) h) x y z :12 xy3 i) (2 x y )(3xy2 ) : x 3y g) k) 3 2 x y : x y (3a2 b)3 (ab3 )2 ( a b )4 Câu 48 Thực phép tính: a) (2 x x 5x ) : x l) (2 xy )3 (3 x y)2 (2 x y )2 b) (3x x x ) : (2 x ) d) ( x – x y xy ) : x c) (2 x 3x – x ) : x e) 3( x y)5 2( x y)4 3( x y)2 : 5( x y )2 Câu 49 Thực phép tính: a) (3x y x y3 x y ) : x y 3 3 b) a6 x a3 x ax : ax 10 5 c) (9 x y3 15 x y ) : x y (2 x y )y d) (6 x xy ) : x (2 x y xy ) : xy (2 x 1) x e) ( x xy ) : x (6 x y x y 15 x y ) : x y VẤN ĐỀ II Chia đa thức cho đa thức Câu 50 Thực phép tính: a) ( x – 3x ) : ( x –3) b) (2 x x 4) : ( x 2) c) ( x – x –14) : ( x – 2) d) ( x 3x x 3) : ( x 3) e) ( x x –12) : ( x – 2) f) (2 x 5x x –15) : (2 x – 5) g) (3 x x x 15) : (5 x ) Câu 51 Thực phép tính: h) ( x x 26 x 21) : (2 x 3) a) (2 x x x x ) : ( x 3) b) ( x x x 1) : ( x 1) c) (2 x x – x 3) : (2 x – x 1) d) (8x 8x 10 x 3x 5) : (3 x x 1) e) ( x x x x ) : ( x x 1) Câu 52 Thực phép tính: a) (5 x xy y ) : ( x y ) b) ( x x y x y xy3 ) : ( x y ) c) (4 x xy y x y x y ) : (2 x y3 xy ) Câu 53 Thực phép tính: d) (2a3 7ab2 7a2 b 2b3 ) : (2a b) a) (2 x y )2 : ( x y ) (9 x 12 x x ) : (3x ) 3( x 3) b) (13x y x y 13x y 13 xy3 ) : (2 y x 3xy) Câu 54 Tìm a, b để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) , với: a) f ( x ) x x 21x ax b , g( x ) x x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Đại số ĐS: km Câu 57 Một người xe máy từ thành phố Thanh Hoá thành phố Vinh Nếu chạy với vận tốc 25 km/h muộn so với dự định Nếu chạy với vận tốc 30 km/h đường nghỉ muộn Hỏi để đến nơi mà dọc đường không nghỉ xe phải chạy kilômet? ĐS: 37,5 km Câu 58 Hai ô tô khởi hành lúc để từ Huế Đà Nẵng Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa quay lại Huế gặp xe thứ cách Đà Nẵng 10 km Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng ĐS: 110 km Câu 59 Quãng đường AD dài km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc Một người từ A đến D quay trở A hết tất 41 phút Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc người km/h, lúc xuống dốc km/h lúc đường nằm ngang km/h ĐS: km Câu 60 Một xe tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian, xe xuất phát từ A với vận tốc 60 km/h thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB xe tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB ĐS: 450 km Câu 61 Một đò máy xuôi dòng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A Vận tốc dòng nước km/h Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B ĐS: 80km Câu 62 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ngược dòng từ B đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước km/h ĐS: 120 km Câu 63 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nô xuôi dòng từ bến A, có bè trôi từ bến A với vận tốc km/h Sau đến B, ca nô trở bêbs A gặp bè bè trôi km Tính vận tốc ca nô ĐS: 27 km/h Câu 64 Một thuyền từ bến A đến bến B hết giờ, từ bến B đến bến A hết Hỏi đám béo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu? ĐS: 35 VẤN ĐỀ V Loại có nội dung hình học Hình chữ nhật có hai kích thước a, b Diện tích: S ab ; Chu vi: P 2(a b) Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b Diện tích: S ab Câu 65 Chu vi khu vườn hình chữ nhật 60m , hiệu độ dài chiều dài chiều rộng 20m Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật ĐS: 5m;25m Câu 66 Một đất hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài 4m diện tích tăng thêm 8m Tìm chiều rộng chiều dài đất ĐS: 12m;16m www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 29 Đại số Câu 67 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm 5m diện tích khu vườn tăng thêm 385m2 Tính độ dài cạnh khu vườn ĐS: 18m;54m Câu 68 Hiệu số đo chu vi hai hình vuông 32m hiệu số đo diện tích chúng 464m2 Tìm số đo cạnh hình vuông ĐS: cạnh hình vuông nhỏ 25m ; cạnh hình vuông lớn 33m Câu 69 Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu giàm chiều dài chiều chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật không đổi Tính chiều dài chiều rộng khu vườn ĐS: 100m;125m Câu 70 Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng dài cũ tăng chiều rộng thêm thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m Tính kích thước khu đất ĐS: 20m, 30m BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III Câu 71 Giải phương trình sau: 2( x 4) x 1 x x 10 x 10 x 2x 2x d) a) x 5x x 3x (3 x ) c) b) x x 3(2 x 1) e) ( x 4)( x 4) 2(3 x 2) ( x 4)2 17 ĐS: a) x b) x 5 c) x 19 Câu 72 Giải phương trình sau: f) ( x 1)3 ( x 1)3 6( x x 1) d) x e) x 14 f) x a) (4 x 3)(2 x 1) ( x 3)(4 x 3) b) 25 x (5 x 3)(2 x 1) c) (3x 4)2 4( x 1)2 d) x x x x e) ( x 2)( x 2)( x 10) 72 f) x x x ĐS: 3 a) S ; 2 4 4 b) S ; 3 d) S 1; 2;2 e) S 4; 4 Câu 73 Giải phương trình sau: x2 x4 x 6 x8 a) 98 96 94 92 ĐS: a) x 100 b) x 15 Câu 74 Giải phương trình sau: www.facebook.com/VanLuc168 b) VanLucNN 2 c) S ;6 5 1 f) S 2; 1; 2 x 2 x 45 x x 69 13 15 37 www.TOANTUYENSINH.com 30 Đại số a) 2x 2x 4x b) 2x 18 2x x x 2x x 2x2 x x3 x2 x ĐS: a) x b) x 1 c) x Câu 75 Thương hai số Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị giảm số chia nửa số thứ thu lớn số thứ hai thu 30 Tìm hai số ban đầu ĐS: 24 Câu 76 Chu vi hình chữ nhật 140 m, hiệu số đo chiều dài chiều rộng 10 m Tìm số đo cạnh hình chữ nhật ĐS: 30 m 40 m Câu 77 Thùng thứ đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu Ở thùng thứ hai lấy lượng dầu gấp lần lượng dầu lấy thùng thứ Sau lượng dầu lại thùng thứ gấp đôi lượng dầu lại thùng thứ hai Hỏi lấy lít dầu? ĐS: 26 lít 78 lít Câu 78 Chu vi bánh xe lớn đầu máy xe lửa 5,6 m bánh xe nhỏ 2,4 m Khi xe chạy từ ga A đến ga B bánh nhỏ lăn nhiều bánh lớn 4000 vòng Tính quãng đường AB ĐS: 16800 m Câu 79 Hai vòi nước chảy 12 đầy hồ nước Cho hai vòi chảy khoá vòi thứ lại cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đôi phải 30 phút đầy hồ Hỏi vòi chảy với lưu lượng ban đầu phải đầy hồ ĐS: Vòi thứ chảy 28 giờ, vòi thứ hai chảy 21 Câu 80 Một ô tô quãng đường dài 60 km thời gian định Ô tô nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định 10 km/h nửa quãng đường lại với vận tốc thấp dự định km/h ô tô đến thời gian định Tính thời gian ô tô dự định quãng đường ĐS: Câu 81 Một xe ô tô từ Hà Nội Thanh Hoá Sau 43 km dừng lại 40 phút Để đến Thanh Hoá định phải với vận tốc 1,2 lần vận tốc trước Tính vận tốc lúc đầu, biết quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km ĐS: 30 km Câu 82 Hai người khởi hành từ A để đến B Người thứ nửa thời gian đầu với vận tốc km/h, nửa thời gian sau với vận tốc km/h Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc km/h nửa quãng đường sau với vận tốc km/h Hỏi người đến B trước? ĐS: Người thứ đến trước c) Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng Thảo luận tập tham khảo tài liệu trên: www.facebook.com/VanLuc168 Facebook www.TOANTUYENSINH.com Website www.facebook.com/toantuyensinh FB-Page www.facebook.com/groups/ toantuyensinh FB-Groups www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 31 Đại số - oOo - CHƯƠNG IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Tính chất Điều kiện c>0 c 0, c > n nguyên dương Nội dung ab a b a>b ab > ab < (1) (2a) (2b) (3) (4) (5a) (5b) (6a) (6b) Một số bất đẳng thức thông dụng a) a2 0, a Dấu "=" xảy a = a2 b2 2ab Dấu "=" xảy a = b b) Bất đẳng thức Cô–si: Với a, b 0, ta có: ab ab Dấu "=" xảy a = b Hệ quả: – Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn x = y – Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x 0, x x , x x x a a x a a>0 x a x a x a a b ab a b www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 32 Đại số d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + ab c ab; bc a bc; ca b ca Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất quan hệ thứ tự số – Tính chất bất đẳng thức – Một số BĐT thông dụng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh Một số BĐT thường dùng: + A2 + A2 B + A2 B AB + A.B với A, B Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Câu Cho a, b, c, d, e R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 ab a b c) a2 b2 c2 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) e) a b c 2a(ab2 a c 1) f) g) a2 (1 b2 ) b2 (1 c2 ) c (1 a2 ) 6abc h) a2 b2 c2 d e2 a(b c d e) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 a2 b2 c2 ab ac 2bc d) (a b c)2 2 2 a f) (b c) 2 e) (a b ) (a c) (a 1) g) (a bc)2 (b ca)2 (c ab)2 2 2 a a a a h) b c d e 2 2 2 2 Câu Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức sau: ab a2 b2 a) ab www.facebook.com/VanLuc168 a3 b3 a b b) ; với a, b VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 33 Đại số c) a b a3b ab3 d) a 4a e) a3 b3 c3 3abc , với a, b, c > f) a b g) 1 a 1 b ; với ab 1 ab a6 b2 b6 a2 ; với a, b h) (a5 b5 )(a b) (a b )(a2 b2 ) ; với ab > 2 ab (a b)2 a2 b2 a b (a b)2 HD: a) ab ; 0 b) (a b)(a b)2 c) (a3 b3 )(a b) d) (a 1)2 (a2 2a 3) e) Chú ý: a3 b3 (a b)3 3a2 b 3ab2 BĐT (a b c) a2 b2 c2 (ab bc ca) f) (a2 b2 )2 (a4 a2 b2 b ) g) (b a)2 (ab 1) (1 ab)(1 a2 )(1 b2 ) 0 h) ab(a b)(a3 b3 ) Câu Cho a, b, c, d R Chứng minh a2 b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a b c d abcd b) (a2 1)(b2 1)(c 1) 8abc c) (a2 4)(b2 4)(c 4)(d 4) 256abcd HD: a) a b 2a2 b2 ; c d 2c d ; a2 b c d 2abcd b) a2 a ; b2 b ; c c c) a2 a ; b2 b ; c2 c ; d d Câu Cho a, b, c, d > Chứng minh a a ac (1) Áp dụng chứng b b bc minh bất đẳng thức sau: a b c 2 a) ab bc ca a b c d b) 2 abc bcd cd a d ab ab bc cd da c) 3 abc bcd cd a d ab HD: BĐT (1) (a – b)c < a a ac b b ba a) Sử dụng (1), ta được: ; ; abc ab abc abc bc abc c c cb abc ca abc Cộng BĐT vế theo vế, ta đpcm a a a b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: abcd abc ac b b b c c c Tương tự: ; ; abcd bcd bd abcd cd a ac www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 34 Đại số d d d abcd d ab d b Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: ab ab abd abcd abc abcd Cùng với BĐT tương tự, ta suy đpcm Câu Cho a, b, c R Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 ab bc ca (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b c) 3(a b c ) a2 b2 c2 a b c b) c) (a b c)2 3(ab bc ca) d) a b c abc(a b c) 2 2 HD: (a b)2 (b c)2 (c a)2 a) Khai triển, rút gọn, đưa (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần Câu Cho a, b Chứng minh bất đẳng thức: a b a2 b b2 a ab(a b) (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) ; với a, b, c > a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc 1 1; với a, b, c > abc = a b b c c a3 1 1 c) 1; với a, b, c > abc = a b 1 b c 1 c a 1 b) 3 3 HD: (1) (a2 b2 )(a b) a3 b3 abc ab(a b c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) Câu Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) Từ (1) a3 b3 abc ab(a b c) a) ab bc ca a2 +b2 c2 ab bc abc abc caca ca Tương tự, chứng minh BĐT lại 1 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: x y xy 1 Ta có: a b c b c a ( a b c ) ( b c a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 u2 un Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: uk ak ak 1 S = a1 a2 a2 a3 an an1 a1 an1 Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un uk Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: Khi đó: P= ak ak 1 a a1 a2 a n a2 a3 an 1 an 1 Câu Chứng minh với số tự nhiên n , ta có: 1 1 1 a) b) n 1 n 1 n nn n 1 1 1 c) d) 2 1 2 2 3 (n 1).n n 1 HD: a) Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1 n k n n 2n 2 b) Ta có: k k , với k = 1, 2, 3, …, n k k k k 1 1 1 c) Ta có: , với k = 2, 3, …, n k k k 1 k k 1 d) Ta có: , với k = 2, 3, …, n (k 1).n k k VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b 0, ta có: www.facebook.com/VanLuc168 ab ab Dấu "=" xảy a = b VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 36 Đại số Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ x = y Câu 10 Cho a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc bc ca ab a b c ; với a, b, c > a b c ab bc ca abc c) ; với a, b, c > ab bc ca a b c d) ; với a, b, c > bc ca ab b) HD: a) a b ab ; b c bc ; c a ca đpcm bc ca abc2 ca ab a2 bc ab bc ab2c b) 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac c) Vì a b ab nên ab ab ab bc bc ca ca ; Tương tự: bc ca a b ab ab bc ca ab bc ca a b c (vì ab bc ca a b c ) ab bc ca 2 a b c 1 1 1 d) VT = bc ca ab 1 1 = (a b) (b c) (c a) 3 3 2 bc ca ab Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b x y z x z y Khi đó, VT = 3 (2 3) y x x z y z 2 Câu 11 Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 a) (a3 b3 c3 ) (a b c)2 a b c b) 3(a3 b3 c3 ) (a b c)(a2 b2 c ) c) 9(a3 b3 c3 ) (a b c)3 a b b3 c c3 a3 HD: a) VT = a b c a c b a c b 2 a3 b3 a2 b2 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm Chú ý: b a b) 2(a3 b3 c3 ) a2 b b2 a b2 c bc2 c2 a ca2 Chú ý: a3 b3 ab(a b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 b3 c3 ) 3(a b c)(a2 b2 c ) Dễ chứng minh được: 3(a2 b2 c2 ) (a b c)2 đpcm www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 37 Đại số 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1 1 a) ; với a, b, c > a b c ab bc ca 1 1 1 2 b) ; với a, b, c > ab bc ca a b c a b c a b 2c 1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả Chứng minh: 1 a b c a b c a b c a b 2c ab bc ca abc d) ; với a, b, c > ab bc ca 2 xy 8yz xz e) Cho x, y, z > thoả x y z 12 Chứng minh: x y y 4z 4z x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 2 pa pb pc a b c 1 1 HD: (1) (a b) Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: ; ; a b ab b c bc c a ca Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a) 1 1 1 c) Áp dụng a) b) ta được: a b c a b c a b c a b 2c 11 1 ab d) Theo (1): ( a b) ab 4a b ab Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a b c 12 đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c 1 4 Áp dụng (1) ta được: p a p b ( p a ) ( p b) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Câu 13 Cho a, b, c > Chứng minh (1) Áp dụng chứng minh BĐT a b c abc sau: 1 a) (a2 b2 c2 ) (a b c ) ab bc ca x y z b) Cho x, y, z > thoả x y z Tìm GTLN biểu thức: P = x 1 y 1 z 1 c) Cho a, b, c > thoả a b c Tìm GTNN biểu thức: 1 P= 2 a 2bc b 2ac c 2ab 1 1 30 d) Cho a, b, c > thoả a b c Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca Câu 12 Cho a, b > Chứng minh www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 38 Đại số 1 1 HD: Ta có: (1) (a b c) Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a 2(a b c) VT 9(a2 b2 c2 ) 3(a2 b2 c2 ) (a b c) 2(a b c) abc Chú ý: (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau: x 11 y 11 z 11 1 P= = 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 9 Suy ra: P Ta có: x 1 y 1 z 1 x y z 4 Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x y z k số dương cho trước Tìm GTLN biểu thức: P = x y z kx ky kz 9 a 2bc b 2ca c 2ab (a b c)2 d) VT a2 b2 c2 ab bc ca 1 = 2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c c) Ta có: P 2 30 ab bc ca 1 ( a b c) 1 Chú ý: ab bc ca (a b c)2 3 Câu 14 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: x 18 x a) y ; x b) y ; x x x 1 3x x c) y ; x 1 d) y ;x x 1 2x 1 e) y 2 x ; x 1 1 x x f) y x2 4x ; x0 g) y x HD: 1 x = 5 e) Miny = x 6 www.facebook.com/VanLuc168 x2 h) y x a) Miny = x = c) Miny = x3 ; x0 ; x0 x3 b) Miny = x = 30 d) Miny = x = 3 f) Miny = x = 3 VanLucNN 30 www.TOANTUYENSINH.com 39 Đại số g) Miny = x = h) Miny = 5 x = 27 Câu 15 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y ( x 3)(5 x ); x b) y x (6 x ); x c) y ( x 3)(5 x ); x 5 x 2 a) Maxy = 16 x = 121 c) Maxy = x = e) y (6 x 3)(5 x ); HD: e) Maxy = x = d) y (2 x 5)(5 x ); f) y x5 x ; x0 x 2 b) Maxy = x = 625 d) Maxy = x = f) Maxy = x = ( x 2 x ) 2 II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax b (hoặc ax b 0, ax b 0, ax b ), a, b hai số cho, a 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm Câu 16 Giải bất phương trình sau: a) 3(2 x 3) 4(2 x ) 13 b) x (3 x+9) x (2 x 1) c) x 17 3(2 x 3) 10( x 2) d) 17( x 5) 41x 15( x 4) e) 4(2 x ) (5 x ) 11 x f) 2(3 x ) 1,5( x 4) x 83 18 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 73 5 Câu 17 Giải bất phương trình sau: 2x x 5( x 1) 2( x 1) 1 a) b) 3( x 1) x 1 3x x2 3 1 x c) d) 1 x 2x x x 22 x x 5x 5 33 x e) f) 4 14 ĐS: a) x 20 b) x 15 c) x d) x 5 e) x f) x 19 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 40 Đại số Câu 18 Giải bất phương trình sau: b) 5( x 1) x (7 x ) x a) (2 x 3)(2 x 1) x ( x 2) (2 x 1)2 (3 x )2 2 2 ( x 2) 3( x 1) x 1 x(1,5 x 1) (2 x )2 x 2 e) f) 10 ĐS: a) x b) x c) x d) x e) x f) x 10 Câu 19 Giải bất phương trình sau: 8x 2x 1 3x a) x b) x x x 1 x 5x x x 1 3 c) d) x 6 x 2x x e) 15 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Câu 20 Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức 3( x 1) không nhỏ giá trị biểu thức 2( x 3) x2 x lớn giá trị biểu thức x b) Giá trị biểu thức c) ( x 1)2 ( x 3)2 x ( x 1)2 d) c) Giá trị biểu thức ( x 1)2 không lớn giá trị biểu thức ( x 3)2 x 2 x nhỏ giá trị biểu thức d) Giá trị biểu thức x 14 ĐS: a) x b) x 2 c) x d) x Câu 21 Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x 1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x x x x x a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x 1988 x 1989 x 1990 x 1 x x x x x c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 ĐS: a) x 15 b) x 100 Câu 22 a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x chia hết cho 5, 8, 10) 1 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 41 Đại số III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa giá trị tuyệt đối a a a a a Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C1 A A C2 B B Dạng A B hay hay A B A B A B A B Dạng A B A B hay A B Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ – Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định – Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho Câu 23 Giải phương trình sau: a) 4 x x b) x 3x c) x 5x 5x x x 1 x 5x d) x x x e) f) 3 2 9 19 1 ĐS: a) S ; b) S 0 c) S d) S e) S f) S 3 7 20 8 Câu 24 Giải phương trình sau: a) x x x b) x x 2 x c) x x x d) x x x x 1 b) S 1; c) S 3;1 4 a) S 0;1;3 ĐS: d) S 2 Câu 25 Giải phương trình sau: a) 3x x2 2x b) 2 x x2 6x x 3 c) 2 x x 4x f) 2x 5x x 13 3 ĐS: a) S 2 b) S ; c) S d) S ;3 2 5 Câu 26 Giải phương trình sau: a) x x b) 5x x c) d) x2 4x x 3 d) x x 10 x e) e) x x 6 x 36 2 x 5x x 3x e) S 4 x4 f) S 4 4x 7x f) x x x 1 1 9 1 ĐS: a) S 2; 0 b) S ; c) S ;1 d) S ;1; e) S 1;5 f) S 1; 11 2 8 5 Câu 27 Giải phương trình sau: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 42 Đại số a) x 5x d) x x x ĐS: a) S b) S 4 b) x x c) x x e) x x x f) x x 1 3 1 c) x d) S ; e) S f) S 2 2 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu 28 Giải bất phương trình sau: a) x x+12 b) 4 x 15 24 x c) x x x 1 x x3 2x 1 x 1 x x 3 1 x (2 x 1) x d) e) f) 2 11 ĐS: a) x 10 b) x c) x d) x e) x f) x 1 Câu 29 a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: 11x x b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 x x2 x x2 x x 4(2 x ) (5 x ) 11 x c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 x ) 1,5( x 4) x ĐS: a) 1;2 b) 3; 2; 1 Câu 30 Giải bất phương trình sau: x x 15 x 2005 x 1995 1987 x 1988 x 27 x 28 x 4 a) b) 2005 1995 15 15 16 1999 2000 1 1 c) x 10.110 1.11 2.12 100.110 1.101 2.102 ĐS: a) x 2010 Trừ vế cho b) x 1972 Trừ vế cho 1 1 1 1 c) x 10 Biến đổi , k (100 k ) 100 k 100 k k (k 10) 10 k k 10 Câu 31 Giải phương trình sau: a) x x d) x 5 ĐS: a) S 3 b) x x 4x 9 4x e) 7x2 x 7x 5x 14 b) S 4; c) S 1;19 3 c) x 11 x x x 15 3x 2x2 9x 15 2 d) S ; e) S ; f) S 3 4 7 f) Nguồn tập: Thầy Trần Sĩ Tùng Thảo luận tập tham khảo tài liệu trên: www.facebook.com/VanLuc168 Facebook www.TOANTUYENSINH.com Website www.facebook.com/toantuyensinh FB-Page www.facebook.com/groups/ toantuyensinh FB-Groups www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 43 ... trái số Tìm số ĐS: 4 285 7 Câu 46 Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số ta số có hai chữ số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Tìm số ĐS: 31 Câu 47 Một số. .. Câu 28 Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết lần số nhỏ cộng lần số lớn 87 ĐS: 18; 17 Câu 29 Một phân số có tử số nhỏ mẫu số Nếu thêm đơn vị vào tử số bớt mẫu số đơn vị ta phân số Tìm phân số. .. Chia đa thức _6_ Bài tập ôn tập chương I _9_ Chương II Phân thức đại số I Phân thức đại số _10_ II Tính chất phân thức đại số _11_ III Các phép toán phân thức _13_ Bài tập ôn tập chương II _16_
Ngày đăng: 16/04/2017, 07:05
Xem thêm: 01 bài tập đại số 8 , 01 bài tập đại số 8
