SỐ PHỨC cho kì thi THPT QUÔC GIA

Phần Số Phức - Giải tích 12 MỤC LỤC Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 I – LÝ THUYẾT CHUNG Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b ∈ R , a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo, i2 = –1) • z số thực ⇔ phần ảo z (b = 0) z ảo ⇔ phần thực z (a = 0) Số vừa số thực vừa số ảo a = a ' a + bi = a’ + b’i ⇔  (a, b, a ', b ' ∈ R) b = b ' • Hai số phức nhau: 4k 4k +1 = i; i 4k +2 = -1; i 4k +3 = -i Chú ý: i = 1; i Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b ∈ R) biểu diễn điểm M(a; b) hay r u = (a; b) mp(Oxy) (mp phức) y O M(a;b) b x a Cộng trừ số phức: • ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’ ) + ( b + b’ ) i • ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i • Số đối z = a + bi –z = –a – bi r r r r r r • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' u + u ' biểu diễn z + z’ u − u ' biểu diễn z – z’ Nhân hai số phức : • ( a + bi ) ( a '+ b 'i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’ ) i • k(a + bi) = ka + kbi (k ∈ R) Số phức liên hợp số phức z = a + bi z = a − bi z  z z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z ';  ÷ =  z  z2 ; • • z số thực ⇔ z = z ; z số ảo ⇔ z = − z z.z = a + b Môđun số phức : z = a + bi uuuu r 2 z = a + b = zz = OM • z =0⇔z=0 • z ≥ 0, ∀z ∈ C , • z.z ' = z z ' Chia hai số phức: z z = • z' z' • z − z' ≤ z ± z' ≤ z + z' a+bi aa'-bb' ab '+ a 'b = + i a ' + b '2 • Chia hai số phức: a'+b'i a ' + b ' Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 z −1 = z z • (z ≠ 0) Căn bậc hai số phức: z' z '.z z '.z = z ' z −1 = = z.z z • z z' = w ⇔ z ' = wz • z x − y2 = a  • z = x + yi bậc hai số phức w = a + bi ⇔ z = w ⇔  2xy = b • w = có bậc hai z = • w ≠ có hai bậc hai đối • Hai bậc hai a > ± a • Hai bậc hai a < ± −a.i Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = (*) (A, B, C số phức cho trước, A ≠ ) ∆ = B2 − 4AC −B ± δ z1,2 = 2A , ( δ bậc hai ∆) • ∆ ≠ : (*) có hai nghiệm phân biệt B z1 = z = − 2A • ∆ = : (*) có nghiệm kép: z Chú ý: Nếu z0 ∈ C nghiệm (*) nghiệm (*) 10 Dạng lượng giác số phức (dành cho chương trình nâng cao) a) Acgumen số phức z ≠ 0: Cho số phức z ≠ Gọi M điểm biểu diễn số z Số đo (radian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z Nếu ϕ acgumen z acgumen z có dạng ϕ + k2π (k∈Z) b) Dạng lượng giác số phức : Dạng z = r(cosϕ + isinϕ) (r > 0) dạng lượng giác z = a + bi (a, b∈R) (z ≠ 0)  r = a + b2  a  cosϕ = r  b  sin ϕ = r ⇔ (ϕ acgumen z, ϕ = (Ox, OM) c) Nhân, chia số phức dạng lượng giác : Nếu z = r(cosϕ + isinϕ), z’ = r’(cosϕ’ + isinϕ’) thì: z.z’ = rr’[cos(ϕ + ϕ’) + isin(ϕ +ϕ’)] z r = [ cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ') ] z' r ' d) Công thức Moa-vrơ : n r(cosϕ + i sin ϕ) ] = r n (cos nϕ + i sin nϕ) [ Với n số nguyên, n ≥ : n Khi r = 1, ta : (cosϕ + i sin ϕ) = (cos nϕ + i sin nϕ) e) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác : Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 Các bậc hai số phức z = r(cosϕ + isinϕ) ϕ ϕ  ϕ   ϕ  − r  cos + i sin ÷ = r cos  + π ÷+ i sin  + π ÷ 2   2   2 Trang Nguyễn Dương Chí Thành (r > 0) : ϕ ϕ  r  cos + i sin ÷ 2   Phần Số Phức - Giải tích 12 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ − i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: 3 − i + i a Vì z = 2 ⇒ z = 2 b   3 − i÷  + i − i − i ÷ 2  =4 =2 Ta có z =    3 + i÷ = + i + i= + i  ÷ 2  4 2 2  z ⇒( ) = 1   3 i ÷ + i = + i + i − =i  + ÷ ÷ 2 ÷ 4 2   ( z ) =( z ) z =  1 3 + 1+ 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Ta có: + z + z2 = Ví dụ 2: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i ⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i   x = −  3x + y = 2y − y =  ⇔ 5x = x − y Giải hệ ta được:  Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính toán này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; ∀ n ∈ N* Vậy in ∈ {-1;1;-i;i}, ∀ n ∈ N −n −n 1  ÷ = ( −i ) Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =  i  Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = 16  1+ i   1− i   ÷ + ÷ Ví dụ 4: Tính số phức sau: z =  − i   + i  + i (1 + i)(1 + i) 2i = = =i 2 Giải: Ta có: − i Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 16  1+ i   1− i  1− i = −i  ÷ + ÷ ⇒ 1+ i Vậy  − i   + i  =i16 +(-i)8 = z + 3z = ( + i ) ( − i ) (1) Ví dụ 5: Tìm phần ảo z biết: Giải: Giả sử z=a+bi (1) ⇔ a + bi + 3a − 3bi = ( + 12i + 6i + i ) ( − i ) = ( + 11i ) ( − i ) ⇔a= ⇔ 4a − 2bi = − 2i + 22i − 11i = 20i + 15 Vậy phần ảo z -10 z +z z z = + i, z = − i Ví dụ 6: Cho Tính 1 Giải: 15 ; b = −10 z1 + z1z = + i + ( + i ) ( − i ) = 10 = 10 + 0i ⇒ z1 + z1z = 102 + = 10 Ví dụ 7: Cho Giải: +) z1 = + 3i, z = + i Tính z1 + 3z ; z1 + z z2 ; z13 + 3z z1 + 3z = + 3i + + 3i = + 6i ⇒ z1 + 3z = 52 + 62 = 61 z1 + z 49 z1 + z + 4i ( + 4i ) ( − i ) + i = + = = = = z2 4 z + i − i ⇒ +) z + 3z = + 36i + 54i + 27i3 − − 3i = −49 + 6i ⇒ z1 + 3z = 2437 +) Ví dụ 8: Tìm bậc hai số phức z = + 12i Giải: Giả sử m+ni (m; n ∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 12i ⇔ m + 2mni − n = + 12i m − n = 5(1) m2 − n =  ⇔ ⇔  2mn = 12 m = (2)  n 6  ÷ − n = ⇔ 36 − n = 5n Thay (2) vào (1) ta có:  n  ⇔ n + 5n − 36 = ⇔ n = 4; n = −9(loai) n = ⇒ m =  n = −2 ⇒ m = −3  Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết số phức z = x + iy thỏa z = −8 + 6i Mệnh đề sau sai? Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 A  x + 8x − =   y = x B   x − y = −8   xy = 2 x =  x = −1 hay   2  y = −3 C  y = D x + y + 2xy = −8 + 6i z = ( m − 1) + ( m − ) i, ( m ∈ R ) z≤ Câu 2: Cho số phức Giá trị m để  m ≤ −6  D  m ≥ A −2 ≤ m ≤ B −6 ≤ m ≤ C ≤ m ≤ 3 ( − i ) + ( − 2i ) 3−i Câu 3: Viết số phức dạng đại số: 11 13 11 − + i − − i − i A 5 B 5 C 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: a =  z = a + bi = A Số phức b = D − 11 − i 5 B Số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng phức Oxy 2 C Số phức z = a + bi có môđun a + b D Số phức z = a + bi có số phức đối z ' = a − bi ( ) z+z Câu 5: Cho số phức z = a + bi, a, b ∈ R mệnh đề Khi số là: M ( a; b ) 1) Điểm biểu diễn số phức z z+z 2) Phần thực số phức a; ( 3) Môdul số phức 2z + z z< z 4) A Số mệnh đề C Số mệnh đề sai Câu 6: Mệnh đề sau sai z = z ⇔ z1 = z A z =0⇔z=0 B ) 9a + b B Số mệnh đề D Cả z = C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn tâm O, bán kính R = D Hai số phức phần thực phần ảo tương ứng z = + 3i, z = − + 3i, z = z1.z Câu 7: Cho hai số phức Lựa chọn phương án đúng: z = 25 z = z1 z = z2 A B C z1 + z = z1 + z D 3−i 3+i z= , z' = + 7i − 7i Trong kết luận sau: Câu 8: Cho số phức (I) z + z ' số thực, (II) z − z ' số ảo, Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 (III) z − z ' số thực, Kết luận đúng? A Cả I, II, III B Chỉ II III C Chỉ III, I D Chỉ I, II 2 i −i z −z α= −z +z β= +z+z z −1 z −1 Câu 9: Cho số phức z ≠ Xét số phức Khi A α, β ∈ R B β, α số ảo C β ∈ R, α số ảo D α ∈ R, β số ảo 2009 − + i Câu 10: Cho số phức z = 2 Số phức + z + z2 bằng: − + i A 2 B - 3i C D Câu 11: Giá trị biểu thức + i + i + i + + i là: A − i B −i C i Câu 12: Đẳng thức đẳng thức sau: 2018 2018 1009 2018 = 21009 i = −21009 A (1 + i) B (1 + i) = −2 i C (1 + i) Câu 13: Cho 2017 D + i 2018 = 21009 D (1 + i) z1 , z ∈ £ đẳng thức: z z z1 z = z1.z ; = ; z1 + z = z1 + z ; z1 − z = z1 − z z2 z2 Số đẳng thức đẳng thức là: A B C Câu 14: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 8 A (1 + i) = −16 B (1 + i) = 16 C (1 + i) = 16i D D (1 + i) = −16i Câu 15: Đẳng thức sau đẳng thức đúng? 2006 2345 1997 2005 = −i =1 A i B i = i C i = −1 D i Câu 16: Số số phức sau số ảo ? 2 + 3i + − 3i + 2i ) ( A B + 2i + 3i − 3i C D + 3i 4k * Câu 17: Giá trị + i + i + + i với k ∈ N A 2ki B 2k C D x; y ∈ R (1 − i)(x − yi) + (2y − x)i = − 2i Câu 18: Các số thỏa mãn đẳng thức Khi tổng x + 3y là: A - B - C 13 D - 13 Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y ∈ ¢ thỏa mãn z3 = 18 + 26i Giá trị T = (z − 2)2012 + (4 − z)2012 là: ( ( )( 1007 A −2 ) ( ) ) 1007 B 1007 C n 1006 D −2  13 + 9i   ÷ 12 − i ÷   số thực ? số ảo ? là: Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức A n = + 6k, k ∈ ¢ B n = + 4k, k ∈ ¢ C n = 2k, k ∈ ¢ D n = 3k, k ∈ ¢ z Câu 21: Cho số phức z = 2i + z bằng: − 12i + 6i + 12i − 6i A 13 B 11 C 13 D 11 Trang Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12  1+ i  z =  ÷ 1+ i ÷   : Câu 22: Tính số phức A + i B + 2i  1+ i  z= ÷  − i  , tính z + z + z + z8 Câu 23: Cho A B 11 Câu 24: Tính giá trị P = i + i + i + + i A −1 B P = ( + 5i ) − ( + 3i )  Câu 25: Tính kết 2007 A −2 i B 2007i 105 23 20 34 Câu 26: Giá trị biểu thức A = i + i + i – i A 2i B 2 z −1 z =1 Câu 27: Nếu z A Là số ảo B Bằng 16  1+ i  1− i  z= ÷ + ÷  1− i   + i  bằng: Câu 28: Số phức A −i B C – 2i D – i C D C + i D – i 2007 C −2 là: C −2i 2007 D i 2007 D −2 C Lấy giá trị phức D Lấy giá trị thực C i D −2 iz − ( + 3i ) z a b =z z=− − i c c ( với a, b, c số tự nhiên) thỏa mãn 1+ i Câu 29: Biết số phức Khi giá trị a là: A - 45 B 45 C - D x +1 y −1 = Câu 30: Cho x, y số thực thỏa điều kiện: x − 1 + i là: x = 1; y = A x = −1; y = B x = −1; y = C x = 1; y = −3 D z + z2 Tính : (z1 + z ) z = + 3i; z = + i Câu 31: Cho 85 61 A 85 B C 85 D 25 z = ax + b, z = cx + d Câu 32: Cho hai số phức mệnh đề sau: z = z1 a + b z + z = z1 + z ; (III) z1 − z = z1 − z (I) ; (II) Mệnh đề là: A Chỉ (I) (III) B Cả (I), (II) (III) C Chỉ (I) (II) D Chỉ (II) (III) Câu 33: Tìm bậc hai số phức z = − 24i A z = −4 − 3i z = + 3i B z = −4 − 3i z = −4 + 3i C z = − 3i z = + 3i D z = − 3i z = −4 + 3i z−z Câu 34: Cho z = − 3i Tính 2i ta kết là: A −3i B C −3 D −6i ( Trang ) Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 Câu 35: Cho số phức z 2≤ a +b A z = a + bi, ( a, b ∈ ¡ B ) Nhận xét sau đúng? z 2≥ a +b Câu 36: Tìm bậc số phức A ±4i B ±2i ( − i ) ta kết là: Câu 37: Tính A −4 − 4i B + 4i z= C z ≥ 2( a + b ) + 9i − 5i 1− i D z ≤ ( a + b) C ±2 D ±4 C 8i D − 4i 2024  i   ÷ Câu 38: Giá trị  − i  1 − 2024 1012 A B C 2024 D − 1012  i z =  + ÷ 2÷   ta kết viết dạng đại số là: Câu 39: Tính i 3 i + +i − − 2 A 2 B C Câu 40: Tìm bậc hai - A - B C 3i z = − +i 2 Tính + z + z Câu 41: Cho A B - C ω = z1 − 2z , z1 = + 2i, z1 = − 3i Câu 42: Tìm số phức biết rằng: A ω = −3 − 4i B ω = −3 + 8i C ω = − i D ±3i D D ω = + 8i z = 3−i i B - 2i C - 5i D + 5i Câu 44: Tổng hai số phức + i;5 − 7i A + 8i B − 8i C − 6i D − 6i Câu 45: Các số thực x y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i 9     x = − 11  x = 11  x = 11    y = y = − y = 11 11 11 A Kết khác B  C  D  25i Câu 46: Biết số phức z = − 4i Số phức z là: A −4 + 3i B −4 − 3i C − 3i D + 3i Câu 47: Cho biết: ( 1) i3 = i ( 2) i4 = i ( 3) ( i + 1) = −2 + i Câu 43: Tích số phức A z1 = + 2i − −i D Trong ba kết trên, kết sai A Chỉ (3) sai B Chỉ (2) sai Câu 48: Tổng số phức + i + i A + Trang 10 B 2i Nguyễn Dương Chí Thành C Chỉ (1) (2) sai D Cả (1), (2), (3) sai C + + i D + + 2i Phần Số Phức - Giải tích 12 Ta có a + bi = (1 + i 3)z + ⇔ z = (1) ⇔ a − + bi a − + (b − 3i) ⇔ z −1 = 1+ i 1+ i a − + (b − 3)i a − + (b − 3)i ≤2 ⇔ ≤2⇔ 1+ i 1+ i ⇔ (a − 3) + (b − 3) ≤ 16 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn (a − 3) + (b − 3) ≤2 (x − 3) + (y − 3) ≤ 16 (kể điểm nằm biên) Ví dụ 8: Cho z1 = + i; z2 = -1 - i Tìm z3 ∈ C cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Giải: Giả sử z3 = x+yi Để điểm biểu diễn z1, z2 , z3 tạo thành tam giác ⇔  + = ( x − 1) + ( y − 1)  z1 − z = z1 − z ( x − 1) + ( y − 1) =   ⇔   z1 − z = z − z  + = ( x + 1) + ( y + 1)  x + y =  ⇒ 2y2 = ⇒ y = ⇒x= ± m3 Vậy có hai số phức thoả mãn là: z3 = (1+i) z3 = - (1-i) 3 Ví dụ 9: Tìm điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau: =2 z Giải: Giả sử z = x + yi ⇒ z+ = ⇔ z2 + = z z 2 2 2 ⇔ (x – y +1) +4x y = 4(x + y2) ⇔ (x2 + y2 -1)2 = 4y2 ⇔ z+  x + y − = 2y  2  x + y − = −2y ⇒ Tập hợp điểm M(x;y) biểu thị số phức z hợp hai đường tròn: x2 + y2-2y – = x2 + y2 +2y – = B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho A Đường thẳng x − y +1 = C Đường tròn (z − 1)(z − i) số thực B Đường tròn x + y2 − x − y = D Đường thẳng −x + y + = x + y2 − x + y = Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức Tam giác ABC là: z1 = (1 − i)(2 + i), z = + 3i, z = −1 − 3i A Một tam giác B Một tam giác vuông (không cân) C Một tam giác vuông cân D Một tam giác cân (không đều) Trang 46 Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 Câu 3: Gọi M, N, P điểm biểu diễn số phức – i, + 4i , + i Tìm số phức z biểu diễn điểm Q cho MNPQ hình bình hành A 6i – B + 6i C – 7i D + 7i Câu 4: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho số z −i ảo A Trục hoành, bỏ điểm (-1; 0) B Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1) D Trục tung, bỏ điểm (0; 1) Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm biểu diễn cho số phức A, B, C Xác định độ lớn số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác z1 = + i, z = −2 + 3i, z = −1 + 2i ABC A B C D Câu 6: Gọi M, N, P điểm biểu diễn số phức + i , + 3i , – 2i Số phức z biểu diễn điểm Q cho uuuu r uuuu r r là: MN + 3MQ = A i B i 2 − + 3 3 Câu 7: Tập hợp điểm biểu diễn số phức A Đường tròn tâm C Hình tròn tâm I ( −1,1) I ( −1,1) , bán kính , bán kính i − + 3 thỏa mãn z z +1− i ≤ R =1 R =1 C B Đường tròn tâm D Hình tròn tâm D I ( −1, −1) I ( 1, −1) − − 3 i , bán kính , bán kính R =1 R =1 Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông C; Biết A, B biểu diễn số phức: Khi đó, C biểu diễn số phức: z1 = -2 + 4i, z = -2i A B C D z = − − 7i z = + 4i z = − + 2i Câu 9: Cho số phức: z = − 4i biểu diễn điểm A, B, z1 = + 3i; z = −2 +2i; z3 = −1 − i C mặt phẳng Gọi M điểm thỏa mãn: uuuu r uuu r uuu r Khi điểm M biểu diễn số phức: AM = AB − AC A z = 6i B z = − 6i C z = D z = −2 Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3) Điểm C thỏa mãn: uuur uuur uuu r OC = OA + OB Khi điểm C biểu diễn số phức: A B z = − − 4i z = − 3i C z = − + 4i Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 = + 2i y = cho tam giác OAB cân O B biểu diễn số phức sau đây: A B C z = − + 2i z = − 2i Câu 12: Cho số phức i, – 3i, −3 + z = + 3i , B điểm thuộc đường thẳng D z = + 2i i có điểm biểu diễn mặt phẳng phức A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G tam giác ABC Trang 47 z = − i D Nguyễn Dương Chí Thành Phần Số Phức - Giải tích 12 A i + 3 Câu 13: Cho số phức A B i C i D i 2 − + − − − 3 3 3 Số phức liên hợp z có điểm biểu diễn là: z = + 7i B (6;7) C (6; −7) D (−6; −7) ( −6;7) Câu 14: Cho A, B, M điểm biểu diễn số phức - 4, 4i, x + 3i Với giá trị thực A, B, M thẳng hàng? A x = - B x = C x = - D x = Câu 15: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy biết số thực là: (1 + i)z A Trục Ox C Đường thẳng B Trục Oy D Đường thẳng y=x Câu 16: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn y = −x z