Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 40 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
40
Dung lượng
297,63 KB
Nội dung
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Lan Hương TÍNHỔNĐỊNHĐỊAPHƯƠNGVÀSỰHỘITỤĐỊAPHƯƠNGCỦAPHƯƠNGPHÁPMIỀNTINCẬYCƠBẢN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Hà Nội – Năm 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Lan Hương TÍNHỔNĐỊNHĐỊAPHƯƠNGVÀSỰHỘITỤĐỊAPHƯƠNGCỦAPHƯƠNGPHÁPMIỀNTINCẬYCƠBẢN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học: ThS BÙI NGỌC MƯỜI Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Th.S Bùi Ngọc Mười tận tình hướng dẫn em đọc tài liệu góp ý chi tiết cách trình bày số kết khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích-khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Em mong nhận góp ý xây dựng thầy côbạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Lan Hương i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn Th.S Bùi Ngọc Mười khóa luận "Tính ổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphươngphươngphápMiềnTinCậy bản" hoàn thành không trùng khớp với đề tài khác Trong trình hoàn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Lan Hương i Mục lục Lời mở đầu 1 PhươngphápMiềnTinCậy cho toán tối ưu trơn ràng buộc 1.1 Thuật toán 1.1.1 Phương Cauchy 1.1.2 Điểm Cauchy cho hàm xấp xỉ dạng toàn phương 1.1.3 Ví dụ minh họa cho thuật toán Một số kết hộitụ thuật toán 12 1.2.1 Một số giả thiết với hàm mục tiêu 12 1.2.2 Một số giả thiết với hàm xấp xỉ 13 1.2.3 Sựhộitụ đến điểm tới hạn bậc 16 1.2 TínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphươngphươngphápMiềnTinCậy 19 2.1 Một số khái niệm 19 2.2 Tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphương 22 Tài liệu tham khảo 33 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Lời mở đầu Bài toán tối ưu có ứng dụng rộng rãi toán học đời sống Nó nghiên cứu cách toàn diện nhờ phươngphápđịnhtínhđịnh lượng phươngpháp gradient chiếu, phươngpháp gradient, phươngpháp gradient liên hợp, phươngpháp Newton, phươngpháp nhân tử Lagrange, phươngpháp điểm trong, Cùng với phát triển khoa học công nghệ, tạo thuật toán hữu hiệu giúp ta giải số toán tối ưu cách hiệu Vàphươngphápmiềntincậy xem số PhươngphápMiềnTinCậy (viết tắt TRM) áp dụng để giải toán tối ưu ràng buộc toán tối ưu có ràng buộc tuyến tính Xét toán tìm cực tiểu hàm f : Rn −→ R, giả thiết khả vi liên tục đến cấp hai bị chặn Rn Với điểm khởi đầu x0 ∈ Rn chọn tùy ý, phươngphápmiềntincậy (thuật ngữ tiếng Anh Trust-Region Method) cho phép tạo dãy lặp {xk } mà, bước k, việc chuyển từ điểm xk sang điểm xk+1 làm giảm hàm mục tiêu xấp xỉ, ký hiệu mk (x), f (x) Một cách xấp xỉ thông dụng thay hàm số f (x) phần tuyến tính-toàn phương khai triển Taylor bậc hai điểm xk Ở bước k, thay cho Rn người ta xét hình cầu tâm xk với bán kính ∆k thích hợp Quy tắc chọn ∆k , nhằm đảm bảo tốc độ tính toán cao được, phần nội dung quan trọng phươngpháp Cụ thể, tỷ số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương độ giảm hàm mục tiêu f (x) độ giảm hàm xấp xỉ bước k, tức hàm mk (x), sở để xác địnhbán kính ∆k+1 Bài toán bổ trợ bước k toán tìm cực tiểu hàm mk (x) hình ¯ k , ∆k ) Việc tính toán điều khiển số tham số cầu đóng B(x dương Dưới số điều kiện, dãy lặp {xk } hộitụ đến điểm tới hạn bậc toán Thuật toán miềntincậy thuật toán làm giảm hàm mục tiêu, tức ta có f (xk+1 ) ≤ f (xk ) với k Cuốn chuyên khảo [2] tác giả A R Conn, N I M Gould, P L Toint cẩm nang đầy đủ chi tiết lý thuyết phươngphápmiềntincậyTínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphươngtính chất địnhtính cần xem xét nghiên cứu lý thuyết thuật toán Trong khóa luận này, em tìm hiểu định lí tính chất dãy lặp sinh thuật toán miềntincậy trường hợp toán ràng buộc Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Khóa luận gồm chương: Chương 1: Trình bày phươngphápMiềnTinCậy toán tối ưu trơn ràng buộc Nội dung chương trình bày thuật toán MiềnTin Cậy, ví dụ minh họa cho thuật toán số kết hộitụ thuật toán Chương 2: Trình bày tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphươngphươngphápMiềnTinCậy Mục 2.1 nhắc lại số khái niệm Mục 2.2 tìm hiểu định lí tính chất dãy lặp sinh thuật toán MiềnTinCậy trường hợp toán ràng buộc Chương PhươngphápMiềnTinCậy cho toán tối ưu trơn ràng buộc 1.1 Thuật toán Cho f : Rn −→ R hàm khả vi liên tục đến cấp hai bị chặn Rn Xét toán (P ) sau đây: f (x) x∈Rn (1.1) Ở f (x) hàm mục tiêu Chúng ta đưa vào số kí hiệu Định nghĩa 1.1 Tập điểm tới hạn bậc (P), kí hiệu S(P), là: S(P ) = {x∗ ∈ Rn |∇f (x∗ ) = 0} Ở ∇f (x∗ ) gradient hàm f (x) điểm x∗ (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Chúng ta xem xét kĩ thuật để sinh dãy lặp xk , mà ta hi vọng hộitụ tới điểm tới hạn bậc toán (1.1) Thuật toán miềntincậy cho toán (P) tiến hành sau: Với bước lặp xk , xác định hàm mục tiêu xấp xỉ mk (x) lân cận thích hợp xk , mà ta gọi miềntincậyĐịnh nghĩa 1.2 Miềntincậy (P) tập hợp điểm ¯k := {x ∈ Rn : B x − xk k ≤ ∆k } Ở ∆k gọi bán kính miềntin cậy, (1.3) · k chuẩn không gian Rn sử dụng bước lặp thứ k Cho hàm xấp xỉ miềntincậy nó, tìm bước thử sk tới điểm thử xk + sk với mục đích giảm hàm xấp xỉ thỏa mãn tính bị chặn sk k ≤ ∆k Ở đây, ta tính tỉ số độ giảm hàm mục tiêu độ giảm hàm xấp xỉ Nếu tỉ số đủ lớn, tức hàm mục tiêu f (x) giảm nhanh chóng, điểm thử chấp nhận chuyển sang bước lặp tiếp k + Ở bước k + 1, điểm thử xác định xk+1 = xk + sk miềntincậy tăng lên giữ nguyên Ngược lại, tỉ số nhỏ, chí số âm, điểm thử bị bác bỏ bước lặp giữ nguyên điểm thử miềntincậy bị thu hẹp Khi đó, miềntincậy (được viết tắt thuật toán BTR), mô tả sau: Thuật toán 1.1: Thuật toán miềntincậy sở (BTR) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Khi đó, với x ∈ U1 , đảm bảo ϕ(x) ≤ g(x, v¯) = ∇2 f (x)¯ v , v¯ ≤ ∇2 f (¯ x)¯ v , v¯ + ε = ϕ(¯ x) + ε Do đó, ϕ(x) − ϕ(¯ x) ≤ ε với x ∈ U1 Với v ∈ S n−1 , hàm số h(x, v ) := g(¯ x, v ) − g(x, v ) liên tục (¯ x, v) h(¯ x, v) = nên tồn lân cận mở Uv Wv x¯ v cho g(¯ x, v ) − g(x, v ) ≤ ε ∀x ∈ Uv , ∀v ∈ Wv (2.3) Do tính compact S n−1 , từ lớp phủ mở {Wv }v∈S n−1 rút k lớp phủ {Wvi }i=1,k ¯ Đặt U2 = Uvi Đặt v ∈ S n−1 i=1 x ∈ U2 cách tùy ý Chọn i ∈ {1, , k} cho v ∈ Wvi Áp dụng (2.3) cho v = vi thu g(¯ x, v ) − ε ≤ g(x, v ) Do đó, ϕ(¯ x) − ε = g(¯ x, v¯) − ε ≤ g(¯ x, v ) − ε ≤ g(x, v ) Cho nên ϕ(¯ x) − ε ≤ min{g(x, v ) : v ∈ S n−1 } = ϕ(x) Vì vậy, có |ϕ(x) − ϕ(¯ x)|≤ ε với x ∈ U1 ∩ U2 Tính liên tục ϕ chứng minh Từ ϕ(x∗ ) giá trị riêng nhỏ ma trận ∇2 f (x∗ ) từ x∗ cực tiểu địaphương không suy biến (1.1), có ϕ(x∗ ) > Tính liên tục ϕ x∗ , với α1 ∈ (0; ϕ(x∗ )) tạo δ1 > 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương cho ϕ(x) ≥ α1 ¯ ∗ , δ1 ) ∀x ∈ B(x Vì ϕ(x) giá trị riêng nhỏ ∇2 f (x), nên α1 I ∇2 f (x) với ¯ ∗ , δ1 ) x ∈ ∀x ∈ B(x Tương tự, xem xét hàm số ψ(x) := max{g(x, v) : v ∈ S n−1 } lí luận trên, với α2 ∈ (ϕ(x∗ ), +∞), tìm δ2 > cho ψ(x) ≤ α2 ¯ ∗ , δ2 ) ∀x ∈ B(x Vì ψ(x) giá trị riêng lớn ∇2 f (x), nên hàm ý sau ∇2 f (x) ¯ ∗ , δ2 ) α2 I với ∀x ∈ B(x Đặt δ = min{δ1 , δ2 }, tính chất (2.2) Chúng ta cần kết bổ trợ tiếp, biến thể địaphương Bổ đề 5.6 từ [9] Chú ý lí luận đưa Ruszczynski [9, trang 226] hiển nhiên áp dụng cho trường hợp ta xét Bổ đề 2.2 Nếu δ, α1 , α2 , α1 < α2 số dương thỏa mãn (2.2) ∇f (x) 2.2 ≥ α1 (1 + α1 )[f (x) − f (x∗ )] α2 ¯ ∗ , δ) ∀x ∈ B(x (2.4) Tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphương Trong mục này, quan tâm đến tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphương dãy lặp tạo phươngphápmiềntincậy Cụ thể, tìm kiếm kết tương tự [5, Định lí 3] Ở đây, 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương tác giả chứng minh rằng: Nếu x¯ nghiệm địaphương riêng biệt toán toàn phương với tập ràng buộc đa diện lồi C, tồn số dương δ µ cho với x0 ∈ C ∩ B(¯ x, δ) với B(¯ x, δ) := {x ∈ Rn : x − x¯ < δ}, dãy lặp {xk } tạo thuật toán DCA chiếu với điểm ban đầu x0 cótính chất sau: (i) xk ∈ C ∩ B(¯ x, µ) với k ≥ 0; (ii) xk → x¯ k → ∞ Định lý 2.1 ([1]) Giả sử x∗ cực tiểu địaphương không suy biến (1.1) Khi đó, tồn δ > δ1 > cho, với ¯ ∗ , δ), dãy lặp {xk } sinh thuật toán MiềnTinCậy với x0 ∈ B(x điểm ban đầu x0 phươngpháp điểm Cauchy, mk (x) tổng ba số hạng đầu khai triển Taylor f xk , cótính chất sau: ¯ ∗ , δ1 ) với k; (i) xk ∈ B(x (ii) Dãy {xk } hộitụ x∗ ; (iii) Tốc độ hộitụ {xk } x∗ R-tuyến tính ¯ α1 α2 cho Chứng minh Theo Bổ đề (2.1), tồn số dương δ, ¯ Do x∗ điểm tới hạn ¯ ∗ , δ) (2.2) với δ = δ¯ với x ∈ B(x không suy biến (1.1), tồn δ¯ > 0, cho f (x) lồi mạnh tập ¯ x∗ nghiệm địaphương (1.1) thuộc B(x ¯ ¯ ∗ , δ), ¯ ∗ , δ), B(x ta tìm α > thỏa mãn f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) − αt(1 − t) x1 − x2 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương ¯ (xem [9]) Khi đó, x∗ nghiệm địa ¯ ∗ , δ) với t ∈ (0, 1), x1 , x2 ∈ B(x ¯ (2.4) thỏa mãn với δ = δ ¯ ¯ ∗ , δ) phương (1.1) thuộc B(x ¯ ¯ ∗ , δ),nên Vì tính liên tục ∇2 f (x) ∇f (x) B(x tồn δ > cho δ1 := α2 α1 1/2 δ thỏa mãn điều kiện δ1 < δ¯ , đồng thời ¯ ∗ , δ1 )\{x∗ }, x1 , x2 ∈ B(x ¯ ∗ , δ1 ) Khi đó, x ∈ B(x ≥ , ∇f (x) α1 α1 ∇ f (x1 ) − ∇ f (x2 ) ≤ , 3α2 2 (2.5) ∇f (x), ∇2 f (x1 )∇f (x) ≥ η2 2− ∇f (x), ∇2 f (x2 )∇f (x) (2.6) Điều kiện (2.6) thỏa mãn vì, nhờ bất đẳng thức thứ (2.2), ta có ∇f (x), ∇2 f (x1 )∇f (x) −1 ∇f (x), ∇2 f (x2 )∇f (x) ∇f (x), ∇2 f (x1 ) − ∇2 f (x2 ) ∇f (x) = ∇f (x), ∇2 f (x2 )∇f (x) ∇2 f (x1 ) − ∇2 f (x2 ) ∇f (x) ≤ α1 ∇f (x) = ∇2 f (x1 ) − ∇2 f (x2 ) α1 ≤ ∇2 f (x1 ) − ∇2 f (x∗ ) + ∇2 f (x∗ ) − ∇2 f (x2 ) α1 → 0, δ1 → 0, tính liên tục ∇2 f (x) Bây ta chứng minh khẳng định (i)–(iii) định lý nghiệm với số dương δ δ1 chọn Vì α1 ≤ α2 δ1 = α2 α1 1/2 ¯ δ, δ ≤ δ1 nên ta có < δ ≤ δ1 < δ 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương ¯ ∗ , δ) Nếu x0 = x∗ xk = x∗ với Lấy điểm tùy ý x0 ∈ B(x k ∈ N; khẳng định (i)–(iii) hiển nhiên Vậy ta cần xét trường hợp x0 = x∗ Do cách chọn δ, δ1 , δ¯ x0 , ta có x0 nghiệm địaphương (1.1) Áp dụng điều kiện tối ưu cần đủ dạng Fermat cho toán quy hoạch lồi với tập ràng buộc lồi mở ¯ , f (x) : x ∈ B(x∗ , δ) khẳng định g0 = ∇f (x0 ) véctơ khác ¯ có ∇2 f (x) ¯ ∗ , δ), Vì f lồi mạnh B(x với x ∈ ¯ B(x∗ , δ) Từ tC0 nghiệm toán (1.14) với mk trình bày định lí, Hk = ∇2 f (xk ) thấy tC0 nghiệm toán m0 (x0 − tg0 ) : ≤ t ≤ ∆0 g0 với m0 (x0 − tg0 ) = m0 (x0 ) − t g0 + t2 g0 , ∇2 f (x0 )g0 (2.7) Đặt t∗0 g0 = g0 , ∇2 f (x0 )g0 (2.8) ý đạo hàm hàm toàn phương lồi mạnh t → m0 (x0 − tg0 ) triệt tiêu t∗0 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Từ (2.8), (2.4) (2.5) ta có t∗0 ≤ ∆0 ≤ ; α1 g0 tC0 = t∗0 = g0 , g0 , ∇2 f (x0 )g0 tC0 ≤ α1 (2.9) Công thức khai triển Taylor bậc hai cho hàm f (x) x0 dẫn đến công thức f (x0 − tC0 g0 ) = f (x0 ) − tC0 g0 + (tC0 )2 g0 , ∇2 f (ξ)g0 (2.10) với ξ = x0 − θtC0 g0 , θ ∈ [0, 1] Từ (1.5),(2.7),(2.9),(2.10), có f (x0 ) − f (x0 − tC0 g0 ) ρ0 = m0 (x0 ) − m0 (x0 − tC0 g0 ) tC0 g0 − (tC0 )2 g0 , ∇2 f (ξ)g0 = tC0 g0 − (tC0 )2 g0 , ∇2 f (x0 )g0 g0 g0 g0 , ∇2 f (ξ)g0 − 2 g0 , ∇ f (x0 )g0 g0 , ∇2 f (x0 )g0 = g0 g0 − g0 , ∇2 f (x0 )g0 g0 , ∇2 f (x0 )g0 g0 , ∇2 f (ξ)g0 =2− g0 , ∇2 f (x0 )g0 Do đó, từ (2.6) ta có ρ0 ≥ η2 Vậy di chuyển từ x0 tới x0 − tC0 g0 bước lặp chấp nhận tốt Ngoài ra, có x1 = x0 − tC0 g0 , đồng thời ∆1 ≥ ∆0 Mặt khác, g0 , ∇2 f (x0 )g0 ≤ α2 g0 26 bất đẳng thức thứ hai Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương (2.2) hàm t → m0 (x0 − tg0 ) đạt tối thiểu toàn cầu nửa đường thẳng {x0 − tg0 : t ≥ 0} tC0 , nên m0 (x1 ) = m0 (x0 − tC0 g0 ) ≤ m0 (x0 − α2 g0 ) 1 g0 + g0 , ∇2 f (x0 )g0 α2 2α2 ≤ f (x0 ) − 2α1 g0 (2.11) = f (x0 ) − Từ (2.7), có m(x0 − tC0 g0 ) = f (x0 ) − tC0 g0 + (tC0 )2 g0 , ∇2 f (x0 )g0 , Từ x1 = x0 − tC0 g0 , đẳng thức sau (2.10) có hệ m0 (x1 ) − f (x1 ) = (tC0 )2 g0 , (∇2 f (x0 ) − ∇2 f (ξ))g0 Kết hợp điều với (2.11), ta f (x1 ) = m0 (x1 ) + 21 (tC0 )2 g0 , (∇2 f (ξ)) − ∇2 f (x0 ))g0 ≤ f (x0 ) − 2α2 g0 + 12 (tC0 )2 g0 , (∇2 f (ξ) − ∇2 f (x0 ))g0 (2.12) 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Do (2.9), (2.12), (2.5), Bổ đề 2.2, f (x1 ) − f (x∗ ) ≤ f (x0 ) − f (x∗ ) − 2α2 ≤ f (x0 ) − f (x∗ ) − 2α2 + (tC0 )2 g0 , (∇2 f (ξ) − ∇2 f (x0 ))g0 2 g0 + 2α11 g0 ∇2 f (ξ) − ∇2 f (x0 ) ≤ f (x0 ) − f (x∗ ) − 2α2 g0 + 6α1 g0 g0 2 g0 = f (x0 ) − f (x∗ ) − 3α α1 α1 − [f (x0 ) − f (x∗ )] ≤ 1− 3α2 3α2 (2.13) ¯ có ¯ ∗ , δ) Từ khai triển Taylor f x∗ , với x ∈ B(x f (x) − f (x∗ ) = x − x∗ , ∇2 f (¯ x)(x − x∗ ) Ở điểm x¯ = (1 − θ)x∗ + θx, θ ∈ [0; 1], phụ thuộc vào x Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (2.2) thu α1 x − x∗ 2 ≤ f (x) − f (x∗ ) ≤ α2 x − x∗ 2 (2.14) Do (2.14), từ (2.13) ta có α1 x1 − x∗ ≤ f (x1 ) − f (x∗ ) ≤ 1− α1 3α2 − α12 3α22 [f (x0 ) − f (x∗ )] ≤ 1− α1 3α2 − α12 3α22 α2 28 x0 − x∗ (2.15) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Vì vậy, x1 − x∗ ≤ α1 α12 1− − 3α2 3α22 1/2 ≤ α2 α1 1/2 ≤ α2 α1 1/2 α2 α1 1/2 x0 − x∗ x0 − x∗ δ = δ1 ¯ ∗ , δ1 ) Chứng minh quy nạp, tương Từ ta suy x1 ∈ B(x tự trên, ta có bước lặp thứ k chấp nhận tốt thỏa mãn xk+1 = xk − tCk gk ∆k ≥ ∆k−1 tCk ∆0 ∆k gk ≤ = ≤ ≤ gk , ∇2 f (xk )gk α1 gk gk Tương tự (2.13) ta có f (xk ) − f (x∗ ) ≤ α12 α1 − 1− 3α2 3α22 ≤ α12 α1 1− − 3α2 3α22 [f (xk−1 ) − f (x∗ )] k [f (x0 ) − f (x∗ )] Kết hợp với bất đẳng thức tương tự đưa (2.15), thấy α1 xk − x∗ ≤ f (xk ) − f (x∗ ) − α12 3α22 [f (xk−1 ) − f (x∗ )] ≤ 1− α1 3α2 − α12 3α22 k ≤ 1− α1 3α2 − α12 3α22 k ≤ 1− α1 3α2 29 (2.16) [f (x0 ) − f (x∗ )] α2 x0 − x∗ Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Cho nên xk − x∗ ≤ α1 α2 1− − 12 3α2 3α2 k/2 1/2 α2 α1 x0 − x∗ ≤ δ1 (2.17) Từ ta suy khẳng định (i) Do α12 α1 − < 1, 0 > η2 ρ0 = + 3x0 (x0 − ∆0 ) nên dòng bược lặp k = chấp nhận tốt Cho nên, từ (1.6), bán kính miềntincậy ∆1 cần thỏa mãn bất đẳng thức ∆1 ≥ ∆0 Tiếp tục tính toán vậy, tCk = ∆k 3x2k phép quy nạp, xCk = xk − ∆k = x0 − ∆0 − ∆1 − − ∆k 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương Do ρk > ≥ η2 , bước lặp thứ k chấp nhận tốt Điều chứng minh bán kính miềntincậy ∆k+1 cần thỏa mãn điều kiện ∆k+1 ≥ ∆k Do đó, xk = x0 − ∆0 − ∆1 − − ∆k ≤ x0 − (k + 1)∆0 với k Kết xk → −∞ k → ∞ Nên thuật toán BTR không ổnđịnhđịaphương không hộitụđịaphương lân cận x∗ = 32 Kết luận chung Khóa luận trình bày số kiến thức phươngphápMiềnTinCậy cho toán tối ưu trơn ràng buộc, ví dụ minh họa cho thuật toán, tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphương dãy lặp, trình bày lại kết tínhổnđịnhđịaphươnghộitụđịaphương dãy lặp xk sinh thuật toán miềntincậy trường hợp toán ràng buộc tài liệu [1] 33 Tài liệu tham khảo [1] B.N.MUOI, N.D.YEN, Local Stability and Local Convergence of BasisTrust-Region Method (Submitted) [2] A R Conn, N I M Gould, and P L Toint, Trust-Region Methods, MPS-SIAM Series on Optimization, Philadelphia, 2000 [3] D Kinderlehrer, G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, 1980 [4] G M Lee, N N Tam, and N D Yen, Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Springer Verlag, New York, 2005 [5] H A Le Thi, T Pham Dinh, and N D Yen, Properties of two DC algorithms in quadratic programming, J Global Optim., 49 (2011), 481–495 [6] J Nocedal, S J Wright, Numerical Optimization, SpringerVerlag, New York, 1999 [7] J.M.Ortega, W.C.Rheiboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, NewYork, 1970 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Lan Hương [8] A Ruszczynski, Nonlinear Optimization, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2005 [9] F.P.Vasilev, Numerical Methods for Solving Extremal Problems (in Russian), 2nd Edition, Nauka, Moscow, 1988 Math Program., (1999), 193–206 35 ... (2.4) Tính ổn định địa phương hội tụ địa phương Trong mục này, quan tâm đến tính ổn định địa phương hội tụ địa phương dãy lặp tạo phương pháp miền tin cậy Cụ thể, tìm kiếm kết tương tự [5, Định. .. Tính ổn định địa phương hội tụ địa phương phương pháp Miền Tin Cậy 2.1 Một số khái niệm Chúng ta đến thiết lập tương tự [5, Định lí 3, trang 486], tác giả chứng minh tính ổn định địa phương hội. .. bậc 16 1.2 Tính ổn định địa phương hội tụ địa phương phương pháp Miền Tin Cậy 19 2.1 Một số khái niệm 19 2.2 Tính ổn định địa phương hội tụ địa phương 22 Tài liệu tham