dao ham va cac tinh chat cua dao ham

ĐẠO HÀM 11A1 ĐẠO HÀM Chủ Đề:I – 1.Tóm tắt lý thuyết  ' ' Đạo hàm f (x) x0 , kí hiệu f ( x0 ) hay y ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim ∆x →0  f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) = lim x → x0 ∆x x − x0 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y= f(x) điểm M0 ( x0 ; y ) có dạng y − y = f ( x )( x − x ) '  Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm số: Đạo hàm x: (C)’= Đạo hàm hàm hợp: ( ku ) ' = k ( u ) ' ( x)' = (x ) (u ) n ' = n.x n −1 ( x )' = x n ' = n.u n −1 u ' ' u = u ' u ( ) ' ' 1   =− x  x ' 1   = − u u u (v = v(x) ≠ ) Đạo hàm Tổng, Hiệu, Tích, Thương: ( u + v − w) ' = u ' + v ' − w ' ( uv ) ' = u ' v + v 'u (u + v) ' = u' + v' (u − v) ' = u' − v' Giới hạn ' ' ' u u v−vu (v = v( x) ≠ 0)   = v2 v sin x x sin x =1 x →0 x lim Đạo hàm hàm số lượng giác: ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = − sin x cos x ( cot x ) ' = − 12 sin x ( tan x ) ' = Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x u ' x đạo hàm x là: ' Các toán bản: x y ( sin u ) ' = u ' cos u (sin n u ) ' = n sin n −1 u.( sin u ) ( cos u ) ' = −u ' sin u (cos n u )' = n cos n −1 u.(cos u )' ' (tan n u )' = n tan n −1 u.(tan u )' u' ( tan u ) = cos u ' (cot n u )' = n cot n −1 u.(cot u )' ( cot ) ' = − u2 sin u hàm số y = f (u ) có đạo hàm u y ' u hàm hợp y = f ( g ( x)) có = y 'u u ' x ' ĐẠO HÀM 11A1 Bài toán 1: Tính đạo hàm định nghĩa:  Phương pháp giải Bước 1: Gọi ∆x gia số x x0 , tính ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) ∆y Bước 2: Lập tỉ số ∆x ∆y Bước 3:Tìm lim ∆x →0 ∆x  Ví dụ: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm hàm số sau: a) y = x2 + x x0 = x +1 b) y = x0 = x −1 Lời giải a) y = x + x x0 = Gọi ∆x gia số x x0 = ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) Ta có = f (1 + ∆x) − f (1) = (1 + ∆x) + (1 + ∆x) − = + 2∆x + ∆x + + ∆x − = ∆x + 3∆x ∆y ∆x + 3∆x ∆x (∆x + 3) lim = lim = lim = lim (∆x + 3) = ∆x →0 ∆x ∆x → ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x f ' (1) = x +1 b) y = x0 = x −1 Gọi ∆x gia số x x0 = ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) Ta có (0 + ∆x) + ∆x + 2∆x = f (0 + ∆x) − f (0) = − (−1) = +1 = (0 + ∆x) − ∆x − ∆x − ∆y 2∆x 2∆x = lim = lim = lim = −2 ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x − ∆x ∆x →0 ∆x ( ∆x − 1) ∆x →0 ∆x − f ' (0) = −2  Nhận xét: Để tính hàm số y = f (x) khoảng (a;b) x0 ∈ ( a; b) định nghĩa ta cần tính ∆y ∆y ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x ) sau lập tỉ số tìm giới hạn ∆x tiến dần ∆x ∆x Bài toán 2: Chứng minh hàm số đạo hàm x0  Phương pháp giải: Để chứng minh hàm số y = f (x) đạo hàm x = x0 ta làm sau: f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x ) lim Tìm giới hạn xlim hàm số y = f (x) sau so sánh →0 + x →0 − x − x0 x − x0 lim lim x →0 + f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x ) xlim : − → x − x0 x − x0 f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x ) lim−  Nếu xlim = hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 + →0 x →0 x − x0 x − x0 ĐẠO HÀM  f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f ( x ) lim ≠ Nếu xlim hàm số y = f (x) đạo hàm x0 →0 + x →0 − x − x0 x − x0 11A1 ( x − 1) , x ≥  Ví dụ : Chứng minh hàm số f ( x) =  đạo hàm x = ( x + 1) , x < Lời giải Ta có f (0) = f ( x) − f ( x0 ) f ( x) − f (0) ( x − 1) − x − 2x + − x − 2x lim+ = lim = lim = lim = lim = lim+ ( x − 2) = −2 x →0 x − x0 x →0 + x →0 + x →0 + x →0 + x →0 x−0 x x x f ( x) − f ( x ) f ( x ) − f (o ) ( x + 1) − x + 2x + − x( x + 2) lim− = lim− = lim− = lim− = lim− = lim− ( x + 2) = x →0 x →0 x →0 x →0 x →0 x →0 x − x0 x−0 x x x f ( x) − f (0) f ( x) − f (0) ≠ lim− Vì lim+ nên hàm số y = f (x) đạo hàm x = x →0 x →0 x−0 x−0 ' + ' − '  Nhận xét: Hàm số y = f (x) có đạo hàm x0 f ( x0 ) = f ( x ) = f ( x0 ) Bài toán 3: Tính đạo hàm hàm số y = f (x)  Phương pháp giải: Xác định dạng đạo hàm sau áp dụng công thức phép toán để tính đạo hàm hàm số y = f (x) hàm số lượng giác Dạng 1: Tính đạo hàm hàm số y = x  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = 2x ; b) y = x ; c) y = x Lời giải c) y = a) y = 2x x y ' = ( x ) ' = 2( x ) ' = x b) y=2 x y ' = ( x ) ' = 2( x ) ' = '  1 y = 2  = − x  x ' x = x Dạng 2: Tính đạo hàm hàm hợp  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (2 x + x − 3)1994 ; a) y = (2 x + x − 3) b) y = 2 x −1 1994 ; c) y = d) y = x − x − ) Lời giải: b) y = 2 x −1 y ' = 1994(2 x + x − 3)1993 (2 x + x − 3) ' y' = = 1994(2 x + x − 3)1993 (8 x + 4) c) y = ( x5 ( x5 (2 x − 1) ' 2 x − 1) d) y = x − x − ) = 4x x − 1) ĐẠO HÀM ' ( x )' 5x 10   y = 2  = −2 = − =− 10 x x x  x5 ' ( ) ) ( 11A1 y ' =  x − x −    ' ( ) (x − x − ) = 3( x − x − ) ( x ) − 2( x − ) ( x − 2) = 15( x − x − ) x − 2 x −2 2x = 15( x − x − ) x − x −2 = x5 − x2 − 5 2 2 ' ' 2 ' ' 2 Dạng 3: Tính đạo hàm Tổng, Hiệu, Tích, Thương  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x + + b) y = x − x − x + x a) y = x + 2x − x+4 Lời giải: c) y = d) y = (9 − x)(3x − x + 1) +3 x ' ( ' ) ' 1   1   ' y ' =  x + +  = x +   + ( 3) = 10 x +  −  = 10 x − x x    x  x  b) y = x − x − x + y ' = ( x − x − x + 1) = ( x )'−5( x ) − ( x )'+(1) ' = x − 15 x − x 2x − c) y = x+4 ' ' ' ' ' 11  x −  (2 x − 3) ( x + 4) − ( x + 4) (2 x − 3) 2( x + 4) − (2 x − 3) x + − x + y' =  = = = =  2 ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4)  x+4  d) y = (9 − x)(3x − x + 1) '   y ' = (9 − x)(3x − x +1) = (9 − x) ' (3x − x + 1) + (3x − 3x + 1) ' (9 − x)   = −2(3x − 3x + 1) + (6 x − 3)(9 − x) = −6 x + x − + 54 x − 12 x − 27 + x = −18 x + 66 x − 29  Nhận xét: Để tìm đạo hàm hàm số y = f (x) ta cần xác định dạng hàm số áp dụng công thức phép toán đạo hạm để tính đạo hàm hàm số Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến hàm số y = f (x) Dạng 1: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y )  Phương pháp giải: Bước1: Xác định tọa độ x0 ; y Bước 2: Tính đạo hàm f ' ( x) x0 Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến điểm M( x0 ; y ), có dạng: y − y = f ' ( x0 )( x − x )  Ví dụ: Cho hàm số y = x + x + có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến (C): ĐẠO HÀM a) Tại điểm (1 ; -1) b) Tại điểm có hoành độ -3 11A1 Lời giải: a) Tại điểm (1;-1) Ta có x0 = y = −1 f ' ( x) = x + x ⇒ f ' (1) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (1 ; -1), có dạng y − y = f ' ( x0 )( x − x ) b) Tại điểm có hoành độ -3 Gọi x0 y tọa độ tiếp điểm, ta có Ta có x0 = −3 ⇒ y = f ' ( x ) = x + x ⇒ f ' (−3) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (-3 ; 2), có dạng y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) ⇔ y + = 3( x − 1) ⇔ y = 3x − ⇔ y − = 3( x + 3) ⇔ y = 3x + 11 Dạng 2: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k  Phương pháp giải: ' Bước 1:Gọi x0 hoành độ tiếp điểm, ta có f ( x0 ) = k ' Bước 2: Giải f ( x0 ) = k để tìm x0 sau x vào hàm số y = f (x) để tìm y Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C), có dạng : y − y = f ' ( x0 )( x − x ) Ví dụ: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Lời giải: Biết hệ số góc tiếp tuyến k = Ta có f ' ( x) = x − x Gọi x0 hoành độ tiếp điểm ' f ( x0 ) = ⇔ x02 − x0 = ⇔ x02 − x0 − = x =2 ⇔  x = −1 * Với x0 = ⇒ y = * Với x0 = −1 ⇒ y = ⇒ f ' (2) = ⇒ f ' (−1) = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (2 ; ), có dạng: Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (-1 ; y − y = f ' ( x )( x − x0 ) y − y = f ' ( x )( x − x0 ) = 2( x + 1) 13 ⇔ y = 2x + = 2( x − 2) ⇔ y = 2x − ⇔ y− ⇔ y− Vậy phương trình tiếp tuyến (C) hệ số góc tiếp tuyến 13 y = 2x − ; y = 2x + ), có dạng: ĐẠO HÀM 11A1 y = f (x ) x y  Nhận xét: Để viết phương trình tiếp tuyến (C) hàm số ta cần phải biết tọa độ hay hệ số tiếp tuyến k để tìm x0 y , sau tính đạo hàm hàm số y = f (x) x áp dụng vào phương trình tiếp tuyến Bài toán 5: Đạo hàm hàm số lượng giác Dạng 1: Đạo hàm hàm số y = sin x , y = cos x , y = tan x y = cot x  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = sin x + cos x : a) y = sin x + cos x y ' = (sin x + cos x) ' b) y = tan x + cot x Lời giải: y ' = (sin x) ' + (cos x) ' c) y = sin x + cos x sin x − cos x b) y = tan x + cot x y ' = (tan x + cot x) ' y ' = (tan x ) ' + (cot x) ' 1 y' = − cos x sin x y ' = cos x − sin x sin x + cos x sin x − cos x ' ' '  sin x + cos x  (sin x + cos x) (sin x − cos x) − (sin x − cos) (sin x + cos x) ' y =  = (sin x − cos x)  sin x − cos x  (cos x − sin x)(sin x − cos x) − (cos x + sin x )(sin x + cos x ) − (cos x − sin x)(− sin x + cos x ) − (sin x + cos x)(sin x + cos x ) = = (sin x − cos x ) (sin x − cos x) c) y = − (cos x − sin x) − (sin x + cos x) − (cos x − cos x sin x + sin x) − (sin x + sin x cos x + cos x) = (sin x − cos x ) (sin x − cos x) − (1 − cos x sin x ) − (1 + sin x cos x ) = (sin x + cos x = 1) (sin x − cos x) −2 = (sin x − cos x) Dạng 2: Đạo hàm hàm hợp:  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau: cos x a) y = sin ; b) y = tan 2 x + cot 2 x c) y = x + cot x d) y = x sin x Lời giải: a) y = sin x ' '     ' y =  sin  =   cos = − cos x  x  x x x  2 b) y = tan x + cot x = y ' = (3 tan 2 x + cot 2 x) ' = tan x (tan x ) ' + cot x(cot x) ' = tan x = 12 tan x 1 12 tan x cot x − cot x = − cos x sin x cos 2 x sin 2 x  (2 x) '  (2 x) ' + cot x −  cos 2 x  sin x  ĐẠO HÀM c) y = x + cot x y' = = ( 11A1 ) ( ' x + cot x = x cot x − ) ' x + ( cot x ) + ( cot x ) ' ( ) x2 +1 = ( x + 1) ' x2 +1 ( cot x ) − (2 x) ' sin 2 x ( x2 +1 ) x2 +1 sin 2 x x2 +1 cos x d) y = sin x ' ' 3 ' ' 2  cos x  (cos x) sin x − (sin x) cos x − sin x sin x − sin x (sin x) cos x − sin x − sin x cos x y' =   = = = (sin x) (sin x) sin x  sin x  [ ] Bài toán 6: Giải bất phương trình  Phương pháp giải: Để giải bất phương trình ta làm bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm hàm số f (x) g (x) (nếu có) Bước 2: Xác định điều kiện bất phương trình thay f ' ( x) g ' ( x) (nếu có) vào điều kiện tìm nghiệm x0 Bước 3: Lập bảng xét dấu kết luận tập nghiệm bất phương trình  Ví dụ: Giải bất phương trình sau: a) f ' ( x) < ,với f ( x) = x − x + x 2 x + 3x − b) g ' ( x) ≤ ,với g ( x) = x−2 3 c) f ' ( x) < g ' ( x) ,với f ( x) = x + x − ; g ( x) = x + x + x Lời giải: x + 3x − a) f ' ( x) < ,với f ( x) = x − x + x b) g ' ( x) ≤ ,với g ( x) = x−2 x − 4x + ' Ta có f ' ( x) = x − x + Ta có g ( x) = ( x − 2) Mà g ' ( x) ≤ Mà f ' ( x) < x − 4x + ≤ ⇔  x−2≠0 1 ≤ x ≤ ⇔  x≠2 ⇔ x − 5x + < ⇔2< x