Một số cấu trúc hữu hạn sinh

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN **************** ĐINH THI TUYẾT MAI MỘT SỐ CẤU TRÚC HỮU HẠN SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ĐINH THỊ TUYẾT MAI MỘT SỐ CẤU TRÚC HỮU HẠN SINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thị Kiều Nga HÀ NỘI - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình cô giáo-Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Kiều Nga, người giúp đỡ em suốt thời gian làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo tổ Đại số thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để em hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Tuyết Mai Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn cô giáo-Tiến sĩ Nguyễn Thị Kiều Nga với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu riêng thân, trùng lập với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên Đinh Thị Tuyết Mai Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm nhóm 1.1.1 Nhóm 1.1.2 Nhóm 1.2 Tập sinh nhóm 1.3 Định lý Lagrange 1.3.1 Cấp nhóm, cấp phần tử nhóm 1.3.2 Định lý Lagrange 1.4 Đồng cấu nhóm 1.5 Vành vành 11 1.5.1 Vành 11 1.5.2 Vành 12 1.6 Iđêan 13 1.7 Môđun, môđun con, môđun thương 14 1.7.1 Môđun 14 1.7.2 Môđun 16 1.7.3 Môđun thương 17 1.7.4 Môđun sinh tập, tập sinh 18 1.7.5 Linh tử 19 Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page of 161 1.8 Đồng cấu môđun 19 Nhóm hữu hạn sinh 23 2.1 Định nghĩa 23 2.2 Nhóm Abel hữu hạn sinh 23 2.3 Một số nhóm Abel hữu hạn sinh 29 2.3.1 Nhóm xyclic 29 2.3.2 Nhóm xyclic nguyên sơ 32 Iđêan hữu hạn sinh 33 3.1 Tập sinh iđêan 33 3.2 Iđêan sinh n phần tử 34 Môđun hữu hạn sinh 36 4.1 Một số khái niệm 36 4.2 Định nghĩa môđun hữu hạn sinh 37 4.3 Một số tính chất môđun hữu hạn sinh 37 4.4 Môđun Noether 40 4.5 Môđun hữu hạn sinh vành 43 4.6 Môđun hữu hạn sinh vành địa phương 48 Bài tập 50 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 iii Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page of 161 Lời mở đầu Lí chọn đề tài Có thể nói rằng, nghành toán học đại ngày trình phát triển cần tới cấu trúc đại số tất nhiên hiểu biết sâu sắc cấu trúc Sở dĩ hai đặc trưng toán học tính trừu tượng tính tổng quát, mà hai đặc tính biểu cách rõ ràng đại số Một vấn đề quan trọng đại số tính hữu hạn sinh Từ kiến thức tảng đối tượng cấu trúc đại số nhóm, vành, iđêan, môđun, tìm hiểu khái niệm, tính chất ứng dụng số cấu trúc hữu hạn sinh Từ có khả tìm hiểu sâu số đặc trưng nhóm, iđêan, môđun Là sinh viên nghành sư phạm toán, với mong muốn học hỏi trau dồi thêm vốn kiến thức toán học nói chung số cấu trúc đại số nói riêng Chính em lựa chọn đề tài "Một số cấu trúc hữu hạn sinh" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa cách khoa học kiến thức số cấu trúc hữu hạn sinh (nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh) Ngoài khóa luận đưa hệ thống tập nhằm vận dụng củng cố lý thuyết Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà khóa luận nghiên cứu số cấu trúc hữu hạn sinh, cụ thể nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh, tập trung vào khái niệm tính chất Bên cạnh đó, khóa luận trình bày hệ thống khái niệm bổ trợ coi kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc nghiên cứu đối tượng Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page of 161 hệ thống tập áp dụng nhằm củng cố lý thuyết Phương pháp nghiên cứu khoa học + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Trước hết đọc tài liệu liên quan đến đại số đại, nhóm, iđêan, môđun để tìm hiểu sở lý luận làm tiền đề nghiên cứu đối tượng Sau đọc nghiên cứu hiểu định nghĩa, tính chất nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh qua tài liệu liên quan + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học Đưa vào ví dụ minh họa chi tiết Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên nghành toán mong muốn tìm hiểu sâu sắc số cấu trúc hữu hạn sinh mà cụ thể nhóm, iđêan, môđun hữu hạn sinh Bố cục khóa luận Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nhóm hữu hạn sinh Chương 3: Iđêan hữu hạn sinh Chương 4: Môđun hữu hạn sinh Chương 5: Bài tập Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm nhóm 1.1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng, (.) phép toán hai X , X gọi nhóm điều kiện sau thỏa mãn: i) Phép (.) có tính chất kết hợp, tức (xy)z = x(yz) với x, y, z ∈ X ii) Tồn phần tử e ∈ X có tính chất xe = ex = x với x ∈ X iii) Với x ∈ X , tồn phần tử x ∈ X cho xx = x x = e Chú ý: Phần tử e ∈ X thỏa mãn điều kiện ii) gọi phần tử đơn vị nhóm, phần tử x ∈ X thỏa mãn điều kiện iii) gọi phần tử nghịch đảo x, kí hiệu x−1 , phép toán X (+) x gọi phần tử đối xứng x, kí hiệu −x Định nghĩa 1.1.2 Nhóm X gọi nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) xy = yx với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Nhóm X gọi nhóm hữu hạn (vô hạn) tập X hữu hạn (vô hạn) phần tử Footer Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 10 of 161 Ví dụ 1.1.1 Tập hợp số nguyên Z với phép cộng thông thường nhóm giao hoán Tương tự, ta có nhóm cộng số hữu tỷ, nhóm cộng số thực, nhóm cộng số phức Ví dụ 1.1.2 Tập hợp số hữu tỷ khác với phép nhân thông thường nhóm giao hoán Tương tự, ta có nhóm nhân số thực khác 0, nhóm nhân số phức khác Ví dụ 1.1.3 Tập hợp Sn phép n phần tử với tích phép nhóm hữu hạn, không giao hoán với n Tính chất 1.1.1 Cho X nhóm, với e phần tử đơn vị Khi đó: i) Phần tử e X tồn Mỗi phần tử x X tồn phần tử nghịch đảo x−1 Đặc biệt e−1 = e, (x−1)−1 = x ii) Trong nhóm có luật giản ước, tức với x, y, z ∈ X mà xy = xz (yx = zx) y = z iii) Với a, b ∈ X , phương trình ax = b (xa = b) có nghiệm x = a−1 b (x = ba−1) iv) Với x1 , x2 , , xn ∈ X ta có −1 −1 −1 (x1x2 xn)−1 = x−1 n xn−1 x2 x1 Đặc biệt (xy)−1 = y −1 x−1 , với x, y ∈ X Chú ý: Qui ước x0 = e, với e phần tử đơn vị X Nếu X nhóm Abel (xy)n = xny n với x, y ∈ X Điều kiện tương đương 1.1.1 Mỗi nửa nhóm X nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: Footer Page 10 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 52 of 161 qj phần tử bất khả quy R, đôi không liên e kết exp(Cqj (M)) = qj j với j = 1.l Khi đó, ta có: l l Rα = Ann(M) = j=1 e e Rqj ej = Rq1e1 ql l Ann(Cqj (M)) = j=1 e Suy α = vq11 ql l với v phần tử khả nghịch Từ nhận k = l đánh số lại cần thiết, pi liên kết qi với i = 1.k Do Cpi (M) = Cqi (M) ei = ei Điều chứng tỏ dạng phân tích đề cập M tồn Định lí chứng minh Bổ đề 4.5.1 Cho R vành Cho M, N hai R-môđun xoắn hữu hạn sinh đẳng cấu với với exp(M) = exp(N ) = pe, p phần tử bất khả quy R Giả sử M, N có phân tích thành tổng trực tiếp môđun xyclic M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mk ; N = N1 ⊕ · · · ⊕ Nl exp(Mi) = pei , exp(Nj ) = pej với e1 ≥ · · · ≥ ek e1 ≥ · · · ≥ ek Khi k = l ei = ei với i = 1, , k Chứng minh Giả sử Mi = Rxi Nj = Ryj với i = 1.k, j = 1.l Khi o(xi) = pei o(yj ) = pej Giả sử h : M → N đẳng cấu zi = h(xi ) Hiển nhiên N = Rz1 ⊕ · · · ⊕ Rzk Footer Page 52 of 161 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 53 of 161 o(zi ) = pei với i = 1, k Ta có: l e Rp = Ann(N ) = l i=1 tương tự Rpe = l Rpej = Rpe1 Ann(Ryj ) = i=1 Ann(Rzi) = Rpe1 i=1 Từ suy e = e1 = e1 Bây giả sử y1 = a1 z1 + · · · + ak zk với ∈ R Do o(y1 ) = pe, nên tập số i mà ei = e phải có số i0 cho ai0 nguyên tố với p Không tổng quát, ta coi a1 p nguyên tố Khi tồn r, s ∈ R để ra1 + spe = Ta có ry1 = (ra1 +spe )z1 +ra2 z2 +· · ·+rak zk = z1 +ra2 z2 +· · ·+rak zk Hay z1 = ry1 − ra2 z2 − · · · − rak zk Như y1 , z2 , , zk hệ sinh N Hơn nữa, k b1y1 = b2z2 + · · · + bk zk ∈ Ry1 ( Rzi ) i=1 y1 = a1 z1 + · · · + ak zk ta nhận a1 b1z1 + (a2 b1 − b2 )z2 + · · · + (ak b1 − bk )zk = Suy a1 b1 z1 = Do pe|a1 b1 Vì a1 nguyên tố với p, nên pe|b1 Từ đó, ta có b1 y1 = Như N = Ry1 ⊕ Rz2 ⊕ · · · ⊕ Rzk từ ta thu Rz2 ⊕ · · · ⊕ Rzk ∼ = Ry2 ⊕ · · · ⊕ Ryl Bây sử dụng phép quy nạp dễ dàng suy điều phải chứng minh Footer Page 53 of 161 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 54 of 161 4.6 Môđun hữu hạn sinh vành địa phương Định nghĩa 4.6.1 Vành giao hoán có đơn vị R gọi vành địa phương tập tất phần tử không khả nghịch R tạo thành iđêan R Ví dụ 4.6.1 Mỗi trường vành địa phương Ví dụ 4.6.2 Tập tất phân số tối giản có mẫu số số lẻ vành địa phương Định lý 4.6.1 Vành giao hoán có đơn vị R vành địa phương R có iđêan cực đại Chứng minh Nếu R có iđêan cực đại I I tập tất phần tử không khả nghịch R Thật Nếu tồn a ∈ R không khả nghịch mà a ∈ / I tồn iđêan cực đại I R để a ∈ I , suy I = I Điều trái với giả thiết có iđêan cực đại R Vậy R vành địa phương Ngược lại, Giả sử R vành địa phương với I iđêan bao gồm tất phần tử không khả nghịch R Dễ thấy I = R Gọi I iđêan cực đại R Khi phần tử thuộc I không khả nghịch nên I ∈ I Vậy I = I Điều chứng tỏ R có iđêan cực đại ý i) Vành giao hoán có đơn vị R vành địa phương có iđêan cực đại Khi đó, ta kí hiệu vành địa phương R với iđêan cực địa I (R, I) Ví dụ: Vì với số nguyên tố p ta có iđêan pZ iđêan cực đại Z nên Z có vô số iđêan cực đại không vành địa phương Footer Page 54 of 161 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 55 of 161 ii) Cho vành địa phương (R, I) M R-môđun Khi K = R/I trường M/IM K -môđun, K -không gian véc tơ Khi M modun hữu hạn sinh M/IM K -không gian véc tơ hữu hạn chiều Định lý 4.6.2 Giả sử (R, I) vành địa phương M Rmôđun hữu hạn sinh, S hệ sinh cực tiểu M S ∗ ảnh S M ∗ = M/IM sở K = R/I -không gian véc tơ M ∗ Chứng minh Nếu S ∗ sở M ∗ S ∗ hệ sinh cực tiểu M ∗ Do S phải hệ sinh cực tiểu M Bây giả sử S hệ sinh cực tiểu M , S ∗ hệ sinh M ∗ Nếu S ∗ không cực tiểu tồn tập thực X S để X ∗ hệ sinh cực tiểu M ∗ Lúc này, ta có RX + IM = M Do R vành địa phương nên I = Jac(R) R Khi RX = M X hệ sinh M Điều mâu thuẫn với tính cực tiểu S Do ta có điều phải chứng minh Định lý 4.6.3 Các hệ sinh cực tiểu môđun hữu hạn sinh vành địa phương có số phần tử Chứng minh Từ định lí (4.6.2) ta suy số phần tử cực tiểu M số chiều K -không gian véc tơ M ∗ Đó điều phải chứng minh Footer Page 55 of 161 49 Header Page 56 of 161 Chương Bài tập Bài tập 5.1 Chứng minh nhóm nhóm xyclic nhóm xyclic Lời giải Giả sử X = x nhóm xyclic sinh phần tử x, A nhóm X Nếu A = {e}, e đơn vị nhóm X A = e nhóm xyclic sinh phần tử e Nếu A = {e} có phần tử xn (= e) thuộc A Khi n = Vì A nhóm X nên x−n ∈ A, n −n có số số nguyên dương Vậy tồn lũy thừa dương x A Gọi xm lũy thừa nguyên dương bé x A Khi A = xm Thật vậy, xm ∈ A nên xm ⊂ A Giả sử xk phần tử tùy ý A Chia k cho m ta k = mq + r với ≤ r < m Do xk = xmq+r = (xm)q xr suy xr = xk (xm)−q ∈ A Chứng tỏ r = Vậy xk = (xm)q ∈ xm hay A ⊂ xm Bài tập 5.2 Giả sử X nhóm xyclic sinh phần tử a cấp n, b = ak Chứng minh n a) Cấp b d = (n, k) Suy nhóm nhóm d xyclic cấp n có cấp ước n b) X = b d = Từ suy số phần tử X Footer Page 56 of 161 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 57 of 161 n n k k Lời giải a) Ta có b d = ak d = an d = e d = e km n Mặt khác bm = e akm = e nên km n, suy d d n k n n Vì ( , ) = nên m Vậy cấp b d d d d Suy nhóm nhóm xyclic cấp n có cấp ước n n b) Ta có X = b cấp b n, tức = n hay d = d Vậy b phần tử sinh X (k, n) = Ta có phần tử sinh X phần tử có dạng ak (0 < k < n) với (k, n) = Hay số phần tử sinh X hàm ơle ϕ(n) n Bài tập 5.3 Cho G nhóm hữu hạn sinh, G nhóm ánh xạ f : S −→ G , S tập sinh G Chứng minh tồn đồng cấu F : G −→ G cho F |S = f Ngược lại G nhóm Abel ánh xạ f : S −→ G tồn F : G −→ G cho F |S = f G nhóm sinh tập S Lời giải Vì G = S nên x ∈ G x = xn1 xn2 xnk k với xi ∈ S, ni ∈ Z, i = 1, k Xét tương tự x → F (x) = f (x1)n1 f (x2)n2 f (xk )nk Nếu x = e ∈ G x = x11 x−1 , với x1 ∈ S Khi F (x) = (f (x1))1(f (x1))−1 hay F (e) = e Ta chứng minh F ánh xạ Thật vậy, với x ∈ G F (x) ∈ G Lấy a, b thuộc G thỏa mãn a = b ab−1 = e nên F (ab−1) = F (e) = e (5.1) Vì a, b ∈ G nên a = xn1 xn2 xnk k , b = y1m1 y2m2 ylml , với xi , yj ∈ S; ni, mj , k, l ∈ Z, i = 1, k, j = 1, l Vì ab−1 = (xn1 xn2 xnk k )(y1m1 y2m2 ylml )−1 = (xn1 xn2 xnk k )(yl−ml y2−m2 y1−m1 ) Footer Page 57 of 161 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 58 of 161 Hay ab−1 = xn1 xn2 xnk k yl−ml y2−m2 y1−m1 Suy F (ab−1) = [f (x1)]n1 [f (x2)]n2 [f (xk )]nk [f (yl )]−ml [f (y2)]−m2 [f (y1)]−m1 (5.2) Từ (5.1) (5.2) suy [f (x1)]n1 [f (x2)]n2 [f (xk )]nk [f (yl )]−ml [f (y2)]−m2 [f (y1)]−m1 = e Hay [f (x1)]n1 [f (x2)]n2 [f (xk )]nk = [f (y1 )]m1 [f (y2)]m2 [f (yl )]ml Vì F (a) = F (b) Với x, y thuộc G a = xn1 xn2 xnk k , b = y1m1 y2m2 ylml , với xi, yj ∈ S; ni, mj , k, l ∈ Z, i = 1, k, j = 1, l Ta thấy F (ab) = [f (x1)]n1 [f (x2)]n2 [f (xk )]nk [f (y1)]m1 [f (y2)]m2 [f (yl )]ml Vì F (ab) = F (a)F (b) Nên F đồng cấu Lấy x thuộc S x = x1 nên F (x) = [F (x)]1 = f (x) Vậy F |S = f Giả sử tồn đồng cấu g : G → G thỏa mãn g(x) = f (x), ∀x ∈ S Lấy a ∈ G a = xn1 xn2 xnk k , xi ∈ S; k, ni ∈ Z, i = 1.k Khi đó: F (a) = [f (x1)]n1 [f (x2)]n2 [f (xk )]nk = [g(x1)]n1 [g(x2)]n2 [g(xk )]nk Vì F (a) = g(xn1 xn2 xnk k ) ( Vì g đồng cấu ) Nên F (a) = g(a), với a ∈ G Vậy F = g hay F nhât Ngược lại G nhóm Abel S ⊂ G Đặt G = G/ S Xét ánh xạ f : S −→ G x −→ x Ta xét đồng cấu Θ : G −→ G x −→ e Footer Page 58 of 161 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 59 of 161 toàn cấu tắc Π : G −→ G x −→ x Ta thấy Θ Π mở rộng f Do tính ánh xạ mở rộng nên Θ = Π Suy Θ(G) = Π(G) nên G = e Do G/ S = e Lấy g thuộc G g = e hay g ∈ S Vậy G = S Bài tập 5.4 Cho X nhóm, Y nhóm sinh tập S = {y1 , y2 , , ym} f : X −→ Y đồng cấu nhóm Chứng minh f toàn cấu f toàn ánh lên S Lời giải ⇐] Nếu f : X −→ Y đồng cấu toàn ánh lên tập S với yi ∈ S , i = 1, 2, , m tồn xi ∈ X f (xi) = yi Lấy y phần tử Y , ta phải chứng minh tồn x ∈ X f (x) = y Vì y ∈ Y nên y = y1m1 y2m2 ykmk , yi ∈ S ; k, mi ∈ Z, i = 1, k Hiển nhiên x ∈ X Khi mk m1 m2 m2 [f (xk )]mk f (x) = f (xm x2 xk ) = [f (x1)] [f (x2) = y1m1 y2m2 ykmk =y Vậy f toàn cấu ⇒] Nếu f toàn cấu hiển nhiên f toàn ánh lên tập S Bài tập 5.5 Chứng minh nhóm nhóm Abel hữu hạn sinh hữu hạn sinh Lời giải Cho G nhóm Abel sinh tập S với S = {y1 , y2 , , yn}, H nhóm G Gọi F nhóm ABel tự sinh S = {x1 , x2 , , xn} Footer Page 59 of 161 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 60 of 161 Xét ánh xạ f : S −→ G xi −→ f (xi) = yi Theo (5.3) tồn đồng cấu ϕ : F −→ G cho ϕ(xi) = f (xi) = yi , i = 1, n Vì ϕ toàn ánh lên hệ sinh G nên theo (5.4) ϕ toàn cấu Ta chứng minh ϕ−1 (H) nhóm F Thật vậy, ϕ−1 (H) khác rỗng e ∈ ϕ−1 (H) Lấy a1 , a2 thuộc ϕ−1 (H) −1 ϕ(a1), ϕ(a2) ∈ H nên ϕ(a1a−1 ∈ H Do a1 a−1 ) = ϕ(a1 )[ϕ(a2)] ∈ ϕ−1(H) Nên ϕ−1(H) nhóm F Vì F nhóm Abel tự nên theo định lý (2.2.2) ϕ−1 (H) nhóm Abel tự có lực lượng sở bé n Do ϕ−1 (H) = z1 , z2 , , zk với k ≤ n Với h ∈ H ta có ϕ−1(h) = m1 z1 + m2 z2 + · · · + mk zk với mi ∈ Z, i = 1.k Suy h = ϕ(m1z1 + m2 z2 + · · · + mk zk ), h = m1 ϕ(z1) + m2 ϕ(z2) + · · · + mk ϕ(zk ) Do H = ϕ(z1 ), ϕ(z2), , ϕ(zk ) Vậy H nhóm hữu hạn sinh Bài tập 5.6 Chứng minh nhóm Abel hữu hạn sinh ảnh đồng cấu Zn , n ∈ Z∗ Lời giải Cho G nhóm Abel sinh S với S = {x1 , x2, , xn}, ta có Zn = S với S = {e1 , e2 , , en } với ei = (δij ), i, j = 1, n Xét ánh xạ f : S −→ G i = 1, n ei −→ xi Theo (5.3) tồn đồng cấu F : Zn −→ G cho Footer Page 60 of 161 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 61 of 161 F (ei) = xi, i = 1, 2, , n theo (5.4) F toàn cấu Nên G = F (Zn ) Vậy nhóm Abel hữu hạn sinh ảnh đồng cấu Zn Bài tập 5.7 Cho M R-môđun, N môđun M , M/N N R-môđun hữu hạn sinh Chứng minh M R-môđun hữu hạn sinh Lời giải Do N hữu hạn sinh nên tồn x1 , , xn ∈ N thỏa mãn: N = x1 R + · · · + xn R Tương tự, M/N R-môđun hữu hạn sinh nên tồn xn+1, , xm ∈ M để M/N = Rxn+1 + · · · + Rxm, xi = xi + N Ta có ∀a ∈ M a ∈ M/N , tồn rn+1 , , rm ∈ R cho: a = rn+1 xn+1 + · · · + rm xm = rn+1xn+1 + · · · + rm xm Suy a − (rn+1xn+1 + · · · + rm xm) ∈ N Do tồn b ∈ N , giả sử b = r1x1 + · · · + rn xn để a − (rn+1xn+1 + · · · + rm xm ) = r1 x1 + · · · + rn xn hay a = r1x1 +· · ·+rn xn +(rn+1xn+1 +· · ·+rm xm ) Suy a ∈ Rx1 +· · ·+Rxm Khi M ⊂ Rx1 + · · · + Rxm Hiển nhiên Rx1 + · · · + Rxm ⊂ M Vậy M = Rx1 + · · · + Rxm hay M hữu hạn sinh Bài tập 5.8 Chứng minh M R-môđun hữu hạn sinh M R∗ = R/Ann(M)-môđun hữu hạn sinh Lời giải Ta thấy M R-môđun hữu hạn sinh sinh {x1, x2, , xn} ∀x ∈ M, ∃λi ∈ R (i = 1.n) cho: n x= n λi xi = i=1 αi xi i=1 với αi = λi + Ann(M) Vì M R∗ -môđun với tích vô hướng xác định (α + Ann(M))x = αx Tức là, M R∗ = R/Ann(M)môđun hữu hạn sinh sinh {x1 , x2 , , xn} Footer Page 61 of 161 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 62 of 161 Bài tập 5.9 Chứng minh Z-môđun Q số hữu tỷ không hữu hạn sinh Lời giải Giả sử Z-môđun Q hữu hạn sinh sinh tập S = {x1, x2, , xn} 1 Khi x1 biểu diễn dạng tổng hữu hạn x1 = λ1 x1 + 2 λi xi , λi ∈ Z (i = 1.n) i=1 ⇒ x1 = 2λ1 x1 + Giả sử λi xi với µ = − 2λ1 λi xi ⇒ µx1 = i=1 x1 = µ i=1 x1 + i xi , i ∈ Z i = 1.n Khi đó: i=1 x1 = µ x1 + µ i xi i=1 = 2λi xi + i=1 = µ i xi i=1 (2λi + µ i )xi = i=1 đó, γi = 2λi γi x i i=1 + µ i i = 2, , n Điều chứng tỏ S\{x1 } hệ sinh Q Tiếp tục trình qua n − bước ta thu {xn} hệ sinh Q Vô lí, hệ sinh Q Vậy Z-môđun Q không hữu hạn sinh Bài tập 5.10 Cho X tổng trực tiếp họ môđun {Xi }i∈I , A môđun X Chứng minh rằng: a) Nếu X hữu hạn sinh X/A hữu hạn sinh b) X hữu hạn sinh Xi môđun hữu hạn sinh Xi = hầu hết, trừ số hữu hạn Xi Lời giải a) Giả sử X môđun hữu hạn sinh A môđun X Gọi {x1, x2 , , xn} hệ sinh X Khi x ∈ X : x = n ri x i i=1 Footer Page 62 of 161 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 63 of 161 với ri ∈ R, với x + A ∈ X/A x + A = n n ri x i + A = i=1 ri(xi + A) i=1 Do tập {x1 + A, x2 + A, , xn + A} hệ sinh X/A Vậy X/A hữu hạn sinh b) ⇒] Giả sử X tổng trực tiếp họ {Xi }i∈I gọi tập sinh X S := { x1i, i∈I x2i, , i∈I xni} i∈I Xi → Xi toàn ánh Với i ∈ I ánh xạ Πi : i∈I Mặt khác với x ∈ X , ta có n n xji = rj i=1 Suy Πi (x) = rj xji i∈I i=1 i∈I n rj xji i=1 Điều chứng tỏ với i ∈ I , tập {x1i, x2i, , xni} tập sinh Xi Hơn nữa, xji xuất S có hữu hạn khác không nên hầu hết tập sinh Xi chứa toàn phần tử 0, nói khác hầu hết Xi ⇐] Giả sử Xi hữu hạn sinh hầu hết Xi Có thể giả thiết Xi = {0} X1 , X2 , , Xn Với i = 1, 2, , n; Đặt: Si = {x1i, x2i, , xm(i)i} tập sinh Xi n Khi đó, với x ∈ Xi = Xi phân tích dạng i=1 i∈I m(i) n x= xi = i=1 Điều chứng tỏ S = n i=1 hữu hạn nên tổng trực tiếp rk xki i=1 Si hệ sinh tổng trực tiếp Xi Do S n Xi hữu hạn sinh i=I Bài tập 5.11 Cho M môđun sinh n phần tử vành Footer Page 63 of 161 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 64 of 161 R Chứng minh môđun M có hệ sinh chứa không n phần tử Lời giải Giả sử {x1 , , xn} hệ sinh M Khi dễ dàng thấy ánh xạ f : Rn −→ M cho (a1 , , an ) −→ n xi toàn cấu R- i=1 môđun Nếu N môđun M B = f −1 (N ) môđun Rn Do R vành nên B R-môđun tự hạng s ≤ n Nếu lấy {y1 , , ys} cở sở B rõ ràng {f (y1 ), , f (ys)} hệ sinh N Footer Page 64 of 161 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Tuyết Mai Header Page 65 of 161 Kết luận Trong chương 1, em trình bày số kiến thức làm sở cho việc nghiên cứu "Một số cấu trúc hữu hạn sinh" nhóm, vành, idean, môđun Trong chương 2, chương 3, chương tập trung nghiên cứu ba cấu trúc hữu hạn sinh, nhóm hữu hạn sinh, idean hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh Chương đưa số tập mà lời giải trở nên thuận lợi vận dụng lý thuyết trình bày trước Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế nên nhiều vấn đề đại số đại chưa đề cập đến lớp iđêan đặc biệt, môđun vành giao hoán, địa phương hóa, Đây vấn đề bạn sinh viên yêu thích toán quan tâm nghiên cứu Mặc dù cố gắng khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Footer Page 65 of 161 59 Header Page 66 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [2] Bùi Huy Hiền, Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2009 [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1999 [4] R Y Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 1990 [5] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 2010 [6] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm, 2008 [7] Dương Quốc Việt, Một số cấu trúc Đại số đại, NXB Đại học Sư phạm, 2006 [8] Dương Quốc Việt, Bài tập lý thuyết modun, NXB Đại học Sư phạm, 2014 [9] Dương Quốc Việt, Trương Thị Hồng Thanh, Cở sở Đại số đại, NXB Đại học Sư phạm, 2014 Footer Page 66 of 161 60 ... Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa cách khoa học kiến thức số cấu trúc hữu hạn sinh (nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh) Ngoài khóa luận đưa hệ thống tập nhằm vận dụng củng... phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà khóa luận nghiên cứu số cấu trúc hữu hạn sinh, cụ thể nhóm hữu hạn sinh, iđêan hữu hạn sinh, môđun hữu hạn sinh, tập trung vào khái niệm tính chất Bên cạnh đó,... Chương Nhóm hữu hạn sinh 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1.1 Một nhóm X gọi hữu hạn sinh có tập sinh gồm hữu hạn phần tử Ví dụ 2.1.1 + Nhóm cộng số nguyên Z sinh {1} {−1} nên Z nhóm hữu hạn sinh + GL(m,n)