TỔNG HỢP LÝ THUYẾT, BÀI TẬP HÌNH HỌC 11

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP A TÓM TẮT LÍ THUYẾT I Quan hệ song song Vị trí tương đối hai đường thẳng không gian: Trong không gian cho hai đường thẳng   ' * Nếu   ' thuộc mặt phẳng   ' có ba vị trí tương đối song song, trùng nhau, cắt * Nếu mặt phẳng qua   ' ta gọi hai đường thẳng   ' chéo Các tính chất: Định lí 1: Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đôi song song chúng đồng quy Định lí 2: Nếu hai mp phân biệt chứa hai đường thẳng song song với giao tuyến chúng có song song với hai đường thẳng Đường thẳng song song với mặt phẳng a Định nghĩa: Đường thẳng a / /  P  chúng điểm chung b Các tính chất Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm (P) a song song với đường thẳng nằm (P) a song song với (P) Chú ý: Từ định lí ta rút phương pháp để chứng minh đường thẳng a song song với mp  P  ta cần chứng minh a song song với đường thẳng nằm mp  P  Định lí 2: Nếu đường thẳng a / /  P  mp qua a cắt (P) theo giao tuyến song song với a Hq: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng có song song với đường thẳng Chú ý: Định lí hệ giúp việc tìm giao tuyến hai mặt phẳng mà có mp song song với đường thẳng cho trước Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo Khi tồn mp chứa đường thẳng song song với đường thẳng Định lí 4: (Định lí Talet không gian) Điều kiện cần đủ để đường thẳng AA1 , BB1 CC1 song song với mặt phẳng BA B1A1 , ba điểm  A, B, C   A1 , B1 , C1  thuộc hai đường  BC B1C1 thẳng chéo a b Hai mặt phẳng song song a Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng điểm chung b Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng cắt song song với mp(Q) (P) / /(Q) c Các tính chất: Tính chất 1: Qua điểm nằm mặt phẳng , có mặt phẳng song song với mặt phẳng Hq 1: Nếu đường thẳng a / /(P) tồn mặt phẳng (Q) qua a song song với mp(P) Hq 2: hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) c (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song với II Quan hệ vuông góc Véc tơ không gian * Véc tơ không gian phép toán định nghĩa hoàn toàn tương tự nh mặt phẳng * Ba véc tơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng    * Cho a, b,c       Khi a, b,c đồng phẳng m, n   : a  mb  nc    Ba vectơ a, b,c không đồng phẳng     Khi đó: ma  nb  pc   m  n  p      * Cho ba véc tơ a, b,c không đồng phẳng Khi với véc tơ d không gian, ta có     phân tích: d  ma  nb  pc Hai đường thẳng vuông góc a) Góc hai đường thẳng cắt nhau: Cho hai đường thẳng a b cắt nhau, chúng chia mặt phẳng thành bốn miền góc Góc  nhọn bốn góc gọi góc hai đường thẳng a b Kí hiệu: (a, b) b) Góc hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng a b chéo Từ điểm O ta dựng đường thẳng a ' b' song song với a b Khi góc hai đường thẳng a ' b' gọi góc hai đường thẳng a b       b)  cos u, v Chú ý: Nếu hai đường thẳng a, b có u, v véc tơ phương cos(a,   c)Hai đường thẳng vuông góc * Hai đường thẳng a b gọi vuông góc với góc chúng 900 Kí hiệu: ab       * Nếu u, v VTCP hai đường thẳng a, b a  b  u  v  u.v  Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định nghĩa: Đường thẳng a gọi vuông góc với mặt phẳng (P) a vuông với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) Tính chất:  Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) d vuông góc với (P)  Có mặt phẳng (P) qua điểm O vuông góc với đường thẳng a cho trước  Có đường thẳng d qua điểm O vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước  Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Điều kiện cần đủ để a vuông góc với b b vuông góc với hình chiếu a’ a lên (P) (ĐỊnh lí ba đường vuông góc) Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN  Nếu a  (P) ta nói góc a (P) 900  Nếu a không vuông góc với (P) góc a hình chiếu a’ a lên (P) gọi góc a (P) Hai mặt phẳng vuông góc a) Góc hai mặt phẳng: * Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng * Cách xác định góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến  Dựng mặt phẳng (R) vuông góc với  , cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến a,b Khi góc a b góc hai mặt phẳng (P) (Q) * Công thức hình chiếu Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng (P) S' diện tích hình chiếu H’ H lên mặt phẳng (P’) S'  S.cos  ,  góc hai mặt phẳng (P) (P’) b) Hai mặt phẳng vuông góc * Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vuông góc góc chúng 900 * Tính chất  Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vuông góc với  Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đường thẳng a nằm (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q)  Nếu hai mặt phẳng cắt nhàu vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba III Khỏang cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng  điểm M Gọi H hình chiếu M lên  Khi độ dài đoạn MH khoảng cách từ M đến  Để tính khoảng cách ta gắn MH vào tam giác sử dụng kết hình học phẳng để tính MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho mp(P) điểm M nằm mp(P) Gọi H hình chiếu M lên mp(P), MH khoảng cách từ M đến (P) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng mang yếu tố song song a) Khoảng cách từ đường thẳng đến mp song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mp b) Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc mp đến mp Khoảng cách hai đường thẳng chéo a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đường vuông góc chung hai đường thẳng Do để tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo ta cần tìm đoạn vuông góc chung hai đường thẳng GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN b) Ngoài có mp chứa đường thẳng song song với đường thẳng khoảng cách hai đường thẳng khoảng cách từ đường thẳng song song đến mp nói IV Thể tích khối đa diện Công thức tính thể tích  Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối hộp có diện tích đáy B chiều cao h là: V  Bh  Thể tích khối hộp chữ nhật : V  abc  Thể tích khối lập phương : V  a  Tỉ số thể tích: Nếu A', B',C' thuộc cạnh SA,SB,SC hình chóp S.ABC : VS.A' B' C' SA'.SB'.SC'  VS.ABC SA.SA.SC V Mặt tròn xoay – Mặt cầu Mặt nón – hình nón – khối nón a Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng  l cắt O tạo với góc  Khi cho mặt phẳng (P) quay quanh đường thẳng  , hình tròn xoay sinh đường thẳng l gọi mặt nón tròn xoay hay gọi mặt nón * Đường thẳng  gọi trục mặt nón * Đường thẳng l gọi đường sinh mặt nón * Giao điểm O  l gọi đỉnh mặt nón * Gọi  góc đường thẳng  l 2 gọi góc đỉnh b Hình nón hình tròn xoay sinh tam giác vuông OAB quay quanh trục cạnh góc vuông OA * OB  l đường sinh hình nón * AB  R gọi bán kính hình nón * OA  h chiều cao hình nón c Hình nón với phần không gian bên gọi khối nón d Công thức tính diện tích thể tích * Diện tích xung quanh hình nón S xq  Rl * Diện tích toàn phần hình nón S  S xq  Sd  R(l  R) R h Mặt trụ - hình trụ - khối trụ a Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng l  song song với cách khoảng R Khi quay (P) quanh  đư ờng thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mà mặt trụ tròn * Thể tích khối nón V  xoay hay gọi tắt mặt trụ * Đường thẳng ∆ tr ục mặt trụ * Đường thẳng l gọi đường sinh mặt trụ * Khoảng cách hai đường sinh l trục ∆ gọi bán kính mặt trụ b Phần mặt trụ nằm hai mặt phẳng song song phân biệt vuông góc với trục mặt trụ với hai hình tròn thiết diện gọi hình trụ * Hai hình tròn (O; R),(O'; R) hai đáy hình trụ GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * Đoạn thẳng OO’ trục hình trụ , chi ều cao hình trụ * Bán kính R mặt trụ bán kính hình trụ c Hình trụ với phần không gian bên gọi khối trụ d Công thức tính diện tích thể tích hình trụ Một hình trụ có bán kính đáy R chiều cao h * Diện tích mặt xung quanh hình trụ S xq  Rh * Diện tích toàn phần hình trụ: S  S sq  2.Sd  R(R  h) * Thể tích khối trụ : V  R h Mặt cầu a Khái niệm mặt cầu  Mặt cầu tâm O bán kính R ( S(O,R) ) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn S(O,R)  {M|OM  R}  Nếu AB đường kính mặt cầu S(O,R) với điểm M thuộc mặt cầu ( trừ A B )   900 AMB   900 điểm M thuộc mặt cầu  Ngược lại với điểm M nằm không gian thỏa mãn AMB đường kính AB b Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu S(O,R) điểm A không gian  Nếu OA  R A mặt cầu  Nếu OA  R A mặt cầu  Nếu OA  R A mặt cầu c Vị trí tương đối hình phẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S(O,R) mặt phẳng (P) không gian.Gọi H hình chiếu O lên (P)  Nếu OH  R (P) không cắt mặt cầu  Nếu OH  R (P) (S) có điểm chúng H Khi ta nói: (P) tiếp xúc với mặt cầu (P) gọi mặt phẳng tiếp diện, H gọi tiếp điểm  Nếu OH  R (P) cắt mặt cầu theo đường tròn (C) có tâm H bán kính r  R  OH Nếu O nằm (P) (C) gọi đường tròn lớn có bán kính R d Vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Cho mặt cầu S(O,R) đường d không gian Gọi H hình chiếu O lên d  Nếu OH  R d mặt cầu điểm chung  Nếu OH  R d mặt cầu (S) có điểm chung H Khi ta nói d tiếp xúc với mặt cầu d gọi tiếp tuyến cảu mặt cầu, H gọi tiếp điểm  Nếu HO  R d mặt cầu có hai điểm chung Khi ta nói d cắt mặt cầu hai điểm phân biệt e Mặt cầu ngoại tiếp hình cầu nội tiếp hình đa diện  Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện mặt cầu qua tất đỉnh hình đa diện  Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện f Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Diện tích hình cầu bán kính R : S  4R GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN R § CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM, GIAO TUYẾN Thể tích khối cầu bán kính R : V  Giao tuyến hai mặt phẳng Để xác định giao tuyến hai mặt phẳng, ta có cách sau: Cách 1: Tìm hai ểm chung chúng Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến Cách 2: Tìm điểm chung phương giao tuyến ( ) / /a  ( )  ()  b / /a  Nếu   / /a  a / /( )  Nếu   ( )  ()  b / /a a  () ( ) / /()  Nếu   ()  ()  b / /a ( )  ()  a a  ( )  Nếu   ( )  ()  b  a a  () Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng       thường tìm sau : Tìm hai đường thẳng a, b thuộc       , đồng thời chúng nằm mặt phẳng  đó; giao điểm M  a  b điểm chung       Giao điểm đương thẳng với mặt phẳng Để tìm giao điểm đường thẳng a với ( ) ta thực bước sau  Tìm mp () chứa a cho giao tuyến b  ( )  () dễ tìm  Tìm giao điểm A  a  b Khi A  a  ( ) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Để tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng, ta tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp Các đoạn giao tuyến tạo nên đa giác Đa giác thiết diện cần tìm Ví dụ 2.1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a, AD  a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA  2a M điểm nằm tam giác SCD , N trung điểm SC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ABCD) với (BMN) biết MN không song song với CD Tìm giao điểm đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng    qua A vuông góc với SC Lời giải GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN S S R N M P I K D A B C B D A E F Q C Hai mặt phẳng (ABCD) (BMN) có B điểm chung thứ Trong mặt phẳng (ABCD) hai đường thẳng CD MN cắt I Ta có I điểm chúng thứ hai hai mặt phẳng (ABCD) (BMN) Vậy BI giao tuyến hai mặt phẳng (ABCD) (BMN) Trong mặt phẳng (SCD) hai đường thẳng SM CD cắt E Trong mặt phẳng (ABCD) hai đường thẳng AC BE cắt F Khi ta có SF giao tuyến hai mặt phẳng (SBE) với (SAC) Trong mặt phẳng (SBE) hai đường thẳng SF BM cắt K Ta có: K giao điểm BM với (SAC) Giả sử () cắt cạnh SB, SC, SD P, R, Q Suy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng () tứ giác APRQ Vì ()  SC  SC  AP  BC  AB  BC  (SAB)  BC  AP Mặt khác:   BC  SA Nên ta suy AP  (SBC)  AP  SB Tương tự ta có BQ  SD Dễ thấy tam giác APR AQR tam giác vuông P Q Do S APRQ  S APR  S AQR   AP.PR  AQ.QR  Áp dụng công thức đường cao tam giác vuông ta có: 1 1 2a       AP  2 2 2 AP SA AB 4a a 4a AQ AR   AD AC   SA SA   3a 4a   Suy ra: PR  AR  AP  GV: Nguyễn Tất Thu 4a 4a  12a  AQ  2a 21  AR  a a 30 a 14 , QR  AR  AQ  7 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vậy diện tích thiết diện cần tính là: S APRQ  12a (đvdt) 35 Ví dụ 2.1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, BC,CD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Lời giải Gọi I, J giao điểm NP với AB AD Khi (MNP)  (ABCD)  NP, (MNP)  (SAD)  MJ, (MNP)  (SAB)  MI Đường thẳng MJ  SD  E , MI  SB  F Khi đó: (MPN)  (SBC)  NF, (MNP)  (SCD)  EP Vậy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) ngũ giác MEPNF S M E F A D J P B N C I Ví dụ 2.1.3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SB,SC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Tìm thiết diện hình chóp cắt ởi mặt phẳng (AMN) Lời giải GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN S x M N I A B P O D C Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) có S điểm chung AB / /CD Do giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) đường thẳng Sx song song với AB Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Suy SO giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Trong mặt phẳng (SAC) hai đường thẳng SO AN cắt I Trong mặt phẳng (SBD) hai đường thẳng MI SD cắt P Khi : (AMN)  (SAB)  AM, (AMN)  (SBC)  MN, (AMN)  (SCD)  NP, (AMN)  (SDA)  PA Vậy thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) tứ giác AMNP Ví dụ 2.1.4 Cho hình chóp S.ABCD , có đáy hình vuông c ạnh a tam giác SAB Một điểm M thuộc cạnh BC cho BM  x   x  a  ,    mặt phẳng qua M song song với SA SB 1) Xác định thiết diện hình chóp cắt    2) Tính diện tích thiết diện theo a x Lời giải M       SBC         SBC   MN / /SB, N  SC 1) Ta có    / /SB  SB   SBC  N   SAC         SAC       NI / /SA,I  AC Tương tự    / /SA  SA   SAC  Trong  ABCD  gọi Q  MI  AD , ta có Q   SAD         SAD       QP / /SA,P  SD    / /SA  SA   SAD  Thiết diện tứ giác MNPQ GV: Nguyễn Tất Thu S N P A B Q I M C D HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CM CN =  1 CB CS CI CN CI Lại có IN / /SA     IM / /AB mà   Từ 1   suy CM CA CS CB CA AB / /CD  IM / /CD b) Do MN / /SB  Ba mặt phẳng    ,  ABCD   SCD  đôi cắt theo ba giao tuyến MQ,CD, NP với MQ / /CD  MQ / /NP Vậy MNPQ hình thang MN CM DQ PQ Ta có , mà SA  SB  a  MN  PQ Do MNPQ hình thang cân    SB CB DA SA MN CM a  x Từ    MN  a  x , N P x SA CB a PN SN BM IM CM a-x    PN  BM  x ,   IM  CM  a  x a-x DC SC BC AB CB Gọi J trung điểm IM NJ  MN  MJ  Vậy S MNPQ  a  x  Q ax  a  x       x I J M  1 NJ  MQ  NP    a  x  a  x   43 a  x2 2 Ví dụ 2.1.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O có AC  a, BD  b Tam giác SBD tam giác Một mặt phẳng    di động song song với mặt phẳng  SBD  0  x  a  1) Xác định thiết diện hình chóp cắt    qua điểm I đoạn AC AI  x 2) Tính diện tích thiết diện theo a, b x Lời giải 1) Trường hợp 1: Xét I thuộc đoạn OA S I       ABD         ABD   MN / /BD,I  MN Ta có    / /  SBD    ABD    SBD   BD P K N       SAD     SAD       NP / /SD,P  SN Tương tự    / /  SBD   A  SAD    SBD   SD B M I Thiết diện tam giác MNP N H O    / /  SBD  I  L Do  SAB    SBD   SB  MP / /SB Hai tam giác MNP BDS có D C   SAB       MP cặp cạnh tương ứng song song nên chúng đồng dạng, mà BDS nên tam giác MNP Trường hợp 2: Điểm I thuộc đoạn OC , tương tự trường hợp ta thiết diện tam giác HKL  hv  GV: Nguyễn Tất Thu 10 1) Chứng minh CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB  CD  AC  BD 2) Với điều kiện câu 1, chứng tỏ điểm tiếp xúc CD với mặt cầu đường kính AB thuộc đường tròn cố định góc tạo CD với mặt phẳng chứa đường tròn không đ ổi 3) Nếu CD thỏa mãn ều kiện AC2  BD2  b2 ( b số cho trước) Hãy tìm liên hệ a b để CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Lời giải 1) Đặt AC  c, BD  d Gọi I trung điểm AB H hình chiếu I lên CD Ta có IA  IB  a Cách  Nếu CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB ta có H tiếp điểm Ta có CH  CA, DH  DB nên CD  CH  DH  AC  BD  Ngược lại CD  AC  BD ta chứng minh CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Do AB IH  CD nên ta cần chứng minh IH  a Thật *Nếu IH  a Áp dụng định lý pitago cho hai  vuông IAC IHC CH  CI  IH  CI  IA  AC (1) Áp dụng định lý pi-ta-go cho hai  vuông IBD IHD DH  DI  IH  DI  IB  BD (2) Từ (1) (2) suy CD  CH  DH  AC  BD trái với giả thiết * Nếu IH  a chứng minh tương tự ta có CD  AC  BD trái với giả thiết Vậy IH  a hay CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB Cách Lấy điểm M điểm tia đối tia Ax cho AM  BD Ta dễ chứng minh OM  OD CM  CD  COM  COD Suy IA  OH  a ( Hai đường cao tương ứng ) x C A x' H M C' I z B H' K D y 2)  Chứng minh H thuộc đường tròn cố định Kẻ tia Bx’ song song chiều với Ax Gọi C’ H’ hình chiếu C, H lên mp( Bx’y) Ta có BH’ phân giác góc x’By Nên H’ cố GV: Nguyễn Tất Thu định thuộc tia phân giác Bz góc x’By Vậy H thuộc mp(ABz) cố định Mặt khác H lại thuộc mặt cầu cố định Nên H thuộc đường tròn cố định giao mp (ABz) với mặt cầu đường kính AB  Chứng minh góc CD mp (ABz) không đổi  góc CD mp (ABz) Gọi K hình chiếu D lên Bz ta có góc DHK   450 (không đổi ) Ta có: BDK  HDK  DHK 3) Hệ thức liên hệ a b Do CD tiếp xúc với mặt cầu nên theo câu ta có CD  AC  BD  c  d suy cd  2a 2 2 2 Ta có AC  BD  b  CD  4a  b  c  d  4a  b 2 (1) (2) Từ (1) (2) ta có c,d nghiệm phương trình: x  4a  b x  2a  Vậy hệ thức liên hệ a b để CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB b  2a   Ví dụ 2.7.7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ASB 1) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 2) Xác định tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp 3) Tìm giá trị  để tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp trùng Lời giải 1) Tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp Gọi H tâm hình vuông ABCD Ta có SH trục đường tròn ngoại tiếp đáy Trong mặt phẳng (SHA) kẻ đường trung trực cạnh SA cắt SH O Ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD, bán kính R  SO Gọi N trung điểm SA, ta có: SN SH SN.SA SA   SO   SO SA SH 2SH Áp dụng định lý sin cho tam giác cân SAB ta có : SNO  SHA  SA  AB  SA  sin  AB  sin ; SH  SA  AH  a cos  sin 180   ) a Vậy R  SO   cos sin 2) Tâm bán kính mặt cầu nội tiếp Ta có tâm I mặt cầu nội tiếp thuộc đường thẳng SH Gọi M trung điểm AB, ta có  (I  SH) Ta có I tâm AB  (SHM) M Gọi I chân đường phân giác góc SMH sin( mặt cầu nội tiếp hình chóp Bán kính r  IH Để tính bán kính r ta tính theo hai cách sau: Cách Dựa vào tính chất đường phân giác ta có IS MS SH MS  MH SH.MH a  a ; SM  cot , MH      IH  IH MH IH MH MS  MH 2 Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là: r  IH  Cách 2.Dựa vào công thức r  GV: Nguyễn Tất Thu 3V S a cos    2(sin  cos ) 2 a cos Thể tích khối chóp: V  SH.S ABCD   3.2 sin  S  4SSAB  SABCD  SM.AB  a     cos ) 2  sin a (sin a cos    2(sin  cos ) 2 3) Tâm hai hình cầu trùng  R  r  SH Bán kính r  3V  S a cos  a cos        cos  sin 2(sin  cos ) sin 2 2 cos  cos    cos       cos  sin        2 sin sin  cos sin sin sin 2 2 2    sin   sin  cos   sin   cos     450 Hay: a Vậy   450 tâm mặt cầu ngoại tiếp tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp trùng S  N O A I D B H M C Ví dụ 2.7.9 Bên hình trụ có hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ hình trụ, hai đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ hai hình trụ Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Lời giải Ta có DC  BC,CE hình chiếu đường xiên  DC  CE (định lí ba   450 góc hình vuông ABCD đáy đường vuông góc) BCE A B hình trụ Trong tam giác BEC ta có BE  BC.sin 450  GV: Nguyễn Tất Thu 2a ; BD  2a D E C Trong tam giác vuông BED ta có: DE  DB2  BE  Diện tích xung quanh hình trụ: S xq  rh  Thể tích khối trụ: V  r h  3a 6a  DE  2 3a a 16 Ví dụ 2.7.10 Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, nội tiếp mặt cầu (O; R) Các đường thẳng GA,GB,GB,GC cắt mặt cầu điểm thứ hai A, B,C, D Chứng minh VABCD  VABCD Lời giải Theo tính chất phương tích điểm đường tròn, ta có GA.GA  GB.GB  GC.GC  GD.GD  R  OG Với điểm M ta có      MA  MA  MG  GA  MG  2MG.GA  GA      GA  GB  GC  GD  nên suy  A  MA  MB2  MC  MD2  4MG  GA  GB2  GC  GD Cho M  O GA  GB2  GC  GD  4(R  OG ) Vì  2 4(R  OG ) R  OG  2 GA  GB  GC  GD R  OG GA GB2 GC GD2 GA GB GC GD     44 GA.GA GB.GB GC.GC GD.GD GA GB GC GD GA GB GC GD Hay  (1) GA GB GC GD Mặt khác, G trọng tâm tứ diện nên VABCD VGBCD VGCDA VGDAB VGABC     VABCD VABCD VABCD VABCD VABCD VGBCD 4VGBCD  VGCDA 4VGCDA  VGDAB 4VGDAB  VGABC 4VGABC  GB.GC.GD GC.GD.GA GD.GA .GB GA .GB.GC         GB.GC.GD GC.GD.GA GD.GA.GB GA.GB.GC  GA GB GC GD  44 (2) GA GB GC GD Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy G  O, hay ABCD tứ diện gần Bài tập Bài 2.7.1 Một khối trụ có bán kính R chiều cao 3R 1) Tính diện tích thiết qua AB song song với trục khối trụ 2) Tính góc hai bán kính đáy qua A, B GV: Nguyễn Tất Thu G   O A' R 3) Cho hai điểm A, B nằm hai đáy tròn cho góc gi ữa AB trục hình trụ 300 Tính khoảng cách AB trục hình trụ Bài 2.7.2 Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO Gọi A, B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình   300 ,SAB   60 Tính diện tích xung quanh nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO thể tích hình nón Bài 2.7.3 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB  a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với  AC  BD  AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a (Đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2003) Bài 2.7.4 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AB  a, góc hai mặt phẳng (ABC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2010)   600 cạnh bên Bài 2.7.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD   900 SA  SB  SD Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD biết BSD Bài 2.7.6 Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O H hình chiếu A lên mặt phẳng (BCD) OA OH 2) Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính Tính độ dài cạnh tứ diện Bài 2.7.7 Cho hình chóp S.ABC có  SBC   (ABC) cạnh AB  AC  SA  SB  a Xác định 1) Tính tỷ lệ k  tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp SC  x Bài 2.7.8 Cho hai đường tròn (O1 ,r1 ) (O2 ,r2 ) cắt hai điểm A, B nằm hai mặt phẳng phân biệt (P) (P') 1) Chứng minh có mặt cầu qua hai đường tròn 2) Tìm bán kính R mặt cầu biết r1  5; r2  10; AB  6; O1O  21 Bài 2.7.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AB / /CD Đường tròn tâm O nội tiếp hình thang có bán kính r Biết SO  (ABCD) SO  2r Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD Bài 2.7.10 Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo vuông góc với nhau, nhận AB làm đường vuông góc chung Trên tia Ax lấy điểm M, tia By lấy điểm N cho AM  BN  MN 1) Tìm vị trí M, N cho bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABMN lớn 2) Chứng minh đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN nhỏ Bài 2.7.11 Cho SABC hình chóp tam giác với cạnh đáy AB = a, đường cao SH = h Tính theo a h bán kính r, R hình cầu nội tiếp ngoại tiếp hình chóp r Giả sử a cố định h thay đổi xác định h để lớn R   a ADC vuông D Bài 2.7.12 Trong mặt phẳng (P) cho ABC vuông B, có cạnh AB, ABC có AD = b ( B D không phía AB) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A ta lấy điểm S cho SA = x GV: Nguyễn Tất Thu Tính thể tích hình chóp SABCD AI, AJ, AH đường cao xuất phát từ A tam giác SAB, SAC, SAD Hãy tìm tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp đa diện ABCIJ, ASIJH Từ xác định giao hình cầu nói HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 2.5.1 1) Từ A, B ta kẻ AA', BB' song song với trục hình trụ Khi thiết diện hình chữ nhật AA' BB' , ta   300 góc AB trục hình trụ có ABB' Diện tích thiết diện S AA' BB'  BB'.B' A  3R 3R tan 30  3R   600 , tam giác AOB' 2) Góc AO BO’ AOB' 3) Ta có mặt phẳng ( AA' BB' ) chứa AB song song với trục đường tròn Do khoảng cách trục đường tròn OO’ với AB khoảng cách OO’ mặt phẳng (AA' BB') Gọi H trung điểm AB, OH khoảng cách OO’ mặt phẳng (AA' BB') Ta có OH  3R O' A' B O B' H A S Bài 2.5.2 Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB OI  AB,SI  AB,OI  a Ta có AO  SA.cos 30  GV: Nguyễn Tất Thu SA; AI  SA cos 600  SA 2 B O I A Từ suy Ta lại có AI  AO AI   sin IAO    a  AO  6a  cos IAO AO OA AO Xét tam giác SAO ,ta có SA  cos 300  2a Diện tích xung quanh hình nón là: S xq  rl  3a Thể tích khối nón là: V  2 R h  .OA SO  a 3 Bài 2.5.3 Vì (P)  (Q) CA   nên CA  (Q)  CA  AD Tương tự BD  BC, nên điểm B, A nhìn đoạn CD góc vuông, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm trung điểm CD có bán kính R  tam giác ABD, ACD ta có R  CD Áp dụng Pitago cho 1 AC  AD  AC  AB  BD  a 2 Kẻ AH  BC H trung điểm BC (do tam giác ABC vuông cân A ) Ta có AH  1 BC  AC  AB2  a 2 P C H Vì BD  (ABC)  BD  AH nên AH  (CBD) Vậy d(A,(BCD))  AH  B  A a Q Bài 2.5.4 Gọi M trung điểm BC Do tam giác ABC nên BC  AM  AM  BC (định lí ba đường vuông góc) 3   MA  600 Ta có AM  MA  a Vậy A a nên AA  AM.tan A 2 A' C' G N B' A H G C GV: Nguyễn Tất Thu A H B M I D 3 3 Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC V  AA.S ABC  a a  a Gọi H trọng tâm tam giác ABC, ta có MG MH nên GH / /AA   MA MA  GH  (ABC) Do H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên GH trục đường tròn ngooại tiếp tam giác ABC Gọi I giao điểm GH với trung trực GA (qua trung điểm N GA ) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Ta có hai tam giác IGN AGH đồng dạng, nên Suy bán kính mặt cầu R  Vì GH  IG GN  , AG GH GA.GN GA  GH 2GH AA a 7  nên GA  GH  HA  a Vậy R  a 12 12 Bài 2.5.5 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi ABCD Theo ta có tam giác ABD tam giác cạnh a  BD  a Mà tam giác SBD vuông S nên SB  SD  a a,SO  2 Gọi H hình chiếu S mặt phẳng đáy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (do cạnh bên SA  SB  SC ) Ta có SH  SO  OH  6 a, SC  SH  HC  a Gọi K tâm tam giác BCD K trung điểm HC, trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD qua K song song với SH nên trung trực HC cắt SC điểm I Ta có I trung điểm SC nên IS  IC, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện SBCD Bán kính mặt cầu R  GV: Nguyễn Tất Thu SC  a S I S D C I K O H H A O B Bài 2.5.6 1) Do tứ diện ABCD nên khối chóp O.ABC, O.ACD, O.ABD, O.BCD tích VA.BCD  4VO.BCD  1 OA AH  OH 3OH AH.S BCD  OH.S BCD  AH  4OH  k    3 3 OH OH OH 2) Tâm O giao điểm đường trung trực cạnh AB tam giác ABH Ta có R  OA   OH  Tam giác BOH vuông H nên BH  OB2  OH  R  OH1   2  Ta có BH bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên BH  Vậy cạnh tứ điện BC  GV: Nguyễn Tất Thu 3BC  BC  3BH  3 K A M O B D H C Bài 2.5.7 Gọi I trung điểm BC , ta có AI  BC Mặt khác  SBC   (ABC) nên AI  (SBC)  AI  SI  SI đường cao tam giác SBC Ta có ABI  ASI  IS  IB  IC  I tâm đường tròn ngoại tiếp SBC Gọi O tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC ta có OS  OB  OC nên O thuộc thẳng d qua I vuông góc với  SBC  Ta có (SBC)  (ABC)  d  (ABC)  O  (ABC)  O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi K giao AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có : AB2  AI.AK  AI.2R  R  Ta có: AI  AB2  BI  a   AI  AB2 2AI BC SB2  SC a  x 3a  x  a2   a2   4 4 a2 3a  x (0  x  3a) Vậy R  3a  x GV: Nguyễn Tất Thu S I B C O A Bài 2.5.8 Gọi d1 ,d hai đường thẳng qua O1 ,O2 vuông góc với (P) (P’) Gọi M trung điểm AB ta có (MO1O )  AB  d1 ,d  (MO1O ) Gọi O giao điểm d1 d Ta có O tâm mặt cầu chứa (O1 ) (O ) Bán kính R  OA Ta có MO1  r12  MA  4; MO  r22  MA  Ta có tứ giác MO1OO tứ giác nội tiếp cos M  MO12  MO 22  O1O 22 0    O 1MO  120  O1OO  60 2MO1 MO 2 Đặt x  OO2 , y  OO1 , z  OM Áp dụng định lý cosin cho O1OO2 ta có: O1O22  OO12  OO22  2OO1 OO2  x  y  xy  21 (1) Do tứ giác MO1OO nội tiếp nên MO1 OO2  MO OO1  MO.O1O2  4x  y  21.z (2) OM  MO12  O1O  MO 22  O O  z  16  y   x (3) Giải hệ gồm ba phương trình (1),(2) (3) ta tìm được: x  3; y  3; z   OA  AO12  O1O  37  R  OA  37 GV: Nguyễn Tất Thu d1 B O2 O O1 M A Bài 2.5.9 Gọi M, N,P,Q tiếp điểm đường tròn nội tiếp hình thang với cạnh hình thang Do SO  (ABCD) nên tam giác SOM,SON,SOP.SOQ S điểm SO cách mặt bên hình chóp Tâm mặt cầu nội tiếp giao phân giác góc  với SO SNO I Ta có SN  SO  ON  r M A IO NO Theo tính chất phân giác:  IS NS B O Q Suy bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp R  IO  D N P C OS.ON 2r 1   r NO  NS  Bài 2.5.10 1) Gọi V thể tích tứ diện ABMN Ta tính V  lớn S đạt giá trị nhỏ GV: Nguyễn Tất Thu 3V AB3 giá trị không đổi, mà r  nên r S 12 Đặt AB  2a, AM  x, BN  y Từ AM  BN  MN suy xy  2a Diện tích toàn phần tứ diện S  a(x  y)  (y x  4a  x y  4a ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta tìm giá trị nhỏ S đạt x  y  a , hay AM  BN  AB 2) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R  x  y  4a nên R  x  y  4a  2xy  4a  8a  2a R  2a x  y  a , hay đạt tương ứng với bán kính mặt cầu nội tiếp đạt giá trị lớn x M A H B N Bài 2.7.11 S J O’ A O C H B GV: Nguyễn Tất Thu y Tính R: Tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC nằm SH( trục đường ngoại tiếp tam giác ABC) đường trung trực SA vẽ mp(SAH) Tứ giác AHOJ nội tiếp( J trung điểm SA), Do đó: r 6ah a  h R (a  12h  a ).(3h  a ) SO.SH  SA.SJ   SO  R  SA    2SH 2 a 3 a 3h  a  Nhưng: SA  SH  HA  h     h2  3  3   Suy ra: R = 2 3h  a Tính r: Tâm O’ hình cầu nội tiếp tứ diện nằmg SH phân giác SIH( I trung điểm BC), góc phẳng nhị diện cạnh BC Tính chất phân giác cho: O'H HI h.HI   r.SI  HI.(h  r)  r  O'S SI SI  HI  a HI   12h  a Ta có:   SI  2 SI  h   a   r  a      12    Cho nên r tính bởi: r  h a a 12h  a   ah a  12h  a 2 Định h để r/R lớn Ta có: r 6ah  R (a  12h  a ).(3h  a ) x  a x  a   Đặt: x  12h  a   x2  a 2 2 h  12h  a  x   12 2  x2  a  6a    12  r   Do đó:  R  x  3a (a  x)         x  2ax  3a (a  3a)2 r a Bảng biến thiên ta tìm được:    x = 3a  h  R 3  max GV: Nguyễn Tất Thu Bài 2.7.12 tính VSABCD VSABCD  VSABC  VSACD  SA.(SABC  SADC ) Ta có : AB  a  BC  a.tg Do đó: S ABC  a tan  AD  b a2 a2   CD2   b2  CD   b2  a 2 cos  cos  AC  cos  Do : S ACD  b a2 cos   1  a2  b2    a tg  b  b2  2  6  cos  cos      Tâm bán kính hình cầu ngoại tiếp đa diện ABCIJ ASIJH AI  SB (do BC  (ABC)) nên : AI  IC Ta có  AI  SC Như : I, J B nhìn AC góc vuông nên hình cầu ngoại tiếp đa diện ABCIJ hình cầu AC a đường kính AC Tâm điểm AC, bán kính bằng:  2cos I, J, H nhìn AS dư ới góc vuông nên hinìh cầu ngoại tiếp khối đa diện ASIJH hình cầu đường AS a kính AS Tâm điểm AS, bán kính  2 Giao hình cầu Hai hình cầu có chung điểm A, I J nên giao chúng đường tròn qua điểm Nhưng ta biết AI  (SAB) nên AI  IJ Tóm lại : 1  b2 VSABCD  a  a tg  b a2 Vậy giao hình cầu đường tròn đường kính AJ mặt phẳng qua A vuông góc với SC GV: Nguyễn Tất Thu ... trụ với hai hình tròn thiết diện gọi hình trụ * Hai hình tròn (O; R),(O'; R) hai đáy hình trụ GV: Nguyễn Tất Thu HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * Đoạn thẳng OO’ trục hình trụ , chi ều cao hình trụ * Bán... góc đỉnh b Hình nón hình tròn xoay sinh tam giác vuông OAB quay quanh trục cạnh góc vuông OA * OB  l đường sinh hình nón * AB  R gọi bán kính hình nón * OA  h chiều cao hình nón c Hình nón... cầu ngoại tiếp hình cầu nội tiếp hình đa diện  Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện mặt cầu qua tất đỉnh hình đa diện  Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện f Diện