Đầy đủ lý thuyết, bài tập phân dạng chi tiết, phương pháp giải cụ thể, ví dụ sinh động, hướng dẫn giải chi tiết, bao quát phủ hết kiến thức trọng tâm.============================================================
Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện MỤC LỤC CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 16 Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN DẠNG KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện S E D A C B B E' C D' A C' A' D B' E Quan sát hình lăng trụ, hình chóp ta thấy chúng hình không gian tạo số hữu hạn đa giác Các đa giác có tính chất a) Hai đa giác phân biệt không giao nhau, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện (H) Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện (H) Người ta gọi hình hình đa diện Nói cách tổng quát: Hình đa diện (gọi tắt đa diện) (H) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất Mỗi đa giác gọi mặt đa diện Các đỉnh cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần không gian giới hạn bới hình đa diện (H), kể hình đa diện d E D A C B Điểm N E' Điểm D' M C' A' B' Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi đa diện (H) chia điểm lại không gian thành hai miền không giao nhau: miền miền (H) Trong có miền chứa hoàn toàn đường thẳng d Khối đa diện (H) hợp hình đa diện (H) miền II HAI HÌNH BẲNG NHAU Phép dời hình không gian khối đa diện Trong không gian quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M’ xác định gọi phép biến hình không gian Phép biến hình không gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý Nhận xét: Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình Phép dời hình biến đa diện thành H đa diện H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt đa diện H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng đa diện H ' a) Phép dời hình tịnh tiến theo vector v phép biến hình biến điểm M thành M’ cho MM' v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) M phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ M1 cho (P) mặt phẳng chung trực P MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng M' (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H) c) Phép đối xứng tâm O phép biến M' hình biến điểm O thành nó, biến điếm M khác O thành điểm M’ O cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi M tâm đối xứng (H) Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện d) Phép đối xứng qua đường thẳng d phép d biến hình điểm thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ cho d trung trực MM’ Phép đối xứng qua đường thẳng d gọi M M' O phép đối xứng qua trục d Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành d gọi trục đối xứng (H) Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Nhận xét Hai đa diện gọi có phép dời hình biến hình đa diện thành hình đa diện Hai tứ diện có cạnh tương ứng III PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện H2 H1 , H2 , cho H1 điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện H1 H2 , hay lắp ghép hai khối đa diện H1 H2 với để khối đa diện (H) Ví dụ Xét khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mặt phẳng BDD’B’ cắt khối lập phương theo thiết diện hình chữ nhật BDD’B’ Thiết diện chia điểm lại khối lập phương làm hai phần Mỗi phần với hình chữ nhật BDD’B’ tạo thành khối lăng trụ, có hai khối lăng trụ: ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Khi ta nói mặt phẳng (P) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ BCD.B’C’D’ Tương tự ta chia tiếp khối trụ ABD.A’B’D’ thành ba khối tứ diện: ADBB’, ADB’D’ AA’B’D’ Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện Nhận xét: Một khối đa diện phân chia thành khối tứ diện B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Về phía khối lăng trụ ta ghép thêm khối lăng trụ tam giác với khối lăng trụ cho, cho hai khối lăng trụ có chung mặt bên Hỏi khối đa diện lập thành có cạnh? A C 15 B 12 D 18 Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ đứng tứ giác nên có 12 cạnh Câu Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Về phía khối chóp ta ghép thêm khối chóp tứ diện có cạnh a, cho mặt khối tứ diện trùng với mặt khối chóp cho Hỏi khối đa diện lập thành có mặt? A B C D Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Khối lăng trụ lập thành khối lăng trụ tam giác nên có mặt Câu Tứ diện có mặt phẳng đối xứng A B C D Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện Giả sử (P) mặt phẳng đối xứng tứ diện S.ABC, phép đối xứng qua D(P) biến tứ diện thành nó, biến đỉnh thành đỉnh lại Với đỉnh S ta có trường hợp sau D P S S ba điểm lại phải có điểm bất động, điểm A (P) qua SA, hai điểm B C đối xứng với qua phép đối xứng D(P) nên (P) mặt phẳng trung trực của CB Nếu thay A B C ta có kết tương tự Tóm lại tứ diện ABCD có mặt phẳng đối xứng Vậy chọn đáp án C Câu Hình lập phương có mặt phẳng đối xứng ? A B C D Hướng dẫn giải Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có mặt phẳng đối xứng Ba mặt phẳng trung trực cạnh AB, AD, AA’ Sáu mặt phẳng chứa đường chéo hình lập phương Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện Vậy chọn đáp án D Câu Số mặt phẳng đối xứng hình bát diện là: A B C D Hướng dẫn giải Vậy chọn đáp án D Quy luật tìm mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên từ trung điểm cạnh mà tìm Đảm bảo chọn mp đối xứng điểm dư phải chia phía Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng điểm S S' điểm dư lại phải đối xứng qua ABCD Nếu chọn SBS'D điểm dư A C đối xứng qua SBS'D, Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện Câu Trong không gian cho hai vectơ u v Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép T M2 ảnh M1 qua phép T , Khi phép biến hình biến u v điểm M thành đểm M2 là: A Phép tịnh tiến theo vectơ u v B Phép tịnh tiến theo vectơ u C Phép tịnh tiến theo vectơ v D Một phép biến hình khác Hướng dẫn giải Theo định nghĩa phép tịnh tiên vectơ Tu M M1 MM1 u MM1 M1M2 u v MM2 u v Tv M1 M2 M1M2 v Như vậy, phép biến hình biến điểm M thành đểm M2 phép tịnh tiến theo vectơ u v Vậy chọn đáp án A Câu Có phép tịnh tiến biến đường thẳng thành nó? B A Không có C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu Trong không gian cho hai đường thẳng a b song song với Có phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng b? A Không có B C D Vô số Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu Trong không gian cho (P) (Q) hai mặt phẳng song song Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Không có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) B Có phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) C Có hai phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) D Có vô số phép tịnh tiến biến (P) thành (Q) Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Câu 10 Trong không gian cho hai tam giác ABC A’B’C’ ( AB A'B';AC A'C'; BC B'C' ) Chọn mệnh đề mệnh đề sau A Không thể thực phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác B Tồn phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác C Có nhiều hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page Chuyên đề: Hình học không gian Chủ đề 1: Khối đa diện giác D Có thể thực vô số phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Hướng dẫn giải Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực B' B phép tịnh tiến biến A' ABC thành A'B'C' phải có điều A kiện, hai tam giác ABC A’B’C’ ơhair nằm hai mặt phẳng song song (hoặc trùng nhau) C' C AB A'B',AC A'C' Khi phép tịnh tiến theo vectơ u A'A biến A'B'C' thành ABC phép tịnh tiến theo vectơ v A'A biến A'B'C' thành ABC Như có hai phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác Câu 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi I, J trung điểm cạnh AD, BC Phép tịnh tiến theo vectơ u AD biến tam giác A'I J thành tam giác A C’CD B CD’P với P trung điểm B’C’ C KDC với K trung điểm A’D’ D DC’D’ Hướng dẫn giải C' Gọi T phép tịnh tiến theo vectơ u AD Ta có B' K D' T I D,T J C,T A' K A' C Vậy T A'I J KDC B J D I A Vậy chọn đáp án C Câu 12 Cho hai mặt phẳng song song với Với M điểm bất kỳ, ta gọi M1 ảnh M qua phép đối xứng Đ M2 ảnh M1 qua phép đối xứng Đ Phép biến hình f Đ Đ Biến điểm M thành M2 A Một phép biến hình khác B Phép đồng C Phép tịnh tiến D Phép đối xứng qua mặt phẳng Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 10 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 30 5r S S x 2r 2r 3r 30r S' x 6r 30 6 r r S 75 Bảng biến thiên: r + S' + - - 75π S Dựa vào bảng biến thiên maxS 75 tương ứng r Thay r vào (3) (4) ta được: h 2,5 (cm) Vậy chọn đáp án A Câu 10 Trong hình nón tròn xoay có diện tích toàn phần Tính thể tích hình nón lớn nhất? A B 12 C 2 D Hướng dẫn giải Xét Stp R R ( chiều dài đường sinh) R2 1R R R R R Lúc đó: V R h R 3 V 2 R2 1 R R R2 R 2 R R 2R V R 2R 2 3 R 2 2 2R 2R 2 2 V 2R 2R 18 18 72 V 72 12 1 2 Đẳng thức (1) (2) xảy 2R 2R R2 1 R Vậy: max V tương ứng R ; 12 2 Vậy chọn đáp án B Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 17 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Câu 11 Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM x x a , nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông, người ta lấy điểm S với SA y y Với giả thiết x2 y2 a , tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.ABCM A 3a 42 B 3a 12 2a 2 C 3a D Hướng dẫn giải Xét x2 y2 a y a x2 V VSABCM a x a a x2 x Ta có max V xảy max 3V xảy Mà 3V S a x a x a x a 3a 3x 36 1 y Áp dụng BĐT Cauchy cho số không âm, ta có: 1 a x a x a x a 3a 3x 3V 36 M D O V2 x A a2 81a 3a a V a 36.3 36.3.16 64 B 2 Dấu đẳng thức (2) xảy a x 3a 3x x Do M trung điểm AD thể tích VSABCM C a a 3a cực đại max V Vậy chọn đáp án D Câu 12 Cho tam giác OAB có cạnh a Trên đường thẳng (d) qua O vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M với OM x Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên MB, OB Đường thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ A 3a B 3a C a 2 D 3a Hướng dẫn giải Để ý: AF MBO MNB A AF chiều cao hình chóp A.BMN 1 VABMN AF.SMNB AF.BO.MN a N O x M F B E Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 18 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU a AF Trong đó: BO a MN MO ON x ON Do đó: VABMN x ON Mặt khác, ta có: NOF ∽ BOM NO OF a2 OM.NO BO.OF x.ON const BO OM Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: x ON a2 a 2 Dấu đẳng thức (*) xảy x ON x ON a x ON * a 2 a 2 Vậy thể tích tứ diện ABMN nhỏ khi: x a Vậy chọn đáp án C Câu 13 Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD với AB 2a Trên mặt phẳng chứa BC vuông góc với (P) lấy điểm E cho EBC tam giác đều; điểm I nằm đoạn BC, đặt: BI x O trung điểm AE Câu 13.1 Tính độ dài OI theo a x x2 ax 2a A B x2 ax 2a C x2 ax 2a x2 ax 2a D Hướng dẫn giải Định lý đường trung tuyến cho: OI 2AI 2EI AE2 EF2 3a Với AF2 5a OI x2 ax 2a 2 2 2 AE AF EF 8a , AI 4a x Vậy chọn đáp án B Câu 13 Tìm x để độ dài OI lớn A a B 2a C a D a Câu 13.3 Tìm x để độ dài OI bé Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 19 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU B 2a a A C a D a Hướng dẫn giải Ta viết: OI2 f x x2 ax 2a ; x 0; 2a f ' x 2x a x a Dựa vào bảng biến thiên, ta có: E O B x -∞ f'(x) A x F I a (a 2)2 f(x) C +∞ + a (2a)2 2 D 2a 2a max f x f 2a 2a max OI S 2a 2a 0x2a 0x2a a a f x f a a OI S 2 2 0x2a 0x2a Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB CD 2x cạnh lại có độ dài Xác định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn A B C 2 D Hướng dẫn giải Nhận thấy mặt tứ diện tam giác 1 Suy ra, diện tích toàn phần tứ diện là: Stp 4SACD 2AI.CD Với AI đường cao CAD cân A, ta có: 1 AI x ; x 1 S 2.2x x2 4x x2 ; x 1 Nhận thấy: max S max x x max 16x2 x2 A 2x 1 B D Áp dụng BĐT Cauchy: S 2tp 16x x 2 x2 x2 16 4 2 C 2x I Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 20 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Dấu đẳng thức (2) xảy x2 x x 2 diện tích toàn phần tứ diện đạt giá trị lớn max Stp 2 Vậy chọn đáp án B Vậy với x Câu 15 Cho tứ diện ABCD cho AB 2x, CD 2y cạnh lại có độ dài Xác định x y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn A x y B x y C x y 2 D x y Hướng dẫn giải Gọi M, N trung điểm AB, CD A Ta có: ABD cân D DM AD AM x 2 Tương tự: AN y Lúc đó: SABC S ABD 2x B D AB.DM x x2 1 Hoàn toàn tương tự: S BCD SACD y y N 2y C Vậy diện tích toàn phần S tứ diện là: Stp SABC SABD S BCD S ACD x x2 y y Áp dụng BĐT Schwart, ta có: 1 Stp x x2 y y x2 x2 y y S x x 2 xy Dấu đẳng thức (1) xảy y y 2 Vậy max S x y Vậy chọn đáp án B Câu 16 Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB nhị diện vuông Biết SB a , góc BSC , góc ASB ; Với giá trị VSABC lớn A B C D Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 21 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Thể tích tứ diện SABC là: S BC.SSAB VSABC a 2SA.AB VSABC α 45° a AB sin AB a sin SB Với ý: cos SA SA a cos SB C A B a3 sin 2 Khi đó: VSABC a 2.a sin .a cos 6 Vậy: max VSABC sin 2 Vậy chọn đáp án D Câu 17 Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C Giả sử A, B, C thay đổi có: OA OB OC AB BC AC k không đổi Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC 1 k A 6 33 1 k B 6 33 1 k C 6 33 1 k D 3 Hướng dẫn giải Ta có: OA OB OC AB BC AC k a b c a b2 b2 c a c k A Với a 0, b 0, c Áp dụng BĐT Cauchy: a b c abc a b2 2ab b2 c 2bc a c 2ac 1 2 3 4 a O c C b B Lấy: áp dụng BĐT Cauchy ta có: a b2 b2 c a c 2ab 2bc 2ac 3 abc 5 Thể tích hình chóp: VSABC abc 6VSABC abc Tương tự: 1 lại áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 22 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU 1 5 k 33 VSABC abc k 1 k 6 33 6 6.VSABC 7 Dấu đẳng thức (7) xảy đồng thời (5) (6) xảy a b c 1 k Vậy max VSABC a b c 6 33 Vậy chọn đáp án A Câu 18 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM x Mặt phẳng qua M song song với SA BD cắt SO, SB, AB N, P, Q Cho SA a Tính x để diện tích MNPQ lớn A a 2 B a C a D a Hướng dẫn giải Nhận xét: Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Thật Vì SB SD Hai tam giác SBC SDC Gọi I trung điểm SC, ta có: IB ID BID cân I IO BD Mà IO∥SA SA BD Mp ∥BD cắt hai mặt phẳng (ABO) (SBO) theo hai giao tuyến: MQ∥NP∥OB Mp ∥SA cắt hai mặt phẳng (SAO) (SAB) theo hai giao tuyến: MN∥PQ∥SA Vậy MNPQ hình bình hành A Biết SA OB MNPQ hình chữ nhật Ta có: SMNPQ MQ.MN N Biết tam giác AMQ vuông cân M MQ MA x a x NM OM NM a 2x NM Và SA OA a a 2 Vậy SMNPQ x a x (với x a ) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số x a x I P D A Q M a O B C x ax a2 Ta có: x a x Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 23 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU x ax Vậy a2 a2 a2 SMNPQ 8 Dấu “=” xảy x a x x a 2 a M trung điểm AO Vậy chọn đáp án B Câu 19 Cho tam diện Oxyz có góc xOy yOz zOx Trên Ox, Oy, Oz lấy A, B, C cho OA OB OC x Tính để diện tích xung quanh lớn A B C D Hướng dẫn giải xOy yOz zOx Vì OA OB OC x OAB OBC OAC AB BC CA O Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC α OH trục tam giác ABC Ta có: S xq 3SOBC max S xq x x x x sin C A H x sin 2 M B Vậy chọn đáp án A Câu 20 Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SA x, x 0, , tất cạnh lại có độ dài Xác định x để hình chóp tích lớn A 3 B C D Hướng dẫn giải Dễ thấy hai tam giác SBD CBD (c.c.c) OS OC OS OC OA S ASC vuông S S ABCD AC.BD x ASC vuông cho AC x2 A D COD vuông O cho: O H B C Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 24 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU OD CD2 OC2 Vậy S ABCD x2 x2 x2 x2 Vì SB SC SD SH trục tam giác BCD SH AC x 1 x2 Tam giác ASC vuông cho: SH 2 2 x SH SC SA x x2 1 x2 x2 x x2 Ta có: V 6 x Áp dụng BĐT Cauchy: Vậy Vmax 1 3 x x2 x2 x2 x2 x Vậy chọn đáp án C Câu 21 Trong hình trụ có diện tích toàn phần không đổi 2a Tìm thể tích hình trụ lớn A 3a 3 B 3a C 3a D a 3 Hướng dẫn giải Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình trụ Theo giả thiết ta có: 1 2x2 2xy 2a x2 xy a Thể tích hình trụ là: V x2 y Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: x2 , xy xy , , ta có: 2 xy xy x4 y2 x4 y2 x4 y2 2a 3 x 3 a 3 a 27 x y 2 4 3 a x xy a 2a 2a Vậy V Suy max V Dấu “=” xảy x 3 3 y 2a 3 Vậy chọn đáp án D Câu 22 Trong hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích đáy không đổi 2a Tìm thể tích hình trụ lớn A 3 B C 6a D Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 25 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Nếu hình trụ hở đáy, ta có: x2 2xy 2a x2 2xy 2a Thể tích hình trụ: V x2 y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: x2 , xy, xy Ta có: x xy xy 3 x y 2a 3 x y 2 6a a 8a 27x y x y x y V 9 3 max V 2 2a 2 6a 2a 2 xya Dấu “=” xảy khi: x xy 3 Vậy chọn đáp án C Câu 23 Trong tất hình trụ có thể tích V, tính diện tích toàn phần hình trụ nhỏ A 33 V B 33 V C 33 V D 33 V Hướng dẫn giải Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: S 2x2 2xy V x2 y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: x2 , xy xy , 2 Ta có: xy xy x xy xy x4 y x2 xy x 2 S 2 V 27 V V S3 S 33 27 4 2 V x xy V 2 Dấu “=” xảy khi: x 2 y V 2 Vậy chọn đáp án A Câu 24 Trong tất hình nón có diện tích toàn phần a , tìm hình nón tích lớn Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 26 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU A max V a 11 B max V a 12 C max V a 13 D max V a Hướng dẫn giải Gọi x, y chiều cao, bán kính đáy hình nón, ta có: y y x y a V y x 1 2 Từ (1) ta có: y x2 y2 a y2 y a y a 2 a4 2 y x y a 2a y y y x 2a x V a x 2a Biết: x2 2a 2a x x 2a 2a (BĐT Cauchy) x x x2 2a 2 2a Suy V a 12 x a 2a a Dấu “=” xảy khi: x Vậy: max V a 12 x y Vậy chọn đáp án C Câu 25 Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a , tìm hình nón tích lớn A MaxV a 3 27 B max V a C max V 3 a 23 D max V a 13 Hướng dẫn giải x2 y2 a Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình nón, ta có: V x y x2 x2 , , y , ta có: Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: 2 x2 x2 y2 3 x4 y2 a 3 x4 y2 2 a6 a3 x4 y2 x2 y 27 3 V a 3 a 3 MaxV 27 27 Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 27 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU x a x a Dấu “=” xảy khi: y2 y a 2 Vậy chọn đáp án A Câu 26 Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp hình trụ có bán kính r chiều cao h r h A V r h B V r h C V r h D V Hướng dẫn giải Gọi x, y bán kính chiều cao hình nón ngoại tiếp Thể tích hình nón là: V x y S Các tam giác SOE SID đồng dạng cho : y yh hx hx V y xr x r xr r D 2 x r r x r r Xét biểu thức: 1 3 r x r 2 x C h y x r r 2r Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: , , x x x E A O B F r r 2r 2 r r 2r x x x Ta có: x x x 27 r r x3 27r 1 xr x x 27 Vậy: xr x3 27r Dấu “=” xảy khi: r h r h x3 27r V V 4 xr r r 3r 21 x x x Vậy chọn đáp án C Câu 27 Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, thiết diện qua trục tam giác cạnh 2R Người ta cho hình cầu nội tiếp với mặt bên hình nón Tính bán kính hình cầu để phần thể tích chung hình nón hình cầu lớn A R B R 3 C R 2 D R Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 28 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Giả sử mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt bên hình nón Thể tích phần chung hình cầu hình nón cho công thức: V CD2 3x CD S Biết rằng: CD SC DS SC SO OD SC OD SO 30° R x 2x R x Vậy V R x 4x R D R O Gọi E trung điểm SB, tiếp điểm M phải thuộc đoạn EB R SM 2R R 2R x 3 R x 2x A R 2R 2x 2x R 3 R x R x 2x R x 4x R R Suy ra: V B R ta có: 3 3 3 R max V R 4 Dấu “=” xảy khi: R x 2x x C R 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: R x,R x 2x E M R R R R CD SC x R 2 Vậy CD x Tâm O mặt cầu trùng với trung điểm C cạnh AB Vậy chọn đáp án A Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 29 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Để sử dụng file word, quý thầy cô vui lòng đóng góp chút kinh phí để tạo động lực cho tác giả đời chuyên đề khác hay STT TÊN TÀI LIỆU GIÁ KĨ THUẬT GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC_123 MÃ SỐ 60K SO PHUC_123 50K HHKG_KDD 110 K HHKG_TTKC 70K HHKG_TTLT 110 K HHKG_NTC 130 K HHKG_KC 50K HHKG_GOC Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 1-6} CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 7-11} CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 12-21} CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 22-26} CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang} Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 27-36} CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang} Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 37-49} CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang} Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 50-54} CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC 80k KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang} HHKG_CT Tặng đề word thi thử THPT Quốc gia 2017 (có đáp án lời giải chi tiết) {Đề 55-63} Hướng dẫn toán Quý thầy cô toán cho qua ngân hàng Sau chuyển khoản, gửi tài liệu cho quý thầy cô Nếu ngày mà thầy cô chưa nhận vui lòng gọi điện trực tiếp cho Thầy cư SĐT: 01234332133 NGÂN HÀNG TÊN TÀI KHOẢN TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ TRẦN ĐÌNH CƯ SỐ TÀI KHOẢN 4010205025243 0161000381524 55110000232924 CHI NHÁNH THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ THỪA THIÊN HUẾ Nội dung: Họ tên_email_ma tai liệu Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 30 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU Ví dụ: Nguyễn Thị B_nguyenthib@gmail.com_HHKG_TTKC Lưu ý: Thầy cô đọc kỹ file PDF trước mua, tài liệu mua dùng với mục đích cá nhân, không bán lại chia sẻ cho người khác CHÚC QUÝ THẦY CÔ DẠY TỐT VÀ THÀNH CÔNG TRONG SỰ NGHIỆP TRỒNG NGƯỜI Ths Trần Đình Cư Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế SĐT: 01234332133 Page 31