Bài 1: (2.5 điểm ). a. Phân tích đa thức thành nhân tử: b. Giải phương trình: c. Tìm đa thức biết: chia cho dư 5; chia cho dư 7; chia cho được thương là và đa thức dư bậc nhất đối với . Bài 2: (2.0 điểm). Cho: với ; . Chứng minh: a. chia hết cho 19. b. không phụ thuộc vào và . Bài 3: (1,5 điểm) a. Chứng minh: b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB Bi 3: (1,5 im) a Chng minh: a + 5b2 (3a + b) 3ab b Tỡm cac nghiờm nguyờn cua phng trinh: x + y + x = 19 Bi 4: ( 4.0 im) Cho tam giac ABC nhn (AB6 HE HF HG Ht./ H v tờn thớ sinh .SBD. PHềNG CHNG GD&T THANH P N THI KSCL MI NHN NM HC 20132014 MễN THI: TON Cõu í Ni dung Cõu õc x + xy + y = ( x2 9) + 2y(x + 3) = (x 3)(x + 3) + 2y(x + 3) =(x+ 3)(x + 2y 3) Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M i m 0.5 Tuyn thi HSG Toỏn b c a b Cõu x x x x 2012 + + + + = 2012 2013 2012 2011 x x2 x x 2012 + 1+ + + = 2013 2012 2011 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 1 + + + + = (x 2014)( + + + ) 2013 2012 2011 2013 2012 =0 x = 2014 Gi d phộp chia f(x) cho x2 - l ax + b Ta cú : f(x) = (x 2)(x 3)(x2- 1) + ax + b Theo bi : f(2) = nờn ta cú 2a + b = ; f(3) = nờn 3a + b = HS tớnh c a = ; b = Vy a thc cn tỡm l : f(x) = (x 2)( x 3)(x2 - 1) + 2x + P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n) Ta cú : 19 2014n M19 ; (2014n -1995n) M19 nờn P M19 ( x + n)(1 + n) + n x + x + x n + n + n + n x + = ( x n)(1 n) + n x + x x n + n n + n x + x (n + n + 1) + n + n + (n + n + 1)( x + 1) ( n + n + 1) = 2 = = x (n n + 1) + n n + (n n + 1)( x + 1) ( n n + 1) Q= 0.5 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0,25 0.5 0.25 0.25 Vy Q khụng ph thuc vo x a Cõu b (n + ) + n2 + n + >0 = Q= n n + (n ) + a + 5b (3a + b) 3ab 2a2 + 10b2 6a -2b 6ab +10 a2 6ab +9b2 + a2 6a + + b2 - 2b +1 (a 3b)2 +(a - 3)2 + (b 1)2 Du ô = ằ xy a = ; b = x + y + x = 19 2x2 + 4x + = 21 3y2 2(x + 1)2 = 3(7 y2) (*) Xột thy VT chia ht cho nờn 3(7 y2) M2 y l (1) Mt khac VT 3(7 y2) y2 (2) T (1) v (2) suy y2 = thay vo (*) ta cú : 2(x + 1)2 = 18 HS tớnh c nghim nguyờn ú l (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1) Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 Tuyn thi HSG Toỏn 0.25 A F K G H I B E M C N D Cõu a b 0.75 CE CA Ta cú AEC : BFC (g-g) nờn suy = CF CB CE CA Xột ABC v EFC cú v gúc C chung nờn suy ABC : EFC ( c-g- 0.75 = CF CB c) Vỡ CN //IK nờn HM CN M l trc tõm HNC MN CH m CH AD (H l trc tõm tam giac ABC) nờn MN // AD Do M l trung im BC nờn NC = ND IH = IK ( theo Ta let) 0.5 0.25 0.25 0.25 AH S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = = HE SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC BH S BHC + S BHA CH S BHC + S AHC Tng t ta cú BF = S v CG = S BHA AHC 0.25 Ta cú: c AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC + + + + = S BHC S AHC S BHA HE HF HG S S S S S S = AHC + ABH + BHC + BHA + BHC + AHC Du = tam giac ABC u, m S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA theo gt thỡ AB < AC nờn khụng xy du bng Lu ý: - Hc sinh gii cỏch khỏc m ỳng cho im ti a - Hc sinh khụng v hỡnh hoc v hỡnh sai c bn thỡ khụng chm bi hỡnh Bi 1: (3 im) Cho biu thc: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M 0.5 0.25 Tuyn thi HSG Toỏn a) Phõn tớch biu thc A thnh nhõn t b) Chng t giỏ tr biu thc A chia ht cho 24 vi mi giỏ tr n N Bi 2: (4 im) Cho biu thc x + x + A= x x + x x x + 2006 ữì x2 x a) Tỡm iu kin ca x biu thc xỏc nh b) Rỳt gn biu thc A c) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x biu thc A nhn giỏ tr nguyờn Bi 3: (6 im) a) Tỡm a, b, c thuc Z bit a + b + c + ab + 3b + 2c b) Cho hai s t nhiờn a v b ú a = b Chng minh rng b3 a3 vit c di dng tng ca ba s chớnh phng Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC vuụng A, ng cao AH Gi I, K ln lt l hỡnh chiu ca H trờn AB v AC, gi M l trung im ca BC Chng minh rng AM vuụng gúc vi IK Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A (AC > AB), ng cao AH Trờn tia HC ly HD = HA, ng vuụng gúc vi BC ti D ct AC ti E a) Chng minh AE = AB b) Gi M l trung im ca BE Tớnh s o gúc AHM -HT - Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn P N V HNG DN CHM MễN TểAN Bi (3 im): ỏp ỏn im a) A = n + 6n + 11n + 6n = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n(n3 + n2 + 5n2 + 5n + 6n + 6) = n[n2(n + 1) + 5n(n + 1) + 6(n + 1)] = n(n + 1)(n2 + 5n + 6) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) b) A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Trong ú l tớch s t nhiờn liờn tip cú mt s chia ht cho A M3 (1) s t nhiờn liờn tip cú hai s chn liờn tip, s chn liờn tip cú mt s chia ht cho v mt s chia ht cho Nờn tớch s t nhiờn liờn tip chia ht cho A M8 (2) v l hai s nguyờn t cựng (3) T (1), (2), (3) A M(3.8) A M24 n N 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Bi (4 im): x x a) Điều kiện: 0,5 2 b) A = ( x + 1) ( x 21) + x x x + 2006 x x = ( x + + x 1)( x + 12 x + 1) + x x ìx + 2006 x x = x + x x ìx + 2006 x x x + 2006 = x c) Ta cú A nguyờn (x + 2006) Mx 2006Mx Vy x l c ca 2006 x 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Bi (6 im): a) (3 im)Tỡm a, b, c thuc Z bit a + b + c + ab + 3b + 2c a + b + c + ab 3b 2c a ab + 0,5 b 3b + 3b + + c 2c + 4 0,5 b b a ữ + ữ + ( c 1) 0,5 V trỏi l tng bỡnh phng nờn luụn Võy tha yờu cu ca bi thỡ 0,25 2 b b a ữ + 1ữ + ( c 1) = Gv: Nguyn Vn Tỳ 0,25 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn b a = a = b Vy = b = 2 c = c = 1,0 b) (2 im) b3 - a3 = ( a + ) a3 = a3 + 6a2 + 12a + a3 = 6a2 + 12a + = a2 + a2 + 4a + + 4a2 + 8a + = a2 + a2 + 4a + + 4a2 + 8a +4 = a2 + (a + 2)2 + (2a + 2)2 (PCM) 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 Bi (3 im): V hỡnh ỳng 0,5 A K I B O H N M C T giỏc AIHK l hỡnh ch nht (cú gúc vuụng) 0,25 Gi O l giao im ca AH v IK N l giao im AM v IK BC AM = MC = (Tớnh cht trung tuyn ng vi cnh huyn ca tam giỏc 0,5 0,5 ã ã vuụng) MAK = MCK 0,5 ãOKA = OAK ã 0,5 (Tớnh cht ng chộo hỡnh ch nht) ã ã ã ã 0,25 MAK + OKA = MCK + OAK = 90 AM IK Bi (4 im): V hỡnh ỳng Gv: Nguyn Vn Tỳ 0,5 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn 0,5 0,5 0,25 0,5 a) T E k EI PBC ( I AH ) T giỏc HDEI cú ba gúc vuụng nờn l hỡnh ch nht IE = HD m HD = AH (gt) IE = AH D dng chng minh c hai tam giỏc vuụng ABH v EAI bng nhau, suy AE = AB b) tam giỏc vuụng cõn ABE : cú AM l trung tuyn thuc cnh huyn nờn AM = BE (1) cng chng minh tng t vi tam giỏc vuụng BDE, ta cú : DM = 0,5 0,5 0,5 0,25 BE (2) t (1) v (2) suy AM = DM ADM cõn ti M gi K l trung im ca AD MK AD tam giỏc vuụng cõn AHD thỡ HK AD ti K ch cú mt ng thng nht vuụng gúc vi AD nờn MK v HK trựng , nờn ãAHM chớnh l ãAHK Trong tam giỏc vuụng cõn AHK thỡ ãAHK = 450 ãAHM = 45 Bài : (2 điểm) Cho biểu thức : A=(x+ ) : (1 ) x x x a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Bài : (2 điểm) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác thoả mãn : Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn ( a + b 2c )2 + ( b + c 2a )2 + ( c + a 2b )2 = ( a b )2 + ( b c )2 + ( c a)2 Hai tam giác tam giác ? Bài : (2 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phơng trình : 3x2 + 6y2 + 3z2 + 3y 2z2 18x = Bài : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D; E theo thứ tự di chuyển cạnh AB; AC cho BD = AE Xác định vị trí D; E cho: a) DE có độ dài nha nhất; b) Tứ giác BDEC có diện tích nha Bài : (1 điểm) Tìm tỉ lệ ba cạnh tam giác, biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tỉ lệ kết 5:7:8 Bài : (1 điểm) Cho hình thang cân ABCD, O điểm nằm hình thang Chứng minh tồn tứ giác có đỉnh thuộc cạnh hình thang có độ dài cạnh OA, OB, OC, OD Chú ý: Giám thị không giải thích thêm Đa khảo sát hsg lớp Môn : Toán Bài : ( điểm ) a/ A có nghĩa x x Ngày:11/2 x +x+2 Rút gọn đợc : A = x +1 b/ A = x + x +1 A Z x + U (2) x { 2;3;0;1} 1/4 điểm điểm 1/2 điểm 1/2 điểm Kết hợp với điều kiện có x = -2; -3 Bài : ( a + b 2c )2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab 4bc 4ca ( b + c 2a)2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc 4ca 4ab ( c + a + 2b )2 = c2 + a2 + 4b2 + 2ca 4bc 4ab ( a + b 2c )2 = (b + c 2a)2 + ( c + a + 2b )2 = 3( a b)2 + 3( b c)2 + 3( c a )2 Do ta có : 3(( a b)2 + 3( b c)2 + 3( c a )2 = ( a- b )2 + (b c)2 + ( c a)2 ( a- b )2 + (b c)2 + ( c a)2 = a = b = c Vậy tam giác tam giác Gv: Nguyn Vn Tỳ 1/2 điểm 3/4 điểm 1/2 điểm 1/4 điểm Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Bài : 3x2 + 6y2 + 3z2 + 3y 2z2 18x = 3(x- 3)2 + 6y2 + 3z2 + 3y 2z2 = 33 3( x 3)2 11 ( Vì 6y2 0,3z 0,3 y z ) ( x )2 = ; ; 4; Tìm đợc : ( x, y, z ) = ( 6; 1; ) ; ( 6; -1; ) ; ( 0; 1; ) ; ( 0; -1; ) Bài 4: a) Gọi M N trung điểm AB AC, sau kẻ DP EQ MN Chứng minh: MPD = NQE (ch-gn) MP = NQ PQ = MN Chứng minh: DE PQ Vậy DE nha D M E N B M P D A E N C Q b) Nhận xét: SBDEC = SABC - SADE, SBDEC nha SADE lớn nhất, 2 AD+AE AB ữ ữ mà 2.SADE = AD.AE = 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Nên SADE lớn AD = AE D M E N Vậy SBDEC nha D M E N Bài 5: h a +h b h b +h c h c +h a = = Giả sử = h; theo tính chất dãy tỉ số ta tính đợc = 3h; hb = 2h hc = 5h (1) Nếu gọi S diện tích tam giác ta có: aha = bhb = chc = 2S thay (1) vào ta có dãy đẳng thức: a.3h = b.2h = c.5h 3a = 2b = 5c a b c = = 10 15 0,5 đ 0,5 đ Vậy: Ba cạnh tơng ứng tam giác tỉ lệ với 10; 15 Bài : Kẻ OM song song AD, OP song song AB suy OB = MP, OC = PN Gọi { I } = AN DM , K đối xứng với O qua I Có KN = OA, KM = OD Vậy MPNK tứ giác cần tìm 0,5 điểm 0,5 điểm đề Câu Tìm số có chữ số: a1a a thoã mãn điều kiện a b sau: a) a1a 2a = ( a a ) b) a 4a 5a a a = ( a a ) Câu Chứng minh rằng: ( xm + xn + ) chia hết cho x2 + x + ( mn 2) áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phơng trình: Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn 1 + + + 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gọi S1 , S2, S3 S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chứng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nha nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Từ (1) (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 số 57613824 b) a7a8 = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r với r n = 3t + s với s xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr xr + x3t xs xs + xr + xs + = xr( x3k 1) + xs ( x3t 1) + xr + xs +1 ta thấy: ( x 3k 1) ( x2 + x + 1) ( x3t ) ( x2 + x + 1) vậy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) với r ; s r = s =1 => m = 3k + n = 3t + r = s = m = 3k + n = 3t + mn = ( 3k + 2) ( 3t + 1) = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn = ( 3k + 1) ( 3t + 2) = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn 2) Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn = 12 ( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + Câu Giải PT: 1 + + + x = (1.2 + 2.3 + + 2006.2007 ) 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 Nhân vế với ta đợc: 2 + ++ x = 2[ (1.2( 0) + 2.3( 1) + + 2006.2007( 2008 2005) ) ] 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4 Gv: Nguyn Vn Tỳ 10 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Tng t: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25im) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25im) b) p dng tớnh cht phõn giỏc vo cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5im ) BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 (0,5im ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5im ) BI AN.CM = BN.IC.AM c)V Cx CC Gi D l im i xng ca A qua Cx (0,25im) -Chng minh c gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC (0,25im) - Xột im B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25im) - BAD vuụng ti A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25im) AB2 + 4CC2 (BC+AC)2 4CC2 (BC+AC)2 AB2 Tng t: 4AA2 (AB+AC)2 BC2 4BB2 (AB+BC)2 AC2 (0,25im) -Chng minh c : 4(AA2 + BB2 + CC2) (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25im) (ng thc xy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u) Đề S 44 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n + 3n +2 2n + 6n Có giá trị số nguyên n +2 c, Câu 2: (5điểm) a, D= n5-n+2 số phơng Chứng minh : (n 2) a b c + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + Gv: Nguyn Vn Tỳ 103 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn b, Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a + + + + b2 c2 a2 b a c c, Câu 3: (5điểm) a, Giải phơng trình sau: x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 c, x -y +2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b Chứng minh: 1 + = AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 n +2 B có giá trị nguyên n2+2 Câu n2+2 ớc tự nhiên (5điểm) n2+2=1 giá trị thoả mãn Hoặc n +2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) [ ( n 4) + 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1) (n+1)+2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 Vậy D chia d Do số D có tận 7nên D số phơng Vậy giá trị n để D số phơng b, (2điểm) B=n2+3n- a b c + + = ab + a + bc + b + ac + c + ac abc c + + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + Điể m 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1điểm) Gv: Nguyn Vn Tỳ 104 0,5 0,5 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn b, (2điểm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu (5điểm) a+b+c=0 a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) 4 Từ (1)và(2) a +b +c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu a2 b2 a b a + = ; b c c b c 2 c b c b b + = 2 a c a a c a2 c2 a c c + = ; b a b b a 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2( + + ) 2( + + ) b c a c b a 2 a b c a c b + + + + b2 c2 a c b a x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) + ( 2) + ( 3) = 86 84 82 x 300 x 300 x 300 + + =0 86 84 82 1 (x-300) + + = x-300=0 x=300 Vậy S = { 300} 86 84 82 a, (2điểm) Câu b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 (5điểm) (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k= 8,5 Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 1 x= ; x = Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiệm Vậy S = , c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1) Gv: Nguyn Vn Tỳ 105 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đờng cao) S DAB SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC E 0,5 K I N O F 0,5 M C D EO 0,5 B AO Câu b, (2điểm) Vì EO//DC DC = AC Mặt khác AB//DC (5điểm) 1,0 0,5 1,0 1,0 AB AO AB AO AB AO EO AB = = = = DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 = = + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đ- ờng thẳng KN đờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN THI S 45 Bài 1: (1.5đ) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 xz 9y2 + 3yz b) 4x4 + 4x3 x2 - x Bài 2: (2.5đ) Cho biểu thức P=( 6x x + 3x + ): ( - ) x x 3x + x 27 x + x + x + 27 x + a) Rút gọn P b) Với x > P không nhận giá trị nào? c) Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên Bài 3: (1.5đ) Giải phơng trình a) x3 3x2 + = 1 b) + .1 + + + 1.3 2.4 3.5 31 = x( x + 2) 16 Bài 4: (1đ) Giải phơng trình Cho số a, b, c số dơng nha Chứng minh số a(2 - b); b(2 c); c(2 a) đồng thời lớn Bài 5: (3.5đ) Cho tam giác ABC vuông A, gọi M điểm di động cạnh AC, từ C vẽ đ ờng thẳng vuông góc với tia BM H, cắt tia BA O Gv: Nguyn Vn Tỳ 106 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Chứng minh rằng: a) OA.OB = OC.OH b) OHA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH + CM.CA không đổi Biểu điểm đáp án toán Bài 1: (1.5đ) Câu a: (0.57đ) = (x2 - 9y2) (xz - 3yz) = (x - 3y)(x + 3y) z(x - 3y) = (x - 3y)(x + 3y - z) Câu b: (0.75đ) = x(4x3 + 4x2 x 1) 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ = x[ x ( x + 1) ( x + 1) ] 0.25đ = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) Bài 2: (2.5đ) Câu a: 1đ x ( x + 3) 6x + : ( x + 9)( x + 3) x + x ( x 3)( x + 9) P= x+3 x + 6x : = x + ( x 3) x + = = ( x + ( x 3) ( x x2 +9 0.25đ 0.25đ 0.25đ ) + 9) 0.25đ ( x 3) x+3 x3 0.25đ Câu b: (0.75đ) P= x+3 x Px - 3P = x + 0.25đ (P 1)x = 3(P + 1) x= Ta có: x > x = 3( P + 1) P 3( P + 1) P +1 >0 >0 P P P + > P > P > P + < P < P < Vậy không nhận giá trị từ -1 đến Gv: Nguyn Vn Tỳ 0.25đ 107 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Câu c: 0.75đ ĐKXĐ: x P= x +3 x 3+6 = = 1+ x3 x x 0.25đ P nhận giá trị nguyên x - 30 Ư (6) = { 1;2;3;6} Từ tìm đợc x { 4;2;5;1;6;0;9;3} 0.25đ Kết hợp với Đ/C x ; x z ta đợc x { 4;2;5;1;6;0;9} 0.25đ Vậy x { 4;2;5;1;6;0;9} P nguyên Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ) Câu a: (0.75đ) - Đa đợc dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0.50đ x =1 x = Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1; x = Câu b: (0.75đ) ĐK: x N*n - Đa dạng 0.25đ 2 ( x + 1) 31 = 1.3 2.4 3.5 x ( x + 2) 16 0.25đ 2( x + 1) 31 = x+2 16 0.25đ Từ tìm đợc x = 30 (t/m x N*) Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 Bài 4: (1đ) Giả sử a(2 b) > 1; b.(2 c) >1; C(2 a) > abc (2 b)(2 c)(2 a) > (1) < a < nên a > Do a + (2 a) = không đổi, suy a(2 a) lớn a=2a a=1 Tơng tự b(2 b) lớn b = 0.25đ 0.25đ c(2 c) lớn c = Vậy a (2 - a) b(2 b) c(2 c) 1.1.1 = (2) Dấu = xảy a = b = c =1 0.25đ (1) (2) mâu thuẩn Do số a(2 b); b(2 c); c(2 C a) K đồng thời lớn 0.25đ Bài 5: (3.5đ) H M Gv: Nguyn Vn Tỳ O 108 A Trng THCS Thanh M B Tuyn thi HSG Toỏn Câu a: (1đ) Chứng minh: B0H C0A (g.g) 0.5đ 0B 0H = 0A.0B = 0C.0H 0C A 0.25đ Câu b: (1.25đ) 0B 0H = 0C A (suy từ B0H C0A) A 0H = 0C B 0.25đ - Chứng minh 0HA 0BC (c.g.c) OHA = OBC (không đổi) 0.25đ Câu c: (1.25đ) Vẽ MK BC - BKM BHC (g.g) BM BK = BC BH BM.BH = BC.BK CKM (1) 0.5đ 0.25đ CAB (g.g) CM CK = CM.CA = BC.CK CB CA (2) 0.25đ - Cộng vế (1) (2) ta đợc: - BM BH + CM CA = BC BK + BC CK = BC (BK + CK) = BC2 (không đổi) 0.25đ THI S 46 Cõu 1: (4,0 im) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t : a) 3x2 7x + 2; b) a(x2 + 1) x(a2 + 1) Cõu 2: (5,0 im) Cho biu thc : +x x2 x x x A =( ):( ) x x + x x x d) Tỡm KX ri rỳt gn biu thc A ? e) Tỡm giỏ tr ca x A > 0? f) Tớnh giỏ tr ca A trng hp : |x - 7| = 109 Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Cõu 3: (5,0 im) c) Tỡm x,y,z tha phng trỡnh sau : 9x2 + y2 + 2z2 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z + + = + + = d) Cho v x y z Chng minh rng : + + = a b c a b c Cõu 4: (6,0 im) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo AC ln hn ng chộo BD Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca B v D xung ng thng AC Gi H v K ln lt l hỡnh chiu ca C xung ng thng AB v AD d) T giỏc BEDF l hỡnh gỡ ? Hóy chng minh iu ú ? e) Chng minh rng : CH.CD = CB.CK f) Chng minh rng : AB.AH + AD.AK = AC2 HNG DN CHM THI Ni dung ỏp ỏn im Bi a 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 3x 7x + = 3x 6x x + = = 3x(x -2) (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) x(a2 + 1) = ax2 + a a2x x = = ax(x - a) (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bi 2: a KX : x x x x 2 + x x 3x x x x + x x2 x x 3x (2 + x) + x (2 x) x (2 x) A=( ):( ) = = x x + x x x3 (2 x)(2 + x) x ( x 3) x2 + 8x x (2 x ) = (2 x )(2 + x) x = Gv: Nguyn Vn Tỳ x( x + 2) x(2 x) 4x2 = (2 x)(2 + x)( x 3) x 110 1,0 1,0 0,5 0,25 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Vy vi x 0, x 2, x thỡ A = 4x x 0,25 b 1,0 Vi x 0, x 3, x : A > x > x > 3(TMDKXD ) 4x >0 x 0,25 0,25 0,25 1,0 Vy vi x > thỡ A > c x = x7 = x = x = 11(TMDKXD ) x = 3( KTMDKXD ) Vi x = 11 thỡ A = 0,25 0,5 0,25 121 0,25 Bi a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 18x + 9) + (y2 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1) 0;( y 3) 0;( z + 1) Nờn : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vy (x,y,z) = (1,3,-1) b T : Ta cú : a b c ayz+bxz+cxy + + =0 =0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z xy xz yz + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc 2 x y z cxy + bxz + ayz + + +2 =1 a b c abc x2 y z + + = 1(dfcm) a b c Bi Gv: Nguyn Vn Tỳ 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 6,0 111 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn H C B 0,25 F O E A D K a 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 Ta cú : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chng minh : BEO = DFO( g c g ) => BE = DF Suy : T giỏc : BEDF l hỡnh bỡnh hnh b ã ã Ta cú: ãABC = ãADC HBC = KDC Chng minh : CBH : CDK ( g g ) b, CH CK = CH CD = CK CB CB CD 0,5 1,75 0,25 Chng minh : AFD : AKC ( g g ) AF AK = AD AK = AF AC AD AC Chng minh : CFD : AHC ( g g ) CF AH = CD AC CF AH = AB AH = CF AC M : CD = AB AB AC 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (fcm) 0,25 THI S 47 Bi 1(3 im): Tỡm x bit: a) x2 4x + = 25 x 17 x 21 x + + + =4 b) 1990 1986 1004 c) 4x 12.2x + 32 = Gv: Nguyn Vn Tỳ 112 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn 1 + + = x y z yz xz xy + + Tớnh giỏ tr ca biu thc: A = x + yz y + 2xz z + xy Bi (1,5 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc v Bi (1,5 im): Tỡm tt c cỏc s chớnh phng gm ch s bit rng ta thờm n v vo ch s hng nghỡn , thờm n v vo ch s hng trm, thờm n v vo ch s hng chc, thờm n v vo ch s hng n v , ta c mt s chớnh phng Bi (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC v gúc AIB Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) c) Chng minh rng: AA'2 + BB'2 + CC'2 tõm a) Tớnh tng P N THI CHN HC SINH GII Bi 1(3 im): a) Tớnh ỳng x = 7; x = -3 b) Tớnh ỳng x = 2007 c) 4x 12.2x +32 = 2x.2x 4.2x 8.2x + 4.8 = 2x(2x 4) 8(2x 4) = (2x 8)(2x 4) = (2x 23)(2x 22) = 2x 23 = hoc 2x 22 = 2x = 23 hoc 2x = 22 x = 3; x = ( im ) ( im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,25im ) Bi 2(1,5 im): xy + yz + xz 1 + + =0 = xy + yz + xz = yz = xyxz x y z xyz x2+2yz = x2+yzxyxz = x(xy)z(xy) = (xy)(xz) ( 0,25im ) Tng t: y2+2xz = (yx)(yz) ; z2+2xy = (zx)(zy) ( 0,25im ) Do ú: A = yz xz xy + + ( x y)( x z ) ( y x )( y z ) ( z x )(z y) Tớnh ỳng A = ( 0,25im ) ( 0,25im ) ( 0,5 im ) Bi 3(1,5 im): Gv: Nguyn Vn Tỳ 113 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn Gi abcd l s phi tỡm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a (0,25im) Ta cú: abcd = k vi k, m N, 31 < k < m < 100 (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25im) abcd = k abcd + 1353 = m (0,25im) Do ú: m2k2 = 1353 (m+k)(mk) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25im) m+k = 123hoc m+k = 41 mk = 11 mk = 33 m = 67 hoc m = 37 k = 56 k= Kt lun ỳng abcd = 3136 (0,25im) (0,25im) Bi (4 im): V hỡnh ỳng (0,25im) HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25im) Tng t: S HAB HC' S HAC HB' = = ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25im) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC + + = + + =1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25im) b) p dng tớnh cht phõn giỏc vo cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI (0,5im ) BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM = BN.IC.AM Gv: Nguyn Vn Tỳ 114 (0,5im ) (0,5im ) Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn c)V Cx CC Gi D l im i xng ca A qua Cx (0,25im) -Chng minh c gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC (0,25im) - Xột im B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25im) - BAD vuụng ti A nờn: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25im) AB2 + 4CC2 (BC+AC)2 4CC2 (BC+AC)2 AB2 Tng t: 4AA2 (AB+AC)2 BC2 4BB2 (AB+BC)2 AC2 (0,25im) -Chng minh c : 4(AA2 + BB2 + CC2) (AB+BC+AC)2 (AB + BC + CA ) AA'2 + BB'2 + CC'2 (0,25im) (ng thc xy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u) *Chỳ ý :Hc sinh cú th gii cỏch khỏc, nu chớnh xỏc thỡ hng trn s im cõu ú Bài 1: (6 điểm) Giải phơng trình sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = b, THI S 48 2x +2= x 1 x c, |x - 4| + |x - 9| = Bài 2: (4 điểm) Giải bất phơng trình x + x x +1 < (m 2) x với m số m m Bài 3: (3 điểm) Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bài 4: (3 điểm) Một vòi nớc chảy vào bể nớc Cùng lúc vòi nớc khác chảy từ bể Mỗi lợng nớc chảy Gv: Nguyn Vn Tỳ 115 lợng nớc chảy vào Sau nớc Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn bể đạt tới dung tích bể Hai bể nớc mà mở vòi chảy vào bể đầy? Bài 5: (4 điểm) = 2B Gọi BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh hệ thức a2 = Cho tam giác ABC có A b2 + bc P N Bài Sơ lợc lời giải Điểm Bài a, Đa phơng trình tích (6 Giải đợc x = -5 x = điểm) b, ĐKXĐ: x 0,5 Với x ta có 2x +2= + 2( x 1) = x x = x = x x Ta thấy x = không thaa mãn ĐKXĐ Vậy phơng trình vô nghiệm c, Nhận xét |x - 4| = x với x |x - 9| = x với x < x với x x với x < - Với x < ta có |x - 4| = - x; |x - 9| = - x nên phơng trình có dạng - x + - x = -2x = -8 x = (không thaa mãn) - Với x < ta có |x - 4| = x - ; |x - 9| = - x nên phơng trình có dạng x - + - x = = (luôn đúng) - Với x ta có |x - 4| = x - ; |x - 9| = x - nên phơng trình có dạng x - + x - = 2x = 18 x =9 (thaa mãn) Vậy tập nghiệm phơng trình S = { x | x 9} Bài (4 điểm) x+ x x +1 < (m 2) x ( m 1) x < m m m (1) - Nếu m < m m - < Khi (1) x > - Nếu m > m - > Khi (1) x < m(m 1) - Nếu m = m - = Khi (1) 0x < (luôn với x) Kết luận: - Với m < m tập nghiệm S = x | x > m( m 1) - Với m > tập nghiệm S = x | x < m(m 1) Bài (3 điểm) - Với m = S = R - Vẽ hình: A B 8cm 0,5 0,5 0,5 0,5 m(m 1) - Với m = biểu thức vô nghĩa 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 6cm K D H C Giả sử ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có 116 Gv: Nguyn Vn Tỳ Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn đờng cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trờng hợp: AH = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) AK = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 1 0,5 15 (cm) Vậy đờng cao thứ hai có độ dài Bài (3 điểm) 20 15 cm cm Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể x(giờ) ĐK: x > Khi vòi chảy đợc bể x bể 5x Theo đề ta có phơng trình ữ.5 = x 5x vòi khác chảy lợng nớc Bài (4 điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 Giải phơng trình tìm đợc x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể - Vẽ hình 0,5 Hệ thức a2 = b2 + bc a2 = b (b + c) 0,25 E Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = c, suy CE = b + c 0,25 c A b c B a ã (do tam giác ABE cân A) Khi ABE =E ã ã (góc tam giác) nên BAC = ABE +E 0,5 àA = 2E 0,5 = ABC ã = 2B Vậy E Theo giả thiết A Chứng minh đợc BCE ACB (g.g) 0,25 BC CE suy = BC2 = AC.CE AC BC 0,25 hay a = b (b + c) C Gv: Nguyn Vn Tỳ 117 Trng THCS Thanh M ... (a7a8) (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Từ (1) (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 1) ; a7a8 ; ( a7a8... a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 số 5761 382 4 b) a7a8 = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r với r ... giả thi t) suy ra: Gv: Nguyn Vn Tỳ 21 Trng THCS Thanh M Tuyn thi HSG Toỏn C, Theo công thức tính diện tích tam giác vuông ta có; SAOB = OA.OB 2 mà SAOB = 8a ( giả thi t) Suy ra: OA.OB = 8a 2