HKII

Chương III. DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Trong chương này chúng ta sẽ làm quen với phương pháp qui nạp toán học, một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu dãy số trong toán học. Ngoài ra, nội dung của chương còn giới thiệu một loại hàm số mới đó là dãy số, đồng thời giúp tìm hiểu một số vấn đề xung quanh hai loại dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân. Tiết 37. BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I.Mục tiêu: -Giúp HS nắm được phương pháp chứng minh quy nạp -Vận dụng chứng minh các mệnh đề chứa biến lấy giá trị trên tập N. -Vận dụng vào việc giải một số bài tập đơn giản trong SGK. II. Chuẩn bị: -Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài. -HS đọc trước bài mới phần phương pháp chứng minh quy nạp. III.Nội dung và tiến trình lên lớp: 1. Bài cũ: không 2. Bài mới: Hoạt động 1: phương pháp quy nạp toán học Hoạt động 2: Xét các ví dụ. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có 1 3 +2 3 + … n 3 = 2 2 ( 1) 4 n n + (1) Giải: -Với n = 1, ta có (1) ⇔ 1 3 = 2 2 1 (1 1) 4 + ⇔ 1=1(đúng) Như vậy (1) đúng với n = 1 -Giả sử (1) đúng với n = k , k ∈ N * , tức là 1 3 +2 3 + … k 3 = 2 2 ( 1) 4 k k + (2) Ta sẽ chứng mih nó đúng với n = k+1, tức là : 1 3 +2 3 + … k 3 +(k+1) 3 = 2 2 ( 1) ( 2) 4 k k+ + Thật vậy từ (2) ta có -GV hướng dẫn HS chứng minh bài tập ở VD1 trong SGK -Kiểm tra xem (1) có đúng với n=1 hay không? -Giả sử (1) đúng với n = k, k ∈ N * , ta thu được điều gì? -Hãy chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1 -GV yêu cầu HS giải bài tập H2 và H3. -Cá nhân HS suy nghĩ và tiến hành giải. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò VD: Cho A(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + …+ 2n – 1. A(1) = ? A(2) = ? A(3)=? A(k) = ? A(k+1) = ? Chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với mọi giá trị nguyên dương của biến n: Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh đề A(n) với n = 1 Bước 1: Giả thiết qui nạp mệnh đề dúng với n = k, k ≥ 1 Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 -GV viểt đặt đề về sự cần thiết phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với mọi giá trị nguyên dương của biến n ở những bài toán trong thực tế, từ đó cùng học sinh xét bài toán tổng quát (có thể tiến hành tương tự như trong SGK). -Yêu cầu HS kiểm tra kết qủa bài toán thông qua việc thay giá trị của n bằng số bất kì nào đó, sau đó trả lời câu hỏi H1. +Hướng dẫn học sinh rút ra kết luận và biểu thức tổng quát -Chứng minh biểut hức tổng quát. +Hướng dẫn học sinh khái quát hoá và rút ra các bước chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với mọi giá trị nguyên dương của biến n. -Giáo viên phân nhóm học sinh tương ứng với số câu hỏi trong phiếu học tập số 1 và yêu cầu các nhóm hoàn thành trả lời câu hỏi của mình, Gọi HS đại diện của nhóm trình bài, cả lớp cùng góp ý sau đó HS ghi vào vở những đáp án đúng. HS tiếp thu, ghi nhớ. Cá nhân HS suy nghĩ và trả lời 1 1 3 +2 3 + … k 3 +(k+1) 3 = 2 2 ( 1) 4 k k + +(k+1) 3 = 2 2 ( 1) .( 4 4) 4 k k k + + + = 2 2 ( 1) ( 2) 4 k k+ + (đpcm) H2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có 1 + 3 + 5 +…+(2n - 1) = n 2 H3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có 1 2 + 3 2 + 5 2 +…+(2n - 1) 2 = 2 (4 1) 3 n n − Chú ý: SGK Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta luôn có 2 n > 2n + 1 (3) Giải: -Với n = 3, ta có (3) ⇔ 2 3 > 2.3 + 1: Hiển nhiên đúng Như vậy (3) đúng với n = 3 -GS (3) đúng với n = k, k ∈ N * và k ≥ 3, tức là 2 k > 2k + 1 Bây giờ ta chứng minh nó đúng khi n = k +1, tức là 2 k + 1 = 2(k+1) +1 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp, ta có 2 k+1 = 2.2 k > 2(2k+1) > 2(k+1) +1 Vậy (3) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3. -GV kiểm tra và nhận xét. -GV lưu ý HS -GV hướng dẫn HS chứng minh bài tập ở VD2 trong SGK. -Ở bài này, n ≥ 3 do vậy ở bước 1 ta cần chứng minh (3) đúng với giá trị nào của n? -Kiểm tra xem (3) có đúng với n = 3 hay không? -GS (3) đúng với n = k, k ∈ N * , k ≥ 3, ta thu được điều gì? Hãy chứng minh (3) cũng đúng khi n = k + 1. -Kiểm tra tính đúng với n = ? -Giả thiết qui nạp? -Cần chứng minh? -Cá nhân HS suy nghĩ và tiến hành giải. -HS tiếp thu, ghi nhớ. IV.Củng cố – Luyện tập: GV yêu cầu HS nêu lại các bước chứng minh một mệnh đề chứa biến A(n) bằng phương pháp qui nạp toán học. V.Hướng dẫn bài tập về nhà: -Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này) Tiết 38. BÀI TẬP Bài 1. CMR: mọi n ∈ N * , ta có đẳng thức 2 + 5 + 8 + … + 3n – 1 = (3 1) 2 n n + Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Các bước chứng một mệnh đề A(n) đúng với n ∈ N * Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh với n = 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k Bước 3: chứng minh đề A(n) đúng với n = k+1 P(x) = ax 2 + bx + c = 0 tại x 1 , x 2 Ta có P(x) = a(x – x 1 )(x – x 2 ) Bước 1: Khi n = 1 vế trái chỉ có một số hạng là 2,vế phải bằng 1.(3.1 1) 2 + = 2. Vậy hệ thức đúng Bước 2: Đặt vế trái bằng S n . Giả sử đẳng thức a) đúng với n=k, k ≥ 1. Tức là S k = 2 + 5 + 5 + 8 + …+ 3k-1 = (3 1) 2 k k + (Giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh: S k+1 = 2 + 5 + 5 + 8 + …+ 3k-1 + [3(k+1)-1]= ( 1)[3( 1) 1] 2 k k+ + + Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có S k+1 = S k + 3k + 2 = (3 1) 2 k k + +3k + 2= 2 3 6 4 2 k k k+ + + = 2 3 7 4 2 k k+ + = ( 1)(3 4) 2 k k+ + (đpcm) Vậy ta có đpcm Bài 2. Chứng minh rằng n ∈ N * , ta có: n 3 + 3n 2 + 5n chia hết cho 3 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Các bước chứng một mệnh đề A(n) đúng với n ∈ N * S n = n 3 + 3n 2 + 5n Bước 1: Khi n = 1 thì S 1 = 9 chia hết cho 3 2 Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh với n = 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k Bước 3: chứng minh đề A(n) đúng với n = k+1 -Các hằng đẳng thức (a+b) 3 = … (a+b) 2 = … -Các số chia hết cho 3 có dạng 3.(…) Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với n=k, k ≥ 1. Đã có S k = k 3 + 3k 2 + 5k chia hết cho 3(Giả thiết qui nạp) Ta phải chứng minh rằng S k+1 chia hết cho 3 Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có S k+1 = (k+1) 3 + 3(k+1) 2 + 5(k+1) = k 3 + 3k 2 +3k + 1+3(k 2 +2k+1)+5k+5 = k 3 + 3k 2 +5k +3k 2 +9k+9 = (k 3 + 3k 2 +5k)+ 3(k 2 +3k+3) Hay S k+1 = S k + 3(k 2 +3k+3) Theo giả thiết qui nạp thì S k chia hết cho 3, ngoài ra 3(k 2 +3k+3) chia hết cho 3 nên S k+1 chia hết cho 3. Vậy ta có đpcm Bài 3. Chứng minh rằng n ∈ N * (n ≥ 2), ta có bất đẳng thức 3 n > 3n +1 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Các bước chứng một mệnh đề A(n) đúng với n ∈ N * Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh với n = 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k Bước 3: chứng minh đề A(n) đúng với n = k+1 k ≥ 2 =>6k – 1 > ? Bước 1: Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2 Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k, k ≥ 2, Tức là 3 k > 3k +1 (1) Bước 3: Nhân hai vế của (1) với 3 ta được 3 k+1 > 9k + 3 ⇔ 3 k+1 > 3k + 4 + 6k – 1,vì 6k –1 > 0 nên 3 k+1 > 3k + 4 hay 3 k+1 > 3(k + 1) + 1 Tức là bất đẳng thức đúng với n = k+1. Vậy ta có đpcm Củng cố:-Nêu các bước chứng minh một mệnh đề bằng quy nạp Tiết 39. Bài 2: DÃY SỐ. I.Mục tiêu: a)Kiến thức: Sau khi học xong bài này HS thực hiện được các công việc sau: -Phát được định nghĩa dãy số. -Biết được cách cho dãy số (cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát, cho dãy số bởi hệ thức truy hồi, diễn đạt bằng lời). -Phát biểu được định nghĩa dãy số tăng, dãy số tam giảm, dãy số bị chặn. b) Kỹ năng : HS rèn luyện được kỹ năng sau -Vận dụng các kiến thức về cách cho dãy số để tìm cách cho còn lại khi đã biết một cách cho nào đó -Vận dụng các kiến thức về dãy số để khảo sát một dãy số tăng hay giảm, dãy số có bị chặn hay không. II. Chuẩn bị: -Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài. -HS làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. III.Nội dung và tiến trình lên lớp: 1. Bài cũ: không 2. Bài mới: Hoạt động 1: Tìm hiểu định nghĩa dãy số và một số thí dụ về dãy số Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I. Định nghĩa: 1.Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N * đgl một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Mỗi giá trị của u đgl một số hạng của dãy số; các số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba, …được kí hiệu tương ứng là u 1 , u 2 , u 3 ,… Kí hiệu: -Kí hiệu dãy số: (u n ) -Kí hiệu số dạng tổng quát là u n Ví dụ 1. a)Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, … có số hạng đầu u 1 =1, số hạng tổng quát là u n = 2n – 1 -GV phân tích H1 trong SGK, từ đó đưa ra định nghĩa dãy số. -GV đưa ra kí hiệu dãy số, kí hiệu số hạng tổng -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS cho biết giá trị của các 3 b)Hàm số u(n) = 1 1n + , xác định trên tập N * , là một dãy số. Dãy số này có vô số số hạng: u 1 = 1 2 , u 2 = 1 3 , u 3 = 1 4 , … 2.Dãy số hữu hạn: Định nghĩa:SGK. VD2. Hàm số u(n) = n 3 , xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5}, là một dãy số hữu hạn. Dãy số này có 5 số hạng: u 1 =1, u 2 = 8, u 3 = 27, … quát. -GV nêu VD1 . -Số hạng đầu? -Số hạng cuối? -Viết dãy số dưới dạng khai trển? số hạng. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -Cá nhân HS suy nghĩ và trả lời Hoạt động 2: Tìm hiểu về cách cho dãy số Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò II. Cách cho dãy số: 1.Dãy số cho bằng công thức số hạng tổng quát VD2. Cho dãy số (u n ) với 1 3 1 n n u n − = + (1) 2.Dãy số cho bằng phương pháp mô tả: VD3. Cho dãy số (u n ) với u n là độ dài cung AM n trong hình sau. 3.Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi: VD4. Xét dãy sồ (u n ) xác định bởi công thức 1 1 1 2. 1, 2 n n u u u n − =   = + ∀ ≥  -GV phân tích VD2, giúp HS hiểu được cách cho dãy số theo công thức tổng quát. H2. u 1 =?, u 2 = ?, u 3 = ?, … -GV phân tích VD3, giúp HS hiểu được cách cho dãy số bằng biểu diễn bằng lời. -GV phân tích VD3, giúp HS hiểu được cách cho dãy số bằng hệ thức tru hồi. u 2 = ?, u 3 = ?, … -HS suy nghĩ trả lời. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -Cá nhân HS suy nghĩ và trả lời. Hoạt động 3 Biểu diễn hình học của dãy số. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò VD5. Xét dãy sồ (u n ) xác định bởi công thức 1 1 1 2. 1, 2 n n u u u n − =   = + ∀ ≥  .Biểu diễn hình học như sau. -GV phân tích VD5, giúp HS hiểu được cách biểu diễn hình học của dãy số. -HS tiếp thu, ghi nhớ. Hoạt động 4. Khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1.Dãy số tăng, dãy số giảm: Định nghĩa: -Dãy số (u n ) đgl dãy số tăng nếu với mọi n ta có: u n < u n+1 -Dãy số (u n ) đgl dãy số tăng nếu với mọi n ta có: u n > u n+1 Ví dụ 6. a)Dãy số (u n ) với u n = n 2 là một dãy số tăng, vì với mọi n ta luôn có u n = n 2 < (n+1) 2 = u n+1 b)Dãy số (u n ) với u n = 1 1n + là một dãy số giảm, vì với mọi n ta luôn có u n = 1 1n + > 1 2n + = u n+1 -GV phân tích VD5, giúp HS hiểu được cách biểu diễn hình học của dãy số. -GV yêu cầu HS đọc SGK và trả lời các câu hỏi: -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS tiếp thu, ghi 4 2.Dãy số bị chặn: Định nghĩa: -Dãy số (u n ) đgl dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho: ∀ n ∈ N * u n < M -Dãy số (u n ) đgl dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho: ∀ n ∈ N * u n > m -Dãy số (u n ) đgl dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số M, m sao cho: ∀ n ∈ N * m ≤ u n ≤ M +Dãy số (u n ) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn trên? +Dãy số (u n ) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn dưới? +Dãy số (u n ) thư thế nào thì đgl dãy số bị chặn? nhớ. IV.Củng cố – Luyện tập GV yêu cầu HS thực hiện các công việc sau: Phát biểu định nghĩa dãy số; Phát biểu cách cho một dãy số; Phát biểu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bi chặn. V.Hướng dẫn bài tập về nhà: -Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này) Tiết 40. BÀI TẬP Bài 1. Viết 5 số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát u n cho bởi công thức: a)u n = 2 1 n n − b)u n = n n 2 -1 2 +1 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Tìm u 1 thì cho n = …, u 2 thì cho n = …, u 3 thì cho n = …, u 4 thì cho n = …, u 5 thì cho n = … a)u 1 = 1 1 2.1 1 = − , u 2 = 2 2 2.2 1 3 = − , u 3 = 3 3 2.3 1 5 = − u 4 = 4 4 2.4 1 7 = − , u 5 = 5 5 2.5 1 9 = − b)Tương tự Bài 2. Cho dãy số (u n) với u 1 = -1, u n+1 = u n + 3, n ≥ 1. Chứng minh bằng phương pháp qui nạp : u n = 3n - 4 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Các bước chứng một mệnh đề A(n) đúng với n ∈ N * Bước 1: Kiểm tra tính đúng của mệnh với n = 1 (Tức là u 1 = 3.1 – 4 = …) Bước 2: Giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k (Tức là u k = 3k – 4) Bước 3: chứng minh đề A(n) đúng với n = k+1 (Tức là u k+1 = 3(k+1) – 4) Với n = 1 thì u 1 = -1 = 3.1 – 4 đúng Giả sử u k = 3k – 4 với k ≥ 1 Theo công thức dãy số và giả thiết qui nạp ta có u k+1 = u k + 3 = 3k – 4 +3 = 3(k+1) – 4 Vậy công thức đã được chứng minh Bài 3. Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n ), biết a)u n = 1 2 n − b)u n = 1 1 n n − + Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n ) 1)Xét hiệu: u n+1 - u n 2)Nếu u n+1 - u n > 0 thì (u n ) tăng Nếu u n+1 - u n < 0 thì (u n ) giảm a)Xét hiệu u n+1 - u n = 1 2 1n − + -( 1 2 n − ) = …= 1 1 1n n − + < 0 mọi n ∈ N * Vậy dãy số đã cho giảm b) Xét hiệu u n+1 - u n = 1 1 1 1 1 1 n n n n + − − − + + + = …= 2 ( 1)( 2)n n+ + >0 mọi n ∈ N * Vậy dãy số đã cho tăng. Bài 4.Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bi chặn a)u n = 2n 2 - 1 b)u n = 1 ( 2)n n + c) u n = sinn + cosn Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1) Dãy số (u n ) bị chặn trên nếu u n ≤ M 2) Dãy số (u n ) bị chặn dưới nếu u n ≥ m 3) Dãy số (u n ) bị chặn m ≤ u n ≤ M a)Bị chặn dưới vì u n = 2n 2 – 1 ≥ 1 mọi n ∈ N * b) 0 < u n = 1 ( 2)n n + ≤ 1 3 . Vậy dãy số bị chặn 5 Củng cố:-Các cách cho dãy số, dãy số tăng, giảm, bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn Tiết 41. BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG I.Mục tiêu: -Giúp HS nắm được khái niệm, định nghĩa về CSC và các tính chất của nó. -Nắm được công thức tính số hạng tổng quát, tổng hữu hạn của CSC. -Vận dụng định nghĩa, các cộng thức để tính một số bài tập trong SGK. II. Chuẩn bị: -Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài. -HS làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. III.Nội dung và tiến trình lên lớp: 1. Bài cũ: Nêu cách cho dãy số? 2. Bài mới: Hoạt động 1: Định nghĩa Hoạt động 2: Số hạng tổng quát. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Tìm số hạng bất kì của CSC: u 2 = u 1 + d, u 3 = u 1 + 2d, u 4 = u 1 + 3d, … Định lí 1 GS (u n ) là một CSC có số hạng đầu là u 1 , công sai d thì số hạng tổng quát u n được xác định theop công thức: u n = u 1 + (n -1)d +Chứng minh: SGK. Ví dụ 2: Cho CSC có u 1 = -5, công bội d = 1 2 a)Số 45 là số hạng thứ bao nhiêu? b)Số 1 3 có phải là số hạng của CSC trên không? Giải: a)Ta có : u n = -5 +(n - 1) 1 2 mà u n = 45 nên -5+(n - 1) 1 2 = 45 từ đó n =101. c)PT: -5 +(n - 1) 1 2 = 1 3 không có nghiệm nên 1 3 không phải là số hạng của CSC trên. -GV đặt vấn đề tìm số hạng bất kì của CSC. -GV giới thiệu nội dung ĐL1 -GV hướng dẫn HS chứng minh ĐL1 -GV yêu cầu HS làm VD2. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS thực hiện. Hoạt động 3:Tính chất các số hạng của CSC Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Định lí 2: Trong một CSC, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là u k = 1 1 2 k k u u − + + với k ≥ 2. (3) Chứng minh: -Dùng định nghĩa với công sai d. -GV giới thiệu nội dung định lí 2 và nói rõ nội dung định lí 2 là tính chất của CSC. -Cùng với HS chứng minh định lí 2. -HS tiếp thu, ghi nhớ. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I.Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng trước ngay nó và một số d không đổi: (u n ) là một CSC ⇔ u n+1 = u n + d , n ∈ N * . d đgl công sai của CSC. Kí hiệu: . . − u 1 , u 2 , …,u n , … Ví du 1: . . − 1, 2, 3, …, n, …(u 1 = 1, d = 1) . . − 0, 2, 4, …, 2n, …(u 1 = 0, d = 2) -GV hướng dẫn HS xét dãy số: 0, 1, 2, 3, …, n, n+1. Để ý đến tính chất đặc biệt của dãy số là: Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nó công thêm 1, từ đó dẫn dắt đến khái niệm CSC. -Nêu định nghĩa CSC -Kí hiệu CSC -Lưu ý: Đại lương công sai (d) -HS tiếp thu, ghi nhớ. 6 -Ta có: u k-1 + u k+1 = 2u k (với k ≥ 2) Ví dụ 3: Cho CSC có 6 số hạng với u 1 = 1 3 , d = 3 Viết dạng khai triển của nó? -Yêu cầu HS hoàn thành VD3. -HS thực hiện. Hoạt động 4. Tổng n số hạng đầu của một CSC Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Xét CSC: -1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 u 1 u n -1 3 7 11 15 19 23 27 27 23 19 15 11 7 3 -1 3 u n u 1 Nhận xét: Tổng ahi số hạng nằm trong cùng một cột bất kỳ bằng tổng của hai số hạng u 1 và u n Định lí 3: GS u n là một CSC. Với mỗi số nguyên dương n gọi S n là tổng n số hạng đầu của nó (S n = u 1 + u 2 + … + u n ). Khi đó ta có S n = 1 .( ) 2 n n u u+ (4) CHÚ Ý: Vì u n = u 1 + (n -1)d nên công thức (4) có thể viết S n = 1 .(2 ( 1) ) 2 n u n d+ − VD3:SGK. -GV đặt vấn đề xét CSC u n có công sai d với bảng sắp xếp các số hạng như SGK mà GV đã chuẩn bị sẵn ở bảng phụ.Hương dẫn HS quan sát và tính tổng hai số nằm trong xung một cột từ đó rút ra nhận xét. -GV giới thiệu nội dung ĐL3. -GV yêu cầu HS làm bài tập ở VD3. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS thực hiện. IV.Củng cố – Luyện tập GV yêu cầu HS nhắc lại các nội dung sau: Định nghĩa CSC; số hạng tổng quát; Cách nhận biết SC; Tính chất và công thức tính số hạng tổng quát của CSC; Nội dung ĐL2; Công thức tổng n số hạng đầu của CSC; Nội dung ĐL3; Biết tinh1 tong S n các số hạng đầu tiên của CSC. V.Hướng dẫn bài tập về nhà: -Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này) Tiết 42. BÀI TẬP Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng a)u n = 5 – 2n b)u n = 3 n Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Xét hiệt u n+1 - u n -Nếu u n+1 - u n = d(là một hằng số) thì là CSC -Nếu u n+1 - u n = f(n)(là một hằng số) thì không là CSC a)u n+1 - u n = -2 mọi n ∈ N * . Vậy dãy số là cấp số cộng có u 1 = 3, d = -2. b)u n+1 - u n = 2.3 n Vậy dãy số không là cấp số cộng Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau, biết: 1 3 5 1 6 10 17 u u u u u − + =   + =  Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Áp dụng công thức u n = u 1 + (n-1)d 1 3 5 1 6 10 17 u u u u u − + =   + =  ⇔ 1 1 1 1 1 ( 2 ) 4 10 5 17 u u d u d u u d − + + + =   + + =  ⇔ 1 1 2 10 2 5 17 u d u d + =   + =  ⇔ 1 16 3 u d =   = −  Bài 3. a)Cho u 1 = -2, u 20 = 55. Tìm d, S 20 b)Cho d = -4 và S 15 =120. Tìm u 1 , u 15 c)Cho u 12 = 17, S 12 = 72. Tìm u 1 và d Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1)S n = 1 ( ) 2 n n u u+ a)d = 3, S 20 = 530 b) 1 15 36, 20u u= = − 7 2)S n = nu 1 + ( 1) 2 n n d − 3)u n = u 1 +(n-1)d c)u 1 = -5, d = 2 Bài 4.Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ dánh chuông bào giờ và số chương bằng số giờ. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Một giờ đánh 1 tiếng, hai giờ đánh hai tiếng, 3 giờ đánh 3 tiếng, … Ta có tống các tiếng là S 12 = … S n = 1 ( ) 2 n n u u+ S 12 = 1+2+3+4+…+12 = 12(1 12) 2 + = 78(Tiếng) Củng cố:Nhắc lại các công thức S n = 1 ( ) 2 n n u u+ , S n = nu 1 + ( 1) 2 n n d − , u n = u 1 +(n-1)d, d=u n+1 - u n (CSC (u n )) Tiết 43. BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN I.Mục tiêu: -Giúp HS nắm được định nghĩa về CSN và các tính chất của nó. -Nắm được công thức tính số hạng tổng quát, tổng hữu hạn của CSN -Vận dụng định nghĩa, các cộng thức để tính một số bài tập trong SGK. II. Chuẩn bị: -Giáo viên chuẩn bị các phiếu học tập và tóm tắt các kiến thức cơ bản trong bài. -HS làm bài tập của bài cũ, đọc qua nội dung bài mới ở nhà. III.Nội dung và tiến trình lên lớp: 1. Bài cũ: Nêu cách cho dãy số? 2. Bài mới: Hoạt động 1: Định nghĩa Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò I.Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng trước ngay nó và một số q không đổi: (u n ) là một CSN ⇔ u n+1 = u n .q , n ∈ N * . d đgl công sai của CSC. Kí hiệu: . . . . − u 1 , u 2 , …,u n , … Đặc biệt: q = 0: . . . . − u 1 , 0, 0, …, 0, …. q = 1: . . . . − 1 u , 1 u , …, 1 u , … Ví du 1: . . . . − 5, - 5 2 , 5 4 , - 5 8 , …(u 1 = 5, d = - 1 2 ) . . . . − 1 2 ; -2; 8; -32;128 (u 1 = 1 2 , d = -4) -GV hướng dẫn HS xét dãy số: 2, 4, 8, 16, 32, … Để ý đến tính chất đặc biệt của dãy số là: Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nó công thêm 1, từ đó dẫn dắt đến khái niệm CSN. -Nêu định nghĩa CSN -Kí hiệu CSN -Lưu ý: Đại lương công bội (q) -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS trả lời vào phiếu học tập và trình bày trước lớp nếu được gọi Hoạt động 2: Số hạng tổng quát. Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò -Tìm số hạng bất kì của CSN: u 2 = u 1 d, u 3 = u 1 d 2 , u 4 = u 1 d 3 , … Định lí 1 GS (u n ) là một CSN có số hạng đầu là u 1 , công bội q ≠ 0 thì số hạng tổng quát u n được xác định theo công thức: u n = u 1 q n-1 (n ≥ 2) +Chứng minh: SGK. Ví dụ 2: Viết 5 số hạng xen giữa các số 3 và 192 để được m CSN có bảy số hạng. Giải: a)Ta có : u 7 = 3.q 6 ⇒ q 6 = 65 ⇒ q = ± 2 -GV đặt vấn đề tìm số hạng bất kì của CSN. -GV giới thiệu nội dung ĐL1 -GV hướng dẫn HS chứng minh ĐL1 -GV yêu cầu HS làm VD2. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS thực hiện. 8 +Với q = 2 ta có: . . . . − 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192 +Với q = -2 ta có: . . . . − 3; -6; 12; -24; 48; -96; 192 Hoạt động 3:Tính chất các số hạng của CSN Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Định lí 2: Trong một CSN, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là 2 1 1 . k k k u u u − + = với k ≥ 2. (3) Chứng minh: -Dùng định nghĩa với công bội q +Nếu q = 0 thì hiễn nhiên điều phải chứng minh là đúng. +Nếu q ≠ 0 thì từ định nghĩa: -Ta có: u k =u k-1 q với k ≥ 2 u k =u k+1 /q với k ≥ 2 Nhân hai vế ta được kết quả cần chứng minh. -GV giới thiệu nội dung định lí 2 và nói rõ nội dung định lí 2 là tính chất của CSN. -Cùng với HS chứng minh định lí 2. -HS tiếp thu, ghi nhớ. Hoạt động 4. Tổng n số hạng đầu của một CSN Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Xét CSN (u n ) có công bội q với tổng n số hạng đầu tiên là S n = u 1 + u 2 + … + u n Nhận xét: -Nếu q = 1 thì u n = u 1 với mọi n ≥ 1 vì vậy suy ra: S n = nu 1 -Khi q ≠ 1 ta có kết quả quả S n được xác định theo định lí 3 Định lí 3: GS u n là một CSN. Với công bội q ác. Khi đó ta có: S n = 1 (1 ) 1 n u q q − − với mọi n ≥ 1 VD4:SGK. -GV đặt vấn đề xét CSN u n có công bội. Hương dẫn HS đi từ biểu thức tính tổng của n s hạng đầu tiên của CSN từ đó rút ra nhận xét: S n = u 1 + u 2 + … + u n -GV giới thiệu nội dung ĐL3. -GV yêu cầu HS làm bài tập ở VD4. -HS tiếp thu, ghi nhớ. -HS thực hiện. IV.Củng cố – Luyện tập GV yêu cầu HS nhắc lại các nội dung sau: +Định nghĩa CSN, số hạng tổng quát. +Cách nhận biết CSN +Tính chất và công thức tính số hạng tổng quát của CSN +Nội dung ĐL2 +Công thức tổng n số hạng đầu của CSN. +Nội dung ĐL3. Biết tính tổng S n các số hạng đầu tiên của CSN V.Hướng dẫn bài tập về nhà: -Yêu cầu HS làm tất cả các bài tập còn lại SGK(thuộc phần này) Tiết 44. BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh các dãy số 3 .2 5 n    ÷   là cấp số nhân Hoạt động của thầy Hoạt động của trò u n+1 = ? u n = ? Tỉ số 1 n n u u + = ?(u n+1 = u n .q thì (u n ) là CSN) 1 n n u u + =2. Vậy u n+1 = u n .2 mọi n ∈ N * . Vậy dãy số là cấp số nhân Bài 2. Cho cấp số nhân (u n ) với công bội q a)Biết u 1 = 2, u 6 = 486. Tìm q b)Biết q = 2/3, u 4 = 8/21. Tìm u 1 9 c)Biết u 1 = 3, q = -2. Hỏi số hạng thứ 192 là số hạng thứ mấy? Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Áp dụng công thức u n = u 1 .q n-1 CHÚ Ý: a n = a m  n = m mọi n, m ∈ N * a)u 6 = u 1 . q 5 =>q 5 = …=>q = 3. b) u 4 = u 1 . q 3 => u 1 = … 9/7 c)u n = u 1 .q n-1 192 = 3.(-2) n-1 …n = 7 Bài 3. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 5 số hạng, biết u 3 = 3, u 5 = 27. Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Áp dụng công thức u n = u 1 .q n-1 Chú ý: q 2 = a  q = ± a Áp dụng công thức số hạng tổng quát, ta có u 3 = 3 = u 1 q 2 và u 5 =27 = u 1 .q 4 vì 27 = (u 1 .q 2 )q 2 = 3.q 2 nên q 2 = 9 hay q = ± 3 Thay q 2 = 9 vào công thức chứa u 3 , ta có u 1 = 1/3 Nếu q = 3 thì ta có cấp số nhân: 1/3, 1, 3, 9, 27 Nếu q = -3 thì ta có cấp số nhân: 1/3, -1, 3, -9, 27 Bài 4.Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62 Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Áp dụng công thức 1)u n = u 1 .q n-1 2)S n = 1 (1 1 n u q q − − Giả thiết cho u 1 + u 2 + u 3 + u 4 +u 5 = 31 (1) và u 2 + u 3 + u 4 +u 5 + u 6 = 62 Nhân cả hai vế của (1) với q ta được u 1 q+ u 2 q + u 3 q + u 4 q +u 5 q = 31q hay u 2 + u 3 + u 4 +u 5 + u 6 = 31q. Suy ra 62 = 31q hay q = 2 Vì S 5 = 31 = 5 1 (1 2 ) 1 2 u − − nên u 1 = 1 Vậy ta có cấp số nhân: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Củng cố:Nhắc lại các công thức S n = 1 (1 1 n u q q − − , u n = u 1 .q n-1 , q=u n+1 / u n (CSN (u n )) Tiết 45. ÔN TẬP CHƯƠNG III I.Mục tiêu: -Giúp HS hệ thống hóa các kiến thức đã học trong chương III bao gồm phép quy nạp toán học, định nghĩa, tính chất của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. -Rèn luyện kỹ năng chứng minh quy nạp, chứng minh dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân. -Rèn luyện kỹ năng sử dụng các công thức và tính chất của phép quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân để giải các bài tập thực tế trong sách giáo khoa và sách bài tập. -Chuẩn bị môt số điều kiện cần thiết cho tiết kiểm tra chương III. II. Chuẩn bị: -Giáo viên chuẩn bị các kiến thức chuẩn và tóm tắt thành bảng trên một tờ giấy khổ rộng. Chuẩn bị các bài tập tiêu biểu và phương pháp giải. -HS cần ôn lại kiến thức trong chương và giải các bài tập trong chương và sách giáo khoa III.Nội dung và tiến trình lên lớp: 1. Bài cũ: Nêu định nghĩa cấp số nhân và các công thức tính số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân? 2. Bài mới: Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Các nội dung trong SGK về: +Khái niệm về phép quy nạp toán học, định nghĩa , tính chất +Khái niệm của dãy số và cấp số cộng, cấp số nhân +Định nghĩa cấp số cộng, số hạng tổng quát. +Cách nhận biết cấp số cộng +Tính chất và công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng. +Nội dung định lí 3 +Biểu thức tính tổng S n của số hạng đầu tiên của CSC. +Định nghĩa CSN, số hạng tổng quát. -GV phát biểu phiếu học tập cho học sinh và yêu cầu đọc kĩ các kiến thức cần ôn tập. Sau đó gọi từng em một trả lời từng nội dung đã có trong phiếu. Yêu cầu học sinh cả lớp theo dõi và bổ sung. -Sau khi giáo viên đã kết -HS thực hiện theo sự yêu cầu của GV. 10