Sở GD & ĐT Hà Nội ĐỀ THI KHẢO SÁT THPT QUỐC GIA K12 Trường THPT Yên Lãng Năm học 2014 - 2015 o0o - ( Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút ) A PHẦN CHUNG : (8điểm) Câu I (3 đ) Cho hàm số y = ( x − ) ( x + 1) , đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Tìm (C) điểm M có hoành độ số nguyên dương cho tiếp tuyến M (C), cắt (C) hai điểm M N thoả mãn MN = Câu II (3 đ) Giải phương trình logarit log3 ( x + 1) − 5log3 ( x + 1) + = Giải bất phương trình mũ 32 x + − 2.6 x − 7.4 x > 3 Giải phương trình lượng giác : sin x + cos x = cos x ( cos x − sin x ) , với ẩn x ∈ R Câu III (2 đ) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' , có AB = a, AD = b, AA ' = c với đáy ABCD hình bình hành có góc BAD 600 Gọi M điểm đoạn CD cho DM = 2MC Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' theo a, b, c Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( BDA ') theo a, b, c B PHẦN RIÊNG : (2điểm) I, HỌC SINH THI KHỐI A,A1,B: Câu IVa (1đ) Giải biện luận phương trình : ( m − ) x + ( m − 5) 2− x − ( m + 1) = 0(1) theo tham số m Câu Va(1đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng ( d1 ) : x − y − = ( d2 ) : x + y + = thuộc Ox Tìm toạ độ đỉnh hình thoi ABCD biết A ∈ ( d1 ) , C ∈ ( d ) , B, D II, HỌC SINH THI KHỐI D : Câu IVb(1đ) Tìm m để phương trình: ( m − ) x + ( m − 5) 2− x − ( m + 1) = 0(1) có hai nghiệm trái dấu Câu Vb(1đ) Trong mp Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G ( −2;0 ) Biết phương trình cạnh AB, AC thứ tự là: x + y + 14 = 0; x + y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Hết ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM TÓM TẮT Nội dung Điểm Câu I 3.0 2.0 y = +∞; lim y = −∞ Hàm số có tập xác định xlim →+∞ x →−∞ 0,5 y ' = x − x; y ' = ⇔ x = x = 0,5 Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ( 2; +∞ ) ; hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) Điểm ( 0; ) điểm CĐ đồ thị hàm số; điểm ( 2;0 ) điểm CT đồ thị hàm số Điểm U ( 1; ) điểm thuộc đồ thị hàm số Đồ thị giao với trục tọa độ: ( −1; ) , ( 2;0 ) , ( 0; ) 0,5 0,5 1.0 Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc (C), x0 số nguyên dương Phương trình tiếp tuyến với (C) M y = ( x0 − x0 ) x − x03 + 3x0 + Goi tiếp tuyến (t) 0.25 Hoành độ giao điểm (C) (t) nghiệm PT: x − 3x − ( 3x0 − x0 ) x + x0 − 3x0 = ⇔ ( x − x0 ) ( x + x0 − 3) = ⇔ x = x0 x = −2 x0 + 0.25 M ( x0 , x03 − 3x0 + ) ; N ( −2 x0 + 3; −8 x0 + 24 x0 − 18 x0 + ) MN = x0 − 18 x0 + + 81x0 ( x0 − 1) ( x0 − ) MN = ⇔ x0 − 18x0 + 81x0 ( x0 − 1) ( ⇔ x0 ( x0 − ) + x0 ( x0 − 1) 2 ( x0 − ) ( x − 2) ) = 0.25 =0 Vì x0 số nguyên dương nên x0 = Vậy M ( 2;0 ) 0,25 (Lưu ý: Nếu thí sinh nhìn đồ thị, nhận thấy có trục hoành tiếp tuyến thoả mãn BT, có điểm M(2; 0) điểm cần tìm, cho 0.5 điểm) Câu II 3.0 1.0 ĐK x > −1 0,25 Đặt log ( x + 1) = t ,pt có dạng t − 5t + = , giải t = 2, t = 0,5 Trở lại biến x, kiểm tra đk, ta ĐSố x = 8, x = 26 0,25 1.0 x x 9 3 Chia hai vế bpt cho > , ta ÷ − ÷ − > 4 2 x 0,25 x 3 Đặt t = ÷ , đk: t > đưa bpt: 9t − 2t − > 2 0,25 (tm) t < − (Không tm) Giải < t 0,25 Suy kết quả: < x 0,25 1.0 Biến đổi đưa tích ( sin x + cos x ) ( 2sin x − cos x ) cos x = 0,25 Giải ptlg cos x = 0,sin x + cos x = 0, 2sin x − cos x = x= π π + kπ , k ∈ Z; x = − + kπ , k ∈ Z; x = α + kπ , k ∈ Z, tan α = ĐS: x = π π + kπ , k ∈ Z; x = − + kπ , k ∈ Z; x = α + kπ , k ∈ Z, tan α = 0,5 0,25 Câu III 3.0 1.0 Viết công thức thể tích khối hộp V = AA '.S hbhABCD = c.S hbhABCD S hbhABCD = AB AD.sin 600 = ab 0,25 0,25 Thay số vào ta đáp số V = abc 0,5 1.0 Trong tam giác vuông A'AF (vuông A), ta có 1 abc = + ⇒ AH = 2 2 2 AH A' A AF 3a b + 4a c + 4b c − 4abc Vậy d ( M , ( BDA ') ) = 2abc 3 3a b + 4a 2c + 4b c − 4abc 2 Câu IVb 0,5 0,5 1.0 Đặt x = t đk t > pt (1) có dạng ( m − ) t − ( m + 1) t + m − = 0(2) 0,25 x x PT(1) có nghiệm trái dấu x1 , x2 tức x1 < < x2 ⇔ < < < 2 ⇔ < t1 < < t2 toán trở thành tìm m để PT(2) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn < t1 < < t2 0,5 AD ĐL Vi-Et giải hệ tìm m > 0,25 Câu Va 1.0 x0 = −2 y0 − x0 = ⇔ Từ gt ta suy A ( x0 ; x − 1) ; C ( −2 y0 − 3; y0 ) y0 = − x0 y0 = −4 0,25 Thay vào ta A ( 5; ) ; C ( 5; −4 ) ; AC = 0,25 Giao đường chéo AC BD điểm I ( 5;0 ) trung điểm BD Suy B ( xB ;0 ) D ( 10 − xB ;0 ) ; BD = 10 − xB Từ AC = BD ta có PT 0,25 x = 10 − xB = gpt B Thay vào ta tọa độ B, D xB = ĐS: A ( 5; ) ; C ( 5; −4 ) ; B ( 3;0 ) ; D ( 7;0 ) A ( 5; ) ; C ( 5; −4 ) ; B ( 7;0 ) ; D ( 3;0 ) 0,25