TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH

TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH TUYỂN tập đề THI HSG môn TOÁN các năm của THPT CHUYÊN hà TĨNH

1 PHẦN I: ĐỀ THI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 4:Tứ diện ABCD có ABCD.Gọi I J, thứ tự là trung điểm củaAB CD,

Cho biết IJABvà IJCD.Lấy các điểm M N, thứ tự thuộc các cạnh AC BD, sao

cho AMBN

a)Chứng minh IJMN và IJ đi qua trung điểm của MN

b) Tìm vị trí của M trên cạnh AC để độ dài đoạn thẳng MN bé nhất

Bài 5:

Cho tam giác nhọn ABC.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

-Hết -

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Tìm các giới hạn:

a

1x

1x

2006 1

2007 2006

1

xx

b Giải phương trình: cos x( cosx sinx)cos8xsin8x

Bài 3: Tam giác ABC không tù thỏa mãn ABC Tính các góc của tam giác nếu

đại lượng PcosAcosBcosC2sin sinA B đạt giá trị lớn nhất

Bài 4: Hình chóp tam giác ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ACB và

cạnh BC a Mặt bên(SBC) vuông góc với đáy Hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 

a  và abc3 Chứng minh bất đẳng thức:

cabcab

9c

23

1b

3

1a

23

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,

- Giám thị không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2007-2008 MễN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phỳt

Bài 1: a,Giải phương trỡnh sinx 1sinx cosx 1cosx

b,Chứng minh hệ phương trỡnh sau cú đỳng 3 nghiệm

3 3

C sin 6 2

B sin 4 2

A sin 2 C cos 3 B cos 2 A

Bài 3 Chứng minh 1

2 2

n n

C  chia hết cho n2 với mọi n nguyờn dương

Bài 4: Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với đáy Kẻ AB1  SB ; AC1 SCvới

SCC

SB

B1 1 Gọi I là giao điểm của B C1 1và BC và ADlà đ-ờng kính của đ-ờng

tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

a AI SD

b Tồn tại điểm cách đều A B C D B C, , , , 1, 1

Bài 5: Cho 3 số thực d-ơng x y z, , thoả mãn x  y z 1 Chứng minh bất đẳng thức:

) x

y y

z z

x ( 2 y x

1 z x z

1 y z y

1 x

- Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay,

- Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn thớ sinh: ………Số bỏo danh: ………

Thời gian làm bài: 180 phỳt

8x122x

2B1

2A

1C

1B

1A

1

sinsin

sincos

cos

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AD2a, đáy nhỏ BCa, các cạnh

bên ADBCa Trên nửa đ-ờng thẳng At vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy

điểm S (không trùng với A) Mặt phẳng ( )P đi qua A và vuông góc với SD cắt cạnh

SB SC SD lần l-ợt tại B1, C1, D1

a Chứng minh rằng AB1C1D1 là tứ giác nội tiếp đ-ợc trong một đ-ờng tròn

b Khi điểm S chạy trên nửa đ-ờng thẳng At , chứng minh rằng đ-ờng thẳng C D1 1

đi qua một điểm cố định

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n2 ta luôn có:

3 1 n n

n

2 n

- Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay,

- Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.Họ và tờn thớ sinh:

………Số bỏo danh: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2009-2010 MễN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phỳt

Bài 1 a) Tam giác có độ dài 3 cạnh a b c, , lập thành 1 cấp số cộng theo thứ tự đó Chứng

minh cot , cot , cot

sin A  sin B  sinC Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ?

Bài 4 Trong mặt phẳng ( )P cho đ-ờng tròn ( )C đ-ờng kính AB Gọi d là đ-ờng thẳng

vuông góc với ( )P tại A Lấy S cố định trên d , điểm M thay đổi trên ( )C Gọi H K,

lần l-ợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB SM,

a) Chứng minh SB  KH

b) Gọi I là giao điểm của các đ-ờng thẳng HKvà MB Chứng minh AI là tiếp

tuyến của ( )C

c) Tìm vị trí của M trên ( )C để diện tích tam giác KAB đạt giá trị lớn nhất

Bài 5 Cho dãy số (U n) xác định bởi

u  u   n b) Tìm lim n

x u



-HẾT

-

có nghiệm

Bài 2 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :

8cosAsinBsinC4 3(sinAcosBcosC)170

Hãy tính các góc của tam giác đó

Bài 3 a) Tìm hệ số của số hạng chứa 4

x trong khai triển: 2 10

(1 2 x3x ) b) Tính tổng :

Bài 4 Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh ' ' ' ' a

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và ' A B'

b) Gọi M N P, , lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A B' ', BC ,DD ' sao cho

A M' BNDP Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc một

đường thẳng cố định khi M N P, , thay đổi

Bài 5 Dãy số thực (a n)thỏa mãn điều kiện :

1

n n

a

_ Hết _

Ghi chú : Thí sinh không được sử dụng tài liệu - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN LỚP 11

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: a) Giải phương trình

n n

n

x x

Tim số hạng thứ 2012 của dãy

Bài 2: a) cho tam giác ABC thỏa mãn :

Chứng minh các góc của tam giác lập thành cấp số nhân

b) Đường tròn nội tiếp tam giác cân ABC cắt đương cao AK tại H Giả sử BH

vuông góc với AC Tính cos A

Bài 3: Cho khai triển 10 2 2 14

S  x x  x a a x a x Tính a6

Bài 4 Cho hính chóp S ABC có SASBABACa ,diện tích tam giác SBC

làS0.Gọi M là điểm di động trên SB N, là trung điểm của BC Biết AN vuông góc với

mặt phẳng (SBC)

Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN theo a vàS0

Bài 5: Chứng mình rằng : Với mọi tam giác ABC ta luôn có

8cos cos cosA B Ccos(CA).cos(AB).cos(B C )

-HẾT

-

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,

- Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:4/4/2013

Câu 1 a) Giải phương trình:

  Tính diện tích tam giác ABC

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn

2

A  B C 

Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay,

- Giám thị không giải thích gì thêm

sin Bsin C sinBsinCsin A

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PcotAcotBcotC

Câu 3 Cho tam giác nhọn ABC cố định Trên tiaAx(ABC) lấy điểm S khác A

Kẻ các đường cao BH của các tam giácABC(H thuộc AC) Gọi ( )P là mặt phẳng qua C và vuông góc với SB, giả sử ( )P cắt tia đối của tia AS

tại M Đường thẳng MH cắt SC tại N

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

Câu 3 Trong mặt phẳng ( )P cho nửa đường tròn ( )O đường kính AC Điểm B di

động trên nửa đường tròn ( )O với B khácA và C Trên nửa đường thẳng Ax

vuông góc với ( )P lấy điểm S sao cho SA  AC  a Gọi H K, lần lượt là

chân đường cao hạ từA xuống SB SC

a) Chứng minh rằng tam giác AHK vuông Tính diện tích tam giác SBC theo a biết

34

34

a

b) Xác định vị trí của Btrên nửa đường tròn ( )O sao cho tổng diện tích các tam

giác SAB và CAB lớn nhất

Câu 4 Cho dãy số (x n) xác định như sau:

n n

PHẦN II: ĐÁP ÁN

b, Ta có:

3 3 2

Vậy phương trình có nghiệm x  k2k 

B

C

D M

*)Gọi E là trung điểm MP.Khi đó:

Do CP CM (vì BC AC BP; AM ) nên suy ra:

Vậy BĐT(1) đã được chứng minh xong

pt(1)  cos 2x( cos x+ s inx) = ( 4 4

19

Do

4 4

1sin

sin

1sin

(3)sin

1sin

(3)sinAsinBsinC   A B C 60

Vậy P lớn nhất khi A90 ;B C 45 hoặc

60

A  B C s

Bài 4:

Do mp SBC( )(ABC) và các góc SBC

, SCB đều nhọn nên H thuộc cạnh BC của

tam giác ABC

N M

H S

B

A

C K

Vẽ HM AC , HNAB suy ra ACSM , ABSN nên SMH SNH 

  MH NH tứ giác AMHN là hình vuông

a) Khi  45 thì tam giác ABC vuông cân tại A nên ,

2

a

AH BC AH

Vẽ tia phân giác của góc SMH cắt SH tại K

Vẽ tia phân giác của góc SHA cắt AK tại I thì I cách đều 4 mặt của hình chóp S ABC

nên nó là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp

1 sin 2 cos 2 1 cos

   

Vậy tam giác ABC là tam giác đều

Bài 3 Chứng minh C2n n12 chia hết cho n2 với mọi n nguyên dương

B

C

S

B1 C1

Gọi M là trung điểm của AB, O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

Vì AB B1 vuông tại B nên 1 M cách đều 3 điểm A B B, 1,

Do vậy, O cách đều 6 điểm A B C D C B, , , , 1, 1

Vậy  điểm K cách đều 6 điểm A B C D C B, , , , 1, 1 chính là điểm O , tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

Bài 5 Cho x y z, , 0 thoả mãn x  y z 1 Chứng minh:

x m

Dấu “=” xảy ra khi A B C

Theo đề bài, dấu “=” đã xảy ra nên ABC là tam giác đều

Mặt khác AC1 SD (do AC1 mặt phẳng vuông góc với SD)

Suy ra: AC1(SCD)AC1C D1 1 (do C D1 1(SCD))

Hay AC D1 190

+ Tương tự, ta có: AB C1 190

Vậy A B C D1 1 1 1 là tứ giác nội tiếp

b) Gọi T  C1D1 C D , theo giả thiết ta có:

D

TA  S ( do TA ( AB C D1 1 1)

TA  SA ( do TA ( ABC D) ) Suy ra: TA  (SAD), => TA AD

Hay T là điểm cố định ( do T là giao của CD và đường thẳng qua A vuông góc với AD)

31

( x  1) n  C x n n n  C n n  x n    C x n  1Lấy đạo hàm hai vế tại x  1 ta có (*)

x x

3

x x

2 2 2 2 2 2

sin sin sin sin ( ) sin sin

(sin cosB sinB.cosA) sin sin

2 sin sin 2 sin sin cosA.cosB

35

b) Theo câu a: SB   AKH   SB  AI

Mà SA  AI nên AI   SAB   AI  AB  AI là tiếp tuyến của   C (đpcm)

Vây diện tích tam giác KAB lớn nhất  AB2 AK2  AK2

Giải điều kiện dấu “=”:

2

AB AK

AB SA AM

1 sin sin cos 1 sin sin 1 0

1 sin sin sin cos cos 0 sin 1 1 sin sin cos cos =0

(sin cos ) 2sin cos 1 2 (sin cos 1) 2

sin cos 2 1 sin cos 1 2

4cos cos 4cos cos( )

2cos 2cos 4cos cos( )

2cos 2 2cos 2 4cos

4cos 2 4cos 2 4sin 4

4sin 4cos 4cos 8

2 3 cos

2 3 cos

Như vậy số hạng chứa 4

x sẽ xuất hiện trong khai triển của

1 2x   9 2

,10 1 2  x 3 x  8 2 2

, 45 1 2  x 3 x +số hạng tổng quát của khai triển 10

1 2x  là Tt1  C10t 2 ,tx tt   0;10 

Số hạng chứa x4 thì t  4 hay T5 chứa x4

+số hạng tổng quát của khai triển  9 2

1 30 9u2u u, 0;9

u

U   C x  u 

Số hạng chứa x4 thì 2   u 4 hay U3 chứa x4

+số hạng tổng quát của khai triển  8 2 2

Số hạng chứa x4 thì 4   v 4 hay V1 chứa x4

Vậy hệ số của số hạng chứa 4

x trong khai triển:  210

1 2  x  3 x là:

C104 24  30 C9222  405 C8020  8130

Chứng minh tương tự suy ra NP  PM  MN hay MNP đều

Gọi G là trọng tâm MNP, M là trung điểm NP thì

Câu 5: Nhận thấy  a n là dãy dương nên:

43

Đáp án đề thi 2011-2012

Câu 1:a, Điều kiện xác định:

Với điều kiện

Vậy số hạng thứ 2012 của dãy là :

Câu 2: a,

Gọi M N, lần lượt là điểm thuộc đường thẳng BC CA, sao cho:

và Suy ra

Đáp án đề thi năm 2012-2013

1,a Điều kiện: 1 6

52

k

VT C x Hệ số của x11 trong vế trái bằng C111 11

a x CH

Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có

2 2 2

2 2

2

.2

a x CK

Ta có

2 2

sin

CK CH

2 2

n

n n a

n n

Vậy lima n 4

3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0

12sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2

53

Đáp án đề thi năm 2014-2015

1,a,

Phương trình đã cho tương đương với:

cos22x3sin 22 x cos x 2  3 sin 2x0

 (cos x2  3 sin 2 )(x cos x2  3 sin 2x 1) 0

32

cos t  Giải phương trình này ta được: 3 5

cos cos  cos 

đôi một phân biệt nên phương trình (3) có

xcos xcos  xcos 

Với n  12 kết hợp với giả thiết ta được: a k C12k.2k với k = 0,1, ,12

Chứng minh được: cosA cosB   cos A B (  ) (1)

1sin

A C B C

1sin

A B C

T2  (1 cos) sin2 2  (1 cos) (13 cos)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số dương :

(1cos) (1 cos) (1 cos) 3(1 cos)4 34 T 2

 6 4 3T4 2 3 3

4

a T

602

3

2 2

2 4

4 4 06

A a