Phân tích và tối ưu hóa hệ thống

[BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Chương TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH HỆ THỐNG Tài liệu chính: “Phân tích tối ưu hóa hệ thống” – NXB Nông nghiệp năm 2007 PGS Phó Đức Anh Ba chương I II III Tổng quan PTHT Mô hình hóa hệ thống Tối ưu hóa I Giới thiệu chung Lý thuyết phân tích hệ thống đời nhu cầu giải vấn đề liên qua đến hệ thống bao gồm người với sản phẩm họ tạo mối kiên kết với môi trường tự nhiên, chẳng hạn - Gia tăng tai nạn giao thông - Nhu cầu lượng người xã hội ngày phát triển - Bài toán đô thị hóa - Quản lý vốn, sức lao động, tài nguyên…trong kinh doanh - Vấn đề quản lý nhà nước… Thực tế: - Đối tượng nghiên cứu ngày phức tạp: + Từ đơn lẻ đến nhiều thành phần + Từ vùng sang nhiều vùng + Từ trạng thái tĩnh sang trạng thái động + Số lượng tính chất ngành nghế thay đổi - Đặc trưng liên ngành ngày rõ nét: + Cần hợp tác nhiều chuyên gia nhiều lĩnh vực khác + Làm việc theo nhóm… Tuy nhiên: Máy tính giúp người giải số trình việc tìm lời giải Và đích tới vấn đề : Bài toán tối ưu Mục đích PTHT: + Trợ giúp cho nhà làm sách định giải quản lý ngày tốt vấn đề mà họ đảm trách + Nhà phân tích cần đưa thông tin, chứng sở lý luận liên quan đến hệ thống, sau phải đưa giải pháp tiên lượng hậu xảy 1|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ II Đặc điểm PTHT Đối tượng nghiên cứu Cấu trúc hệ thống Cần nhìn nhận vấn đề vận động việc Trong nhiều phương án khả thi cần lựa chọn định tối ưu Tính liên ngành Tính bất định III Phương pháp luận Các bước giai đoạn trình PTHT - Đặt toán - Nhận dạng, thiết kế sang lọc phương án khả thi - Dự báo tình trạng - Nhận dạng kết - So sánh xếp hạng phương án - Viết tài liệu Ví dụ: Vấn đề giảm tai nạn giao thông tuyến đường cao tốc + Mục tiêu: Quốc hội cần đưa đạo luật để nâng cao mức độ an toàn giao thông, giảm thiểu tai nạn tuyến đướng với tiêu chí cụ thể + Các giải pháp: - Quy định thắt dây an toàn lái xe ô tô, đội mũ bảo hiểm chuẩn điều khiển xe gắn máy - Quy định lại tố độ tối tuyến đường - Nâng cao chuẩn cấp lái xe Sau cần phân tích tỷ mỷ ba phươn án vừa nêu: - Thấy rõ chi tết điểm mạnh, điểm yếu, tác động tích cực tiêu cực giải pháp Dự kiến hậu xảy sau thực phương án (chẳng hạn: đưa phương án “Toàn dân đội mũ bảo hiểm, nhà hochj định sách cần hình dung ảnh hưởng tích cực giải pháp sao, thấy khó khăn phản ứng tiêu cực phận dân chúng như: Cho thuê mũ, đội mũ không đạt chuẩn muốn mũ bảo hiểm phải mang tính thời trang…) Nhà phân tích cần phải: - 2|P a g e Định lượng đưa tiêu chuẩn đánh giá để xếp hạng phương án đưa Thu thập tương đối đầy đủ xác số liệu cần thiết Nắm vững mối tương quan giũa thành phần hệ thống (Ví dụ: tốc đọ tối đa quy định theo thời kỳ; Xét tương quan(quan hệ thống kê) tốc độ quy định số tai nạn giao thông năm, tính trạng làm việc cảnh sát giao thông, trạm kiểm soát giao thông…) Chẳng hạn: giảm tốc độ tối đa kéo theo: Tăng số trạm xăng đường cao tốc, Tăng cường lược lượng CSGT, Tăng quỹ lương cho nhân viên bán xăng CSGT… [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Chương TỐI ƯU HÓA Bài số 1: CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM NHIỀU BIẾN I Các định nghĩa Cực tri hàm hai biến f (x , y ) Định nghĩa 1: Cho hàm số u = f (x, y ) xác định lân cận P0 (x 0, y ) a) Nếu f (x , y ) < f (x , y0 ) với (x , y ) lân cận P0 (x 0, y ) trừ điểm ta nói hàm số u = f (x, y ) đạt cực đại P0 (x 0, y ) (x 0, y0 ) gọi điểm cực đại hàm số, u0 = f (x 0, y0 ) gọi giá trị cực đại hàm số b) Nếu f (x , y ) > f (x , y0 ) với (x , y ) lân cận P0 (x 0, y ) trừ điểm ta nói hàm số u = f (x, y ) đạt cực tiểu P0 (x 0, y ) (x 0, y0 ) gọi điểm cực tiểu hàm số, u0 = f (x 0, y0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) (x 0, y0 ) (điểm phải điểm MXD z = f (x, y ) ) ta gọi chung điểm cực trị hàm số giá trị hàm số lúc gọi cực trị hàm số Định nghĩa 2: Cho hàm số u = f (x, y) = f (P ) có miền xác định D f (x, y ) ≥ m ) với (x , y ) miền D ⊆ ℝ , tồn Nếu f (x, y ) ≤ M (t.ư P0 = (x 0, y ) thuộc D cho M = f (x 0, y0 ) (t.ư m = f (x , y0 ) ) ta nói hàm số u = f (x, y ) đạt giá trị lớn (t.ư nhỏ nhất) (x 0, y0 ) u0 = f (x 0, y0 ) giá trị lớn (t.ư giá trị nhỏ nhất) hàm số miền D Chú ý: Giá trị bé (cực tiểu tuyệt đối) giá trị lớn (cực đại tuyệt đối) không thiết phải đạt điểm MXĐ (nếu MXĐ miền đóng), đạt điểm biên MXĐ Điều kiện cần cực trị tự Nếu hàm u = f (x, y) = f (P ) đạt cực đại cực tiểu (tương đối) P0 = (x 0, y ) có ĐHR fx fy P0 = (x 0, y ) ta có: 3|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ  f  x (x ,y ) = ⇔ gradf (x 0, y ) =  0  fy =0  (x ,y0 ) Như vậy: Cực trị tự hàm hai biến (nếu có) đạt điểm tới hạn Điểm tới hạn điểm thuộc MXĐ mà ĐHR triệt tiêu (điểm dừng) ĐHR không xác định Trong chương trình, xét cực trị điểm dừng, tức xét cực trị điểm nghiệm hệ:  f (x , y ) = x   fy (x , y ) =  Điều kiện đủ cực trị tự a) Đối với hàm biến y = f (x ) : Nếu x điểm dừng hàm số ( f '(x ) = ), tiêu chuẩn để khẳng định x điểm cực trị hàm số đó? + Quy tắc 1: Nếu có đổi dấu đạo hàm cấp f '(x ) qua x + Nếu f "(x ) ≠ từ dấu f "(x ) ta suy kết luận: f "(x ) > : x điểm cực tiểu f "(x ) < : x điểm cực đại b) Đối với hàm hai biến Nếu f (x, y ) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận điểm tới hạn (x , y ) số D (gọi biệt số) xác định bởi: D = fxx (x 0, y0 ) fyy (x 0, y ) −  fxy (x , y0 )   (2) (x , y ) i) Điểm cực đại D>0 fxx (x , y ) < ; ii) Điểm cực tiểu D>0 fxx (x , y ) > ; iii) Điểm yên ngựa D0 0 >0 Cực tiểu f (M ) với M lân cận M trừ điểm ta nói hàm số u = f (.) đạt cực tiểu M M gọi điểm cực tiểu hàm số, u0 = f (M ) gọi giá trị cực tiểu hàm số Định nghĩa 2: Nếu f (M ) ≤ K (t.ư f (M ) ≥ k ) với M thuộc miền D ⊆ ℝ n , tồn M thuộc D cho K = f (M ) (t.ư k = f (M ) ) ta nói hàm số u = f (.) đạt giá trị lớn (t.ư nhỏ nhất) M u0 = f (M ) giá trị lớn (t.ư giá trị nhỏ nhất) hàm số miền D Chú ý: Trong toán tìm GTLN (cực đại tuyệt đối) GTNN (cực tiểu tuyệt đối) miềm đóng điểm M điểm điểm biên miền xét b) Điều kiện cần Nếu u = f (.) = f (M ) đạt cực trị tương đối M có đạo hàm riêng theo biến M gradf (M ) = c) Điều kiện đủ Định nghĩa: Ma trận Hessian: Xét hàm số u = f (M ) = f (x 1, x 2, , x n ) có đạo hàm riêng liên tục tới cấp 2, ma trân Hessian xác định bởi:  ∂2 f H (M ) =   ∂x ∂x  i j    i, j =1,2, ,n  fx x  11 f =  x2x1 ⋮   fx x  n1 fx x ⋯ fx x ⋯ ⋮ ⋮ 2 fx x ⋯ n fx x  n  fx x  n ⋮   fx x  n n  Tử thức ma trận vuông định thức có đường chéo nằm đường chéo ( ) ma trận Xét A = aij i , j =1, ,n ∈ M (n ) , có n tử thức ∆1 = a11; ∆2 = 5|P a g e a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 ; ∆ = a21 a22 a23 ; a 31 a 32 a 33 [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a 2n ⋮ ⋮ a11 ∆n = det A = ⋮ ⋮ an an an ann Khi với M ∈ TXD : + H (M ) gọi xác định dương ∆j (M ) > 0, ∀j = 1,2, , n + H (M ) gọi xác định âm (−1)j ∆ j (M ) > 0, ∀j = 1,2, , n ∆ > + H (M ) gọi bán xác định dương   ∆  j ≥ 0, ∀j = 2, , n ∆ < + H (M ) gọi bán xác định âm   (−1)j ∆ j ≥ 0, ∀j = 2, , n  Điều kiện đủ: Giả sử u = f (M ) = f (x 1, x 2, , x n ) có điểm dừng M hàm số có đạo hàm liên tục tới cấp Khi Trường hợp 1: Nếu H (M ) xác định dương M điểm cực tiểu (tương đối) hàm số Nếu H (M ) xác định âm M điểm cực đại (tương đối) hàm số Trường hợp 2: Nếu H (M ) bán xác định dương (hoặc bán xác định âm) M điểm nghi vấn hàm số Trường hợp 3: Nếu H (M ) không rơi vào trường hợp M điểm cực trị hàm số d) Cực trị tuyệt đối Bài toán: Tìm cực trị tuyệt đối (GTLN, GTNN) hàm u = f (M ) = f (x 1, x 2, , x n ) miền đóng D Giải: + Bước 1: Tìm cực trị tương đối miền D (chỉ xét điểm miền) + Bước 2: Tìm giá trị hàm số biên + Bước 3: So sánh giá trị để xác định GTLN GTNN Chú ý: Nếu ta xét toán miền mở D (không xác định biên) Bước ta thay bằng: Tìm giới hạn hàm số u = f (M ) M tiến dần tới biên miền D Một số ví dụ Ví dụ (VD trang 71) + Hàm giá thành sản xuất: C (x 1, x ) = (x + x )2 + 15 6|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ + Tiền bán hang: p1x + p2x 2 + Hàm lợi nhuận: P (x 1, x ) = ∑px i i ( ) − C x 1, x = ??? i =1 { } + Miền quan tâm: D = (x 1, x ) | ≤ x ≤ 12; ≤ x ≤ 10 Hướng dẫn giải: + Phát biểu toán (dạng Toán học) + Tìm điểm dừng + Lập ma trân Hessian H + Tính giá trị phần tử H điểm dừng + Xác định tử thức H điểm dừng + Từ điều kiện đủ suy kết luận toán Bài tập 1: Tìm kích thước hình hộp chữ nhật tích V = cho trước cho tổng diện tích xung quanh đáy đạt giá trị bé nhất? Hướng dẫn: + Phân tích toán, xác định hàm cần tìm + Gọi kích thước hình hộp là: x , y, z z chiều cao, x , y, z > + Diện tích xung quanh đáy: S = xy + 2yz + 2zx + Từ gt: xyz = ⇒ z = 8 đó: S = xy + + xy x y + Tìm điểm dừng S + Tìm ma trân Hesian + Từ điều kiện đủ suy kết luận Bài tập 2: Tìm cực trị tự hàm hai biến z (x , y ) = 3x + 2xy + y + 10x + 2y + Hướng dẫn: Bài tập nhà: Dạng I.1 + I.2 +I.5: dạng làm Đọc trước Mục I.4 trang 74 chuẩn bị cho Bài giảng: Cực trị có điều kiện 7|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Bài số 2: CỰC TRỊ TỰ CÓ ĐIỀU KIỆN Bài toán tổng quát: Cho hàm f (M ), M (x 1; x ; ; x n ) ∉ D f ⊆ ℝ n Tìm cực trị f (M ) thỏa mãn m điều kiện sau ( m < n ): g i (M ) = bi , i = 1, 2, , m ( bi : số) Nếu n = 2, m = : Tìm cực trị z = f (x 1; x ) (1) thỏa mãn điều kiện g (x 1; x ) = b (2) Giải: Cách 1: Nếu điều kiện (2) dễ dàng rút ẩn theo ẩn kia, lên (1) ta nhận toán tìm cực trị hàm biến Cách 2: Phương pháp nhân tử Lagrange *) Điều kiện cần: + Lập hàm Lagrange: L(x 1; x ; λ) = f (x 1; x ) + λ(g (x 1; x ) − b ) L =  f + λg = x1  x1  x1 + Giải hệ: Lx = ⇔  fx + λ g x = , hệ có nghiệm M (x 01 ; x 02 ; λ ) 2 L = g (x ; x ) − b =  λ  *) Điều kiện đủ: + Lập ma trận viền Hesian 0  − H = g  x1 g x | gx | − | Lx x 1 | Lx x gx   −  Lx x   Lx x  2  + Xét (n − m ) tử thức sau cùng: trường hợp ta cần xét ∆ = H (M ) , đó: Trường hợp 1: Nếu H (M ) xác định dương (tức ∆ < ) M điểm cực tiểu (tương đối) Trường hợp 2: Nếu H (M ) xác định âm (tức ∆ > ) M điểm cực đại (tương đối) ∆ ≤ Trường hợp 3: Nếu H (M ) bán xác định dương (hoặc bán xác định âm):  điểm M điểm ∆ ≥  nghi vấn Trường hợp 4: Nếu H (M ) không xác định (trường hợp ∆ = ) điểm M o điểm cực trị có điều kiện 8|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Ví dụ (Tr.76) (hướng dẫn) Ví dụ 5(Tr 77) (hướng dẫn) Nếu n = 3; m = : Tìm cực trị f (x 1; x ; x ) (1) thỏa mãn điều kiện g (x 1; x ; x ) = b (2) Giải: *) Điều kiện cần + Lập hàm Lagrange: L(x 1; x ; x ; λ) = f + λ(g − b ) Lx = fx + λ g x = 0, j = 1, 2, j j + Xét hệ  j , nghiệm M (x 01 ; x 02 ; x 03 ; λ ) hệ (nếu có) điểm dừng Lλ = g − b = *) Điều kiện đủ : + Lập ma trận Hesian viền 0  g HA =  g  g gx gx Lx x Lx x Lx x Lx x Lx x Lx x 1 1 2   Lx x  Lx x   Lx x  3  gx + Khi xét n − m = − = tử thức sau ∆ ; ∆ ; Khi Trường hợp 1: Nếu H (M ) xác định dương (tức ∆ < 0; ∆ < ) M điểm cực tiểu (tương đối) Trường hợp 2: Nếu H (M ) xác định âm (tức ∆ > 0; ∆ < ) M điểm cực đại (tương đối)  ∆ ≤ 0; ∆ ≤ Trường hợp 3: Nếu H (M ) bán xác định dương (hoặc bán xác định âm):  điểm M  ∆ ≥ 0; ∆ ≤ điểm nghi vấn Trường hợp 4: Nếu H (M ) không xác định điểm M o điểm cực trị có điều kiện Ví dụ (Tr.79: (hướng dẫn) 9|P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Nếu n = 3; m = : Tìm cực trị f (x 1; x ; x ) (1) g (x ; x ; x ) = b1 thỏa mãn điều kiện  1 g (x 1; x ; x ) = b2 (2) Giải: *) Điều kiện cần + Lập hàm Lagrange: L(x 1; x ; x ; λ1; λ ) = f + λ 1(g − b1 ) + λ (g − b2 ) Lx = fx + λ 1g 1,x + λ 2g 2,x = 0, j = 1, 2, j j j  j + Xét hệ Lλ = g1 − b1 = , nghiệm M (x 01 ; x 02 ; x 03 ; λ 1,0 ; λ 2,0 ) hệ (nếu có) L = g − b = 2  λ2 điểm dừng *) Điều kiện đủ : + Lập ma trận Hesian viền 0  0 H A = g1,x1  g1,x2 g  1,x g1,x g2,x g2,x g2,x Lx x Lx x Lx x Lx x Lx x Lx x g2,x g2,x 1 g1,x 2 2 g1,x   g2,x  Lx x   Lx x  Lx x  3  + Khi xét n − m = − = tử thức sau ∆ ; Khi Trường hợp 1: Nếu H (M ) xác định dương (tức ∆ > ) M điểm cực tiểu (tương đối) Trường hợp 2: Nếu H (M ) xác định âm (tức ∆ < ) M điểm cực đại (tương đối) ∆ ≥ Trường hợp 3: Nếu H (M ) bán xác định dương (hoặc bán xác định âm):  điểm M điểm  ∆ ≤ nghi vấn Trường hợp 4: Nếu H (M ) không xác định (trường hợp ∆ = ) điểm M o điểm cực trị có điều kiện 10 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Ví dụ: Tìm cực trị tương đối hàm số u = f (x ; x ; x ) = x + y + z x + y + z − = thỏa mãn điều kiện   3x + 2y + z − = Hướng dẫn: Ở n = 3; m = + Hàm Lagrange: L = x + y + z + λ(x + y + z − 1) + µ(3x + 3y + z − 6) L  x Ly + Giải hệ  Ly L  λ Lµ =0 =0  −5  = tìm điểm dừng M  ; ;  3 3  =0 =0 + Xác định ma trận viền Hesian + Vì n = 3; m = nên xét tử thức chinh ∆ + Kết luận, Ví dụ 7(Tr 80): hướng dẫn Ví dụ 8(Tr.81): hướng dẫn Trường hợp tổng quát: Xét hàm số f (M ), M (x 1; x ; ; x n ) ∉ D f ⊆ ℝ n Tìm cực trị f (M ) thỏa mãn m điều kiện sau ( m < n ): g i (M ) = bi , i = 1, 2, , m ( bi : số) Giải: *) Điều kiện cần + Lập hàm Lagrange: L(M ; Λ ) = f (M ) + m ∑ λ (g (M ) − b ) i i i i =1 m  Lx j = fx j + ∑ λ i g i ,x j − bi = 0, j = 1, 2, 3, , n + Xét hệ  , nghiệm M (x 01 ; x 02 ; x 03 ; , x 0n ; λ 1,0 ; ; λ m ,0 ) i =1 Lλ = g i ,x − bi = 0, i = 1, 2, , m j  i hệ (nếu có) điểm dừng ( 11 | P a g e ) [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ *) Điều kiện đủ : + Lập ma trận Hesian viền  O  HA =   ℑT    ∂g ℑ= i  ∂x  j  ∂ 2L     ∂x x  i j           + Tại điểm dừng xét (n − m ) tử thức sau ∆ 2m +1, ∆ 2m +2, , ∆ n +m ; Khi Trường hợp 1: Nếu H (M ) xác định dương (tức (n − m ) tử thức sau dương m − chẵn, âm m − lẻ) M điểm cực tiểu (tương đối) Trường hợp 2: Nếu H (M ) xác định âm (tức (n − m ) tử thức sau có dấu xen kẻ ∆2m +1 < m − chẵn, ∆2m +1 > m − lẻ) M điểm tiểu đại (tương đối) Trường hợp 3: Nếu H (M ) bán xác định dương (hoặc bán xác định âm): giống trường hợp khác dấu < , > thay ≤ , ≥ tương ứng điểm M điểm nghi vấn Trường hợp 4: Nếu H (M ) không xác định điểm M o điểm cực trị có điều kiện Mặc dù vậy, thực tế khó sử dụng, chẳng hạn có trường hợp không tồn đạo hàm riêng ta không sử dụng phương pháp trên, ta cần có phương pháp hữu hiệu khác để giải vấn đề Bài tập nhà: Dạng I.1 + I.2 +I.5: dạng làm 8, 9, 10 Đọc trước Mục III.1 III.2 từ trang 89 chuẩn bị cho Bài giảng: Quy hoạch tuyến tính Phương pháp hình học 12 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ CƠ SỞ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài số 3: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Xét toán: Tìm (max) u(M ) = c1x + c2x + + cn x n thỏa mãn m − điều kiện (m < n ; m , n ∈ ℕ * ) a11x + a12x + + a1n x n = (≤)b1  a21x + a22x + + a 2n x n = (≤)b2  … am 1x + am 2x + + amn x n = (≤)bn  , j bj biết (i = 1, , n; j = 1, , m ) , tìm x i = ?, (x i ≥ 0; i = 1,2, , n ) A.X = B X ≥ Cách viết khác: Tìm (max) hàm L(ℂ; X ) thỏa mãn  x  b   1 1 với A = (aij )m ×n ; X = ⋮  ; B = ⋮  x  b   n  m I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Xét bảng liệu sau: F1 F2 … Fj … Fn N1 a11 a12 … a1j … a1n b1 N2 a 21 a 22 … a2 j … a2n b2 … … … … … … … … Ni ai … aij … ain bi … … … … … … … … Nm am am … amj … amn bm c1 c2 … cj … cn Bài toán vận tải tĩnh Với aij = 1; ci , bj biết, toán vận tải tĩnh phát biểu sau: 13 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ A.X = B Tìm (max) L(ℂ; X ) thỏa mãn  X ≥ Bài toán thực dưỡng A.X ≥ B, (B ≥ 0) X ≥ Tìm (max) L(ℂ; X ) thỏa mãn  Bài toán phân bổ tài nguyên A.X ≤ B, (B ≥ 0) Tìm (max) L(ℂ; X ) thỏa mãn  X ≥ Bài toán hỗn hợp A.X ≥ / ≥ B, B ≥ X ≥ Tìm (max) L(ℂ; X ) thỏa mãn  II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QHTT Đường thẳng Oxy + Phương trình: Ax + By + C = 0, (A2 + B ≠ 0) + Đường thẳng chia mặt phẳng thành miền: { : {(x , y ) ∈ ℝ : {(x , y ) ∈ ℝ } | Ax + By + C = 0} | Ax + By + C < 0} R+ : (x , y ) ∈ ℝ2 | Ax + By + C > R0 R− 2 Một số khái niệm + Miền chấp nhận miền thỏa mãn tất điều kiện ràng buộc toán + Bài toán Quy hoạch tuyến tính xét miền chấp nhận miền lồi gọi toán Quy hoạch tuyến tính lồi + Trong toán Quy hoạch tuyến tính lồi, ta gọi đỉnh Miền chấp nhận điểm cực biên Ví dụ 1: Xét đường thẳng Oxy : (d ) : 3x + 4y − 12 = + Vẽ đường thẳng + Theo chiều tăng VTPT n , dấu thay đổi từ < ⇒ = ⇒ > Ví dụ 2: Tìm (max) hàm số 14 | P a g e L(ℂ; X ) = x + 2y (1) [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ 3x + 4y − 12 ≤  thỏa mãn hệ điều kiện: 0 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤  Giải: + Tìm miền chấp nhận được: { (2) (3) } Ω = M (x , y ) | (2) + (3) , ngũ giác lối OABCD O(0; 0); A(3; 0); B(3; / 4); C (4 / 3;2); D(0;2) + Đường thẳng tựa (dựa vào hàm mục tiêu): x + 2y = có VTPT n(1;2) + Cho đường thẳng tựa tịnh tiến theo chiều tăng VTPT ta nhận thấy: - Tại O(0; 0) ⇒ L(C , X ) = ⇒ - Tại B(3; / 4) ⇒ L(C , X ) = 4, - Tại C (4 / 3;2) ⇒ L(C , X ) = 16 + Kết luận: L(ℂ; X ) đạt max C max(x + 2y ) = L(O ) = min(x + 2y ) = L(C ) = 16 Ví dụ 3: Tìm (max) L1 = 2x − y với điều kiện 3x + 4y − 12 ≤  0 ≤ x ≤ 0 ≤ y ≤  Hướng dẫn: Đường thẳng tựa: 2x − y = có VTPT n(2;1) … Ví dụ 4: Tìm (max) L2 = 3x + 4y với điều kiện trên… Ví dụ (Ví dụ tr 95) Ví dụ (Ví dụ Tr.95) (Về toán xử lý phế thải) Chú ý: Người ta chứng minh rằng: Đối với toán Quy hoạch lồi: Nếu có tối ưu đạt đỉnh Nếu có nhiều nghiệm tối ưu có nghiệm đạt đỉnh kề miền chấp nhận Số điểm cực biên hữu hạn Từ không cần tịnh tiến đường tựa mà cần tính giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên 15 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Điểm cực biên tối ưu: điểm mà giá trị hàm mục tiêu đạt “tốt hơn” điểm kề với điểm Bài toán Quy hoạch lồi có thể: + Có nghiệm tối ưu + Có vô số nghiệm tối ưu + Vô nghiệm Phương pháp hình học cho toán biến a Mặt phẳng ℝ 2 Mặt phẳng Ax + Bx + Cx + D = (với A + B + C ≠ ) chia không gian thành miền { : {(x ; x ; x ) ∈ ℝ : {(x ; x ; x ) ∈ ℝ } + D = 0} + D < 0} + R+ : (x 1; x ; x ) ∈ ℝ | Ax + Bx + Cx + D > + R0 + R− 3 |Ax + Bx + Cx 3 | Ax + Bx + Cx 3 b Các bước giải toán Quy hoạch lồi ℝ + Từ đề bài, xác định miền chấp nhận + Tìm điểm cực biên + So sánh giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên để xác định GTLN GTNN Ví dụ 3(Tr.97) (hướng dẫn giải) Ví dụ (bài Tr 99) (hướng dẫn giải) Bài tập nhà: Dạng III.2.3 Tr 98 Đọc trước Mục III.3 từ trang 101 chuẩn bị cho Bài giảng: Thuật toán đơn hình Quy hoạch tuyến tính 16 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Bài số 4: THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH Biến sở biến tự do: x + y = 36 , hệ p/trình ẩn, p/trình độc lập: nên dễ giải 2x + 4y = 100 Ví dụ 1: Xét hệ  x + y = 36 , hệ p/trình không độc lập x y + = 72  Ví dụ 2: Xét hệ  + Khi đó, hệ ⇔ x = 36 − y , với y = y ta có x = 36 − y { } + Và tập nghiệm (x ; y ) ∈ ℝ | x + y = 36 + Trong trường hợp này: x gọi biến sở y gọi biến tự + Còn y = 36 − x x biến tự y biến sở x + y + z = 36 ⇔ 2x + 4y + 4z = 100 Ví dụ 3: Xét hệ  x + y = 36 − z  2x + 4y = 100 − 4z Khi : x y biến sở z biến tự Chú ý: Số biến sở = số phương tình độc lập Nghiệm sở: nghiệm hệ ứng với biến tự Chẳng hạn + Ví dụ 2: Nghiệm sở (36; 0) (0; 36) + Ví dụ 3: Nghiệm sở (22;14; 0) (0; 36) Về mặt hình học: Tìm nghiệm sở việc tìm đỉnh nằm trục tọa độ Ví dụ 4: Tìm max(L(x 1; x ) = −x + x ) x + 2x − 3x =  thỏa mãn  x − x + 5x = x ≥ 0, i = 1, ,  i (1)    (2) (3) Giải: Để ý rằng, VD dung PP hình học khó phải xét ℝ x = − 2x + 3x x = + x − 5x + Chọn biến sở, biến tự do: biến đổi hệ thành    (2 ')  Khi : Biến sở là: x 1; x biến tự x 3, x + Nghiệm sở đầu tiên: M 1(2; 4; 0; 0) , điểm cực biên (phương án cực biên đầu tiên) 17 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Khi L1 = L(M ) = −x + x = : dễ thấy chưa phải GTLN L để ý công thức hàm mục tiêu L = −x + x với điều kiện (3) ta tăng x (khi x = ) để nhận giá trị L lớn Một vấn đề đặt cho x tăng tới đâu? x = + 3x Để ý rằng, x = ta dựa vào (2’):  x = − 5x  Do ta tăng x đến với (3) suy − 5x ≥ ⇔ x ≤ x = x = Bây lại có: Biến tự  biến sở x =   22 x = nhận Nghiệm sở (phương án cực  x =   22 4 ; 0; 0;  , ứng với phương trình sau: 5  biên) thứ hai: M   22 − x2 − x3 x = 5  1 x = − x + x  5 4 − x − x Đến ta tăng thêm nữa, ta nhận kết quả: 5  22 4 max L = L(M ) = , M  ; 0; 0;  gọi nghiệm tối ưu 5  lúc L = Quá trình biểu diễn thông qua Bảng đơn hình + Trước hết ta viết lại toán dạng bảng sau Biến sở x1 x2 L x1 x2 x3 x4 −3 Hệ số tự −1 0 −1 Ở đây: + Hàng cuối ghi lại phương trình rút gọn hàm mục tiêu: L + x − x = , hệ số biến bên vế trái gọi hệ số đánh giá + Giá trị biến sở chon gay cột hệ số tự do, biến lại biến tự + Tất hệ số tự không âm + Giao hang, cột chứa biến sở số , số khác cột biến sở 18 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ + Dạng toán gọi Dạng chuẩn tắc Từ ta nhận phương án cực biên (2; 4; 0; 0) , lúc L = chưa phải GTNN hàng cuối (hàng L ) ta nhận thấy hệ số đánh giá x âm (bằng −1 ) nên x tăng lên đến giá trị thích hợp Ta đưa bảng đơn hình thứ thành bảng đơn hình thứ theo bước sau: + Chọn cột x (có hệ số đánh giá âm) cột chọn (tức x chọn làm biến sở thay cho biến sở cũ), ta cần xét xem x thay cho biến sở cũ + Lập tỷ số hệ số tự hệ số dương tương ứng cột chọn Sau chọn hàng có tỷ số nhỏ làm hàng chọn, biến sở cũ x tương ứng trở thành biến tự (nhận giá trị ) + Giao cột chọn hàng chọn gọi phần tử chọn : số + Vị trí biến sở cũ x thay biến sở x , giá trị hàng biến sở cũ tính lại cách chia tất giá trị cho phần tử chọn + Trong cột chọn giữ nguyên phần tử chọn, giá trị khác biến đổi cho trở thành số dựa vào giá trị thuộc dòng biến sở x + Các giá trị hàng L (hệ số đánh giá mới) hệ số đánh giá cũ + giá trị dòng biến sở Biến sở x1 x2 x3 x4 −3 Hệ số tự x2 L −1 0 -1 x1 3/5 7/5 22 / x4 L 1/ −1 / 4/5 1/ 4/5 4/5 x1 Tỷ số 4/5 Ta biến đổi tiếp hệ số đánh giá không âm dừng lại tăng ta nhận nghiệm tối ưu Ví dụ 5: Cho bảng đơn hình Biến sở x2 x3 x4 −3 x5 Hệ số tự x1 x1 x2 −1 x3 L 0 0 -1 Hãy tìm phương án tối ưu (max L ) 19 | P a g e Tỷ số [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ Giải: Biến sở x2 x3 x4 −3 x5 Hệ số tự Tỷ số x1 x1 4/5 x2 −1 x3 L 0 0 -1 x5 1/ 0 −3 / 4/5 x2 1/ 7/5 44 / x3 L −6 / 38 / 11 / 1/  Phương án tối ưu M  0;  12 / 6/7 4/5 44 11  ; ; 0;  giá trị tối ưu L = 5 5 Chú ý: Nếu hệ số đánh giá cột biến tự dương: phương án tối ưu Nếu hệ số đánh giá ứng với biến tự có hệ số : có vô số phương án tối ưu Dạng tắc Dạng chuẩn Dạng chuẩn tắc toán QHTT a Dạng tổng quát toán QHTT Tìm (max) u(M ) = L(C ; X ) = c1x + c2x + + cn x n thỏa mãn m − điều kiện (m < n ; m , n ∈ ℕ * ) a11x + a12x + + a1n x n = (≤)b1  a21x + a22x + + a 2n x n = (≤)b2  … am 1x + am 2x + + amn x n = (≤)bn  , j bj biết (i = 1, , n; j = 1, , m ) , tìm x i = ?, (x i ≥ 0; i = 1,2, , n ) A.X = (≤)B Cách viết khác: Tìm (max) hàm L(ℂ; X ) thỏa mãn  X ≥ 20 | P a g e [BÀI GIẢNG MÔN PHÂN TÍCH VÀ TỐI ƯU HÓA HỆ THỐNG] TS Nguyễn Hữu Thọ b Dạng tắc: Tìm max L(ℂ; X ) Tìm L(ℂ; X ) (1a ) A.X ≤ B X ≥ (2a ) thỏa mãn  (3a ) A.X ≥ B X ≥ thỏa mãn  (1b) (2b) (3b) Các phần tử B có dấu tùy ý c Dạng chuẩn: Tìm max L(ℂ; X ) A.X = B X ≥ thỏa mãn  (1) (2) (3) Các phần tử B có dấu tùy ý d Dạng chuẩn tắc: dạng chuẩn với ma trận A có chứa r cột (ứng với r biến sở ) có hệ số biến sở số lại số Ví dụ 6: Ví dụ (Tr 105) có dạng chuẩn tắc Ví dụ 7: Ví dụ (Tr.105) không dạng chuẩn tắc, ta đưa dạng chuẩn tắc cách đưa thêm biến chênh lệch (hướng dẫn) + Điều kiện: • ≤ bk (bk ≥ 0) , ta thêm vào vế trái biến chênh lệch ( ≥ ) + Điều kiện: • ≥ bk (bk ≥ 0) , ta trừ vào vế trái biến chênh lệch ( ≥ ) sau nhân hai vế với Ví dụ 8: Bài toán xử lý phế thải (Tr 94): chưa phải dạng chuẩn tắc, ta đưa dạng chuẩn tắc giải Tr 105 (hướng dẫn) Bài tập nhà: Dạng III.3.4 Tr 110; 111 Đọc trước Mục III.3.3 + III.4+ III.5 từ trang 107 chuẩn bị cho Bài giảng: Thuật toán đơn hình cho toán không chuẩn Quy hoạch tuyến tính Bài toán đối ngẫu 21 | P a g e