Phân tích và tối ưu hóa hệ thống

- Quy định lại về tố độ tối đã trên các tuyến đường - Nâng cao chuẩn cấp bằng lái xe Sau đó cần phân tích tỷ mỷ ba phươn án vừa nêu: - Thấy rõ chi tết các điểm mạnh, điểm yếu, các tác đ

1 | P a g e

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH HỆ THỐNG

Tài liệu chính:

“Phân tích và tối ưu hóa hệ thống” – NXB Nông nghiệp năm 2007 của PGS Phó Đức Anh

Ba chương chính

I Tổng quan về PTHT

II Mô hình hóa hệ thống

III Tối ưu hóa

I Giới thiệu chung

Lý thuyết phân tích hệ thống ra đời do nhu cầu giải quyết các vấn đề liên qua đến các hệ thống bao gồm con người với các sản phẩm do họ tạo ra trong mối kiên kết với môi trường tự nhiên, chẳng hạn như

- Gia tăng tai nạn giao thông

- Nhu cầu năng lượng của con người trong xã hội ngày càng phát triển

- Bài toán đô thị hóa

- Quản lý vốn, sức lao động, tài nguyên…trong kinh doanh

+ Từ trạng thái tĩnh sang trạng thái động

+ Số lượng và tính chất ngành nghế thay đổi

- Đặc trưng liên ngành ngày càng rõ nét:

+ Cần sự hợp tác của nhiều chuyên gia trong nhiều lĩnh vực khác nhau

+ Làm việc theo nhóm…

Tuy nhiên: Máy tính đã và đang giúp con người giải quyết một số quá trình trong việc tìm lời giải Và

đích tới của mọi vấn đề chính là : Bài toán tối ưu

2 | P a g e

II Đặc điểm chính của PTHT

1 Đối tượng nghiên cứu

2 Cấu trúc hệ thống

3 Cần nhìn nhận vấn đề trong sự vận động của sự việc

4 Trong nhiều phương án khả thi cần lựa chọn quyết định tối ưu

5 Tính liên ngành

6 Tính bất định

III Phương pháp luận

Các bước và các giai đoạn của quá trình PTHT

- Viết tài liệu

Ví dụ: Vấn đề giảm tai nạn giao thông trên các tuyến đường cao tốc

+ Mục tiêu: Quốc hội cần đưa ra một đạo luật mới để nâng cao mức độ an toàn giao thông, giảm thiểu các tai nạn trên các tuyến đướng với các tiêu chí cụ thể

+ Các giải pháp:

- Quy định về thắt dây an toàn khi lái xe ô tô, đội mũ bảo hiểm đúng chuẩn khi điều khiển xe gắn máy

- Quy định lại về tố độ tối đã trên các tuyến đường

- Nâng cao chuẩn cấp bằng lái xe

Sau đó cần phân tích tỷ mỷ ba phươn án vừa nêu:

- Thấy rõ chi tết các điểm mạnh, điểm yếu, các tác động tích cực cũng như tiêu cực của mỗi giải pháp

- Dự kiến được các hậu quả có thể xảy ra sau khi thực hiện các phương án (chẳng hạn: khi đưa ra phương án “Toàn dân đội mũ bảo hiểm, các nhà hochj định chính sách cần hình dung được các ảnh hưởng tích cực của giải pháp này ra sao, cũng như thấy được những khó khăn và phản ứng tiêu cực của một bộ phận dân chúng như: Cho thuê mũ, đội mũ không đạt chuẩn vì muốn mũ bảo hiểm phải mang tính thời trang…)

Nhà phân tích cần phải:

- Định lượng và đưa ra các tiêu chuẩn đánh giá để xếp hạng 3 phương án đưa ra

- Thu thập tương đối đầy đủ và chính xác các số liệu cần thiết

- Nắm vững mối tương quan giũa các thành phần trong hệ thống (Ví dụ: tốc đọ tối đa được quy định theo các thời kỳ; Xét tương quan(quan hệ thống kê) giữa tốc độ quy định và số tai nạn giao thông trong từng năm, tính trạng làm việc của cảnh sát giao thông, các trạm kiểm soát giao thông…) Chẳng hạn: nếu giảm tốc độ tối đa thì sẽ kéo theo: Tăng số trạm xăng trên đường cao tốc, Tăng cường lược lượng CSGT, Tăng quỹ lương cho các nhân viên bán xăng và CSGT…

3 | P a g e

Chương 3 TỐI ƯU HÓA Bài số 1: CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

I Các định nghĩa

1 Cực tri của hàm hai biến ( , ) f x y

Định nghĩa 1: Cho hàm số u= f x y( , ) xác định trong lân cận của P x y0( , )0 0

a) Nếu f x y( , )<f x y( , )0 0 với mọi ( , )x y trong lân cận của P x y0( , )0 0 trừ đi điểm đó thì ta nói rằng hàm số u =f x y( , ) đạt cực đại tại P x y0( , )0 0 và ( , )x y0 0 gọi là điểm cực đại của hàm số, u0 = f x y( , )0 0

gọi là giá trị cực đại của hàm số đó

b) Nếu f x y( , )>f x y( , )0 0 với mọi ( , )x y trong lân cận của P x y0( , )0 0 trừ đi điểm đó thì ta nói rằng hàm số u= f x y( , ) đạt cực tiểu tại P x y0( , )0 0 và ( , )x y0 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số, u0 = f x y( , )0 0

gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đó

Nếu hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại ( , )x y0 0 (điểm này phải là điểm trong của MXD của z = f x y( , )) thì ta gọi chung đó là điểm cực trị của hàm số và giá trị của hàm số lúc này gọi là cực trị của hàm số đó

( , )x y và u0 = f x y( , )0 0 là giá trị lớn nhất (t.ư giá trị nhỏ nhất) của hàm số đó trên miền D

Chú ý: Giá trị bé nhất (cực tiểu tuyệt đối) và giá trị lớn nhất (cực đại tuyệt đối) không nhất thiết phải đạt

được tại điểm trong của MXĐ (nếu MXĐ là miền đóng), nó có thể đạt được tại một điểm biên của MXĐ

2 Điều kiện cần của cực trị tự do

Nếu hàm u= f x y( , )= f P( ) đạt cực đại hoặc cực tiểu (tương đối) tại P0 =( , )x y0 0 và có các ĐHR fx và

y

f tại P0 =( , )x y0 0 thì ta có:

Như vậy: Cực trị tự do của hàm hai biến (nếu có) chỉ có thể đạt tại các điểm tới hạn của nó

Điểm tới hạn là một điểm thuộc MXĐ mà tại đó các ĐHR triệt tiêu (điểm dừng) hoặc ít nhất một trong các ĐHR không xác định Trong chương trình, chúng ta chỉ xét cực trị tại các điểm dừng, tức là chỉ xét cực trị tại các điểm là nghiệm của hệ:

( , ) 0

.( , ) 0

x y

3 Điều kiện đủ của cực trị tự do

a) Đối với hàm một biến y = f x( ): Nếu x0 là một điểm dừng của hàm số (f x'( )0 =0), khi đó tiêu chuẩn nào để khẳng định x0 là điểm cực trị của hàm số đó?

+ Quy tắc 1: Nếu có sự đổi dấu của đạo hàm cấp một f x'( ) khi qua x0

+ Nếu f "( )x0 ≠0 và từ dấu của f "( )x0 ta suy ra kết luận:

b) Đối với hàm hai biến

(gọi là biệt số) xác định bởi:

D = fxx(x y0, 0) (fyy x y0, 0)− fxy(x y0, 0)2 (2)

thì (x y0, 0) là

i) Điểm cực đại nếu D>0 và fxx(x y0, 0)< ; 0

ii) Điểm cực tiểu nếu D>0 và fxx(x y0, 0)>0;

iii) Điểm yên ngựa nếu D<0

Hơn nữa, nếu D=0 thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra

Chú ý: Trong bài toán tìm GTLN (cực đại tuyệt đối) hoặc GTNN (cực tiểu tuyệt đối) trên một miềm

đóng thì điểm M0có thể là điểm trong hoặc điểm biên của miền đang xét

Ma trận Hessian: Xét hàm số u= f M( )= f x x( , , ,1 2 xn) có các đạo hàm riêng liên tục tới cấp 2, khi đó

ma trân Hessian được xác định bởi:

+ H M( 0) được gọi là xác định dương nếu và chỉ nếu ∆j(M0)>0, ∀ =j 1,2, ,n

+ H M( 0) được gọi là xác định âm nếu và chỉ nếu ( 1)j ( 0) 0, 1,2, ,

Trường hợp 1: Nếu H M( 0) là xác định dương thì M0 là điểm cực tiểu (tương đối) của hàm số

Nếu H M( 0) là xác định âm thì M0 là điểm cực đại (tương đối) của hàm số

Trường hợp 2: Nếu H M( 0) là bán xác định dương (hoặc bán xác định âm) thì M0 là điểm nghi vấn của hàm số

Trường hợp 3: Nếu H M( 0) không rơi vào các trường hợp trên thì M0 không phải là điểm cực trị của hàm

số

d) Cực trị tuyệt đối

Bài toán: Tìm cực trị tuyệt đối (GTLN, GTNN) của hàm u= f M( )= f x x( , , ,1 2 xn) trên miền đóng D

Giải:

+ Bước 1: Tìm cực trị tương đối trong miền D (chỉ xét những điểm trong của miền)

+ Bước 2: Tìm giá trị của hàm số trên biên

+ Bước 3: So sánh các giá trị để xác định GTLN và GTNN

Chú ý: Nếu ta xét bài toán trên miền mở D (không xác định biên) thì Bước 2 ta sẽ thay bằng: Tìm giới hạn

của hàm số u = f M( ) khi M tiến dần tới biên của miền D

5 Một số ví dụ

Ví dụ 1 (VD 1 trang 71)

+ Hàm giá thành sản xuất: C x x( , )1 2 =(x1 +x2)2 +15

+ Tính giá trị các phần tử của H tại điểm dừng

+ Xác định các tử thức chính của H tại điểm dừng

+ Từ điều kiện đủ suy ra kết luận của bài toán

Bài tập 1: Tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích V = 4 cho trước sao cho tổng diện tích xung quanh và một đáy của nó đạt giá trị bé nhất?

Hướng dẫn:

+ Phân tích bài toán, xác định hàm cần tìm

+ Gọi kích thước của hình hộp là: x y z trong đó z là chiều cao, , , x y z, , >0

+ Diện tích xung quanh và một đáy: S =xy +2yz +2zx

+ Từ điều kiện đủ suy ra kết luận

Bài tập 2: Tìm cực trị tự do của hàm hai biến

z x y = x + xy +y + x + y +

Hướng dẫn:

Bài tập về nhà: Dạng I.1 + I.2 +I.5: mỗi dạng làm 5 bài đầu tiên

Đọc trước Mục I.4 trang 74 chuẩn bị cho Bài giảng: Cực trị có điều kiện

+ Xét (n −m tử thức chính sau cùng: trường hợp này ta chỉ cần xét ) ∆ =3 H M( 0) , khi đó:

Trường hợp 1: Nếu H M( 0) xác định dương (tức ∆ <3 0 ) thì M là điểm cực tiểu (tương đối) 0

Trường hợp 2: Nếu H M( 0) xác định âm (tức ∆ >3 0 ) thì M là điểm cực đại (tương đối) 0

Trường hợp 3: Nếu H M( 0)bán xác định dương (hoặc bán xác định âm): ∆ ≤



∆ ≥



3 3

0

0 thì điểmM0 là điểm nghi vấn

Trường hợp 4: Nếu H M( 0) không xác định (trường hợp này ∆ =3 0 ) thì điểm M không phải là điểm ocực trị có điều kiện

+ Khi đó xét n −m = 3−1=2 tử thức chính sau cùng đó là ∆ ∆3; 4; Khi đó

Trường hợp 1: Nếu H M( 0) xác định dương (tức ∆ <3 0;∆ <4 0 ) thì M là điểm cực tiểu (tương đối) 0

Trường hợp 2: Nếu H M( 0) xác định âm (tức ∆ >3 0;∆ <4 0 ) thì M là điểm cực đại (tương đối) 0

Trường hợp 3: Nếu H M( 0)bán xác định dương (hoặc bán xác định âm): ∆ ≤ ∆ ≤

Trường hợp 4: Nếu H M( 0) không xác định thì điểm M không phải là điểm cực trị có điều kiện o

Ví dụ 6 (Tr.79: (hướng dẫn)

+ Khi đó xét n −m = 3−2=1 tử thức chính sau cùng đó là ∆5; Khi đó

Trường hợp 1: Nếu H M( 0) xác định dương (tức ∆ >5 0 ) thì M là điểm cực tiểu (tương đối) 0

Trường hợp 2: Nếu H M( 0) xác định âm (tức ∆ <5 0 ) thì M là điểm cực đại (tương đối) 0

Trường hợp 3: Nếu H M( 0)bán xác định dương (hoặc bán xác định âm): ∆ ≥



∆ ≤



5 5

0

0 thì điểmM0 là điểm nghi vấn

Trường hợp 4: Nếu H M( 0) không xác định (trường hợp này ∆ =5 0 ) thì điểm M không phải là điểm ocực trị có điều kiện

i j

gO

xH

L

x x + Tại các điểm dừng xét (n −m tử thức chính sau cùng đó là ) ∆2m+1,∆2m+2, , ∆n m+ ; Khi đó

Trường hợp 1: Nếu H M( 0) xác định dương (tức (n −m tử thức chính sau cùng đều dương khi ) m −chẵn, hoặc đều âm khi m −lẻ) thì M là điểm cực tiểu (tương đối) 0

Trường hợp 2: Nếu H M( 0) xác định âm (tức (n −m tử thức chính sau cùng có dấu xen kẻ và ) ∆2m+1 < 0

−

m chẵn, hoặc ∆2m+1 >0 khi m −lẻ) thì M là điểm tiểu đại (tương đối) 0

Trường hợp 3: Nếu H M( 0)bán xác định dương (hoặc bán xác định âm): giống 2 trường hợp trên chỉ khác

Trường hợp 4: Nếu H M( 0) không xác định thì điểm M không phải là điểm cực trị có điều kiện o

Mặc dù vậy, trong thực tế rất khó sử dụng, chẳng hạn có những trường hợp không tồn tại đạo hàm riêng thì ta không thế sử dụng phương pháp trên, khi đó ta cần có phương pháp hữu hiệu khác để giải quyết vấn đề đó

Bài tập về nhà: Dạng I.1 + I.2 +I.5: mỗi dạng làm 3 bài 8, 9, 10

Đọc trước Mục III.1 và III.2 từ trang 89 chuẩn bị cho Bài giảng:

Quy hoạch tuyến tính Phương pháp hình học

1 Bài toán vận tải tĩnh

Với aij = 1; , c bi j đã biết, bài toán vận tải tĩnh được phát biểu như sau:

2 Bài toán thực dưỡng

Tìm min (max) của L ( ; ) ℂ X thỏa mãn , ( 0)

3 Bài toán phân bổ tài nguyên

Tìm min (max) của L ( ; ) ℂ X thỏa mãn , ( 0)

II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QHTT

1 Đường thẳng trong Oxy

+ Miền chấp nhận được là miền thỏa mãn tất cả các điều kiện ràng buộc của bài toán

+ Bài toán Quy hoạch tuyến tính được xét trên miền chấp nhận được là miền lồi được gọi là bài toán Quy hoạch tuyến tính lồi

+ Trong bài toán Quy hoạch tuyến tính lồi, ta gọi mỗi đỉnh của Miền chấp nhận được là một điểm cực biên

Ví dụ 1: Xét đường thẳng trong Oxy : ( ) : 3 d x + 4 y − 12 = 0

+ Vẽ đường thẳng

+ Theo chiều tăng của VTPT n, dấu thay đổi từ < 0 ⇒ = ⇒ > 0 0.

Ví dụ 2: Tìm min (max) của hàm số L ( ; ) ℂ X = x + 2 y (1)

+ Đường thẳng tựa (dựa vào hàm mục tiêu): x + 2 y = 0 có VTPT là n (1;2)

+ Cho đường thẳng tựa tịnh tiến theo chiều tăng của VTPT ta nhận thấy:

Hướng dẫn: Đường thẳng tựa: 2 x − y = 0 có VTPT n (2;1)…

Ví dụ 4: Tìm min (max) của L2 = 3 x + 4 y với điều kiện như trên…

Ví dụ 5 (Ví dụ 1 tr 95)

Ví dụ 6 (Ví dụ 2 Tr.95) (Về bài toán xử lý phế thải)

Chú ý: Người ta đã chứng minh được rằng: Đối với bài toán Quy hoạch lồi:

1 Nếu có tối ưu duy nhất thì sẽ đạt được tại một đỉnh nào đó

2 Nếu có nhiều hơn một nghiệm tối ưu thì sẽ có ít nhất 2 nghiệm đạt tại 2 đỉnh kề nhau của miền chấp nhận được

3 Số điểm cực biên là hữu hạn

Từ đó chúng ta không cần tịnh tiến đường tựa mà chỉ cần tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm cực biên

16 | P a g e

2 Điểm cực biên tối ưu: là điểm mà tại đó giá trị của hàm mục tiêu đạt “tốt hơn” tại các điểm kề với điểm

này Bài toán Quy hoạch lồi có thể:

+ Có nghiệm tối ưu duy nhất

+ Có vô số nghiệm tối ưu

b Các bước giải bài toán Quy hoạch lồi trong ℝ3

+ Từ đề bài, xác định miền chấp nhận được

Đọc trước Mục III.3 từ trang 101 chuẩn bị cho Bài giảng:

Thuật toán đơn hình trong Quy hoạch tuyến tính

17 | P a g e

Bài số 4: THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH

1 Biến cơ sở và biến tự do:

+ Và tập nghiệm { ( ; ) x y ∈ ℝ2 | x + y = 36 }

+ Trong trường hợp này: x được gọi là biến cơ sở và y được gọi là biến tự do

+ Còn nếu y = 36 − x thì x là biến tự do và y là biến cơ sở

Khi đó : x và y là biến cơ sở còn z là biến tự do

Chú ý: Số biến cơ sở = số phương tình độc lập

2 Nghiệm cơ sở: là nghiệm của hệ ứng với các biến tự do bằng 0

Giải: Để ý rằng, VD này dung PP hình học sẽ khó vì phải xét trong ℝ4

+ Chọn biến cơ sở, biến tự do: biến đổi hệ thành

Khi đó : Biến cơ sở là: x x1; 2 và biến tự do là x x3, 4

+ Nghiệm cơ sở đầu tiên: M1(2; 4; 0; 0), đây chính là điểm cực biên đầu tiên (phương án cực biên đầu

tiên)

18 | P a g e

Khi đó L1 = L M ( 1) = − x3 + x4 = 0: dễ thấy đây chưa phải là GTLN của L vì để ý trong công thức của hàm mục tiêu L = − x3 + x4 cùng với điều kiện (3) ta có thể tăng x4 (khi x3 = 0) để nhận được giá trị mới của L lớn hơn

Một vấn đề đặt ra là sẽ cho x4 tăng tới đâu?

Để ý rằng, khi x3 = 0 ta dựa vào (2’):

0 0

x x

và nhận được Nghiệm cơ sở (phương án cực

M gọi là nghiệm tối ưu

Quá trình trên có thể được biểu diễn thông qua Bảng đơn hình

+ Trước hết ta viết lại bài toán dưới dạng bảng sau

+ Hàng cuối cùng ghi lại phương trình rút gọn của hàm mục tiêu: L + x4 − x5 = 0, các hệ số của các biến

bên vế trái gọi là hệ số đánh giá

+ Giá trị các biến cơ sở chon gay trong cột hệ số tự do, các biến còn lại là biến tự do đều bằng 0

+ Tất cả các hệ số tự do đều không âm

+ Giao của hang, cột chứa biến cơ sở luôn là số 1, các số khác trong cột biến cơ sở đều bằng 0

19 | P a g e

+ Dạng bài toán trên gọi là Dạng chuẩn tắc

Từ đó ta nhận được phương án cực biên đầu tiên (2; 4; 0; 0), lúc này L = 0 và chưa phải là GTNN vì ở hàng cuối (hàng L) ta nhận thấy hệ số đánh giá của x4 âm (bằng −1) nên x4 còn có thể tăng lên đến một giá trị thích hợp Ta sẽ đưa bảng đơn hình thứ nhất thành bảng đơn hình thứ 2 theo từng bước sau:

+ Chọn cột x4 (có hệ số đánh giá âm) là cột chọn (tức là x4 sẽ được chọn làm biến cơ sở mới thay cho một biến cơ sở cũ), ta cần xét xem x4 sẽ thay cho biến cơ sở cũ nào

+ Lập các tỷ số giữa hệ số tự do và hệ số dương tương ứng ở cột chọn Sau đó chọn hàng có tỷ số nhỏ

nhất làm hàng chọn, và biến cơ sở cũ x2 tương ứng trở thành biến tự do (nhận giá trị 0)

+ Giao giữa cột chọn và hàng chọn được gọi là phần tử chọn : số 5

+ Vị trí của biến cơ sở cũ x2 được thay bởi biến cơ sở mới x4, các giá trị trên hàng của biến cơ sở cũ được tính lại bằng cách chia tất cả các giá trị cho phần tử chọn

+ Trong cột chọn chỉ giữ nguyên phần tử chọn, còn các giá trị khác sẽ biến đổi sao cho trở thành số

0 dựa vào giá trị mới thuộc dòng của biến cơ sở mới x4

+ Các giá trị mới của hàng L (hệ số đánh giá mới) bằng hệ số đánh giá cũ + giá trị của dòng biến cơ

Ta biến đổi tiếp cho đến khi các hệ số đánh giá đều không âm thì dừng lại vì khi đó không thể tăng nữa và ta

nhận được nghiệm tối ưu