các dạng toán viết phương trình đường tròn

Đề tài: ĐƯỜNG TRỊN VÀ CÁC DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A MỞ ĐẦU: I Lý chọn đề tài: Mặc dù đường tròn phần nhỏ chương trình tốn 10 nhiên tập viết phương trình đường trịn; tiếp tuyến đường trịn vị trí tương đối đường tròn đường thẳng , đường tròn thường xuất đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm Trong trình giảng dạy khóa luyện thi đại học phần đường trịn, tơi nhận thấy việc viết phương trình đường trịn chia thành số dạng nhỏ sau phân thành dạng học sinh cảm thấy thích thú dễ dàng việc viết phương trình đường trịn Do tơi chọn đề tài để nghiên cứu II Phạm vi, đối tượng sở nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu đến dạng tốn viết phương trình đường trịn xuất chương trình hình học 10 Đối tượng sở nghiên cứu: Học sinh lớp 10A2, 10A4 trường Trung học chuyên Kon Tum III Phương pháp nghiên cứu: 1.Phương pháp chính: Tham khảo tài liệu liên quan đến đề tài Phương pháp bổ trợ: Rút kinh nghiệm trình dạy luyện thi đại học hai lớp 10A2, 10A4 B NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: I Lý thuyết : Phương trình đường trịn: Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường trịn (C) có tâm I(x o;yo) bán kính R.Điểm M(x;y) thuộc đường trịn (C) IM = R, (x - xo)2 + (y - yo)2 = R2.(1) Ta gọi phương trình (1) phương trình đường trịn (C) Nhận dạng phương trình đường trịn: Biến đổi phương trình (1) dạng x2 + y2 - 2xox - 2yoy + xo2 + yo2 - R2 = 0, ta thấy đường trịn mặt phẳng tọa độ có phương trình dạng x2 + y2 +2ax + 2by + c = 0.(2) Ngược lại, phải phương trình dạng (2) với a, b, c tùy ý phương trình đường trịn? Ta biến đổi phương trình (2) dạng (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 - c Nếu gọi I điểm có tọa độ (-a; -b), cịn (x; y) toiaj độ điểm M vế trái đẳng thức IM2 Bởi ta đến kết luận Phương trình x2 + y2 +2ax + 2by + c = với điều kiện a2 + b2 > c phương trình đường trịn tâm I (-a; -b), bán kính R = a + b − c Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn II Giải tốn viết phương trình đường trịn: *Phương pháp chung: Có hai cách để viết phương trình đường trịn: Cách 1: Tìm tâm I(a; b) bán kính R thay vào phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 Cách 2: Tìm hệ số a, b, c phương trình x2 + y2 +2ax + 2by + c = * Các dạng toán bản: Dạng 1: Phương trình đường trịn (C) có tâm A(xA; yA) qua điểm B(xB; yB): Nhận xét thấy đường trịn (C) có tâm A(xA; yA) qua điểm B(xB; yB) nên có bán kính AB Từ dẫn đến phương pháp làm sau: - Tính AB - Viết phương trình đường trịn (C) có tâm A(xA; yA), bán kính AB Ví dụ: Viết phương trình đường trịn tâm A(-2; 3) qua điểm B(2; -3) Giải: Ta có AB = (2 − ( −2)) + (−3 − 3) = Đường tròn (C) tâm A(-2; 3) qua điểm B(2; -3) nên có bán kính AB Do đó, đường trịn (C) có phương trình (x − ( −2)) + (y − 3) = 52 ⇔ (x + 2) + (y − 3) = 25 Dạng 2: Phương trình đường trịn (C) đường kính AB biết A(xA; yA), B(xB; yB) Nhận xét thấy đường trịn (C) đường kính AB có tâm I trung điểm AB bán AB kính R = Từ dẫn đến phương pháp làm sau: - Tìm tọa độ trung điểm I(xI; yI) AB: xA + xB  x = I  I   y = yA + yB  I - Tính bán kính R = AB (x B − x A ) + (y B − y A ) = 2 - Viết phương trình đường trịn tâm I bán kính R = AB Ngồi học sinh nhận thấy điểm M (x; y) ∈ (C) AM vng góc với BM viết phương trình đường trịn theo cách sau đây: M (x; y) ∈ (C) ⇔ AM ⊥ BM uuuur uuur ⇔ AM.BM = ⇔ (x − x A )(a − x B ) + (y − y A )(y − y B ) = Ví dụ: Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A(-2;3); B(2;-2) Giải: Gọi I trung điểm AB Khi đó:  1 I  0; ÷  2 1 41 AB= (2+2) + ( −2 − 3) = 2 AB  1 Đường tròn đường kính AB có tâm I  0; ÷ bán kính R = nên có phương  2 trình 2   41   ( x − 0) +  y − ÷ =  ÷ 2    2 ⇔  41  x +y− ÷ = 2  2  41  Vậy phương trình đường trịn đường kính AB x +  y − ÷ = 2  Dạng 3: Phương trình đường trịn (C) tâm I (a; b) tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ): Ax + By + C = cho trước: Nhận xét thấy đường tròn (C) tâm I (a; b) tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ): Ax + By + C = khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( ∆ )bằng bán kính Từ dẫn đến phương pháp làm sau: - Tính khoảng cách từ tâm I(a; b) đến đường thẳng ( ∆ ): d(I; ∆) = Aa+Ab+C A + B2 -Viết phương trình đường trịn tâm I(a; b) bán kính R = d(I; ∆) Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) tâm I (3;0) tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ): 3x - 4y +16 = Giải: Ta có đường trịn (C) tâm I (3;0) tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ): 3x - 4y +16 = nên bán kính đường trịn (C) là: R = d(I; ∆) = 3.3-4.0+16 + (−4) 2 = Suy phương trình đường trịn (C) (x − 3) + (y − 0) = 52 ⇔ (x − 3) + y = 25 Dạng 4: Phương trình đường trịn (C) qua điểm A, B, C cho trước: Cách 1: Phương trình đường trịn (C) có dạng x2 + y2 +2ax + 2by + c = (1) (a2 + b2 > c) Vì A, B, C thuộc đường tròn (C) nên thauy tọa độ A, B, C vào (1) ba phương trình theo ẩn a, b, c - Giải hệ ba phương trình ta hệ số a, b, c; từ suy phương trình đường tròn (C) Cách 2: Nhận xét thấy I tâm đường tròn (C) qua ba điểm A, B, C IA = IB = IC = R với R bán kính đường trịn (C) Từ dẫn đến phương pháp khác sau: - Gọi I(a; b) tâm đường tròn (C)  IA = IB2 - Dùng hệ phương trình  2 để tìm a,b IA = IC - Tính bán kính R = IA (hoặc IB, IC) - Viết phương trình đường trịn tâm I(a; b) bán kính R (Học sinh tìm tọa đọ tâm I cách viết phương trình hai đường trung trực hai cạnh tam giác ABC tìm giao điểm I chúng) Ví dụ: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A(-2;3); B(2;-2); C(1;-1) Giải: 2 Phương trình đường trịn cần tìm có dạng x + y + 2ax + 2by + c = , (a2 + b2 > c) Vì ba điểm A; B; C thuộc đường trịn nên ta có hệ phương trình 13 − 4a + 6b + c =   + 4a − 4b + b =  + 2a − 2b + c =  35  a = −   29  ⇔ b = −   z=4  2 Vậy phương trình đường trịn cần tìm x + y − 35x − 29y + = Dạng 5: Phương trình đường trịn qua hai điểm A, B cho trước có tâm đường thẳng ( ∆ ) cho trước : Nhận xét: Nếu gọi I(a ; b) tâm đường trịn tọa độ I xác định hai điều kiện :  IA=IB  I ∈ (∆) đồng thời bán kính R đường tròn xác định R = IA (hay R = IB) Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A(1; 1); B(1; 4) có tâm nằm trục Oy Giải: Gọi I(a ; b) tâm R bán kính đường trịn (C) Vì I ∈ Oy nên a = Vì (C) qua hai điểm A(1; 1); B(1; 4) nên IA = IB = R ⇔ IA = IB2 ⇔ (1 − a) + (1 − b) = (1 − a) + (4 − b) ⇔ 6b − 15 = ⇔b=  5 Vậy I  0; ÷  2   13 Ta có R = IA = (1 − 0) + 1 − ÷ =  2 2   13   Phương trình đường trịn càn tìm (x − 0) +  y − ÷ =  ÷ 2    2  169  ⇔ x +y− ÷ = 2 16  Dạng 6: phương trình đường trịn qua hai điểm A, B cho trước tiếp xúc với đường thẳng ( ∆ ) cho trước: Nhận xét: Nếu gọi I(a ; b) tâm đường trịn tọa độ I xác định hai điều kiện : IA=IB=R  IA=IB ⇔   d(I,∆)=R IA=d(I,∆) đồng thời bán kính R đường trịn xác định R = IA (hay R = IB hay R = d(I; ∆) ) Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) qua hai điểm A(1; 1); B(1; 4) tiếp xúc với trục Ox Giải: Gọi I(a ; b) tâm R bán kính đường trịn (C) Vì (C) qua hai điểm A(1; 1); B(1; 4) nên IA = IB = R (1) Phương trình trục Ox: y = Vì đường trịn (C) tiếp xúc với trục Ox nên d(I;Ox) = R (2)  IA=IB Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  IA=d(I,∆)  (1 − a) + (1 − b) = (1 − a) + (4 − b)  ⇔ b (1 − a) + (1 − b) = 2  +1  (1 − a) + (1 − b) = (1 − a) + (4 − b) ⇔ (1 − a) + (1 − b) = b  6b − 15 =  ⇔ a − 2a − 2b + =  b=  ⇔ a − 2a − =  b =   ⇔ a =3   a = −1   a = −1   b =  ⇔ a =     b =  a = −1 5 5   Với  ta có I  −1; ÷ R= b = = Suy phương trình đường trịn cần 2 2   b = 2 2 5 5  25   2 tìm (x − 0) +  y − ÷ =  ÷ ⇔ x +  y − ÷ = 2 2 2   a =  Với  ta có b = 5  5 I  3; ÷ R= b = = Suy phương trình đường trịn cần tìm 2  2 2 5 5  25   (x − 3) +  y − ÷ =  ÷ ⇔ (x − 3) +  y − ÷ = 2 2 2   Dạng 7: Phương trình đường tròn (C) qua điểm A cho trước tiếp xúc với hai đường thẳng (∆1 );( ∆ ) cho trước Nhận xét: Nếu gọi I(a ; b) tâm đường trịn tọa độ I xác định hai điều kiện : IA=R   IA=d(I,∆1 ) ⇔  d(I,∆1 )=d(I,∆ )=R d(I,∆1 )=d(I,∆ ) đồng thời bán kính R đường tròn xác định R = IA (hay R = d(I; ∆1 ) hay R = d(I; ∆ ) ) Ví dụ: Viết phương trình đường trịn (C) qua gốc tọa độ O tiếp xúc với hai đường thẳng (∆1 ) : 2x + y - = (∆ ) : 2x - y + = Giải: Gọi I(a ; b) tâm R bán kính đường trịn (C) Vì (C) qua điểm O(0; 0) nên IO = R (1) Vì (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (∆1 ) : 2x + y - = (∆ ) : 2x - y + = nên d(I,∆1 )=d(I,∆ )=R (2)  IO=d(I,∆1 ) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  d(I,∆1 )=d(I,∆ )  2a + b + 2  a +b =  ⇔  2a + b + = 2a − b +  5 5(a + b ) = (2a + b + 1)  ⇔   2a + b + = 2a − b +   2a + b + = −2a + b −  a + 4b − 4a − 4ab − 2b − =    b =  ⇔   a = −     a + 4b − 4a − 4ab − 2b − =   b=   ⇔ 2  a + 4b − 4a − 4ab − 2b − =  a=−    a − 6a − =     b=     ⇔   a − a + 11 = 0(VN)    a=−     a = + 10   ⇔   a = − 10   b=   a = + 10   b =   ⇔  a = − 10    b =   a = + 10  Với  ta có b =   1  I  + 10; ÷ R = IA = 2  77 + 10 Suy phương trình  77  + 10 đường trịn cần tìm là: (x − − 10) +  y − ÷ = 2  a = − 10  Với  ta có b =   1  I  − 10; ÷ R = IA = 2  77 − 10 Suy phương trình  77  − 10 đường trịn cần tìm là: (x − + 10) +  y − ÷ = 2  * Bài tập đề xuất: Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau: (C) có tâm I(1; 3) qua điểm A(3; 1) (C) đường trịn đường kính AB với A(7; -3); B(1; 7) (C) có tâm (-2; 0) tiếp xúc với đường thẳng (∆) : 2x + y -1 = (C) qua ba điểm A(-5; -1); B(-2; 1); C(4; 5) 5.(C) tiếp xúc với hai trục tọa độ qua điểm A(2; 1) (C) qua hai điểm A(1; 1); B(1; 4) (C) có tâm thuộc đường thẳng 3x -5y -8 =0 tiếp xúc với trục tọa độ 10 ... tròn khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn II Giải tốn viết phương trình đường trịn: *Phương pháp chung: Có hai cách để viết phương trình đường trịn: Cách 1: Tìm tâm... phương trình đường trịn (C) Nhận dạng phương trình đường trịn: Biến đổi phương trình (1) dạng x2 + y2 - 2xox - 2yoy + xo2 + yo2 - R2 = 0, ta thấy đường trịn mặt phẳng tọa độ có phương trình dạng. .. b) bán kính R thay vào phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = R2 Cách 2: Tìm hệ số a, b, c phương trình x2 + y2 +2ax + 2by + c = * Các dạng toán bản: Dạng 1: Phương trình đường trịn (C) có tâm A(xA;