Quá trình poisson

Quá trình poisson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA: TOÁN – TIN HỌC  Bài tiểu luận nhóm ĐỀ TÀI: QUÁ TRÌNH POISSON GVHD: TS NGUYỄN CHÍ LONG TS HOÀNG THỊ THẢO PHƯƠNG TÊN NHÓM: NHÓM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – THÁNG 10/2015 Xác suất thống kê Mục lục: 2|Page Quá trình Poisson Nhóm Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm PHẦN 1: QUÁ TRÌNH POISSON PHÂN PHỐI POISSON I Trong lý thuyết xác suất thống kê, phân phối Poisson phân phối xác suất rời rạc Nó khác với phân phối xác suất rời rạc khác chỗ thông tin cho biết xác suất để kiện xảy lần thử phân phối Bernoulli, số lần kiện xảy n lần thử phân phối nhị thức, mà trung bình số lần xảy thành công kiện khoảng thời gian định Giá trị trung bình gọi lamda Ký hiệu Phân phối tìm nhà toán học Siméon-Denis Poisson (1781-1840) Theo xem xét biến ngẫu nhiên N đếm số lần xuất (rời rạc) khoảng thời gian cho trước xác suất để kiện xảy k lần tính theo công thức: Với: k số lần xuất kiện, k= 0,1,2,… số thực dương, với giá trị kì vọng xuất kiện khoảng cho sẵn Vì biến ngẫu nhiên rời rạc nên công thức cho ta công thức hàm phân phối xác suất: 3|Page Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Chứng minh E(X)=: Nếu X~P() => Im(X) = {0,1,2, ,k), chuỗi xác định kì vọng chuỗi dương nên ta tính trực tiếp: Vậy EX = Chứng minh D[X] = : Đặt k-1=j Ta có:  Định lý 1: Định lý Poisson Cho X ~ B(n,p) Khi n , np = (const) Định lý Poisson cho ta công thức xấp xỉ: 4|Page Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Ví dụ 1:Xác suất gặp thứ phẩm kho sản phẩm khí cao cấp 0,002 Tìm xác suất để gặp thứ phẩm 1000 sảnphẩm kiểm tra Giải: n = 1000 ; p = 0,002;k=7 => = np = Ví dụ 2:quan sát siêu thị mini người ta thấy trung bình có 30 khách vào Tính xác suất có khách vào siêu thị 10 phút Giải: Gọi X số khách vào siêu thị 10 phút đóX biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số =5 tức X P(5) Ta cần tính P(X = 4) II PHÂN PHỐI MŨ VỚI THAM SỐ Phân phối mũ với tham số:>0, ký hiệu xp( phân phối có hàm mật độ: Hoặc hàm phân phối F(x) có dạng: 5|Page Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm QUÁ TRÌNH ĐẾM I Quá trình đếm thường gặp thực tế Giả sử A biến cố Ký hiệu N (t ), t ≥ số lần biến cố A xuất khoảng thời gian từ đến t (kể thời điểm t) Khi { N (t ), t ≥ 0} gọi trình đếm Chẳng hạn, ta có ví dụ sau trình đếm: • A biến cố: khách vào cửa hàng Khi ấyN(t) số khách vào cửa hàng tính tới thời điểm t • A biến cố: điện thoại gọi đến trạm bưu điện Khi N(t) số lần gọi đến trạm • bưu điện tính tới thời điểm t A biến cố: sinh trai Khi N(t) số trai sinh tính đến thời điểm t NếuN(t) trình đếm, thìN(t)là biến ngẫu nhiên có tính chất sau: (i) N (t ) ≥ 0, N (0) = (ii)N(t) số nguyên không âm; (iii) (iv) N ( s ) ≤ N (t ), ∀0 ≤ s ≤ t ; N ( s, t ] = N (t ) − N (s), ≤ s < t Ta gọi { N (s, t ], ≤ s < t} 6|Page số lần biến cố A xảy khoảng thời gian trình điểm (ứng với trình đếm { N (t ), t ≥ 0} ( s, t ] ) Xác suất thống kê II Quá trình Poisson QUÁ TRÌNH POISSON Định nghĩa:Ta nói (hoặc tham số i) X (t ) ii) λ { X (t ), t ≥ 0} trình Poisson với cường độ λ ) nếu: nhận giá trị 0, 1,2,… { X (t ), t ≥ 0} gia số Nhóm trình có gia số độc lập, tức là, với X (t1 ) − X (t0 ), X (t ) − X (t1 ), , X (tn ) − X (t n −1 ) iii) Mỗi gia số X ( s + t ) − X (t) = t0 < t1 < t2 < < tn biến ngẫu ngiên độc lập có phân phối Poisson với tham số λt với s ≥ 0, t > iv) X(0)=0 Từ định nghĩa ta thấy ngayX(t)có phân phối Poisson với tham số E[ X (t)] = Var[ X (t )] = λt λt nên Hơn nữa, theo khai triển Taylor ta có: P[ X (h) = 0] = e − λ h = − λ h + O(h) ,khi h→0 P[ X (h) = 1] = λ he − λ h = λ h[1 − λ h + O(h)] = λ h + O (h) h→0 Suy P[(h) ≥ 2] = − P[ X (h) = 0] − P[ X ( h) = 1] + O(h) h→0 Như vậy, trình Poisson trình đếm thỏa mãn giả thiết nêu ngược lại, trình đếm thỏa mãn giả thiết nêu trình Poisson Định lý 1: 7|Page Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Nếu trình đếm thỏa mãn điều kiện sau: a) Có số gia độc lập, tức là, với m = 2,3,… với = t0 < t1 < t2 < < tm gia số X (t0 , t1 ], X (t1 , t2 ], , X (tm −1 , tm ] ngẫu nhiên độc lập b) X (t1 , t2 ] Có gia số dừng, tức là, với s > 0, ≤ t1 < t2 gia số biến X (t1 + s , t + s ] , biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất Như luật phân bố phụ thuộc vào khoảng thời gian không phụ thuộc vào thời điểm c) Xác suất xuất biến cố A gần đều; tức tồn số λ >0 (tốc độ h>0 xuất biến cố A) cho với bé d) Vớih> bé thì.Trong O(h) vô bé bậc với h h→0 Thì trình Poisson tham số Ngược lại, trình Poisson trình đếm thỏa mãn điều kiện Chứng minh: Điều kiện i), ii) định nghĩa trình Poisson suy từ tính chất trình đếm.Từ a) ta suy điều kiện iii) Theo b) để chứng minh điều kiện iv) ta cần chứng minh X(t) có phân bố Poisson với tham số Đặt pn (t ) = P[ X (t ) = n],(n = 0,1, 2, ) Ta thấy p0 (h) = P[ X (h) = 0] = − P[ X (h) = 1] − P[ X (h) ≥ 2] (theo giả thiết c) d)) p0 (t + h) = P[ X (t + h) = 0] = P[ X (t ) = 0, X (t + h) − X (t ) = 0] = P[ X (t ) = 0].P[ X (t + h) − X (t ) = 0] 8|Page (theo giả thiết a) Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm (theo giả thiết b) c)) Vì Cho p0 (t + h) − p0 (t ) O(h ) = −λ p0 (t ) + h h h→0 Chú ý p0′ (t ) = −λ p0 (t ) ta p0 (0) = ta suy p0 (t ) = e − λt , t ≥ Tương tự ta có pn (t + h) = P[ X (t + h) = n] = P[ X (t ) = n, X (t + h) − X (t ) = 0] + P[ X (t ) = n − 1, X (t + h) − X (t ) = 1] ∞ + ∑ P[ X (t ) = n − k , X (t + h) − X (t ) = k ] k =2 = pn (t ) pn (h) + pn −1 (t ) pn −1 (h) + O(h) = (1 − λ h) pn (t ) + λ hpn −1 (t ) + O (h) (theo giả thiết a), b) d)) Vì Cho pn (t + h) − pn (t ) O(h) = −λ pn (t ) + λ pn −1 (t ) + h h h→0 ta Từ ta suy tham số 9|Page λt pn′ (t ) = −λ pn (t ) + λ pn−1 (t ) λt − λt (λ t ) n − λ t p1 (t ) = e , pn (t ) = e 1! n! , tức là, X(t)có phân phối Poisson với Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Ngược lại, trình Poisson tham số X(t) có phân bố Poisson với tham số nên Khai triển Taylor ta có: Do  Các phân bố liên quan đến trình Poisson Giả sử{X(t); t ≥ 0} trình Poisson đếm số lần xuất biến cố A 1) Ta ký hiệu W(n) thời điểm đến (arrival time) hay thời gian chờ (waiting time) thứ n, thời điểm mà biến cố A xuất thứ n Quy ước: W(0)=0 2) Ký hiệu S(n) khoảng thời gian lần liên tiếp thứ n ( interarrival time), thời gian từ thời điểm biến cố A xảy lần thứ n-1 đến thời điểm biến cố A xảy lần thứ n Từ suy S(n) = W(n) – W(n-1) Định lý 1) Các thời gian đến trung gian S(1), S(2),… , S(n) biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ tham số λ với hàm mật độ 2) W(n) có phân bố Erlang tham số n, λ với hàm mật độ: Đặc biệt W(1) có phân bố mũ 3) với < u < t ≤ k ≤ n Chú ý X1, X2,….,Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ tham số λ X = X1 +X2 + … + Xn có phân bố Erlang tham số nλ Do có kỳ vọng phương sai: Chứng minh định lý: 10 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm = Chia hai vế cho (∆t1∆t2) cho ∆t1→0, ∆t2→0 ta được: = Điều kết thúc chứng minh 1) 2) Để ý Wn ≤ t khoảng thời gian (0,t] có n lần biến cố A xuất Từ suy hàm phân phối Wn có dạng: Lấy đạo hàm theo t ta có điều phải chứng minh 3) Suy trực tiếp từ xác suất có điều kiện Thật vậy: P{X(u) =k | X(t) = n}  3) chứng minh Ví Dụ 1: Giả sử số khách hàng đến cửa hàng trình Poisson với tốc độ λ = khách/giờ Cửa hàng mở cửa lúc 8h 1) Tính xác suất để đến 8h30 có thảy khách; đồng thời đến 10h30 có thảy khách đến cửa hàng 2) Tính thời điểm trung bình khách thứ 10 đến 3) Tính xác suất để khoảng thời gian khách thứ 10 khách thứ 11 lớn ½ Giải : 1) Xem to=8h Vậy xác suất cần tìm P{X(1/2) =1;X(5/2) = 5}=P{X(1/2)=1;X(5/2) – X(1/2) = 4}=P{X(1/2)=1; X(2)=4} = P{X(1/2)=1}P{X(2) =4}= ≈ 0,0155 2) EW(10)= = =2h3 3) P{S(1) >1/2} = – P{S(1) ≤ 1/2} = – ( 1- ) ≈ 0.135 12 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Ví dụ 2: Cho trình Poisson độc lập {X1(t) ; t ≥ 0} {X2(t) ; t ≥ 0} với tham số tương ứng λ1, λ2 Tìm xác suất để X1(t) =1 trước X2(t) =1 Giải : Ta cần tìm xác suất P{} thời điểm đến thứ n trình X 1(t) thời điểm đến thứ m trình X2(t), Tổng quát ta chứng minh công thức sau : QUÁ TRÌNH POISSON CÓ PHÂN LOẠI Xét trình Poisson với cường độ (tương ứng với trình đếm số lần xảy biến cố A) Giả sử biến cố A xảy phân thành hai loại: Loại I với xác suất p loại II với xác suất q = – p Hơn nữa, giả sử phân loại biến cố độc lập với phân loại biến cố Chẳng hạn, khách đến cửa hàng theo trình Poisson với cường độ , khách phân loại thành hai loại: Nam với xác suất ½ Nữ với xác suất ½ Ta ký hiệu trình đếm tương ứng với biến cố loại I biến cố loại II Rõ ràng • Định lý Với điều kiện ta có hai trình Poissonvới cường độ Hơn hai trình độc lập • Chứng minh: Theo công thức xác suất đầy đủ: Vì đó: Mặt khác biến cố có biến cố loại I biến cố loại II Do đó, từ giả thiết độc lập phân loại biến cố suy ra: 13 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Điều chứng tỏ trình Poisson với cường độ Tương tự trình Poisson với cường độ Ví dụ1: Giả sử khách đến ngân hàng tuân theo trình Poisson với cường độ Khách nam với xác suất có thề nữ với xác suất Biết 10 giớ đầu có 100 nam đến ngân hàng Hỏi trung bình có nữ đến ngân hàng 10 đầu? Giải: Theo định lý trình Poisson với cường độ tương ứng hai trình độc lập Do Vì Đáp số bất ngờ ta dễ lầm tưởng Ví dụ 2: Xét hệ gồm cá thể mà lúc rơi vào r trạng thái Giả sử cá thể thay đổitrạng thái theo Xích Markov với xác suất chuyển cá thể chuyển động hệ cách độc lập với Giả thiết ban đầu số cá thể thuộc trạng thái biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson với tham số tương ứng Hãy xác định phân phối đồng thời cá thể trạng thái thới điểm t = n Giải: Với cố định, ta ký hiệu số cá thể ban đầu trạng thái đến thời điểm n chuyển sang trạng thái (độc lập với cá thể khác) với xác suất , ta có biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với tham số Ví dụ 3:Có m loại phiếu Một người chọn phiếu nhiều lần kết lần chọn không phụ thuộc vào kết lần chọn trước (chọn có hoàn lại) 14 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Ký hiệu Nlà số phiếu mà người cần chọn để có tập phiếu gồm đủ loại Hãy tính EN? Giải: Ký hiệu số phiếu mà người cần chọn để có tập phiếu nhận có phiếu loại Ta suy Mặc dù có phân phối hình học, cụ thể khó biểu diễn tường minh phân phối Nvì biến ngẫu nhiên không độc lập Tuy nhiên, ta làm sau: Giả sử thời điểm chọn phiếu trình Poisson với tham số Ta nói biến cố trình Poisson nàu thuộc loại chọn phiếu loại Ký hiệu số phiếu loại j chọn tính tới thời điểm t Khi trình Poisson độc lập với tham số tương ứng Ký hiệu thời điểm biến cố trình Poisson xuất đặt Như vậy, X thời điểm chọn đầy đủ loại phiếu Do biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với tham số , Hơn nữa, biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với tham số 1, N độc lập với nên PHÂN PHỐI ĐỀU VÀ QUÁ TRÌNH POISSON Giả sử ta có đoạn thẳng chiều dài có hạt cho trước Ta rải hạt lên đoạn thẳng cho vị trí hạt đoạn lập thành biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố (mỗi hạt đồng khả rơi vào điểm) Ta ký hiệu vị trí hạt 15 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm thứ Theo cách rải ta biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố với hàm mật độ Bây ta xếp lại dãy vị trí theo thứ tự từ bé đến lớn Băng cách ta dãy , bé số , tương tự bé thứ hai số Ta gọi thống kê thứ tự phân bố đoạn U2 Un U1 Un-1 U3 W1 W2 W3 Wnđộ hàm mật • Định lý Hàm phân bố đồng thời có Wn-1 Thật vậy, n=2 có khả xếp theo thứ tự: Do ta có: Chia hai vế cho ta thu công thức cho n=2 Trường hợp n có n! khả xếp công thức chứng minh tương tự • Định lý 5.Giả sử trình Poisson với tham số thời gian đến trình Poisson Khi đó, với điều kiện , phân bố đồng thời có mật độ Chứng minh: Các biến cố tương ứng với điều: biến cố A không lần xảy khoảng A xảy lần khoảng Từ tính độc lập suy ra: Mặt khác Từ suy Chia hai vế cho cho ta suy điều phải chứng minh 16 | P a g e Xác suất thống kê • Quá trình Poisson Nhóm Ý nghĩa định lý là: Với điều kiện có n biến cố xảy khoảngthời gianthì thời gian đến thống kê thứ tự phân bố đoạn Ví dụ: Khách đến cửa hàng theo trình Poisson với cường độ Mỗi khách hàng trả 1000đ để vào cửa thời điểm Sau giá giảm theo thời gian với tốc độ hạ giá Ta cần tính số tiền trung bình M hàng thu khoảng thời gian theo công thức sau: Giải: Ta thấy 1000đ giảm giá xuống thời điểm Giả sử biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố đoạn (0;t] QUÁ TRÌNH POISSON PHỨC HỢP Định nghĩa Giả sử trình Poisson với cường độ dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố dãy độc lập với Khi ta gọi trình Poisson phức hợp Ví dụ: i Nếu Do đó, trình Poisson thông thường trình Poisson phức hợp ii Giả sử khách rời cửa hàng trình Poisson tiền mua hàng khách dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố dãy độc lập với số khách Khi ta có trình Poisson phức hợp tiền bán hàng thu tính đến thời điểm iii Các gọi đến tổng đài trình Poisson thời gian gọi dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân bố dãy độc lập với gọi đến Khi tổng thời gian tất gọi thời điểm trình Poisson phức hợp 17 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Kỳ vọng phương sai trình Poisson phức hợp Kỳ vọng phương sai trình Poisson phức hợp: Chứng minh: Ta có Do đó: Suy Tương tự ta có Chú ý: Nếu độc lập với nhau, độc lập với có hàm phân phối chung hàm phân phối Trong tính theo công thức truy hồi sau Ví dụ:Mô hình chấn động: Giả sử số lần chấn động hệ lượng thiệt hại tổng cộng chấn động thứ gây tính đến thời điểm Hệ tiếp tục làm việc lượng thiệt hại tổng cộng bé hệ ngừng hoạt động trường hợp ngược lại Ký hiệu thời điểm hệ ngừng hoạt động Tính (là thời gian trung bình hệ ngừng hoạt động) Giải: Ta có Nếu độc lập với nhau, độc lập với có hàm phân phốichung thì: Do ta có Đặc biệt, có phân phối mũ với tham số có phân phối Gamma: 18 | P a g e Xác suất thống kê Vậy ta có 19 | P a g e Quá trình Poisson Nhóm Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm PHẦN 2: BÀI TẬP Câu 1: Các điện gửi tới bưu điện trình Poisson X(t) với tốc độ trung bình a) Tính xác suất để từ 8h00 đến 12h00 điện b) Tính phân bố thời điểm nhận điện sau 12h00 Giải: Tốc độ trung bình bức/ a) Xác suất để từ 8h00 đến 12h00 điện bằng: b) Phân bố thời điểm nhận điện sau 12h00 là: Câu 2: Số gọi đến tổng đài trình Poisson với tốc độ trung bình gọi đơn vị thời gian Hãy tính: a) b) Giải: Tốc độ trung bình gọi đơn vị thời gian a) 20 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson b) Câu 3: Cho X(t), trình Poisson với cường độ Hãy tính: a) EX(2), EX2(1), E[X(1)X(2)] b) Giải: a) Ta có X(2) biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số đó: X(1) biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số đó: Ta lại có: Ta có (do X(1) độc lập) b) 21 | P a g e Nhóm Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Câu 4: Khách tới cửa hàng theo qua trình Poisson với cướng độ người Biết đầu có 12 khách tới, tính xác suất (có điều kiện) để có khách tới Giải: Gọi X(t) số khách hàng tới cửa hàng khoảng thời gian t, theo giả thiết, X(t) trình Poisson tham số Vậy, xác suất để có khách tới đầu tiên: Câu 5: Khách tới cửa hàng theo trình Poisson với cường độ 10 người Khách mua hàng với xác suất không mua hàng với xác suất Tính xác suất để có người vào cửa hàng có người mua hàng, người không mua Giải: Gọi X(t) số khách hàng tới cửa hàng khoảng thời gian t, theo giả thiết X(t) trình Poisson tham số Gọi X 1(t), X2(t) số khách hàng tới cửa hàng có mua hàng không mua hàng khoảng thời gian t X 1(t) trình Poisson tham số X2(t) trình Poisson tham số Vậy, xác suất để có người vào cửa hàng có người mua hàng, người không mua là: 22 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Câu 6: Giả sử khách đến ngân hàng tuân theo trình Poisson với cường độ người/giờ Khách nam với xác suất nữ với xác suất Biết 10 đầu có 100 khách nam đến ngân hàng Hỏi trung bình có nữ đến ngân hàng 10 đầu? Giải: Theo định lý trình Poisson với cường độ tương ứng hai trình độc lập Do Vì vậy: Câu 7: Xét lượng cố định chất phóng xạ Giả sử hạt alpha xuất theo thời gian trình Poisson với cường độ Mỗi hạt tồn thời gian ngẫu nhiên bị hủy diệt Giả sử thời gian sống hạt khác biến ngẫu nhiên độc lập có hàm phân phối chung Ký hiệu M(t) số hạt alpha tồn thời điểm t Tính phân phối M(t) với điều kiện M(0) = Giải: Ký hiệu X(t) số hạt alpha sinh khoảng thời gian (0,t] Theo giả thiết trình Poisson với cường độ Hiển nhiên, Giả sử thời điểm hạt xuất Khi đó, hạt thứ k tồn thời điểm t Đặt Như hạt thứ k sống thời điểm t Do đó: Theo định lý tính đối xứng hạt, ta có: 23 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Trong U1, U2, … biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đoạn (0, t] Mà vế phải (*) tính theo phân phối nhị thức, đó: Trong Suy Chú ý Ta thu kết quả: Kết luận: Số hạt tồn thời điểm t có phân phối Poisson với tham số 24 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Câu 8: Giả sử số gia đình nhập cư vào khu vực trình Poisson với cường độ gia đình/ tuần Số người gia đình biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị 1, 2, 3, với xác suất tương ứng 1/6, 1/3, 1/3, 1/6 a) Tính kỳ vọng phương sai số người nhập cư tới khu vực vòng tuần b) Tính xác suất để có 250 nhập cư tới khu vực vòng 50 tuần Giải: a) Ký hiệu số người gia đình thứ k Ta có Ký hiệu Z(5) số người đến nhập cư vào khu vực vòng tuần Ta có b) Ta có: Dùng định lý giới hạn trung tâm ta xem Z(50) biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 250 phương sai Do PHỤ LỤC: TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Chí Long, Xác suất thông kê Quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh – TP.Hồ Chí Minh, 2006 [2] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng – Phần I-Xích Markov ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Hà Nội, 2001 [3] Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành (Học viện Công nghệ Bưu viễn thông), Hà Nội, 2006 [4] John Kingman,Oxford Studies in Probability – Poisson Processes, Carendon Press – Oxford, 1992 25 | P a g e Xác suất thống kê Quá trình Poisson [5] Một số trang web trường đại học: New York University – USA: https://www.math.nyu.edu/faculty/varadhan/spring06/spring06.1.pdf The University of Alabama in Huntsville – USA: http://www.math.uah.edu/stat/poisson/index.html Helsinki University of Technology – Finland: https://www.netlab.tkk.fi/opetus/s383143/kalvot/E_poisson.pdf University of California, Davis – USA: https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135B/materials/ch18.pdf Hong Kong University of Science and Technology – Hong Kong: https://www.math.ust.hk/~maykwok/courses/ma246/04_05/04MA246L4B.pdf 26 | P a g e Nhóm ... kê Mục lục: 2|Page Quá trình Poisson Nhóm Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm PHẦN 1: QUÁ TRÌNH POISSON PHÂN PHỐI POISSON I Trong lý thuyết xác suất thống kê, phân phối Poisson phân phối... gian trình điểm (ứng với trình đếm { N (t ), t ≥ 0} ( s, t ] ) Xác suất thống kê II Quá trình Poisson QUÁ TRÌNH POISSON Định nghĩa:Ta nói (hoặc tham số i) X (t ) ii) λ { X (t ), t ≥ 0} trình Poisson. .. h→0 Như vậy, trình Poisson trình đếm thỏa mãn giả thiết nêu ngược lại, trình đếm thỏa mãn giả thiết nêu trình Poisson Định lý 1: 7|Page Xác suất thống kê Quá trình Poisson Nhóm Nếu trình đếm thỏa