SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO hỗ TRỢ NHẨM NGHIỆM, dự đoán NHÂN tử GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH, hệ PHƯƠNG TRÌNH

Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi nhận thấy mặc dù đã cung cấp tương đối đầy đủ các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chính thống, học sinh có t

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG



BÁO CÁO SÁNG KIẾN

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nghĩa Hưng, ngày 25 tháng 5 năm 2016

Tác giả : Nguyễn Thị Quyết Trình độ chuyên môn : Cử nhân SP Toán Chức vụ : Giáo viên

Đơn vị : Trường THPT C Nghĩa Hưng

1 Tên sáng kiến

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán THPT

3 Thời gian áp dụng sáng kiến

Từ ngày 15 tháng 4 năm 2014 đến 20 tháng 5 năm 2016

4 Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Thị Quyết

Năm sinh: 1986

Nơi thường trú: xóm 8, xã Xuân Châu, Xuân Trường, Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân Sư phạm Toán

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong đề thi THPT QG những năm gần đây thường gặp những phương trình vô tỉ, bất phương trình, hệ phương trình ở mức độ vận dụng cao (câu 8, 9 điểm) Để giải những bài toán này đòi hỏi học sinh vận dụng kết hợp sáng tạo nhiều phương pháp: phân tích nhân tử, phương pháp thế, phương pháp hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp liên hợp, phương pháp đánh giá, … Song, vấn đề ở chỗ lựa chọn phương pháp nào để giải đúng, nhanh gọn chính xác nhất là điều không phải học sinh nào cũng làm được

Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi nhận thấy mặc dù đã cung cấp tương đối đầy đủ các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chính thống, học sinh có thể đã định hình được phương pháp giải nhưng vẫn gặp khó khăn trong việc tìm ra lời giải dẫn đến đáp số cuối cùng: ví dụ như nhẩm được một số nghiệm của phương trình nhưng không biết đã tìm được nghiệm chưa hoặc không biết hàm số có đơn điệu trên khoảng K nào đó hay không, hoặc học sinh biết phương trình này có nghiệm vô tỉ nhưng không biết thêm bớt nhân

tử như thế nào để xuất hiện nghiệm…

Vậy làm thế nào để học sinh có cảm nhận bài toán và lựa chọn phương pháp giải hợp lý trong thời gian ngắn nhất là điều khiến tôi luôn băn khoăn trăn trở Qua quá trình học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệm, qua các chuyên đề tìm hiểu được và quá trình đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi thấy cần cung cấp cho học sinh một số kỹ năng vận dụng sự hỗ trợ của máy tính casio để có thể tìm hướng giải quyết bài phương trình , bất phương trình và hệ, rồi cho học sinh rèn luyện để kiểm chứng những kỹ thuật đã học được Từ nhu cầu thực tế đó tôi viết sáng kiến kinh nghiệm:

“ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO HỖ TRỢ NHẨM NGHIỆM, DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH’’

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

II.1 MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN

Hiện trạng trước khi áp dụng giải pháp mới:

Cấu trúc đề thi THPT QG những năm gần đây, phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thường đòi hỏi ở mức độ vận dụng cao nên các trường, các Sở trong cả nước khi ra đề khảo sát các kỳ cũng thường đòi hỏi mức độ vận dụng kiến thức rất cao ở phần này.Nhằm đáp ứng yêu cầu của kỳ thi THPT Quốc Gia, tôi thường cho học sinh cọ sát với các đề khảo sát thi THPT Quốc Gia của các trường, các Sở trong cả nước nhưng tôi nhận thấy chỉ những học sinh có lực học tốt mới “dám” làm phần phương trình, bất phương trình, hệ phương trình nhưng tốn rất nhiều thời gian và công sức có khi không tìm ra được hướng giải hoặc chỉ giải quyết được 50% đến 70% bài toán mà không giải quyết triệt để vì vấp phải một số vướng mắc

VD 1 Đề thi giữa kỳ I lớp 12 năm 2015 – 2016 trường THPT C Nghĩa Hưng

Đến đây học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp.

Giáo viên hướng dẫn:

Thay vào (2) ta được 3x2− − =8x 7 4x x+2

Đến đây học sinh cũng gặp khó khăn trong việc tìm lời giải tiếp theo

Giáo viên hướng dẫn:

Vấn đề ở chỗ: làm thế nào học sinh phát hiện được nhân tử (x2−2x−7)?

Qua một số ví dụ điển hình về những khó khăn học sinh có thể gặp phải trong quá trình giải toán,nhằm giúp học sinh có công cụ mạnh hơn để xử lý tình huống, tôi xin đưa ra một số giải pháp mới nhằm khắc phục nhược điểm của các giải pháp cũ

II.2 MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SÁNG KIẾN

2.11VẤN ĐỀ CẦN GIẢI QUYẾT

1 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử bằng máy tính CASIO

2 Trang bị cho học sinh kĩ năng chia đa thức có một căn thức bằng máy tính CASIO

3 Trang bị cho học sinh kỹ năng thêm bớt, tìm và tách nhân tử giải phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng máy tính CASIO

4 Trang bị cho học sinh kỹ năng dự đoán mối quan hệ giữa hai biến trong hệ phương trình bằng máy tính CASIO

Học sinh kết hợp tốt các kỹ năng trên cùng với việc vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ sẽ giải quyết được một lớp các bài toán mà học sinh thường gặp khó khăn trước đây

Cách xử lí phương trình và bất phương trình là tương đối giống nhau, vì vậy trong sáng kiến nàytôi đi sâu hơn vào các bài toán giải phương trình Đối với hệ phương trình, theo xu hướng hiện

nay thì thường tìm mối quan hệ của biến này theo biến kia từ một phương trình của hệ Sau đó thế vào phương trình còn lại, từ đây lại gặp bài toán giải phương trình Do đó việc nắm thật vữngcác kỹ năng giải phương trình là điều cực kỳ quan trọng, có khi việc giải phương trình trong quá trình giải hệ trước còn khó hơn việc tìm mối quan hệ giữa hai biến của hệ.

2.2 PHẠM VI ÁP DỤNG

- Sáng kiến được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10,12 hệ THPTđặc biệt là các em ôn thi THPT Quốc gia xét đại học và làm tài liệu tham khảo cho các thầy côgiảng dạy môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong sáng kiến nàylàm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể

Trong sáng kiến này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những hạn chế cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất.Hướng trình bày của sáng kiến là định tính phương pháp giải, chỉ ra hướng giải nhờ sử dụng máy tính casio, không đi sâu vào lời giải chi tiết

2.3 ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG GIẢI PHÁP

1) Học sinh nắm được các phương pháp cơ bản giải phương trình, bất phương trình :

• Phương pháp biến đổi tương đương, hệ quả:

0)()

()(

x g x f

x f x

g x f

+

⇔

=+

0)(

0)(

)()()(2)()()

()()(

x g

x f

x h x g x f x

g x f x

h x g x

dạng 2)

* Dạng 4:

)()()((()(3)()(

)()()(

3 3

3

3 3

3

x h x g x f x g x f x

g x f

x h x g x f

=+

++

⇔

=+

Thay 3 h(x) =3 f(x)+3 g(x) nhận được phương trình hệ quả

=+

+

−

c v u

b a v u x

f b v

x f a u c x f b x f a

n n n

n n

n

)(

)()

()

(

Dạng 2: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : ax+b =c(dx+e)2 +nx+m

Dạng 3: Đưa về hệ tạm

Nếu phương trình vô tỉ có dạng A+ B C= , mà : A B− =αC

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

5 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2 +αuv+βv2 =0 (1) bằng cách

• Phương pháp trục căn để xuất hiện nhân tử chung

1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích (x x A x− 0) ( ) =0 ta có thể giải phương trình A x( ) =0 hoặc chứng minh

Khi giải phương trình vô tỉ (chẳng hạn ( )f x =g x( )) bằng phương pháp đánh giá, thường là để

ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0 Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý

Thường ta đánh giá như sau:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỉ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

f x =g x có nghiệm duy nhất x x= 0 (Để tìm được x ta nhẩm nghiệm).0

c Phương trình ( )f u = f v( ) Nếu ( )f x đơn điệu thì phương trình ( ) f u = f v( )⇔ =u v.

2) Học sinh có máy tính Casio 570ES Plus, vnplus

3) Học sinh nắm được công dụng của một số phím chức năng của máy tính

Phím Calc: tính giá trị biểu thức

Ví dụ: cho 2

( ) 2 1 4

f x = x + + x+ tính f(2); f(4);

Ta nhập vào máy biểu thức: 2x2+ +1 x+4

ấn CALC cho x=2 được 9+ 6

ấn CALC cho x=4 được 33 2 2+

- Dự đoán khoảng chứa nghiệm vô tỉ

- Dự đoán số nghiệm của phương trình

- Dự đoán tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

ALPHA X − ALPHA X + ALPHA X − ALPHA X +

ấn SOLVE (SHIFT CALC)

máy hỏi solve for x

ta ấn 10 = được nghiệm x = 2

ấn ¬ replay để trở lại phương trình

ấn SOLVE cho x=0 được nghiệm x = 1

ấn SOLVE cho x=-10 được nghiệm x = 2

Học sinh có thể kiểm chứng kết quả bằng việc biến đổi ngược lại để tìm lời giải

Nhận xét: Học sinh tính được nghiệm hữu tỉ có thể sử dụng lược đồ Hoocne để tách nhân

tử nhưng trong những trường hợp không tìm được nghiệm hữu tỉ mà dự đoán được nhân tử bậc cao thì việc chia như trên tỏ ra hiệu quả rõ ràng.

ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A)

Trở lại phương trình ấn SOLVE nhập x = 0

Được x≈ −2,73205 ấn AlphaX Shift STO B gán vào B

Có thể áp dụng kỹ năng trên để giải phương trình chứa căn bằng phương pháp luỹ thừa đưa về phương trình bậc cao.

Ví dụ 3:

Giải phương trình :

2(1−x) 2x+ −3 2x + =3 0 (1)

ấn AlphaX Shift STO A ( gán nghiệm vừa tìm được cho A)

Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = 0 được x≈0, 4142 gán vào B

Trở lại phương trình ấn Solve nhập x = -10 được x≈-2.4142 gán vào C

ấn ¬ replayrồi trừ biểu thức cho 2x−1 (chú ý: 3= 2.2 1− )

Bước 3: Calc cho x = 1000 được -1000 ấn ¬ replay

Bước 2: Calc cho x = 1 được 2 dự đoán là x+1

ấn¬ replayrồi trừ biểu thức cho x+1

Bước 3: Calc cho x = 1000 được 999 dự đoán là x-1

ấn ¬ replayrồi trừ biểu thức cho x – 1

Bước 4: Calc cho x tuỳ ý đều được 0, vậy phép chia hết

3 GIẢI PHÁP THÊM BỚT TÌM NHÂN TỬ GIẢI PT, BPT VÔ TỈ BẰNG MÁY CASIO

3.1 Trường hợp tìm được hai nghiệm hữu tỉ đơn

VD1: Giải phương trình:

3x+ +1 5x+ −4 (3x2− + =x 3) 0

Bước 1: Nhập biểu thức vế trái

Bước 2: ấn Shift calc (solve) cho x=10 ta được nghiệm 1

Bước 3: ấn Shift calc (solve) cho x=0 ta được nghiệm 0

5

x

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }0,1

Nhận xét:

Đối với phương trình vô tỉ tìm được hai nghiệm hữu tỉ thì bằng cách làm tương tự như ví dụ trên

có thể tìm được các hạng tử cần thêm bớt rồi sử dụng phương pháp liên hợp sẽ làm xuất hiện nhân tử Việc sử dụng máy tính để tìm nghiệm cũng tiết kiệm được rất nhiều thời gian và công sức giải toán.

Hướng dẫn: Sử dụng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm vô tỉ là: 3,8284 và -1,8284

ta gán lần lượt cho A , B Thử được:

Từ đó ta có lời giải như VD 4 phần II.1

Chú ý: Phương trình này có thể bình phương hai vế đưa về phương trình bậc 4 rồi thực hiện phépchia đa thức như giới thiệu ở trên

x x

Máy hỏi start? Ta nhập -14 =

Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =

Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=4 thì f(x)=1, suy ra A2−4A= ⇒1 A là nghiệm của phương trình x2−4x− =1 0

⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x2−4x−1

Từ đây ta có hướng thêm bớt hạng tử:

+ ≥

 + ≥



+ >



⇒  + >

 suy ra VT (b)>0 ⇒( b) vô nghiệm.

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là: S = +{2 5}

Máy hỏi start? Ta nhập -14 =

Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =

Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=6 thì f(x)=3, suy ra A2−6A= ⇒3 A là nghiệm của phương trình x2−6x− =3 0

⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x2−6x−3

Đến đây ta có thể thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp tương tự như ví dụ 1 trên để tách nhân tử 2

Máy hỏi start? Ta nhập -14 =

Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =

Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=-2 thì f(x)=4, suy ra A2+2A= ⇒4 A là nghiệm của phươngtrình x2+2x− =4 0

⇒ phương trình (1) có thể tách được nhân tử là x2+2x−4

Đến đây ta có thể thêm bớt hạng tử, dùng phương pháp liên hợp hoặc luỹ thừa đưa về phương trình bậc 4, dùng giải pháp chia đa thức cho 2

2 4

x + x− , ta sẽ được thương còn lại

Nhận xét: Với giải pháp trên, đối với phương trình vô tỉ chứa căn mà dò được tam thức bậc hai

chứa nghiệm vô tỉ của phương trình ta có thể luỹ thừa lên và thực hiện phép chia đa thức tìm nhân tử còn lại.

Máy hỏi start? Ta nhập -14 =

Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =

1 74

x x

Máy hỏi start? Ta nhập -14 =

Máy hỏi End? Ta nhập 14 =

Máy hỏi Step? Ta nhập 1 =

Máy hiện lên bảng giá trị, ta thấy x=2 thì f(x)=-3,

5 4A 2A=-3

A

⇒ là nghiệm của phương trình 5 4+ x−2x+3=0

Sử dụng giải pháp chia đa thức chứa một căn thức ta có

Đến đây phương trình có thể giải quyết được dễ dàng

Nhận xét chung: đối với những phương trình vô tỉ mà tìm được một nghiệm vô tỉ đơn hoặc tìm

được hai nghiệm vô tỉ nhưng tổng và tích không hữu tỉ thì ta có thể đi tìm tam thức bậc hai chứa

nghiệm vô tỉ nhờ sử dụng chức năng Mode 7 từ đó tìm cách tách nhân tử, hoặc sử dụng chức năng Mode7 dò được biểu thức vô tỉ có chứa nghiệm vô tỉ rồi sử dụng giải pháp chia đa thức có một căn thức để tìm thương từ đó tìm cách tách làm xuất hiện nhân tử.

Bài tập tự luyện : Giải phương trình, bất phương trình sau:

4 Ứng dụng chức năng SOLVE dự đoán mối quan hệ giữa hai biến trong hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Máy hỏi solve for x ? ta nhập =

Máy hiện x=99 ta dự đoán là x=y-1

⇒ nhân tử là x-y+1 Thực hiện tách nhân tử ta được:

Nhận xét: Nhờ sự trợ giúp đắc lực từ máy tính, ta có thể tìm ngay được mối quan hệ giữa x và y

trong hệ, từ đó xác định được hướng giải bài toán.

Hướng dẫn: điều kiện: x≥0,y≥0

Nhập phương trình số (1) vào máy

ấn SOLVE

Máy hỏi y ? ta nhập 100 =

Máy hỏi solve for x ? ta nhập =

Máy hiện x=300 ta dự đoán nhân tử là x-3y

Nhận thấy hệ số tự do bị khử , nên có thể tách {2 4x+4y+ =1 4x+4y+ +1 4x+4y+1Sau đó nhóm với hai căn còn lại rồi liên hợp,xuất hiện nhân tử chung

Nhân chéo hai vế của (3) và khử căn ta cũng được x=3y

Với x=3y thế vào phương trình (2) ta được:

(3x+2) 3x+ +1 4 x =14x x

x=0 không phải là nghiệm của phương trình

Với x>0, chia cả hai vế cho x x ta được

Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 =

Máy hỏi solve for x ? ta nhập =

Máy hiện x=-200 suy ra x=-2y

Sử dụng chức năng MODE 7 ta dự đoán được nhân tử là 2x2+6x+ +1 2x có nghiệm A

Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm được nhân tử còn lại là 2x2+6x+ −1 3x

Máy hỏi solve for y ? ta nhập 100 =

Máy hỏi solve for x ? ta nhập =

Máy hiện x=13.125 ta dự đoán 13.125 105 5

nên x+1>0 ⇒ y2+ + >x 1 0 suy ra y=8x+5

Thế vào phương trình (2) ta được

2

4x −13x+ +5 3x+ =1 0

Phương trình này lại có dạng 3.3( tìm được hai nghiệm vô tỉ nhưng tổng tích không hữu tỉ) Nhập vế trái

Sử dụng phím SOLVE ta dò được hai nghiệm vô tỉ ta gán lần lượt cho A, B

Sử dụng chức năng MODE 7 ta dò được nhân tử là 3x+ −1 2x+2 ( nếu dò với nghiệm A không được ta dò sang nghiệm B)

Sử dụng giải pháp chia đa thức ta tìm được thương là 3x+ +1 2x−3

Từ đó ta có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán

Nhận xét chung:

Với sự trợ giúp đắc lực từ máy tính casio, sự vận dụng thành thạo kỹ năng chia đa thức tách nhân tử, kỹ năng tìm nghiệm vô tỉ và chức năng MODE 7 dò tam thức bậc hai chứa nghiệm vô tỉ,ta có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán một cách nhanh gọn, hiệu quả.

Đối với bài toán giải hệ phương trình mà mối quan hệ giữa hai biến dạng y=ax+b

( a,b hữu tỉ) ta hoàn toàn có thể tìm ra được mối quan hệ đó nhờ công dụng của máy tính như hướng dẫn ở trên, từ mối quan hệ đó ta tìm cách tách làm xuất hiện nhân tử

Ấn SOLVE nhập x=10 được x=3.73025… ta gán cho A

Ấn SOLVE nhập x=0 được x=-0.4142 ta gán cho B

Ấn MODE 7, nhập ( )f x = 4A+ −5 Ax

Máy hỏi START ? ta nhập x=-14

Máy hỏi END ? ta nhập x=14

Máy hỏi STEP? Ta nhập x=1

Nhìn vào bảng giá trị, ta tra được x=2 thì f(x)=-3

⇒ A là nghiệm của phương trình 4x+ −5 2x= −3

Dự đoán nhân tử là 4x+ −5 2x+3

Sử dụng giải pháp chia đa thức, ta tìm được nhân tử còn lại là: 4x+ +5 2x−1

Từ đó có thể dễ dàng tìm được lời giải bài toán

Đối với khúc mắc ở ví dụ 2( II.1)