Bài tập phép biến hình

Hình Học/ Chuyên Đề Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng. Phần 1: Phép Dời Hình Trong Mặt Phẳng. I. Phép Tịnh Tiến. Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép tính tiến. Phơng pháp: + Nếu là hình học thuần tuý thì dùng định nghĩa. + Nếu là hình học giải tích thì dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình. Vdụ 1: Trong mặt phẳng cho phép tịnh tiến T theo vectơ ( ) 1;2v r . a. Viết phơng trình đờng thẳng ảnh của mỗi đờng thẳng sau qua T. i. : 2 3 1 0d x y + = . ii. 1 : 2 3 0d x y + = . b. Viết phơng trình ảnh của đờng tròn: 2 2 4 4 1 0x y x y+ + = qua T. Vdụ 2: Trong mặt phẳng cho phép tịnh tiến T theo vectơ ( ) 2;1v r . a. Viết phơng trình đờng thẳng ảnh của mỗi đờng thẳng sau qua T. i. : 4 0d x y + = . ii. 1 : 2 3 0d x y + = . b. Xác định phép tịnh tiến T theo vectơ u r biến d thành 2 d : 5 0x y + = biết u r có giá vuông góc với đờng thẳng 3 : 3 2 5d x y+ = . 1. Trong mặt phẳng cho 2 đờng thẳng d và d có phơng trình 0,Ax By C Ax By C + + = + + . Tìm những vectơ ( ) ,v a b r sao cho ( ) v T d d = r . 2. Cho bốn đờng thẳng , , ,a b a b sao cho a cắt b, // , //a a b b . Tìm một phép tịnh tiến: : ; v T a a b b r a a . 3. Cho hai phép tịnh tiến , v u T T r r . Với điều kiện nào của ,v u r r thì hợp thành của , v u T T r r là phép đồng nhất. 4. Hợp thành của hai hay nhiều phép tịnh tiến đều là một phép tịnh tiến. 5. Cho ( ) 1 2 1 2 ,O O O O là hai điểm cố định cho trớc. CMR phép biến hình 2 1 O O S S là phép tịnh tiến. Vấn đề 2: Dùng phép tịnh tiến để chứng minh tích chất hình học:(Sự song song, bằng nhau,.) Phơng pháp: Lựa chọn phép tịnh tiến thích hợp, sử dụng 2 tính chất của phép tịnh tiến. 1. CMR phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó. (Sử dụng tính chất 1) *2. Cho hình thang ABCD (AB//CD), tổng hai đáy lớn hơn tổng hai cạnh bên. Gọi M là giao điểm của các đờng phân giác trong của các góc A và B; N là giao điểm của các đờng phân giác trong của các góc C và D. CMR: 2MN = BC + AD - (AB + CD). (Chọn v MN= r uuuur , N là tâm đờng tròn nội tiếp tứ giác A B CD thì A B CD B C A D + = + ) 3. Cho hình thang ABCD có A < D. CMR: BD < CA. ( Chọn v BC= r uuur , ta có ngay CA CD > , gọi I là trung điểm của A D thì I cũng là trung điểm của AD . Xét 2 tam giác ,CIA CID có CI chung và CA CD > nên 2 1 I I> từ đó áp dụng vào hai tam giác CIA và CID ) 4. CHo hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD và ã ã MBC MDC= . CMR: ã ã AMD BMC= . ( Chọn v BA= r uuur , chỉ ra ã ã MDC DMM = (1), ã ã MBC M AD = (2), theo gt thì ã ã DMM M AD = suy ra tứ giác AMM D nội tiếp ã ã AMD AM D = (3).) *5. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và MP+NQ=p- nửa chu vi. CMR: Tứ giác ABCD là hình bình hành. ( Từ MP+NQ=p= ( ) ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2AB BC CD DA AD BC AB CD+ + + = + + + . Chọn v BC= r uuur , gọi D Ea suy ra MP=1/2AE. Xét tam giác ADE: AE AD DE + , suy ra ( ) 1/ 2MP AD DE + dấu = xảy ra khi A, D, E thẳng hàng //AD BC . Tơng tự ta có AB//CD) Vấn đề 3: Bài toán quỹ tích và dựng hình. Phơng pháp: Lựa chọn phép tịnh tiến thích hợp, sử dụng 2 tính chất của phép tịnh tiến. Chú ý chọn ra đợc yếu tố cố định thích hợp trong bài toán. *1. Cho hai điểm phân biệt B, C trên (O), A là điểm di động trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC. (Gọi M là trung điểm của BC, tia BO cắt (O) tại D thì ADCH là hình bình hành nên AH=2OM) Nguyễn Xuân Thuỷ/ 2008-2009 1 Hình Học/ Chuyên Đề Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng. 2. Cho (O;AB) cố định, MN là đờng kính thay đổi. Các đờng thẳng AM và An cắt tiếp tuyến tại B lần lợt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam giác MPQ và NPQ(hai quỹ tích này là một). (Với tam giác MPQ ta chỉ ra 2MH OA BA= = uuuur uuur uuur , không kể A, B) 3. Cho hai đờng trong không đồng tâm ( ) ( ) 1 1 ; , ;O R O R và một điểm A trên (O;R). Xác định M trên (O;R) và điểm N trên ( ) 1 1 ;O R sao cho MN OA= uuuur uuur . *4. Cho hai đờng thẳng a và b và hai điểm A, B nh hình vẽ. Tìm M thuộc a, N thuộc b sao cho MN b , AM+MN+NB là ngắn nhất.( Chọn v MN= r uuuur ) II. Phép đối xứng trục. Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép đối xứng trục. Phơng pháp: + Dùng định nghĩa, biểu thức vectơ hay biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua các trục toạ độ. 1. Trong mặt phẳng xOy cho M(2;3), đờng thẳng d: 2x-y+3=0 và đờng tròn (C) có phơng trình: 2 2 4 2 3 0x y x y+ = a. Xác định ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox, Oy. b. Xác định ảnh của M, (C) qua phép đối xứng trục là đờng thẳng d. c. Xác định ảnh của d qua phép đối xứng trục là a: 2x-y+5=0; x+2y+3=0; x-2y+3=0. 2. Chứng minh rằng: a. Hợp thành của hai phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. b. Hợp thành của một số chẵn phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép tịnh tiến. c. Hợp thành của một số lẻ phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là một phép đối xứng trục. 3. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB A B = . CMR có thể tìm đợc một phép đối xứng trục hoặc hợp thành của hai phép đối xứng trục để ;A A B B a a . 4. Cho hai tam giác bằng nhau ABC và A B C (tơng ứng cạnh). CMR chỉ cần tối đa ba phép đối xứng trục để hợp thành của chúng biến ABC thành A B C . (sử dụng bài 3) Vấn đề 2: Dùng phép đối xứng trục để chứng minh tích chất hình học:(Sự song song, bằng nhau,.) 1. Xác định các trục đối xứng của hình chữ nhật, hình vuông, tam giác đều. 2. Gọi d là phân giác ngoài của A với tam giác ABC. CMR với mọi điểm M trên d, thì chu vi của tam giác MBC không nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC. 3. Cho elip (E) với tiêu điểm 1 2 ,F F . Gọi M là điểm thuộc (E) không nằm trên đờng thẳng 1 2 F F , và d là phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác M 1 2 F F . CMR d chỉ cắt (E) tại M duy nhất (d gọi là tiếp tuyến của (E)). 4. (Khó)Cho tam giác ABC với I là tâm đờng tròn nội tiếp và P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi , ,A B C là ba điểm đối xứng với P lần lợt qua AI, BI, CI. CMR các đờng thẳng , ,AA BB CC đồng quy. 5. CMR trong tam giác ABC bất kì, ta có BĐT sau: ( ) a h p p a (Xét d D , d là đờng thẳng qua A và // BC. b + c = CA + AB = CA + AB CB = 2 2 4 a h a+ ) 6. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. CMR bốn tam giác ABC, HBC, HAC, HAB có đờng tròn ngoại tiếp có bán kính bằng nhau. Vấn đề 3: Bài toán quỹ tích và dựng hình. 1. Cho ABC có đỉnh B, C di động trên đờng thẳng d cố định, biết trực tâm H của ABC là cố định và đờng tròn (O) ngoại tiếp của ABC đi qua điểm cố định P H . tìm quỹ tích O. (Gọi ( ) ( ) d D H H H O = , H cố định, O nằm trên đờng trung trực của PH . Đảo lại) 2. Cho A, B ở cùng phía với đờng thẳng x x . Dựng M trên x x sao cho ã ã 2AMx BMx = . (PT: Giả sử dựng đợc M: ã ã 2AMx BMx= , gọi B , A là ẩnh của B, A qua phép đối xứng trục x x . B M là phân giác góc ã AMx nên A x x do đó B A B A = . Bài toán có 2 nghiệm hình) Nguyễn Xuân Thuỷ/ 2008-2009 2 A B M N . Hình Học/ Chuyên Đề Phép Biến Hình Trong Mặt Phẳng. Phần 1: Phép Dời Hình Trong Mặt Phẳng. I. Phép Tịnh Tiến. Vấn Đề 1: Xác định ảnh của một hình. một phép tính tiến. Phơng pháp: + Nếu là hình học thuần tuý thì dùng định nghĩa. + Nếu là hình học giải tích thì dùng biểu thức toạ độ của phép biến hình.