Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học nội dung vectơ ở lớp 10 trung học phổ thông

Biện pháp 4: Áp dụng dạy học tích hợp giúp học sinh phát triển khả năng huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng để giải quyết có hiệu quả các vấn đề trong học tập và trong cuộc sống, phát t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO THỊ THANH LOAN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

VECTƠ Ở LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO THỊ THANH LOAN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

VECTƠ Ở LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LL & PP Dạy học Bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS VŨ THỊ THÁI

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình

khoa học nào

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Đào Thị Thanh Loan

Sư phạm Hà Nội I đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo, trường THPT Ngô Quyền, tỉnh Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ

và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Đào Thị Thanh Loan

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC CÁC HÌNH vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Giả thuyết khoa học 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phạm vi nghiên cứu 3

6 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

7 Phương pháp nghiên cứu 4

8 Cấu trúc đề tài 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Hoạt động tư duy trong học tập môn Toán 5

1.1.1 Đặc điểm của hoạt động tư duy trong dạy học môn Toán 5

1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn toán 6

1.2 Năng lực, năng lực toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 10

1.2.1 Năng lực 10

1.2.2 Năng lực Toán của học sinh phổ thông 12

1.2.3 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán 15

1.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 19

1.3.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn 19

1.3.2 Những khái niệm cơ bản 21

1.3.3 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán ở THPT 23

1.3.4 Cấp độ dạy học PH&GQVĐ 26

1.3.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 26

1.4 Vai trò, vị trí và nội dung của chủ đề vectơ trong chương trình toán 10 30

1.4.1 Vai trò, vị trí của chủ đề vectơ trong toán học và trong chương trình toán phổ thông 30

1.4.2 Nội dung và phân phối chương trình TH vectơ ở lớp 10 THPT 31

1.5 Thực trạng dạy học nội dung vectơ trong trường phổ thông 32

1.5.1 Mục đích và đối tượng khảo sát 32

1.5.2 Tìm hiểu về phương pháp và cách thức tổ chức hoạt động nhằm phát triển năng lực PH & GQVĐ trong dạy học chủ đề Vectơ 32

1.6 Kết luận chương 1 38

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PH&GQVĐ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ VÉC TƠ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 39

2.1 Một số nguyên tắc xây dựng các biện pháp 39

2.2 Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10 39

2.2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ như các khái niệm, định lý, bài tập nhằm giúp các em nắm vững tri thức, làm cơ sở cho những phát hiện và cách giải quyết vấn đề toán học tiếp theo 39

2.2.2 Biện pháp 2: Giúp học sinh hiểu rõ toán vectơ là vấn đề bắt nguồn từ thực tiễn và phục vụ đời sống thực tiễn để từ đó tạo dựng động cơ, hứng thú cho học sinh trong quá trình học nội dung này 46

2.2.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán giúp học sinh biết giải quyết vấn đề chính xác, đầy đủ và sáng tạo 53

2.2.4 Biện pháp 4: Áp dụng dạy học tích hợp giúp học sinh phát triển

khả năng huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng để giải quyết có

hiệu quả các vấn đề trong học tập và trong cuộc sống, phát triển

năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 59

2.3 Kết luận chương 2 68

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 69

3.1 Mục đích, yêu cầu, nhiệm vụ thực nghiệm 69

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 69

3.1.2 Yêu cầu thực nghiệm 69

3.1.3 Nhiệm vụ thực nghiệm 69

3.2 Nội dung thực nghiệm 69

3.3 Thời gian, đối tượng, quy trình, phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 70

3.3.1 Thời gian, đối tượng thực nghiệm sư phạm 70

3.3.2 Quy trình triển khai nội dung thực nghiệm 71

3.3.3 Phương pháp đánh giá kết quả thực nghiệm 71

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 72

3.4.1 Phân tích định tính 72

3.4.2 Phân tích định lượng 73

3.5 Kết luận chương 3 78

KẾT LUẬN 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

PHỤ LỤC 82

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

yếu, kém trong bài kiểm tra bài 30 phút 77

DANH MỤC CÁC HÌNH

Sơ đồ 1.1: Những hành động và những thao tác trí tuệ 9

Sơ đồ 1.2: Cấu trúc năng lực 14 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh kết quả điểm kiểm tra bài 60 phút 75 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu,

kém trong bài kiểm tra bài 60 phút của lớp thực nghiệm 75 Biểu đồ 3.3 Biểu đồ Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu,

kém trong bài kiểm tra bài 60 phút của lớp đối chứng 76 Biểu đồ 3.4 Biểu đồ so sánh kết quả điểm kiểm tra bài 30 phút 77 Biểu đồ 3.5 Biểu đồ Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu,

kém trong bài kiểm tra bài 30 phút của lớp thực nghiệm 77 Biểu đồ 3.6: Biểu đồ Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi, khá, trung bình, yếu,

kém trong bài kiểm tra bài 30 phút của lớp đối chứng 78

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cũng như nhiều quốc gia trên thế giới, ngày nay Việt Nam coi giáo dục

là quốc sách hàng đầu, giúp trấn hưng và phát triển nền kinh tế xã hội Với mục tiêu và nhiệm vụ cơ bản của nền giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện, phát huy năng lực cá nhân Có kiến thức và khả năng vận dụng tốt kiến thức vào thực tiễn cuộc sống

Để thực hiện sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước, tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh

đã trở thành một trong những mục tiêu đào tạo của ngành Giáo dục và Đào tạo Việt Nam Để thực hiện được mục tiêu trên Việt Nam cần đổi mới giáo dục, trong đó phải không ngừng đổi mới phương pháp dạy học Hiện nay và trong tương lai, đổi mới PPDH theo hướng tiếp cận năng lực người học sẽ là một trong những định hướng của giáo dục Việt Nam

Với định hướng giáo dục hiện nay là “Lấy việc hình thành năng lực người học làm trung tâm, làm mục tiêu đào tạo thay cho truyền thụ kiến thức”, ngày 4/11/2013, Tổng Bí thư Nguyễn Phú Trọng đã ký ban hành Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế Như vậy, đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục chính là chuyển giáo dục sang hướng tiếp cận năng lực

Với môn toán ở trường phổ thông, một trong những mục tiêu đặt ra sau

2015 là "Sử dụng được những kiến thức đã học để tiếp tục học toán, để hỗ trợ học những môn khác, đồng thời giải thích, giải quyết một số hiện tượng, tình huống xảy ra trong thực tiễn (phù hợp với trình độ) Qua đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa toán học” 10, 8 12 tr  

Trong những năm gần đây, một số phương pháp dạy học hiện đại đã được đưa vào nhà trường phổ thông như: Dạy học theo lý thuyết hoạt động, dạy học phân hóa, dạy học kiến thiết ….Các phương pháp dạy học này đã và đang đáp ứng được phần lớn những yêu cầu được đặt ra Tuy nhiên chỉ với một số phương pháp đã được sử dụng thì vấn đề nâng cao hiệu quả dạy học, phát huy tính chủ động của học sinh vẫn chưa được giải quyết một cách căn bản Vì thế việc nghiên cứu và vận dụng các xu hướng dạy học có khả năng tác động vào hoạt động của học sinh theo hướng tích cực hóa quá trình nhận thức là thực sự cần thiết

Đi sâu vào việc đổi mới phương pháp dạy học, cần thiết phải đẩy mạnh việc nghiên cứu lí luận, tìm hiểu những lí thuyết dạy học của các nước khác có chứa đựng những yếu tố phù hợp với thực tiễn giáo dục nước ta Một trong những xu hướng dạy học đang gây sự chú ý cho các nhà nghiên cứu lý luận dạy học đó là “Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề” Đây được coi là một trong những phương pháp dạy học tích cực

Trong chương trình Hình học 10 phương pháp vectơ có vai trò rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Chẳng hạn có thể sử dụng phương pháp vectơ để xây dựng phương pháp tọa độ, các hệ thức lượng, xây dựng các phép biến hình, phép dời hình, phép đồng dạng Sử dụng phương pháp vectơ

có thể giải được một số bài tập tổng hợp và vận dụng hệ thức lượng trong tam giác có thể giải các bài toán thực tế, các bài toán quỹ tích, dựng hình, bài toán tam giác lượng Hoặc có thể sử dụng nhiều vấn đề trong Hình học 10 để phát huy, khai thác, mở rộng, phát triển thành những bài toán mới tương tự và khái quát hóa, nó chứa đựng nhiều tiềm năng để nâng cao năng lực cho HS trong đó phải kể tới năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

Với những lí do trên đây tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận văn

là: “Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học nội dung vectơ ở lớp 10 trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là trên cơ sở nghiên cứu một số quan điểm và thực tiễn phát triển năng lực và năng lực toán học, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho HS thông qua dạy nội dung vectơ trong hình học lớp 10 THPT

3 Giả thuyết khoa học

Trong dạy học nội dung vectơ, nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm thích hợp theo hướng phát triển năng lực PH&GQVĐ thì có thể phát huy tính tự giác, tích cực, tự lực, sáng tạo của học sinh trong việc chiếm lĩnh tri thức toán học, góp phần phát triển năng lực toán học và nâng cao chất lượng dạy học ở THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Tìm hiểu, tổng hợp và phân tích một số khái niệm, quan điểm và công trình nghiên cứu về năng lực và năng lực toán học

4.2 Tìm hiểu năng lực toán học của học sinh phổ thông trong học tập môn hình học và thực trạng dạy học vectơ trong trường phổ thông

4.3 Trên cơ sở xác định những nguyên tắc, đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học sinh thông qua dạy nội dung vectơ trong hình học lớp 10 THPT

4.4 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định giả thuyết khoa học và bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm đã đề xuất

5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi nội dung chương trình hình học 10 THPT, chủ yếu là nội dung vectơ (chương 1, 2 Hình học 10)

6 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

6.1 Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy và học môn hình học theo định hướng phát triển năng lực toán học của học sinh phổ thông

6.2 Đối tượng nghiên cứu: một số quan điểm, khái niệm, và đặc trưng của năng lực và năng lực toán học, năng lực PH&GQVĐ Những biện pháp

giúp phát triển năng lực PH&GQVĐ toán học cho học sinh phổ thông

7 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu về phương

pháp dạy học (PPDH) môn toán, sách giáo khoa (SGK), sách GV, sách bài tập, sách tham khảo hình học lớp 10 và một số tài liệu khác liên quan đến đề tài như khái niệm, quan điểm và công trình nghiên cứu về năng lực và năng lực toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

- Phương pháp điều tra, quan sát: Tiến hành dự giờ một số tiết học

thuộc nội dung hình học lớp 10, trao đổi với GV dạy toán ở trường THPT Từ

đó biết được thực trạng về năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh trung học phổ thông trong học tập môn hình học 10

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm

để kiểm định giả thuyết khoa học và bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu

8 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần “Mở đầu” và “Kết luận” và "Danh mục tài liệu tham khảo"

nội dung đề tài được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Các biện pháp nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học

sinh thông qua dạy học chủ đề vectơ ở trường phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Theo tài liệu “Hỏi- Đáp về chương trình giáo dục phổ thông tổng thể” của

Bộ Giáo dục và Đào tạo, xu thế quốc tế hiện nay là: Phát triển chương trình theo

hướng tiếp cận năng lực Nhiều quốc gia đã đưa ra khung năng lực, trong đó coi

trọng các năng lực chung cần thiết cho việc tham gia cuộc sống lao động, sinh hoạt hàng ngày và cho việc học tập suốt đời Một số năng lực chung được chú ý

là: tự học, học cách học; tự chủ, tự quản lí; xã hội, hợp tác; giao tiếp; tư duy và

giải quyết vấn đề, sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông Trong phạm vi

một đề tài, luận văn xin đề cập chủ yếu đến năng lực PH&GQVĐ và phát triển năng lực này thông qua dạy học nội dung vectơ ở phổ thông

1.1 Hoạt động tư duy trong học tập môn Toán

1.1.1 Đặc điểm của hoạt động tư duy trong dạy học môn Toán

Tư duy của con người có những đặc điểm như tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính chất lý tính, tính trừu tượng và tính khái quát Nhưng trong hoạt động dạy học thì đặc điểm nổi bật nhất của tư duy là tư duy có mối quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Vì tư duy của con người gắn liền với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện và không thể tồn tại bên ngoài ngôn ngữ Ngược lại, ngôn ngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào quá trình tư duy của con người

Học toán là phải biết vận dụng TH để giải quyết những bài toán có nguồn gốc từ thực tiễn Và để giải được những bài toán đó thì đòi hỏi người học phải biết tư duy, biết chuyển từ tình huống cụ thể sang ngôn ngữ TH bằng những hình ảnh trực quan hay kí hiệu TH và biết chuyển ngược lại các kết quả

TH có được sang ngôn ngữ của thực tiễn

Ví dụ 1.1: HS có thể vận dụng định lí côsin trong tam giác để giải bài toán thực tế “Hai tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 0

60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu

C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu km? (1 hải lí  1,852 km)”9, 56tr 

A

b c

a

Hoạt động tư duy trong dạy học môn toán còn được thể hiện rõ nét nhờ vào nhiệm vụ nhận thức của người học Cụ thể, khi GV đặt ra cho HS một câu hỏi, một bài toán hay yêu cầu HS giải quyết một nhiệm vụ đó, tự mình huy động kiến thức, đi tìm sự liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết, đưa ra dự đoán và nhận thấy mâu thuẫn khi vận dụng các phương pháp giải khác nhau và

tự mình thấy mâu thuẫn

Ví dụ 1.2: Dạy học định lí sin trong tam giác, GV yêu cầu HS giải bài toán Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Tính sinB, sinC theo b, c với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa ba cạnh và ba góc của tam giác và bán kính R c) Hệ thức tìm được ở câu b có đúng với trường hợp khi

ABC là tam giác bất kì ?

Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta có:

sin

2

AC b B

1.1.2 Hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn toán

Hoạt động trí tuệ là tập hợp các hành động trí tuệ để giải quyết nhiệm

vụ nhận thức bao gồm: hành động cảm giác, hành động tri giác, hành động trừu tượng… Do đó, khi phân tích hoạt động trí tuệ của HS trong học tập môn toán

ta cần qua tâm đến hai vấn đề sau đây:

Hình 1.1

a) Các thao tác tư duy cơ bản học sinh thường vận dụng trong học toán

- Phân tích - tổng hợp: Phân tích là sự phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ khác nhau để nhận thức nó sâu sắc hơn Còn tổng hợp là sự hợp nhất các bộ phận, thành phần, thuộc tính, quan hệ của đối tượng nhận thức thành một đối tượng chỉnh thể Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng là hai mặt của quá trình thống nhất

- Trừu tượng hóa - khái quát hóa: Trừu tượng hóa là quá trình gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ không cần thiết mà chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tư duy Còn khái quát hóa là sự hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau có chung những thuộc tính, những mối liên hệ, quan

hệ nhất định thành một loại, một nhóm trừu tượng hóa là điều kiện cần để khái quát hóa

- So sánh: So sánh là cơ sở của tư duy và mọi sự hiểu biết So sánh nhằm

hai mục đích: “Phát hiện được những đặc điểm chung và những đặc điểm khác nhau của đối tượng, sự kiện Mục đích của so sánh là dẫn đến tương tự và thường đi đôi với khái quát hóa” 22, 16 tr 

Các thao tác tư duy cơ bản như: phân tích- tổng hợp, trừu tượng hóa- khái quát hóa, so sánh- tương tự đều có mối quan hệ mật thiết với nhau, chúng

hỗ trợ bổ sung thống nhất cho nhau theo một hướng nhất định và không phụ thuộc vào chiến lược tư duy hay do nhiệm vụ tư duy quy định Vì vậy, trong quá trình dạy học GV cần quan tâm rèn luyện cho HS các thao tác tư duy này

Ví dụ 1.3: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: a) GA GB GC  0

b) MA MB MC  3MG

Khái quát hóa trong không gian thì ta có

Nếu điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì với mọi điểm M ta có: a) GA GB GC GD   0

b) MA MB MC MD   4MG( với mọi điểm M)

Ví dụ 1.4: Tìm công thức tính sin3x như sau:

Ta phân tích làm biến đổi sin3x= sin(2x+x) Sự phân tích diễn ra trên cơ

sở tổng hợp, liên hệ sin3x với công thức sin(a+b)= sinacosb+cosasinb Sau đó đặc biệt hóa công thức sin(a+b) với a=2x, b=x Ta được công thức sin3x=sin2xcosx+cox2xsinx Thao tác phân tích cos2x=1- 2sin2x và sin2x=2sinxcosx ta được sin3x= 2sinxcos2x + (1- 2sin2x)sinx tiếp tục tách cos2x=1-sin2x Ta được 3sinx - 4 sin3x là sự tổng hợp dẫn đến kết quả sin3x=3sinx - 4 sin3x

Ví dụ 1.5: Giả sử HS đã giải được bài toán: “Cho hai tam giác ABC và tam giác A1B1C1 thỏa mãn điều kiện AA 0

1BB1CC1 CMR: Hai tam giác

đó có cùng trọng tâm” Bằng cách phân tích như sau:

Bằng cách tương tự cho HS giải bài toán: “Cho hai tứ giác có cùng trọng tâm” Bằng cách phân tích như sau:

b) Hoạt động trí tuệ trong giải toán của HS

Dự đoán giữ vai trò chủ đạo, trung tâm của hoạt động trí tuệ trong giải toán Có nghĩa là sau khi học kĩ bài toán thì người giải phải cố gắng dự đoán để tìm kiếm lời giải cho bài toán đó Dự đoán có thể xuyên suốt trong quá trình giải toán, không chỉ dự đoán để tìm cách giải bài toán, dự đoán kết quả bài toán

mà dự đoán làm thay đổi bản chất bài toán

Tổ chức và huy động kiến thức: Huy động kiến thức là tách ra từ trí nhớ

các yếu tố có liên quan đến bài toán Còn tổ chức kiến thức là kết nối các yếu tố

có liên quan đến bài toán lại với nhau

- Tách biệt và kết hợp: Tách biệt là tách một bộ phận cụ thể ra khỏi cái

toàn thể bao quanh nó và chuyển sự tập trung vào chi tiết của bộ phận này Còn

kết hợp là liên kết những bộ phận cụ thể sau khi xem xét với nhau thành cái

toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước Những hành động và những thao

tác trí tuệ nói trên có thể được tóm tắt trong sơ đồ sau [7]

Sơ đồ 1.1: Những hành động và những thao tác trí tuệ Theo sơ đồ, tập hợp các hành động trí tuệ cùng những mối quan hệ giữa chúng cho ta thấy rõ cấu trúc của hoạt động trí tuệ trong giải toán Chẳng hạn, khi giải quyết các bài toán cụ thể thì thao tác nhận biết được thể hiện thông qua việc sử dụng định nghĩa; Thao tác nhóm lại được thể hiện qua việc đưa bài toán về dạng quen thuộc; Thao tác nhớ lại được thể hiện thông qua việc nhớ lại định nghĩa, định lí, tính chất, hệ quả; Thao tác bổ sung được thể hiện thông qua việc bổ sung những yếu tố phụ như đặt ẩn phụ để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình….Hay kẻ thêm đường phụ khi giải nhiều bài toán hình học Ngoài ra, những dấu hiệu của hoạt động trí tuệ trong giải toán cũng được thể hiện rõ như: có cảm giác hiểu được bài toán là dấu hiệu nhận biết; tri giác một cách rõ ràng các tri tiết là dấu hiệu tách biệt; Nhận định bài toán một cách chính xác là dấu hiệu nhóm lại; Người giải cảm thấy tự tin, sung sướng khi mình nắm được tư tưởng chủ đạo để giải bài toán là dấu hiệu dự đoán đúng Kết hợp

Tổ chức

Bổ sung

Tách biệt

Động viên

Nhớ lại

1.2 Năng lực, năng lực toán học, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.1 Năng lực

- Theo từ điển Tiếng Việt [15], NL có thể hiểu theo 2 nghĩa:

(1) Năng lực là khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó

(2) Năng lực là phẩm chất sinh lí và tâm lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lí học Khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau

Theo tâm lí học: “Năng lực là tập hợp các tính chất hay phẩm chất của tâm lí cá nhân, đóng vai trò là điều kiện bên trong, tạo thuận lợi cho việc thực hiện tốt một dạng hoạt động nhất định” 5, 40 tr 

Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân,

nó đóng vai trò quan trọng NL của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn là do làm việc, do tập luyện tạo nên Tâm lí học chia NL thành các dạng khác nhau như NL chung và NL chuyên môn NL chung và NL chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, NL chung là cơ sở của NL chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được NL chuyên môn Ngược lại, sự phát triển của NL chuyên môn trong các điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng đối với sự phát triển của NL chung NL của một người trong mọi hoạt động là nhờ khả năng tự điều khiển, tự quản lí, tự điều chỉnh ở mỗi cá nhân được hình thành trong quá trình sống và tự giáo dục của mỗi người Như vậy NL là đặc điểm tâm sinh lí của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo tối thiểu, là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của

NL ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:

+ Năng lực là sự khác biệt tâm lí của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về NL

+ Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kì những sự khác nhau cá biệt chung chung nào

+ Khái niệm NL không liên quan đến những kiến thức kĩ năng, kĩ xảo đã được hình thành ở một người nào đó NL chỉ làm việc tiếp thu các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo trở nên dễ dàng hơn

+ NL con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tùy thuộc vào sự

tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động phát triển của con người, trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại NL

Trong tâm lí học, NL là một trong những vấn đề được quan tâm nghiên cứu bởi nó có ý nghĩa thực tiễn và lí luận to lớn bởi sự phát triển của NL của mọi thành viên trong xã hội sẽ đảm bảo cho mọi người tự do lựa chọn một nghề nghiệp phù hợp với khả năng của cá nhân, làm cho hoạt động của cá nhân có kết quả hơn,…và cảm thấy hạnh phúc khi lao động

Trong nền Tâm lí học Liên Xô từ năm 1936 đến 1941 có nhiều các công trình nghiên cứu về những vấn đề NL, có thể điểm qua một số công trình nghiên cứu của các tác giả như: NL toán học của V.A.Crutexki, V.N.Miaxisốp;

NL văn học của Côvaliốp, V.P.Iaguncôva…những công trình nghiên cứu này đưa ra được các định hướng cơ bản cả về mặt lí thuyết và thực tiễn cho các nghiên cứu sau này của dòng Tâm lí học Liên Xô trong nghiên cứu về NL

Năng lực được chia thành 3 nhóm: nhóm NL chung, nhóm NL cụ thể, nhóm NL cơ bản Số lượng và những NL chung được đặt ra khác nhau ở các nước, nhưng cũng có thể thấy một số NL được hầu hết các nước quan tâm là:

NL về thông tin liên lạc, NL làm việc với người khác, NL giải quyết vấn đề

Luận văn dựa theo quan điểm trong kết luận của Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục và các Bộ trưởng Giáo dục và Đào tạo việc làm của Australia (9/12), theo đó NL cơ bản của người lao động cần có được đề ra là:

“(1) NL thu nhập, phân tích và tổ chức thông tin;

(2) NL giao tiếp, truyền đạt ý tưởng thông tin;

1.2.2 Năng lực Toán của học sinh phổ thông

a) Năng lực của học sinh phổ thông

Năng lực của HS phổ thông không chỉ là khả năng tái hiện tri thức, thông hiểu tri thức, mà quan trọng là khả năng hành động, ứng dụng, vận dụng tri thức để giải quyết vấn đề của cuộc sống, càng sáng tạo càng tốt Trên thế giới cũng như ở Việt Nam các quốc gia đều đưa ra những năng lực thiết yếu cần có cho học sinh Chẳng hạn:

- Singapo đề ra tám nhóm NL thiết yếu của HS gồm: (1) NL phát triển tính cách; (2) NL tự điều khiển bản thân;(3) NL xã hội và hợp tác; (4) NL đọc viết; (5) NL giao tiếp; (6) NL xử lí thông tin; (7) NL suy nghĩ và sáng tạo; (8)

NL ứng dụng kiến thức

- Phần Lan cũng đề ra tám NL của HS gồm: (1) NL giao tiếp tiếng mẹ đẻ; (2) NL TH và khoa học cơ bản; (3) NL sáng tạo và lãnh đạo; (4) NL sử dụng công nghệ; (5) NL thực hiện nghĩa vụ công dân và xã hội; (6) NL nhận thức và thể hiện văn hóa; (7) NL sử dụng công nghệ số; (8) NL học cách học

- Đối với Việt Nam, trong Dự thảo chương trình tổng thể giáo dục phổ thông của Bộ giáo dục và Đào tạo năm 2015: Chuẩn đầu ra phẩm chất NL chung của chương trình giáo dục các cấp, đã nêu lên tám phẩm chất NL chung cần đạt, đó là:(1) NL tự học; (2) NL giải quyết vấn đề và NL sáng tạo; (3) NL thẩm mĩ; (4) NL giao tiếp; (5) NL hợp tác; (6) NL sử dụng công nghệ thông tin

và truyền thông; (7) NL thể chất; (8) NL tính toán

Hướng thứ hai: Năng lực toán học là những NL trong học tập, trong việc

nắm vững TH với tư cách là môn học; người HS có NL nắm được nhanh chóng

và có kết quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, tương ứng

c) Một số quan điểm khác

- Trong bài viết về “Nghề nghiệp của nhà TH”, A.N.Kôlmôgôrôp có

đề cập đến NL TH, ông cho rằng để nắm vững TH “Với điều kiện có sự hướng dẫn tốt hay sách tốt” trong khuôn khổ SGK trường phổ thông, hay những yếu tố của TH cao cấp, chỉ cần đến những NL trung bình là đủ Nhưng để nắm vững TH một cách có kết quả ở một mức độ cao hơn, với tư cách một chuyên môn trong tương lai thì đòi hỏi phải có những NL TH được phát triển Theo ông, các thành phần của những NL TH có: NL biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp; NL tìm được con đường giải các phương trình không mẫu mực; Trí tưởng tượng hình học Cấu trúc của NL là

“Một tổng hợp các phẩm chất cá tính” đồng nhất với “Tính sẵn sàng bắt tay vào hoạt động” [7]

Khuynh hướng

hứng thú Các nét tính cách

Các tình trạng tâm lí

Kiến thức kĩ năng

kĩ xảo

Sơ đồ 1.2: Cấu trúc năng lực

- Một trong những công trình nghiên cứu tâm lí NL TH của HS đồ sộ nhất thuộc về nhà tâm lí học Liên Xô V.A.Crutexki Quyển sách này bao gồm 18 chương Trong chương: “Giả thuyết các thành phần của NL học toán với tư cách

là cơ sở của nghiên cứu thực nghiệm”, tác giả đã nêu ra các thành phần sau đây:

+ Năng lực hình thức hóa tư liệu TH, NL tách hình thức ra khỏi nội dung, NL trừu tượng hóa từ các quan hệ số lượng cụ thể và các hình dạng không gian và sử dụng các cấu trúc hình thức, các cấu trúc của các quan hệ và các liên hệ

+ Năng lực khái quát hóa tư liệu TH, tách cái chính và bỏ qua những cái không cơ bản, nhìn thấy cái chung trong sự khác nhau bên ngoài

+ Tính linh hoạt của TD, NL chuyển từ thao tác trí tuệ này sang thao tác trí tuệ khác, thoát được sự ràng buộc vào các khuôn mẫu, công thức (đặc điểm này của TD có tầm quan trọng trong công việc sáng tạo của nhà TH)

Những điều kiện tâm lí chung, cần thiết để bảo đảm thực hiện thắng lợi hoạt động Những năng lực Tính sẵn sàng bắt tay vào lao động

+ Trí nhớ TH (trí nhớ các khái quát hóa, các cấu trúc hình thức, các sơ

đồ logic)

+ Năng lực của biểu tượng không gian

Với Việt Nam vấn đề năng lực toán học cũng được rất nhiều nhà nghiên cứu đề cập ví dụ; Nguyễn Văn Thuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic

và sử dụng chính xác ngôn ngữ TH cho HS ở đầu cấp THPT [20] Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán còn Nguyễn Thị Hương Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm “Phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo [21] Gần đây trong Hội thảo khoa học về phát triển năng lực nghề nghề nghiệp giáo viên toán phổ thông Việt Nam (2015), PGS.TS Trần Kiều cũng đã đề cập rất cụ thể chi tiết về mục tiêu môn toán trong nhà trường phổ thông Việt Nam; hướng tiếp cận chương trình giáo dục và những năng lực toán học mà học sinh cần có

Tóm lại trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn, có thể thấy:

- Khi nghiên cứu về năng lực cần phân biệt năng lực chung với các năng lực riêng của môn học cụ thể Hai năng lực này có quan hệ mật thiết với nhau, nhưng các năng lực chung rất được chú ý trong khi xem xét và đổi mới chương trình Hai năng lực này chính là hai vế trong triết lý dạy chữ - dạy người của dân tộc ta

- Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của

HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán

- Năng lực TH được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (gắn liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài Toán…

1.2.3 Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán

Để làm sáng rõ hơn năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề luận văn xác định các thuật ngữ: Vấn đề; Phát hiện vấn đề; Giải quyết vấn đề:

- Vấn đề là điều cần được xem xét, nghiên cứu, giải quyết quyết vấn đề

Cụ thể trong tâm lý giáo dục, vấn đề là một tình huống có tính thu hút và hấp dẫn đối với chủ thể (đứa trẻ, người học, đối tượng tiếp thu…) vì thế chủ thể đó muốn khám phá tình huống đó một cách đầy đủ để tăng thêm hiểu biết

- Phát hiện vấn đề được hiểu theo nghĩa: tìm thấy cái chính mình chưa biết và có nhu cầu muốn biết

Ví dụ 1.6: CMR G là trọng tâm của tứ

giác ABCD khi và chỉ khi thỏa mãn điều

kiện, với điểm M bất kỳ

Giải:

4

MG MA MB MC MD   Trước hết GV cần gợi tình huống để

HS tìm tòi và phát hiện vấn đề bằng cách cho HS phát biểu và chứng minh bài toán tương tự đã biết trong tam giác đó là: G là trọng tâm tam giác ABC 

+ Chiều thuận: Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABCD, M là điểm bất

GV hướng dẫn HS tự giải quyết vấn đề bằng cách chứng minh bài toán theo hai chiều đã nêu ở trên

- Giải quyết vấn đề được nhìn nhận theo hướng thông thường là thiết lập những phương pháp thiết ứng để giải quyết những vấn đề khó khăn trở ngại

Hình 1.2

Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán là một hệ thống các thuộc tính của cá nhân con người thể hiện ở các khả năng (tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết có hiệu quả các vấn đề, các nhiệm vụ trong hoạt động đó

Điều cần chú ý ở đây là: Giải quyết vấn đề vừa là quá trình vừa là phương tiện cá nhân sử dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm có được trước đó

để giải quyết một tình huống mà cá nhân đó có nhu cầu giải quyết Giải quyết vấn đề không chỉ dừng lại ở ý thức mà hơn thế là yêu cầu chủ thể phải hành động, điều đó hoàn toàn nhất quán và phù hợp với định hướng hoạt động hóa người học trong đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạy học môn toán nói riêng hiện nay, đó cũng là một trong những định hướng giúp luận văn xây dựng những biện pháp

Ví dụ 1.7: Để giải quyết vấn đề đã nêu ở ví dụ 1 GV cho HS vẽ tứ giác ABCD và xác định trọng tâm G?

+ Với cách xác định như vậy G sẽ là trung điểm của IJ Điều này gợi cho

ta liên hệ đến đẳng thức vectơ nào?

+ Từ kết quả trên làm thế nào để có (1)?

Khi đó HS sẽ phân tích vectơ MI MJ, theo các vectơ MA MB MC MD , , ,Lật ngược vấn đề cho tứ giác ABCD có điểm G thỏa mãn: với M bất kỳ thì G có phải là trọng tâm tứ giác ABCD không? Khi đó HS sẽ xác định trọng tâm bằng cách gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD rồi chứng minh G là trung điểm của IJ tức là thỏa mãn (1) chính là trọng tâm tứ giác ABCD

Một số biện pháp nhằm tăng khả năng giải quyết vấn đề cho HS:

- Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải

- Tìm nhiều lời giải cho bài toán

- Tìm sai lầm của một lời giải

Ví dụ 1.8: “Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng

MP NQ RS  MSNP RQ ” 6, 28 tr 

B

Đây là bài tập ôn tập chương, liên quan đến kiến thức cơ bản của vectơ

Ta có thể định hướng để HS có thể giải theo những cách khác nhau, sử dụng các phép toán về vectơ, hay nhìn nhận một vectơ là tổng hoặc hiệu của nhiều vectơ khác để giải, cụ thể

Cách 1: ta có (1)  MP MS NQ NP RS  RQ0

 SP PQ QS  0

 SQ QS 0( đpcm) Cách 2: Biến đổi vế trái của (1) ta có:

MP NQ RS   MSSP NP PQ RQ QS   

= MSNP RQ

Cách 3: Tương tự biến đổi vế phải ta cũng có lời giải

Ví dụ 1.9: Năng lực giải quyết vấn đề là tổ hợp các năng lực thể hiện ở các kĩ năng (thao tác tư duy và hoạt động) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của bài toán chẳng hạn: Cho HS tìm sai lầm trong lời giải bài toán sau:

Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a Tìm tích AC CB

Bài giải của HS

Ta có: AC CB = AC CB cosAC CB , 

= a.a.cos(600)

= 1 2

2aLời giải của HS sai vì nhầm góc giữa hai vectơ AC và CB

1.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là cách thức người thầy tổ chức cho trò học tập trong hoạt động và bằng hoạt động do thầy tạo ra một tình huống hấp dẫn gợi sự tìm hiểu của HS, gợi ra vướng mắc mà họ chưa giải đáp ngay được, nhưng có liên hệ với tri thức đã biết, khiến họ thấy có triển vọng tự giải đáp được nếu tích cực suy nghĩ

1.3.1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

- Cơ sở triết học

Phương pháp dạy học PH&GQVĐ là một phương pháp dạy học mà ở đó người giáo viên tạo ra cho HS những tình huống có vấn đề (những mâu thuẫn) và

HS sẽ chủ động tích cực suy nghĩ để giải quyết vấn đề Như vậy phương pháp này

đã vận dụng một khái niệm về mâu thuẫn làm cơ sở khoa học cho mình

Cụ thể, theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực thúc đẩy quá trình phát triển của mọi sự vật và hiện tượng Trong quá trình học tập của HS luôn luôn xuất hiện những mâu thuẫn giữa tri thức và kinh nghiệm sẵn có của bản thân với yêu cầu nhiệm vụ nhận thức để giải quyết những nhiệm vụ nhận thức vừa mới đặt ra Sự tích cực hoạt động tư duy của

HS là một yếu tố quan trọng quyết định sự phát triển của bản thân người học

Do đó người thầy cần phải bồi dưỡng và phát huy cao độ năng lực tư duy tích cực của trò trong quá trình dạy học nhằm phát hiện và giải quyết những vấn đề, giải quyết những mâu thuẫn mà người thầy chủ động tạo ra

- Cơ sở tâm lí học

Theo các nhà tâm lí học thì con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, nghĩa là tư duy của con người nảy sinh, phát triển để đạt được kết quả cao nhất ở nơi xuất hiện vấn đề cần khắc phục, giải quyết Như vậy ta thấy phương pháp dạy học PH&GQVĐ dựa trên cơ sở lí luận của tâm lí học về quá trình tư duy và về đặc điểm tâm lí học lứa tuổi

Quá trình dạy học PH&GQVĐ là quá trình mà thầy đưa trò đến một trở ngại nào đó mà trở ngại này gây ra sự ngạc nhiên, hứng thú, có nhu cầu khám phá và chờ đợi kết quả Nếu tích cực hoạt động tư duy thì sẽ vượt qua HS có thể suy nghĩ độc lập hoặc dưới sự dẫn dắt của người GV để đi đến kết quả Và kết quả của việc nghiên cứu, suy nghĩ trên đó là tri thức mới, nhận thức mới hoặc phương thức hành động mới Do đó mà ta thấy rõ ràng tình huống có vấn

đề xuất hiện và được giải quyết thông qua hoạt động tích cực của người học

Quá trình nhận thức luôn thực hiện nhờ tư duy mà tư duy về bản chất lại

là sự nhận thức dẫn đến PH&GQVĐ, nhiệm vụ đặt ra cho mỗi người Vì vậy ở đâu có vấn đề thì ở đó có tư duy

Theo tâm lí học kiến tạo, học tập chủ yếu là một quá trình trong đó người học xây dựng tri thức cho mình bằng cách liên hệ những nhiệm nhận thức mới với những tri thức đã có Dạy học PH&GQVĐ phù hợp với quan điểm này

- Cơ sở giáo dục học

Theo điều 5 luật Giáo Dục năm 2005 đã ghi rõ: “Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo cho người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng tự thực hành, lòng say mê học và ý trí vươn lên” Ở đây phương pháp dạy học PH&GQVĐ khêu gợi được hoạt động học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình PH&GQVĐ do đó mà nó phù hợp với phương pháp giáo dục ở nước ta Kiểu dạy học này giúp HS vừa nắm được kiến thức mới, vừa nắm được phương pháp

đi tới kiến thức đó, lại vừa phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo và có tiềm năng vận dụng tri thức vào những tình huống mới, chuẩn bị năng lực thích ứng với đời sống xã hội, phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí các vấn đề nảy sinh cả trong học tập và trong cuộc sống Đồng thời nó cũng bồi dưỡng các đức tính cần thiết của con người lao động sáng tạo như tính chủ động, tích cực, cẩn thận, kiên trì, vượt khó làm việc có kế hoạch…

1.3.2 Những khái niệm cơ bản

1.3.2.1.Vấn đề

Có nhiều cách hiểu thuật ngữ “vấn đề” nhưng hiểu theo nghĩa dùng trong giáo dục thì vấn đề là bài toán mà chủ thể chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể, mong muốn tìm phần tử chưa biết đó dựa vào những phần tử biết trước nhưng chưa có trong tay thuật giải

Ví dụ 1.10: Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý Chứng minh rằng MA MC = MB MD Bài toán yêu cầu chứng minh như trên không phải là một vấn đề khi HS đã được học về quy tắc hình bình hành nhưng

nó lại là vấn đề khi các em chưa được học quy tắc hình bình hành

1.3.2.2 Tình huống gợi vấn đề

- Có nhiều cách phát biểu có những điểm khác biệt về tình huống gợi vấn

đề (gọi tắt: tình huống vấn đề) của các nhà giáo dục học như: I.I.Lecne, M.I.Makhmutov, giáo sư Trần Bá Hoành, giáo sư Nguyễn Bá Kim,… nhưng tất

cả đều thống nhất tình huống có vấn đề là tình huống thống nhất ba điều kiện sau:

+ Tồn tại một vấn đề:

Đây là vấn đề trung tâm của tình huống Tình huống phải chứa đựng một mâu thuẫn, đó là mâu thuẫn giữa trình độ kiến thức sẵn có của bản thân với yêu cầu lĩnh hội kiến thức, kĩ năng mới Hay nói cách khác, tình huống có vấn đề là tình huống mà HS phải nhận ra được có ít nhất một phần tử nào đó của khách thể mà HS chưa biết và cũng chưa có thuật giải nào để tìm phần tử đó

+ Gợi nhu cầu nhận thức

Tình huống có vấn đề là tình huống phải chứa đựng một vấn đề tạo ra sự ngạc nhiên, hứng thú, hấp dẫn, thu hút sự chú ý của HS Hay nói cách khác là phải gợi nhu cầu nhận thức ở HS, làm cho HS cần thiết phải giải quyết Chẳng hạn tình huống phải bộc lộ sự khuyết điểm về kiến thức, kĩ năng để họ thấy cần thiết phải chiếm lĩnh tri thức để lấp đầy những khoảng trống đó nhằm tự hoàn thiện hiểu biết của mình bằng cách tham gia giải quyết vấn đề nảy sinh Nếu

tình huống đưa ra nhưng không khơi dậy ở HS nhu cầu phải tìm hiểu, họ cảm thấy xa lạ và không liên quan gì đến mình thì cũng chưa được gọi là một tình huống có vấn đề

+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân

Tình huống có vấn đề phải phù hợp với trình độ hiểu biết của HS, nó không được vượt quá xa tầm hiểu biết của HS vì nếu như vậy thì HS sẽ thấy hoang mang, bế tắc, không sẵn sàng tham gia giải quyết vấn đề; còn nếu tình huống quá dễ thì HS không cần suy nghĩ mà cũng có thể giải quyết được vấn

đề thì yêu cầu của bài học không được thành công

Tình huống cần khơi dậy cho HS cảm nghĩ là tuy họ chưa có ngay lời giải nhưng bằng kiến thức sẵn có của chính mình cùng với sự tích cực suy nghĩ thì sẽ có hi vọng giải quyết được vấn đề đó Với suy nghĩ đó HS sẽ tận lực huy động tri thức và kĩ năng sẵn có liên quan đến vấn đề đó của bản thân để giải quyết vấn đề đặt ra Qua đó tạo cho HS niềm tin vào khả năng bản thân, đây chính là yêu cầu quan trọng của tình huống gợi vấn đề

Ví dụ 1.11: Sau khi HS đã học và ghi nhớ kết quả: “G là trọng tâm tam giác ABC thì GA GB GC  0” để hướng HS giải bài tập “Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,

CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm” 6, 8 tr  GV có thể sử dụng hệ thống câu hỏi sau đây để hình thành và khắc sâu cho HS phương pháp chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác

GV: Để chứng minh O là trọng tâm của tam giác MPR hay tam giác NQS ta cần chứng minh hệ thức gì?

GV: Nếu xem O là trọng tâm tam giác PQT tức là ta đã có hệ thức nào? HS: O là trọng tâm tam giác MPR ta có OM OP OR 0(1) Ta cần chứng minh ONOQ OS 0 (2)

GV: Để chứng minh đẳng thức (2) ta làm thế nào?

HS: Phải nhớ đến M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB, BC, CD, DE, EF, FA để có 1 

= ON OQ OS  O là trọng tâm của tam giác NQS

Từ cách xây dựng lời giải bài toán ta nhận thấy nếu có (1) và (2) tức là hai tam giác có trọng tâm trùng nhau, trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được

0

MNPQ RS  (3)

Vấn đề đặt ra nếu có (3) thì hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm hay không? GV yêu cầu HS kiểm tra sự đúng đắn của giả thiết trên Sau khi kiểm tra sự đúng đắn của giả thiết trên HS phải hiểu bài toán

Bằng hệ thống câu hỏi và dẫn dắt HS như vậy, chúng ta vừa tăng cường

sự tham gia của HS trong học tập, vừa củng cố niềm tin của các em vì các em có cảm giác là chính bản thân đã giải quyết được vấn đề đó Niềm tin đó nếu được vun đắp lâu dài sẽ biến thành sự tự tin, là động cơ học tập cho các em sau này

1.3.3 Các năng lực thành tố của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán ở THPT

Trên cơ sở phân tích các kết quả của nhà khoa học, chúng tôi thấy rằng, mỗi năng lực đều có cấu trúc riêng gồm nhiều thuộc tính, trong đó các thuộc tính không chỉ tồn tại cạnh nhau một cách đơn giản, mà chúng liên hệ với nhau một cách hữu cơ, chúng tác động với nhau trong một hệ thống nhất định Đặc biệt, điều có ý nghĩa quyết định đối với mỗi năng lực không phải bản thân từng thuộc

tính riêng lẻ mà sự kết hợp chúng theo một cấu trúc nhất định và chúng tôi đưa

ra, phân tích một số năng lực thành tố (NLTT) của năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của HS trong học Toán như sau:

NLTT 1: Năng lực nhận ra mâu thuẫn trong các tình huống để từ đó

thấy được nhu cầu giải quyết vấn đề trong tình huống, dẫn tới việc chọn lọc, vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã học để khai thác tình huống và tiếp cận vấn đề

Mâu thuẫn giữa nhiệm vụ nhận thức với trình độ tri thức của học sinh đã

là hạt nhân của tình huống có vấn đề và là động lực của hoạt động tìm tòi trong học tập

Học sinh cần phải hòa nhập vào tình huống có vấn đề, tức là nhận thấy

có sự mâu thuẫn giữa tình huống mới với vốn tri thức kĩ năng của bản thân Từ

đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu xem có điều gì mới chứa đựng bên trong tình huống Đồng thời từ việc nắm vững các dữ kiện qui gọn, tránh được tình trạng lan man không đi ̣nh hướng

NLTT 2: Năng lực tìm ra các biểu tượng trực quan liên quan đến vấn đề

Con đường nhận thức nói chung và giải quyết vấn đề nói riêng nếu đi từ trực giác (bằng quan sát, tư duy trên đối tượng cụ thể) đến kết luận lôgic (bằng suy diễn, tư duy trừu tượng) có những phù hợp nhất định đối với đặc điểm tâm

lí, sinh lí và nhận thức ở lứa tuổi học sinh trung học phổ thông

Học sinh có kĩ năng liên tưởng, phát hiê ̣n các biểu tượng trực quan mang tính trực giác thực sự là mô ̣t lợi thế không nhỏ trong viê ̣c tìm các lời giải tốt nhất củ a bài toán

NLTT 3: Năng lực phát hiện những thuộc tính chung, bản chất tạo nên

nội hàm của vấn đề thông qua các hoạt động trí tuệ như so sánh, tương tự, khái

quát hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa…

Để phát hiện và giải quyết vấn đề, không chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết những thuộc tính bên ngoài của nó, bởi nó chỉ là giai đoạn nhận thức cảm tính, cần phải chuyển qua một giai đoạn nhận thức lí tính, tức là cần phải tìm hiểu bản chất của vấn đề

NLTT 4: Năng lực phát hiện điểm then chốt của vấn đề nhờ vào kỹ năng

thực hiện các thao tác tư duy

NLTT 5: Năng lực Toán học hoá các tình huống thực tế, vận dụng tư duy Toán học trong cuộc sống Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng: Kĩ năng Toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ đời sống thực tế nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết vận dụng những kiến thức Toán học trong nhà trường vào cuộc sống, góp phần gây hứng thú học tập, giúp học sinh nắm được thực chất vấn đề và tránh hiểu các sự kiện Toán học một cách hình thức

NLTT 6: Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải

Thực tiễn dạy học cho thấy, chất lượng học Toán còn chưa tốt, biểu hiện thông qua năng lực giải Toán còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm

Vì vậy khả năng phát hiện và sửa chữa sai lầm của học sinh là một trong những mấu chốt để góp phần giờ học hiệu quả hơn

NLTT 7: Năng lực nắm bắt, đưa ra những qui tắc thuật giải, tựa thuật giải

từ những tiền đề cho trước

NLTT 8: Năng lực hình thành và diễn đạt các các sự kiện, vấn đề toán học theo các hướng khác nhau, đặc biệt là biết lựa chọn cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức vấn đề một cách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán

Đứng trước bài toán Hình ho ̣c nếu giải bằng phương pháp tổng hợp gă ̣p khó khăn, học sinh có thể nghĩ tới chuyển sang ngôn ngữ của phương pháp to ̣a

độ, véctơ Hay từ bài toán Đa ̣i số, Lươ ̣ng giác, Giải tích, nếu học sinh có năng lực Toán học thì cũng có thể chuyển thành bài toán về Hình ho ̣c và ngược

lại Như thế vừa góp phần nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề vừa tăng cường hứng thú với môn ho ̣c

1.3.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Qua việc nghiên cứu những đặc điểm của PPDH PH&GQVĐ ta thấy hạt nhân của phương pháp dạy học này là việc điều khiển HS tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu vấn đề Quá trình này được chia thành bốn bước:

Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy giáo tạo ra

- Giải thích vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thường là do thầy giáo tạo ra

- Giải thích và chính xác hóa tình huống

- Phát biểu vấn đề và đặt ra mục tiêu giải quyết vấn đề

+ Hình thành được một giải pháp

+ Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp

- Có thể tìm thêm nhiều giải pháp khác để so sánh thêm giải pháp nào là hợp lí

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất vấn đề mới có liên quan

Các bước nói trên có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Kết thúc

Ví dụ 1.12: Cho tam giác ABC cân tại A; H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC M là trung điểm của HD Chứng minh AM vuông góc với BD

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

Trong chương trình lớp 9 HS đã được học cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc theo nhiều cách khác nhau Liệu có thể giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng phương pháp vectơ

A

B

D M

Ví dụ 1.13: Khi dạy một phần bài “Định lý Cosin” Định lý phát biểu như sau: “Trong mọi tam giác độ dài một cạnh bẳng tổng bình phương các độ dài hai cạnh kia trừ đi hai lần tích độ dài hai cạnh đó và Cosin của góc xen giữa chúng” Hay trong ABCcó độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng là

a, b, c ta có hệ thức a2= b2 + c2 - 2bc.cosA

GV: Một em hãy nhắc lại định lý Pitago đã học ở lớp dưới

HS: Trong tam giác vuông có cạnh huyền là a, hai cạnh góc vuông lần lượt có độ dài là B, C ta có a2= b2 + c2

GV: Ở lớp dưới, chúng ta đã biết một cách chứng minh định lý Pitago, bây giờ hãy chứng minh định lý này bằng cách khác, đó là cách sử dụng những kiến thức vectơ vừa mới học

1.4 Vai trò, vị trí và nội dung của chủ đề vectơ trong chương trình toán 10

1.4.1 Vai trò, vị trí của chủ đề vectơ trong toán học và trong chương trình toán phổ thông

Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học Việc sử dụng rộng rãi khái niệm vectơ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng như kĩ thuật đã cho khái niệm này ngày càng phát triển

Khái niệm vectơ đã được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của không gian ba chiều và nhiều chiều Cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX, phép tính vectơ

đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi Nhiều lí thuyết ra đời như đại số vectơ, giải thích vectơ, lí thuyết trường, giải tích tenxơ, lí thuyết tổng quát về không gian vectơ nhiều chiều Các lí thuyết này đã được sử dụng để xây dựng thuyết tương đối- đóng vai trò rất quan trọng trong vật lí hiện đại Trong toán học, trên cơ sở vectơ người ta đã trình bày đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân

Hiện nay, trong chương trình toán học ở trường phổ thông của hầu hết các nước đều bao gồm những kiến thức về vectơ với các lí do sau:

- Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lí, kĩ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông

- Phương pháp vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp tọa độ theo tinh thần TH hiện đại, có thể xây dựng lí thuyết hình học và cung cấp công cụ giải toán, cho phép địa số hóa hình học và hình học hóa đại số

- Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhân sinh quan TH cho HS Chẳng hạn như tạo cho HS khả năng làm quen với những phép toán trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự Điều đó, dẫn tới sự hiểu biết về tính thống nhất của TH, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong số những khái niệm quan trọng của TH hiện đại

Trong chương trình hình học ở trường phổ thông, học sinh được học vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trung gian để