CĐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm giúp các em học sinh lớp 9 có kiến thức để thi vào THPT, thi Học sinh giỏi lớp 9. Chuyên đề tổng hợp tất cả các dạng toán về phương trình bậc nhất hai ẩn....

- Rèn kỹ năng vận dụng lý thuyết vào giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế nhanh và chính xác.

- Rèn kỹ năng trình bày lời giải khoa học

II.Tiến trình bài dạy:

1 Tổ chức: 9A:

9B:

2.Kiểm tra:

- Nêu định nghĩa hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, khái niệm nghiệm và tập

nghiệm của nó? Thế nào là hệ hai phương trình tương đương?

- Nêu quy tắc cộng và quy tắc thế để giải hệ phương trình?

3.Dạy học bài mới:

 (trong đó a, b, c, a’, b’, c’ có thể chứa tham số)

2 Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm: (SGK)

- Nghiệm (x0; y0) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ

- Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó

3 Điều kiện để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô

số nghiệm, vô nghiệm.

Hệ: ( ) ax

by c I

+ Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ sốcủa một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, tong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 ( tức là phương trình một ẩn)

+ Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

4x 3 24

y b

3x 4 2

y y

4 9

35

x y b

8

x y x y c

- Ôn tập và củng cố các kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Học sinh hiểu và giải được các dạng toán: Giải hệ phương trình không chứa tham số; giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số; giải và biện luận hệ phương trìnhtheo tham số; tìm giá trị của tham số khi biết dấu của nghiệm

- Rèn kỹ năng giải hệ phương trình, suy luận, trình bày.

Dạng 1: Giải hệ phương trình không chứa tham số.

*Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:

Dạng 2: Giải hệ phương trình khi biết giá trị của tham số

Hướng dẫn: Thay giá trị của tham số vào hệ pt, sau đó giải hệ

+ Dạng 3: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

Chú ý: Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm (hoặc y theo tham số m), làm xuất hiện phương trình có dạng: Ax = B (1) (hoặc Ay = B)

+ Nếu A= 0 thì pt (1) có dạng: 0x = B

- Khi B = 0 thì pt (1) có dạng 0x = 0

=> phương trình có vô số nghiệm => hệ có vô số nghiệm

- Khi B ≠ 0, phương trình (1) vô nghiệm => hệ vô nghiệm

+ Nếu A ≠ 0, thì pt (1) có nghiệm duy nhất

*Bài tập 3: Giải và biện luận hệ pt theo tham số m:

m y

x

m m y

*Dạng 5: Tìm giá trị của tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phương trình.

*Bài tập 5: Cho hệ phương trình: x mx2y y53

 



Tìm m để x < 0; y < 0

Giải: Trước hết giải hệ pt

Sau đó giải hệ bất phương trình 0 ?

0

x

m y

a) m ≠ -1; b) Không có giá trị nào của m; c) m = - 1

*Bài tập 8:Cho hệ phương trình:

Hướng dẫn: Xét hai trường hợp m = 0 và m ≠ 0

- Với m =0 thì hệ có nghiệm duy nhất (1; 0)

- Với m ≠ 0, ta sử dụng của điều kiện đã biết

*Kết quả:

m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất

m = ± 1 thì hệ vô số nghiệm

Không có giá trị nào của m để hệ vô nghiệm

*Bài tập 10: Hãy biện luận theo tham số a về số nghiệm của mỗi hệ phương trình

1

y b

- Kết quả: a) Hệ có một nghiệm duy nhất với mọi a

b) Với a = 2 thì hệ vô nghiệm; a ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

 có vô số nghiệm khi k = 1 và vô nghiệm khi k ≠ 1

*Bài tập 12: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m:

a) Giải và biện luận theo tham số m

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm m để nghiệm thỏa mãn x >0 và y < 0

- Ôn tập và củng cố các kiến thức về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Học sinh hiểu và giải được các dạng toán: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của hệ; tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y; tìm giá trị tham số để

hệ phương trình có nghiệm nguyên; tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x và

y là P(x; y) = ax2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; tìm giá trị tham số để hệ haiphương trình tương đương

- Giải hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ và giải một số hệ phương trình không ở dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (hệ đặc biệt)

Dạng 6: Tìm giá trị của tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình

*Bài tập 1: Cho hệ phương trình: 2

3x 2 7 (5 1) ( 2) 4 3

Hướng dẫn: Thay (x; y) = (1 ; -2) vào hệ , ta tính được n = 0; n = 11

*Bài tập 2: Cho hệ phương trình:

Thay x = 1; y = 3 vào hệ, sau đó ta tính được m = 1

*Bài tập 3: Cho hệ phương trình: 2 x 9(m m 3) x n22)ny y59



Tìm m; n để hệ có nghiệm (x; y) = (3; -1)

Giải: Thay x = 3; y = -1 vào hệ, ta giải được m = 2; n = 5

*Dạng 7: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y

- Trước hết cần tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm duy nhất

- Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thỏa mãn (3) nên (x; y) là nghiệm của (1); (2); (3)

- kết hợp 2 phương trình đơn giản nhất

- Tìm nghiệm thay vào phương trình còn lại

=> Giải phương trình chứa ẩn là tham số

*Bài tập 4: Cho hệ phương trình 3x 2 8

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn : 4x – 2y = - 6 (3)

Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất :

Vậy m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) có nghiệm thỏa mãn 4x – 2y = - 6

*Bài tập 5: Cho hệ phương trình: 2 x 3m mxyy5;(1)6;(2)

- Vậy với m ≠ 0; hệ (I) có nghiệm x 9;y 4

*Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên

*Bài tập 6: Cho hệ phương trình ( 2) 2 5

Kết luận: m   để hệ có nghiệm nguyên là m = -3; m = -1

*Bài tập 7: Cho hệ phương trình: (m mx 2 3)x y y82

 

 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên.Giải:

Thay vào ta tìm được: y = 2 – (m – 3)x 24 6

6

m y

Vậy để hệ có nghiệm nguyên thì m  {5; 7; 4; 8; 2; 10}

*Dạng 9: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y là

P(x; y) = ax 2 + bx + c nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

+ Lý thuyết:

- Cách 1:

•Trước hết tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

• Biến đổi biểu thức liên hệ giữa x và y là:

P(x; y) = k.A2(x) + d ( với d là hằng số)

Nếu k < 0 thì k.A2(x) ≤ 0 => k.A2(x) + d ≤ d => P(x; y) ≤ d

Giá trị lớn nhất của P(x; y) bằng d, giá trị này đạt được khi A(x) = 0

Nếu k > 0 thì k.A2(x) ≥ 0 => k.A2(x) + d ≥ d => P(x; y) ≥ d

Giá trị nhỏ nhất của P(x; y) bằng d đạt được khi A(x) = 0

- Cách 2:

P(x; y) = ax2 + bx + c  ax2 + bx + c – P(x; y) = 0

+ Tính  hoặc '



+ Đặt điều kiện     0( ' 0)  Giải bất phương trình chứa ẩn P(x; y)

•P(x; y) ≥ e => Giá trị nhỏ nhất của P(x; y) bằng e, giá trị này đạt được khi

- Do m2 ≥ 0, với mọi m => m2 + 2 > 0, với mọi m

Hay m2 + 2 ≠ 0 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Thay x = 2m vào (3) ta được: y = m + 2

Thay x = 2m ; y = m + 2 vào biểu thức A ta được:

A = 2y2 – x2 = - 2(m2 – 4m + 4 – 8)

= -2(m2 – 4m + 4) + 16

= -2(m – 2)2 + 16 ≤ 16 (Do -2(m – 2)2 ≤ 0, với mọi m

Vậy maxA = 16 khi m – 2 = 0 hay khi m = 2

*Bài tập 10: Biết cặp số (x; y) là nghiệm của hệ phương trình :

Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt GTNN

Hướng dẫn: Biến đổi hệ pt trên trả thành: 2 3

Vậy MinP = - 4  m = -1 (thỏa mãn - 2 ≤ m ≤ 2)

*Bài tập 11: Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x – y = 1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có: y = 1 – mx (3), thế vào phương trình thứ hai:

x + m(1 – mx) = 2 x + m – m2x = 2  (1 – m2)x = 2 – m (*)

- Trường hợp 1 ; m2 = 1  m = ± 1

+ Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có: x y x y 12

 hệ này vô nghiệm

- Trường hợp 2: m2   1 m 1, khi đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất:

+ Nếu m = ± 1 thì hệ phương trình vô nghiệm

+ Nếu m 1 thì hệ pt có 1 nghiệm duy nhất: 2 2

Vậy với m = 0 thì hệ pt trên có nghiệm thỏa mãn điều kiện x – y = 1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m:

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thỏa mãn 2x2 – 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức 2x 3y x y

 nhận giá trị nguyên

+ Với m = 0, pt (*) trở thành 0x = - 2 , pt vô nghiệm, nên hệ vô nghiệm.

+ Với m = 2, pt (*) trở thành 0x = 0, pt có vô số nghiệm, nên hệ có vô số nghiệm:

Vậy với m = 1 thì hệ phương trình trên có nghiệm thỏa mãn điều kiện 2x2 – 7y = 1 d) Thay ( ; )x y m 1 1;

a) CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Giải:

a) xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: m = 0 => hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = ( -4; 5

3)

- Trường hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ab' a b'

Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

*Bài tập 15: Cho hệ phương trình : m x my mxy2m1

  



a) Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

b) Giả sử (x; y) là nghiệm duy nhất của hệ Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với

m

Với m  1 thì hệ có nghiệm duy nhất

b) Rút m từ phương trình thứ nhất và thế vào phương trình thứ hai ta được hệ thức:y(y – 1) = (x – 1)(x – 2) , đó là hệ thức độc lập với m

Vậy (x; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định y = x – 1

*Dạng 11: Tìm giá trị của tham số m để hệ hai phương trình tương đương

Bài tập 16: Tìm giá trị của m, n để hai hệ phương trình sau tương đương:

- Trước hết giải hệ (I) được kết quả nghiệm duy nhất (x = 3; y = 1)

- Hai hệ phương trình trên tương đương khi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhấy

a) Xét hai trường hợp x < 0 và x ≥ 0 Giải các hệ tương ứng.

Kết quả: hệ phương trình có hai nghiệm là (-1; 2) và (3; 4)

b) Từ (2) => x 1 3 3   y, thế vào (1) được phương trình chỉ có ẩn y

Nghiệm của hệ phương trình là (3; 2)

*Bài tập 19: Giải các hệ phương trình sau:

1 12x 3 4 1

y b

x

x y

y x

x y y

- Củng cố cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

- Rèn kỹ năng phân tích đề bài và tìm hướng giải

- Trình bày lời giải khoa học, chính xác

- Giáo dục ý thức học tập tích cực

- Biết liên hệ kiến thức vào thực tiễn

II.Tiến trình bài dạy:

*Bài tập 1: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu tăng vận tốc

thêm 14km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính vận tốc dự định và thời gian dự định

Vậy vận tốc dự định là 28km/h; thời gian dự định là 6 (h)

* Hỏi thêm: Nếu bài toán yêu cầu tính quãng đường AB thì ta làm thế nào?

HS: Cách đặt ẩn có thể vẫn như vậy Nhưng trả lời bài toán khác

*Bài tập 2:

Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm

3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc Hỏi nếu làmriêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Gọi thời gian để người thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ); thời gian

để người thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là y (giờ)

- Khi đó một giờ người thứ nhất làm được 1

x (CV), người thứ hai làm được 1y (CV),

cả hai người làm được 1

Vậy người thứ nhất làm một mình hết 24 giờ thì hoàn thành công việc, người thứ hai làm hết 48 giờ thì hoàn thành công việc.

*Bài tập 3: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì bể

sẽ đầy trong 1 giờ 20 phút Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12phút thì chỉ được 2

15 bể nước Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể là bao nhiêu?

Giải:

Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là x (giờ), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y (giờ) (ĐK: x, y >0)

- Khi đó một giờ vòi 1 chảy được 1

x (bể); vòi 2 chảy được 1y (bể), cả hai vòi chảy được 3

4 (bể) Do đó ta có phương trình:

1

x+1y = 3

4 (1)

- Vòi thứ nhất chảy trong 10 phút = 1

6 (giờ) và vòi thứ hai trong 12 phút = 1

5 (giờ) thìđược 2

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình 2 giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy một mình 4 giờ thìđầy bể.

*Bài tập 4: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả

thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

- Bảng phân tích số liệu:

Số tiền chưa

kể VAT (triệu đồng)

Gọi số tiền không kể thuế VAT mà nười đó phải trả cho mặt hàng thứ nhất là x (triệu đồng), cho mặt hàng thứ hai là y (triệu đồng) ĐK: x, y >0

- Nếu thuế VAT mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai thì số tiền phải trả cho mặt hàng thứ nhất là 110

100x, số tiền phải trả cho mặt hàng thứ hai là 108

100y Cả hai loại hàng phải trả 2,17 triệu đồng, nên ta có phương trình:

x y

*Bài tập 5: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km, khởi hành cùng một

lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2km Nếu cả hai cùng

giữ nguyên giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên, nhưng người đi chậm hơn xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường Tính vận tốc của mỗi người.

Thời gian người đi nhanh đi là : 2000(

x phút) Thời gian người đi chậm đi là 1600y(phút)

Do hai người cùng xuất phát và gặp nhau nên ta có phương trình:

Giải hệ ta được nghiệm: (x; y) = (75; 60)

Vậy vận tốc của người đi nhanh là 75m/phút, vận tốc người đi chậm là 60m/phút

*Bài tập 6:

Một vật có khối lượng 124g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng và kẽm Tính xemtrong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết rằng cứ 89g đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích 1cm3

Giải:

- Gọi số gam đồng và kẽm có trong vật đó lần lượt là x (g); y(g) (x, y >0)

Vì vật năng 124g nên ta có phương trình: x + y = 124 (1)

*Bài tập 7: Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong

12 ngày Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm, năng suất của đội II tăng gấp đôi, nên học đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày Hỏi với năng suất ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên?

*Bảng phân tích đại lượng:

Thời gianhoàn thành

Năng suấtmột ngày

- Năng suất làm việc một ngày của đội I là 1

x; năng suất của đội II là 1y Cả hai đội làm trong 12 ngày là xong công việc nên ta có phương trình:

Giải ra ta được (x;y) = (28; 21)

Vậy đội I làm trong 28 ngày, đội II làm trong 21 ngày

*Bài tập 8: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn

thóc Năm nay, đơn vị thứ nhất vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN CỦA CHUYÊN ĐỀ

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để hệ pt: 5xmx 3 y y 31

- Hệ vô nghiệm khi m = - 15

- Không có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để hệ pt: x y mx y m3

+ Hệ có vô số nghiệm khi a 2

3



*Bài 4: Tìm các giá trị của a và b sao cho đa thức

f(y) = ay3 + (a – 1)y2 – (b – 3)y – 6b chia hết cho y – 1 và y + 2

b) Tìm giá trị của a thỏa mãn điều kiện 6x2 – 17y = 5

c) Tìm a để biểu thức 2x 5y x y

 nhận giá trị nguyên