đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề bảng A : Môn Toán Thời gian 150 phút đề số 2 I. Trắc nghiệm khách quan:( 11 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em cho là đúng từ câu 1 đến câu 16 : Câu 1: Cho 3 chữ số khác nhau và khác 0. Từ 3 chữ số đó ta lập đợc các số có ba chữ số. Tổng 6 số có ba chữ số này chia hết cho: A. 73 B. 200 C. 37 D. 20 Câu 2: Các số nguyên n thoả mãn 2n 2 3n +1 chia hết cho 2n+1 là: A. n=-1; n=-2 B. n=0 ; n=1 C. n=-1; n=-2; n=0;n=1 D. Cả A,B,C đều đúng. Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ. Cho đa giác OABCDE ( không lồi) có toạ độ các đỉnh A(0;3);B(3;3);C(3;1);D(5;1);E(5;0) đờng thẳng y=ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau có hệ số a là: A. 2 11 B. 9 7 C. 3 D. 7 (phát triển và nâng cao toán 9) Câu 4: Cho x,y Z thoã mãn 2x 2 + 4 4 1 2 2 =+ y x Tích xy nhỏ nhất khi A. x=1 và y=-2 ; B. x=-2 và y=1 ; C. x=1 và y=-2 hoặc x=-1 và y=2 D. x=1 và y=2 Câu 5: Cho hai đờng thẳng ax +2y =6 (d 1 ) và x- by =-3 (d 2 ) Kết luận nào sau đâylà sai ? A. Nếu ab=-2 thì (d 1 ) và (d 2 ) song song hoặc trùng nhau. B. Nếu (d 1 )//(d 2 ) thì a -2 và b 0 C. Nếu (d 1 ) trùng với (d 2 ) thì a = -2 và b =1 D. Nếu (d 1 ) cắt (d 2 ) thì ab -2 Câu 6:Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A,B; AC,AD lần lợt là hai đờng kính của (O) và (O). Phát biểu nào sau đây sai ? A. B,C,D thẳng hàng. B. AOO và ACD đồng dạng với tỉ số k =1/2. C. đờng thẳng OO là trục đối xứng của hình vẽ. D. (O) và (O) có đúng hai tiếp tuyến chung. 1 Câu 7: Đờng thẳng y= mx+m-1 (m là tham số) luôn đi qua điểm nào sau đây với mọi m. A. K(-1;-1) B. Q(1;-1) C. T(1;1) D. P(-1;1) Câu 8: Nếu G là trọng tâm của tam giác và PX là đờng trung tuyến của PQR thì số GX PG bằng: A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 3:2 Câu 9: Diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh 50;20;10 là: A. 5 B. 10 10 C. 10 2 D. Một kết quả khác Câu10: Số d của phép chia 2 1000 cho 25 là: A. 2 B.4 C. 1 D. 8 Câu 11: Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx Giá trị của biểu thức E= x+y là. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 12: phơng trình 2 105 521 103 313 101 315 99 317 = + + + xxxx có nghiệm là: A. 218 B. 214 C. 416 D.325 Câu 13: Một hình trụ có diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều bằng 314(đvdt). Khi đó chiều cao h của hình trụ là: A. h= 31,4 B. h= 50 C. h= 100 D. h=3,14. 10 Câu 14: Cho hình vẽ Kết luận nào sau đây sai: A. PQR ~ HPR B. MNR ~ PHR C. RQP ~ RMN D. QPR ~ PRH Câu 15: Độ dài x trong hình bên là. A. 8,1 B. 6,5 5 8,5 C. 7,5 D. 8 Câu 16:Cho một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi khi đó: A. Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông. B. Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông. C. Diện tích hình thoi bằng diện tích hình vuông. D. Diện tích hình thoi nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông. Câu 17: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai. A. Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau. B. Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau. 2 Q P H R M N x 3 Câu 18: Khoanh tròn chữ Đ (đúng) hoặc S(sai) vào các khẳng định sau cho thích hợp: A. Nếu 3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đối xứng với chúng qua một tâm bất kì cũng thẳng hàng. Đ S. B. Biểu thức n(2n- 3) 2n(n+1) 5 với mọi n Z . Đ S. C. a 3 + b 3 +c 3 =3abc khi a+b+c = 0 Đ S. D. Căn bậc hai của 0,64 là 0,8. Đ S. II. Phần tự luận (9,0 điểm) Bài 1: ( 3,0điểm) a) Giải phơng trình x xx x xx x = + ++ + 3 3 3 3 2 2 2 2 b) Chứng minh: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Với a 1;b 1 Bài 2:(2,0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 5mx- 4m =0 có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 . a) Chứng minh rằng x 2 1 + 5mx 2 - 4m >0. b) Xác định giá trị của m để biểu thức A= 2 1 2 2 2 2 1 2 125 125 m mmxx mmxx m ++ + ++ đạt giá trị nhỏ nhất (tuyển tập đề thi môn toán 9) Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn.H là hình chiếu của A trên BC, vẽ đờng tròn (I) có đờng kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OA MN. b) Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp và xác định tâm của đờng tròn nội tiếp tứ giác BMNC. c) Cho BC cố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất. (Toán nâng cao và phát triển toán 9). Bài 4: ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x và y sao cho x 3 +x 2 +x+1=y 3 (PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình) 3 đápánvà biểu điểm đề 2 I. Trắc nghiệm khách quan : (11 điểm) Câu hỏi đa lựa chọn : chọn đúng 1 câu 0,5đ Câu hỏi đúng sai: chọn đúng 1 ý cho 0,5đ. Câu P/án chọn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A ì ì ì ì ì Đ Đ B ì ì ì ì S Đ C ì ì ì ì ì Đ D ì ì S II. Tự luận : (9,0 điểm) Bài 1:( 3,0đ) a. Điều kiện : x 2 3 (0,25đ) Nhân với biểu thức liên hợp của từng mẫu thức ta có: ( ) ( ) xxxxxxx 33333 2222 = + + (0,25đ) ( ) ( ) xxx 3333 3 2 3 2 =++ (0,25đ) ( ) ( ) ( ) =+++ > 2 3 4 3 2 3 2 273233 0 xxxx x (0,25đ) ( ) ( ) = > 42 3 4 2932 0 xxx x (0,25đ) Giải hệ PT ta đợc x= 2 ( thoả mãn ĐK) (0,5đ) Vậy: PT có duy nhất nghiệm x= 2 (0,25đ) b. Thật vậy: Ta có ( ) + + + + + = + + + + ab b ab a ab ba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2222 (0,25đ) = ( ) ( ) ( ) ( ) abb bab aba aab ++ + ++ 1111 2 2 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) abba ababbaba +++ +++ 111 11 22 22 (0,25đ) 4 = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 111 1 111 22 2 22 22 +++ = +++ + abba abab abba bababaab Vì a 1, b 1 (0,5đ) Bài 2: ( 2,0đ) a). (1,0đ) Do pt có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 nên = 25m 2 + 16m >0 (0,25đ) Suy ra x 2 1 = 5mx 1 +4m (0,25đ) Và x 1 + x 2 = 5m (0,25đ) Do đó x 2 1 + 5mx 1 - 4m = 5m x 1 + 4m + 5mx 2 4m = 5m( x 1 + x 2 ) = 25m 2 > 0 m 0 (0,25đ) b). (1,0đ) Ta có: x 2 1 + 5mx 2 + 12m = 5m x 1 + 4m + 5mx 2 + 12m= 25m 2 + 16m > 0 (0,25đ) áp dụng BĐT CauChy cho 2 số dơng ta có: 2 1625 1625 125 125 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 + + + = ++ + ++ m mm mm m m mmxx mmxx m (0,25đ) Do đó: min A=2 (0,25đ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 2 2 2 1625 1625 m mm mm m + = + 3 2 = m (0,25đ) Bài 3: (3,0 điểm) a). (1,0đ) Dễ thấy AMN= A 1 = C= A 2 (0,25đ) Ta lại có: AMN + ANM = 90 0 (0,25đ) Nên A 2 + ANM =90 0 (0,25đ) Hay OA MN (0,25đ) b). (1,0đ) Do AMN = C ( chứng minh trên) (0,25đ) Mà AMN + BMN =180 0 Nên BMN + C = 180 0 Vậy tứ giác BMNC nội tiếp. (0,25đ) Gọi E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC, khi đó E là giao của 2 đờng trung trực của đoạn MN và BC. (0,25đ) Kéo dài AO cắt đờng tròn tại K, dễ thấy E là trung điểm của HK. (0,25đ) c). (1,0đ) 5 N E O K B A C HS chỉ đợc EB lớn nhất (0,25đ) EO lớn nhất (0,25đ) AH lớn nhất (0,25đ) H O khi đó OA BC Hay A là điểm chính giữa của cung BC. (0,25đ) Bài 4: (1,0đ ) Ta thấy x 2 + x +1 >0 nên x 3 < y 3 , do đó x<y (0,25đ) Xét 2 trờng hợp: a) Xét y=x+1 ta có x 3 + x 2 + x +1 = (x+1) 3 Giải phơng trình trên: 2x 2 +2x= 0 nên x 1 = 0; x 2 = -1 (0,25đ) b) Xét y>x+1 ta có x 3 + x 2 + x +1 > (x+1) 3 (0,25đ) 2x(x+1) < 0 -1< x< 0 loại Vậy các số x,y cần tìm là: x=0 thì y=1 x =-1 thì y=0 (0,25đ) 6 . sinh giỏi cấp tỉnh Đề bảng A : Môn Toán Thời gian 150 phút đề số 2 I. Trắc nghiệm khách quan:( 11 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà. (1,0đ) Dễ thấy AMN= A 1 = C= A 2 (0,25đ) Ta lại có: AMN + ANM = 90 0 (0,25đ) Nên A 2 + ANM =90 0 (0,25đ) Hay OA MN (0,25đ) b). (1,0đ) Do AMN = C