SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2016 – 2017 Thời gian làm bài: 150 phút ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN Chú ý: 1) Kết tính xác đến chữ số thập phân (trừ kết 1) 2) Thí sinh ghi kết vào ô trống bên phải, riêng từ – 10 có thêm phần tóm tắt lời giải; 3) Nếu thí sinh làm tròn sai chữ số cuối, lấy kết gần không đủ chữ số thập phân, kết " = ’’ mà ghi " ≈ ’’ ngược lại trừ 0,25 điểm 4) Đáp án gồm trang Đề Bài 1: (2 điểm) Tìm nghiệm gần (độ, phút, giây) phương trình: 2sin x − 5sin x.cos x − 8cos x + = Bài 2: (2 điểm) Tìm tất nghiệm thực gần phương trình: 2x + x2 − x − = Bài 3: (2 điểm) Tính gần khoảng cách d hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số: Kết Điểm 1,0 x1 ≈ 630 26 '6 '' + k 1800 x2 ≈ −36 52 '12 '' + k 180 1,0 Với k ∈ ¢ x1 ≈ 2,19376 x2 ≈ −1,36915 d ≈ 4,86485 1,0 1,0 2,0 y = 3x + x − x + Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y − 2)2 = Tìm giá trị gần hai số a, b để đường thẳng y = ax + b qua điểm M (1;7) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân 87 87 a = a = − 13 13 ; b = − 87 b = + 87 13 13 a ≈ 2,58695 hay ; b ≈ 4, 41305 a ≈ −2,58695 b ≈ 9,58695 1,0 1,0 1 Bài 5: (2 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; u2 = 2; un + = un +1 + un ( n ≥ 1) Viết quy trình bấm phím để tính un S n ( Với S n tổng n số hạng dãy số (un ) ) Sử dụng quy trình tính u10 , S10 Lời giải tóm tắt Kết Điểm Quy trình bấm phím sau: SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C 1+2 SHIFT STO D ALPHA C ALPHA =ALPHA C + ALPHA : ALPHA A ALPHA = Quy trình bấm phím 1,0 u10 ≈ 0, 64131 0,5 1 ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA =ALPHA C + ALPHA : ALPHA B ALPHA = 1 ALPHA A + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D + ALPHA B 0,5 S10 ≈ 10, 67523 Bấm phím CALC “ = ” đến gặp C=10 có u10 S10 Bài 6: (2 điểm) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB=a, AD=b Hai mặt (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết độ dài AA’=10 a = 2016; b = 2017 Lời giải tóm tắt Kết Điểm Gọi H hình chiếu A’ lên mặt phẳng (ABCD), K, M hình chiếu H lên AB AD Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AD ⊥ A ' M , AB ⊥ A ' K ⇒ ·A ' MH = 600 , ·A ' KH = 450 Đặt A ' H = x Khi 1,0 x 2x 4x2 2 A' M = = , AM = AA ' − A ' M = 100 − = HK sin 600 3 4x2 ⇒ x = 10 Vậy VABCD A' B 'C ' D ' = AD AB A ' H = 2016 2017.10 hay VABCD A' B 'C ' D ' ≈ 1044,90566 (đvtt) Mà HK = x cot 450 = x Suy x = 100 − Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân VABCD A ' B 'C ' D ' ≈ 1044,90566 (đvtt) 1,0 xy + ( x − y )( xy − 2) + x = y + y x = Bài 7: (2 điểm) Giải hệ phương trình: Đối chiếu điều kiện ⇒ + 17 ( x + 1)[y + xy + x(1 − x)]=4 x= ( x, y ∈ ¡ ) Suy hệ có hai nghiệm x = y = 1; x = y ≈ 2,56155 +) Ta chứng minh vế trái (3) dương: Từ (2) ta chứng minh y + xy ≥ Với ∀x ≥ 0, y ≥ 4 ⇒ y + xy = + x2 − x = x +1 x +1 = − + ( x + 1) + ( x − x + 1) + = x +1 =( − x + 1) + ( x − 1)2 + ≥ x +1 Với ∀x ≥ 0, y ≥ y + xy + x(1 − x ) = Vậy hệ có hai nghiệm: x = y = 1; x = y ≈ 2,56155 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân 0,5 x = y =1 x = y ≈ 2,56155 0,5 0,5 Bài 8: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt cạnh bên SB, SD hai điểm M, N (M N khác S) Khối chóp S.ABCD tích V = 10 dm3 a) Tính thể tích khối chóp S.AMKN , biết SM = SB b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMKN Lời giải tóm tắt Kết SM SN = x; = y ⇒ x, y ∈ (0;1] SB SD V = VS CBD = VS ABC = VS ADC = Đặt: V1 = VS AMKN ; Ta có: VS ABD Điểm (1) ; V1 theo hai cách: V V V1 VS AMN = + S MNK = xy (2) V 2VS ABD 2VS BDC V V1 VS AMK 1 = + S ANK = x + y (3) V 2VS ABC 2VS ADC 4 Từ (2) (3) suy ra: xy = x + y (4) 2 a) Theo đề x = thay vào (4) ta có y = 3 10 suy V1 = V = ≈ 1, 05409 (dm3) 3 x b) Từ (4) ⇒ y = kết hợp với (1) ta có 3x − 0 < x ≤ 1 ⇔ x ∈ ;1 x 2 0 < x − ≤ x 3x V = f ( x).V Ta thay y = vào (2) suy V1 = 3x − 4(3 x − 1) 3x Xét hàm số f ( x) = [ ;1] 4(3x − 1) x(3 x − 2) =0⇒ x = Ta có f '( x) = 4(3x − 1) 3 f ( ) = f (1) = ; f ( ) = ⇒ max f ( x) = ; f ( x) = 3 x∈ ;1 x∈ ;1 Tính tỉ số 2 Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân 2 0,5 V1 = V 10 = ≈ 1, 05409 (dm ) 0,5 Giá trị lớn nhất: VS AMKN = = 3V 10 ≈ 1,18585 (dm3 ) 0,5 Giá trị nhỏ nhất: VS AMKN = = V 10 ≈ 1, 05409 (dm3 ) 0,5 Bài 9: (2 điểm) a) Một hộp chứa 12 viên bi khác gồm viên bi trắng, viên bi đen viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi, tính xác suất để viên bi lấy có đủ ba màu b) Một số tự nhiên gọi số thú vị số có chữ số đôi khác thành lập từ tập { 1; 2;3; 4;5;6;7;8} số chia hết 1111 Hỏi có số thú vị Lời giải tóm tắt Kết a) Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C12 Gọi A biến số: “6 viên bi lấy đủ ba màu” Nên n(A) = C126 − (C66 + C106 − C66 + C86 − C66 + C66 ) = C126 − C106 − C86 Điểm Vậy P(A) = n(A) C126 − C106 − C86 49 = = ≈ 0, 74242 n (Ω ) C126 66 b) Giả sử m = a1a2 a3a4b1b2b3b4 số thú vị Ta có tổng chữ số m 1+2+…+8=36 chia hết m chia hết cho Do 1111 có ước chung lớn nên m chia hết cho 9999 Đặt: x = a1a2 a3a4 ; y = b1b2b3b4 , Ta có: m = x.104 + y = 9999 x + ( x + y ) chia hết cho 9999 từ suy ( x + y ) chia hết cho 9999 Mà: < x + y < 2.9999 ⇒ x + y = 9999 Do đó: a1 + b1 = a2 + b2 = a3 + b3 = a4 + b4 = Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có cặp (1;8), (2;7), (3;6), (4;5) Nên cách chọn a1 ; cách chọn a2 ; cách chọn a3 ; cách chọn a4 (Chọn có bi ) Vậy số số thú vị là: 8.6.4.2=384 (số) 0,5 P (A) = 49 ≈ 0, 74242 66 0,5 0,5 Đáp số=384 0,5 Bài 10: (2 điểm) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 3.(a + b3 + c )(a − b )(b − c )(c − a ) Lời giải tóm tắt 10 Kết Điểm Do tính đối xứng a, b, c ta giả sử a ≥ b ≥ c Phân tích: P = 3.M N Với : M = (a − b)(b − c)(c − a ) ; N = (a + b3 + c3 )(a + b)(b + c )(c + a ) *) Tìm giá trị lớn M : M = (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 (b− c) ≤ b2 a ≥ b ≥ c ≥ ⇒ ⇒ M ≤ a 2b ( a − b ) Vì 2 (c − a ) ≤ a Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 2ab + 2ab + a − 2ab + b M ≤ (2ab)(2ab)(a − 2ab + b ) ≤ ( ) ( a + b) ( a + b + c ) 3 = ≤ = 27 ⇒ M ≤ 27 27 2 2 Đẳng thức xảy : Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân 0,75 a + b + c = 2 3+ 3− a − 2ab + b = 2ab ⇔ (a, b, c) = ( ; ;0) 2 c = a ≥ b ≥ c ≥ Giá trị lớn M 3 *) Tìm giá trị lớn N : Áp dụng Côsi ta có : N = (a + b3 + c3 ).[3(a + b)(b + c )(c + a )] a + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a ) (a + b + c )6 729 ] = = 4 243 ⇒N≤ a + b + c = Dấu đẳng thức xảy : 3 a + b + c = 3(a + b)(b + c )(c + a ) 3+ 3− hệ thỏa mãn (a, b, c) = ( ; ;0) 2 243 Giá trị lớn N 3 243 2187 Vậy giá trị lớn P = = = 273,375 3+ 3− Dấu ‘‘=’’ (a, b, c) hoán vị ( ; ;0) 2 ≤[ 0,5 Giá trị lớn P = 273,375 0,75 Hết - Lê Văn Hoàng 12A1 –PT Nguyễn Mọng Tuân