SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT Hướng dẫn chấm có 04 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Nội dung x−2 Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( H ) hàm số cho Điểm 3,0 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( H ) đường thẳng d : y = x − c) Tìm tất nghiệm phương trình f ( f ( x )) + f ( x ) + = a) * Tập xác định: D = ¡ \ { −1} * Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y ′ = ( x + 1) 0,25 > 0, ∀x ∈ D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) y = lim y = 1, lim+ y = −∞, lim− y = +∞ + Giới hạn tiệm cận: xlim →−∞ x →−1 x →−1 x →+∞ 0,25 Đồ thị ( H ) có tiệm cận ngang y = , tiệm cận đứng x = −1 + Bảng biến thiên: x −∞ +∞ −1 + + y′ +∞ 0,25 y −∞ * Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm ( 0; −2 ) , cắt trục hoành điểm ( 2;0 ) 0,25 y -2 I x -1 O b) Hoành độ giao điểm ( H ) đường thẳng d : y = x − nghiệm phương trình x−2 = x − ⇔ x = − ; x = x +1 Diện tích hình phẳng cần tìm S= x−2 5 0,25 ∫ x + − x + ÷ dx − 0,25 = − x + x − 3ln x + ÷ −1 0,25 = 55 + 3ln (đvdt) 16 0,25 x ≠ −1 x ≠ −1 x ≠ −1 ⇔ x−2 ⇔ c) Điều kiện ( *) ≠ −1 x ≠ f ( x ) ≠ −1 x +1 Phương trình cho tương đương f ( x) − + f ( x ) + = f ( x) +1 ⇔ ( f ( x ) ) + f ( x ) = ⇔ f ( x ) = 0; f ( x ) = −4 Với f ( x ) = ⇔ x = (thỏa mãn ( *) ) Với f ( x ) = −4 ⇔ x = − (thỏa mãn ( *) ) Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc 0,25 0,25 0,25 0,25 ·ABC = 600 , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vuông góc với đáy, góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABCD ) 300 a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a uuur uuur b) Gọi J điểm thỏa mãn CD = 4CJ H hình chiếu J mặt phẳng ( SAB ) 2,0 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BHJ ) theo a a) Gọi O giao điểm AC BD, M , I trung điểm AB, AM Do tam giác a a a2 ABC cạnh a nên CM ⊥ AB, OI ⊥ AB CM = , OI = , S ABCD = Vì ( SAC ) ( SBD ) vuông góc với ( ABCD ) nên SO ⊥ ( ABCD ) · Do AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ SI Suy · = 300 ( SAB ) , ( ABCD ) = (·OI , SI ) = SIO Xét tam giác vuông SOI ta SO = OI tan 300 = 0,25 0,25 a 3 a = 4 0,25 1 a a a3 Suy VS ABCD = S ABCD SO = (đvtt) = 3 24 b) Giả thiết suy J , O, I thẳng hàng H thuộc SI Ta có IJ = 2OI = a a a JH = IJ s in300 = = 2 JB = JC + CB − JC.CB cos1200 = Do S BHJ = 3a a 21a a 21 ⇒ JB = , HB = JB − JH = ⇒ HB = 2 16 3a a2 HJ HB = , S ABJ = IJ AB = Hạ HK ⊥ IJ ⇒ HK ⊥ ( ABCD ) 32 3a HK = HJ sin 60 = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 a 21 S ABJ HK = S BHJ d ( A; ( BHJ ) ) ⇒ d ( A; ( BHJ ) ) = 3 Câu (1,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; −2; −2 ) mặt phẳng Từ VH ABJ = 0,25 ( P) : x − y − z + = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua A, vuông góc với ( P ) cắt 1,5 trục Oy, Oz M , N (khác O ) cho OM = ON uuuur uuur Gọi M ( 0; a;0 ) , N ( 0;0; b ) , ab ≠ Ta có AM = (−3; a + 2; 2), AN = (−3; 2; b + 2) uur uuuur uuur ( Q ) có véc tơ pháp tuyến nQ = [ AM , AN ] = (2a + 2b + ab;3b;3a); uur ( P ) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; −1; −1) 0,25 0,25 uur uur uur uur ( P) ⊥ (Q) ⇔ nP ⊥ nQ ⇔ nP nQ = ⇔ ab − a − b = ( 1) 0,25 OM = ON ⇔ a = b ⇔ a = ±b 0,25 ( 2) Từ ( 1) ( ) suy a = b = uur Do nQ = (12;6;6) ( Q ) : x + y + z − = 0,25 0,25 Câu (1,5 điểm) Cho số thực a ≥ 17 Hãy xác định số nghiệm hệ phương trình sau x2 + y3 = a log x.log y = 1,5 Nhận thấy ( x; y ) nghiệm hệ x > 1, y > Đặt log x = t ( t > ) , suy 0,25 1 t t x = , y = Ta có phương trình + t = a ( *) t Số nghiệm hệ cho số nghiệm dương phương trình ( *) 1 t t Xét hàm số f ( t ) = + − a ( 0; +∞ ) Ta có f ′ ( t ) = 9t ln − ln t2 t Trên ( 0; +∞ ) y = t ln y = 1 hàm nghịch biến nhận giá trị dương t2 t Vì thế, khoảng y = − ln hàm đồng biến t2 Suy f ′ ( t ) hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) 1 ( ) ( ln 27 − ln16 ) < nên tồn t0 ∈ ( 0;1) cho 2 f ( t ) = +∞ f ( 1) = 17 − a ≤ f ′ ( t0 ) = Ta có lim+ f ( t ) = tlim →+∞ t →0 256 Hơn nữa, f ′ ÷ f ′ ( 1) = 18 ln − ln Từ bảng biến thiên suy phương trình ( *) có hai nghiệm dương Vậy hệ cho có tất hai nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết ... ab ≠ Ta có AM = (−3; a + 2; 2), AN = (−3; 2; b + 2) uur uuuur uuur ( Q ) có véc tơ pháp tuyến nQ = [ AM , AN ] = (2a + 2b + ab;3b;3a); uur ( P ) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; −1; −1) 0,25 0,25... 0,25 1 a 21 S ABJ HK = S BHJ d ( A; ( BHJ ) ) ⇒ d ( A; ( BHJ ) ) = 3 Câu (1,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 3; −2; −2 ) mặt phẳng Từ VH ABJ = 0,25 ( P) : x − y − z + =... SI Suy · = 300 ( SAB ) , ( ABCD ) = (·OI , SI ) = SIO Xét tam giác vuông SOI ta SO = OI tan 300 = 0,25 0,25 a 3 a = 4 0,25 1 a a a3 Suy VS ABCD = S ABCD SO = (đvtt) = 3 24 b) Giả thiết