CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC CÂN

TAM GIÁC CÂN(CƠ BẢN) A Kiến thức Tam giác cân −Tam giác cân tam giác có hai cạnh nhau: Tam giác ABC cân A AB = AC −Trong tam giác cân hai góc đáy Nếu tam giác có hai góc tam giác tam giác cân −Tam giác vuông cân tam giác vuông có hai cạnh góc vuông Tam giác − Tam giác tam giác có ba cạnh − Trong tam giác góc 60 độ − Nếu tam giác có ba góc tam giác Nếu tam giác cân có góc 60 độ tam giác B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có B^=50o Tính số đo góc C^;A^ Giải: Tma giác ABC cân A B^=C^ nên C^=50o Tam giác ABC có A^+B^+C^=180o nên A^+50o+50o=180o suy ra: A^=80o Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = AC, B^=2.A^ Tính số đo góc tam giác ABC Giải: Ta có: ΔABC cân A nên B^=C^ mà: A^+B^+C^=180o nên A^+2.A^+2.A^=180o, suy 5.A^=180o ⇒A^=36o,B^=C^=2.A^=72o Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có tia phân giác gócB C cắt nhai I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC M, N Chứng minh MN = MB + NC Giải: MN // BC nên I1^=B1^;I2^=C2^ Mà B1^=B2^ (vì BI tia phân giác góc B\); C1^=C2^ (vì CI tia phân giác góc C) Suy ra: I1^=B2^;I2^=C1^ Do tam giác MIB tam giác CNI tam giác cân đỉnh M N nên: MI = MB; NI = NC Vậy MN = MI + NI = MB + NC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B^=C^=40o Kẻ BD tia phân giác góc B (D∈AC) Chứng minh rằng: AD + BD = BC Giải: Tam giác ABC có B^+C^=40o nên A^=100o Trên BC lấy hai điểm E F cho BE = BA, BF = BD Ta có: ΔBAD=ΔBED (c.g.c) nên: BED^=A^=100o suy ra: DEF^=80o (1) Tam giác BDF cân B nên B2^=20o nên DFE^=80o (2) Từ (1) (2) suy tam giác DEF cân ⇒DE=DF Tam giác DFC có C^=40o;DFE^=80o nên FDC^=40o hay tam giác DFC cân F suy DF = FC Vậy BD + AD = BF + FC = BC Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh BC cho ΔAMB=ΔAMC D,E nằm AB AC Biết AMD^=900−B^,AME^=900−C^ Chứng minh D E trung điểm AB AC Giải: Ta có ΔAMB=ΔAMC, nên M trung điểm BC AMB^=900 Cũng ΔAMB=ΔAMC⇒ ABM^=ACM^, hay B^=C^ Theo giả thiết, có AMD^=900−B^,AME^=900−C^ Mà AMB^=900 nên có DMB^=B^ (cùng phụ với AMD^) AMD^=DAM^ (cùng phụ với B^) Tương tự ta có: EMC^=C^,AME^=EAM^ Từ suy tam giác ADM, BDM cân D hay DA=DB (cùng DM) Tương tự có EA=EC Vậy D, E trung điểm AB AC C Kiểm tra chuyên đề: Làm NÂNG CAO A Kiến thức Mời em xem lại Chuyên đề - Tam giác cân (Cơ bản) B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Một điểm M thuộc cạnh AB điểm N thuộc cạnh AC cho ta có: BM=CN Chứng minh MN // BC Giải: Điểm M∈AB nên: AM + MB = AB Suy ra: AM = AB - MB Điểm N∈AC nên: AN + NC = AC Suy ra: AN = AC - NC Ta có: AB = AC (ΔABC cân đỉnh A) và: MB = NC (theo giải thiết) Suy ra: AM = AN Do đó: ΔAMN cân đỉnh A Khi đó: ΔABC cân đỉnh A nên: B^=12(180o−A^) và: ΔAMN cân đỉnh A nên: AMN^=12(180o−A^) Vậy: B^=AMN^ Hai góc B^ AMN^ vị trí đồng vị mà nên MN // BC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N cho AM = AN Gọi giao điểm BN CM I Chứng minh tam giác BIC cân Giải: Ta có: AB = AC, AM = AN nên BM = CN Xét tam giác BMC tam giác CNB có: BM = CN, BC cạnh chung, MBC^=NCB^ (tính chất tam giác cân ABC) Suy ra: ΔBMC=ΔCNB (c.g.c) B1^=C1^ Hay tam giác BIC cân I Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M, N, P cho AM = BN = CP nên BM=CN=AP Chứng minh tam giác MNP tam giác Giải: Tam giác ABC nên AB = BC = CA mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP Xét tam giác AMP, tam giác BNM tam giác CPN, ta có: AM = BN = CP; A^=B^=C^ (do tam giác ABC đều); BM = CN = AP Do đó: ΔAMP=ΔBNM=ΔCPN (c.g.c) Suy MP = NM = PN hay tam giác MNP tam giác Ví dụ : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC có điểm D cho BD=13BC Trên cạnh AB có điểm E cho AE=13AB cạnh AC có điểm F cho CF=13AC Chứng minh tam giác DEF Giải: Do tam giác ABC nên ta có BD = AE =CF (cùng 13 cạnh tam giác) Từ suy AF=CD=BE Xét tam giác AEF, BDE, CFD có: BD=AE=CF,AF=CD=BE,A^=B^=C^ Suy △AEF=△BDE=△CFD.⇒EF=DF=ED ⇒△DEF Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, điểm H thuộc AC cho BH vuông góc với AC BH=12AC, BAC^=750 Chứng minh tam giác ABC cân C Giải: Trên tia đối tia HB lấy điểm D cho HD=HB, mà theo giả thiết BH=12AC, suy BD = AC (1) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C ta xác định điểm E cho tam giác ABE đều, suy AB = EA (2) Khi ta có: BAE^=600,BAC^=750⇒EAC^=150 ⇒ABD^=EAC^=150 Từ kết hợp với (1) (2) ta suy ra: ΔABD=ΔEAC (c.g.c)⇒BAD^=AEC^ Lại có: HB=HD,AHB^=AHD^=900⇒ΔAHB=ΔAHD ⇒BAH^=DAH^=BAC^=750 ⇒BAD^=BAH^+DAH^=1500 ⇒AEC^=1500 Suy ra: BEC^=3600−AEC^−AEB^=3600−1500−600=1500 Hai tam giác AEC BEC có EC cạnh chung, AE=BE AEC^=BEC^=1500 ⇒ΔAEC=ΔBEC (c.g.c)⇒AC=BC Vậy tam giác ACB cân C Ví dụ 6: Cho tam giác ABC cân A, A^=800 Trên cạnh BC lấy điểm I cho BAI^=500, cạnh AC lấy điểm K cho ABK^=300 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H Chứng minh tam giác HIK cân Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa đỉnh C, vẽ tam giác AMB Ta có: ABC^=ACB^=500 ⇒CBM^=600−500=100 Mà tam giác BAI có IAB^=IBA^=500 nên tam giác cân I có IA=IB ⇒△AMI=△BMI (c.c.c) suy AMI^=BMI^=300 Trên tia BK lấy điểm N cho BN = IM ⇒△ABN=△BMI (c.g.c) nên có: NAB^=100,NA=BI=AI Tam giác NAK cân N NAK^=NKA^=700 Nên AN = NK, AI = NK Lại có: tam giác HAN cân H có HAN^=HNA^=400 nên HN = HA, HI = HK Vậy, tam giác HIK cân H C Kiểm tra chuyên đề: Làm  ... Trong tam giác góc 60 độ − Nếu tam giác có ba góc tam giác Nếu tam giác cân có góc 60 độ tam giác B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân A có B^=50o Tính số đo góc C^;A^ Giải: Tma giác. .. tam giác MNP tam giác Giải: Tam giác ABC nên AB = BC = CA mà AM = BN = CP nên BM = CN = AP Xét tam giác AMP, tam giác BNM tam giác CPN, ta có: AM = BN = CP; A^=B^=C^ (do tam giác ABC đều); BM =... giác góc C) Suy ra: I1^=B2^;I2^=C1^ Do tam giác MIB tam giác CNI tam giác cân đỉnh M N nên: MI = MB; NI = NC Vậy MN = MI + NI = MB + NC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có B^=C^=40o Kẻ BD tia phân giác