bài 5: Đường elip ( lớp 10 nâng cao )

1. Định nghĩa đường elip BÀI 5: Định nghĩa M Cho hai điểm cố định F 1 và F 2 với F 1 F 2 = 2c(c>0) . Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF 1 + MF 2 =2a, trong đó a là số cho trước lớp hơn c. Hai điểm F 1 và F 2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. F 1 F 2 2. Phương trình chính tắc của elip M M Câu hỏi: Trong cách vẽ đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút trì là M.Khi M thay đổi,có nhận xét gì về chu vi của tam giác MF 1 F 2 và tổng khoảng cách MF 1 + MF 2 ? 2.Phương trình chính tắc của elíp M F 1 F 2 Cho hai điểm F 1 và F 2 , F 1 F 2 = 2c(c>0) (E) = {M: MF 1 + MF 2 = 2a, a>c}, Hai điểm F 1 , F 2 gọi là các tiêu điểm của elip, F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự của elip. Cho (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ OXY có góc là trung điểm của đoạn thẳng F 1 F 2, Trục oy là đường trung trực của F 1 F 2 và F 1, F 2 nằm trên tia ox. y x O ( ) 0,c − ( ) 0,c Câu hỏi: Với cách trọn hệ trục toạ độ như vậy hãy cho biết toạ độ của hai tiêu điểm F 1 và F 2 . (X,Y) Giả sử điểm M(x,y) nằm trên (E). Hảy tính: MF 1 2 – MF 2 2 = ((x+c )2 + y 2 ) – ((x-c )2 + y) = 4cx => (MF 1 - MF 2 )(MF 1 +MF 2 ) = 4cx => (MF 1 - MF 2 ) 2a = 4cx <=> MF 1 - MF 2 = a cx 2 => MF 1 = , MF 2 = a cx a + a cx a − Các đoạn MF 1 và MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu. 1. Định nghĩa đường elip BÀI 5: 2. Phương trình chính tắc của elip M F 1 F 2 y x O ( ) 0,c − ( ) 0,c MF 1 = ; MF 2 = Các đoạn MF 1 và MF 2 được gọi là bán kính qua tiêu. a cx a + a cx a − (X,Y) Ta có: a cx aMF += 1 22 )( ycx ++= Bình phương hai vế và rút gọn biểu thức ta được: 1 22 2 2 2 = − + ca y a x Vì a 2 – c 2 > 0 nên ta đặt a 2 – c 2 = b 2 (b>0) và được: )1(1 2 2 2 2 b)(a >=+ b y a x Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho. Chú ý: Ví dụ1 Chú ý: Chỉ có phương trình: (a>b) mới được gọi là phương trình chính tắc của elip. Ngoài ra ta thường quy ước đặt tiêu điểm F 1 nằm bên trái trục tung. Như vậy phương trình: (a<b) cố nhiên cũng là phương trình của elip (với tiêu điểm nằm trên oy) nhưng không gọi là phương trình chính tắc của elip. 1 2 2 2 2 =+ b y a x 1 2 2 2 2 =+ b y a x M F 1 F 2 y x O ( ) 0,c − ( ) 0,c (X,Y) Phương trình chính tắc của elip VD1: Cho ba điểm , và )0,5( 2 F )0,5( 1 − F )3,0(N Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F 1 , F 2 và đi qua N. 222 2121 2 2 2 2 ,2),0,();0,(),(1 cbacFFcFcFba b y a x +==−>=+ Bài giải: x y F 1 F 2 5− 5 N 3 (E) Có phương trình chính tắc: 1 2 2 2 2 =+ b y a x Vì N(0,3) thuộc (E) => 1 30 2 2 2 =+ ba => b 2 = 9 Theo giả thiết ta có: 52 21 = FF c2 = 5 ==> c 14 222 =+==> cba Vậy (E) cần tìm có phương trình chính tắc là: 1 914 22 =+ yx 1. Định nghĩa đường elip BÀI 5: 2. Phương trình chính tắc của elip M 1 y x O )1(1 2 2 2 2 b)(a >=+ b y a x Ví dụ1Ví dụ2 3.Hình dạng của elip M 2 M 4 M 3 x o y o -y o -x o Cho elip có phương trình (1) và một điểm M 1 (x o ,y o ) nằm trên (E). Hỏi các điểm M 2 (x o ,-y o ),M 3 (-x o ,-y o ) và M 4 (-x o ,y o ). Vì M 1 (x o ,y o ) thuộc (E) nên: a)Tính đối xứng của elíp 1 2 2 2 2 =+ b y a x oo Xét: 1 )( 2 2 2 2 = − + b y a x oo 1 2 2 2 2 =+<=> b y a x oo )(),( 2 EyxM oo ∈−=> Tương tự các điểm M 3 (-x o ,-y o ),M 4 (-x o ,y o ) thuộc (E) ở trên. Vậy: Elíp có phương trình (1) nhận các trục toạ độ làm trục đối xứng và góc toạ độ làm tâm đối xứng. Phương trình chính tắc của (E) có dạng: Phương trình chính tắc của elip VD2: Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm P(0;1) và Q(1; ). Xác định toạ độ các tiêu điểm của (E) đó. 222 2121 2 2 2 2 ,2),0,();0,(),(1 cbacFFcFcFba b y a x +==−>=+ 2 3 Bài giải: x y Q 1 P 2 3 1 1 2 2 2 2 =+ b y a x Vì (E) đi qua P(0,1) nên: 1 10 2 2 2 =+ ba 1 2 ==> b Vì (E) đi qua Q (1 , ) nên: 2 3 1 4 31 22 =+ ba 4 2 ==> a Vậy PT.Chính tắc của (E) là: 1 14 22 =+ yx F 1 3 − 3 F 2 1. Định nghĩa đường elip BÀI 5: 2. Phương trình chính tắc của elip y x O 3.Hình dạng của elip a)Tính đối xứng của elíp b)Hình chử nhật cơ sở A 1 A 2 B 1 B 2 Bốn điểm A 1 ,A 2 ,B 1 và B 2 gọi là các đỉnh của (E). A 1 A 2 =2a gọi là độ dài trục lớn. B 1 B 2 = 2b gọi là độ dài trục bé. a− a b− b P Q R S Hình chữ nhật PQRS được gọi là hình chữ nhật cở sở của elip. c) Tâm sai của elip d) Elip và phép co Nếu xét điểm M(x,y) nằm trên elip thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x là bao nhiêu? giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là bao nhiêu? Trả lời: +Giá trị nhỏ nhất của x là -a và lớn nhất của x là a. +Giá trị nhỏ nhất của y là –b và lớn nhất của y là b. y x M y x M y x M x y M Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh điều nằm trong hình chữ nhật cơ sở. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở. [...]... nói: tròn (C) Người tađườngPhép co trục thành (E) a đường tròn (C) thành (E) b 2 = 1 2 Phép co về trục Hình hoành theo hệ số k=1/4 biến hệ sốtròn (C) hoành theođường (E) biến k thành y y M(x,y) ( ) M(x,y) ( ) (E ) (E ) M(x,y/ 2) M(x,y/ 4) O Hình 1 Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/2 biến đường tròn (C) thành (E) x O Hình 2 Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/4 biến đường tròn (C) thành (E) x Câu... M(x,y) thuộc đường tròn (C) lấy điểm M(x,y) ( ) ’ ’ ’ Mξ ) y ) sao cho x =x, y =ky Tìm tập hợp các điểm ( (x’, (E ) M’ (E ) M(x,y/ 2) Bài giải: M(x,y/ 4) ’ ’ ’ ’ Từ x = x, y = ky => x = x , y = y /k Điểm O M(x,y) thuộc x O x (C) x2 + y2 = a2 hay '2 '2 '2 '2 '2 y x + 2 = a 2 x + y = 1 x + y = 1(b = ka) k a 2 (ka) 2 a 2 b2 ’ '2 Vậy tập hợp các điểm M là một (E) có phương trình 2 2 x y chính tắc:...c) Tâm sai của elip Tỉ số giửa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e, tức là e = c a Với 0 . biến đường tròn (C) thành (E) x y O M(x,y) M(x,y/ 4) )( ξ )( ξ )( E )( E x y O M(x,y) M(x,y/ 2) Hình 1. Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/2 biến đường. F 2 . (X,Y) Giả sử điểm M(x,y) nằm trên (E). Hảy tính: MF 1 2 – MF 2 2 = (( x+c )2 + y 2 ) – (( x-c )2 + y) = 4cx => (MF 1 - MF 2 )( MF 1 +MF 2 ) = 4cx