GIỚI hạn dãy số (PHƯƠNG PHÁP GIẢI+BÀI tập)

Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG IV IV CHƯƠNG GIỚII HẠ HẠN N GIỚ I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: =0; n→+∞ n lim lim n→+∞ n lim q = ( q < 1) ; n→+∞ nk = (k ∈ ¢ + ) lim C = C n→+∞ Đònh lí: un b) Nếu lim un = a, lim = ±∞ lim v = n c) Nếu lim un = a ≠ 0, lim = un a a.vn > a.vn < +∞ lim v = −∞  n d) Nếu lim un = +∞, lim = a a > a < +∞ c) Nếu un ≤ ,∀n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 1− q lim q n = +∞ (q > 1) a) Nếu lim un = +∞ lim u = n n • lim v = b (nếu b ≠ 0) n b) Nếu un ≥ 0, ∀n lim un= a a ≥ lim un = a S = u1 + u1q + u1q2 + … = lim n k = +∞ (k ∈ ¢ + ) lim n = +∞ Đònh lí : a) Nếu lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b u Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: ( q < 1) lim(un.vn) = −∞  * Khi tính giới hạn có dạng vô đònh: ∞ , , ∞ ∞ – ∞, 0.∞ phải tìm cách khử dạng vô đònh Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: • Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n VD: n +1 n a) lim 2n + = lim = 2+ n 1+ n2 + n − 3n = lim b) lim − 2n  n 2 c) lim(n − 4n + 1) = lim n  − +  • Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức ( a − b ) ( a + b ) = a − b; GV: Nguyễn Quang Tánh −3 n =1 −2 n 1+  ÷ = +∞ n2  ( a ± b ) ( a2 m3 ab + b2 ) = a − b Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 VD: lim ( n − 3n − n ) = lim ( n2 − 3n − n ( )( n − 3n + n n2 − 3n + n ) • Dùng đònh lí kẹp: Nếu un ≤ ,∀n lim = ) −3n = lim n − 3n + n =− lim un = sin n sin n sin n ≤ lim = nên lim =0 Vì ≤ n n n n n 3sin n − cos n b) Tính lim Vì 3sin n − cos n ≤ (32 + 42 )(sin n + cos2 n) = 2n2 + 3sin n − cos n ≤ nên ≤ 2n + 2n2 + 3sin n − cos n =0 Mà lim = nên lim 2n + 2n2 + VD: a) Tính lim Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + ∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim g) lim 2n − n + 3n2 + 2n + n4 (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) n2 + 2n2 − 3n b) lim e) lim h) lim 2n + n3 + n + n2 + 2n + n + (n + 1)2 (n + 2)3 n(n − 1)4 c) lim f) lim i) lim 3n3 + 2n2 + n n3 + 2n + n2 − 3n3 − 2n2 + 2n3 − 11n + n2 − Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim + 3n + 3n 2n + 5n+1 + 5n b) lim e) lim Bài 3: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 4n + + n − n + 4n + + n 4n2 + + 2n n2 + n + + n b) lim e) lim GV: Nguyễn Quang Tánh 4.3n + 7n+1 2.5n + 7n + 2.3n − 7n 5n + 2.7n n2 + − n − n +2 +n (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) c) lim f) lim 5n + 8n − 2.3n + n 2n (3n+1 − 5) c) lim f) lim n+1 + 6n +2 n2 + − n6 n + + n2 n2 − n − n2 + 3n2 + + n Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 g) lim( n2 + n − n2 + 1) h) lim(n + 3n2 − n3 ) j) lim n( n3 + n2 − n) 2 k) lim n + n − − 4n −   − ÷ ÷  22  32  + + + n  e) lim g) lim 1   1  d) lim  1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ÷   f) lim n2 + 3n h) lim n4  b) lim  1.3 + 2.4 + + n(n + 2) ÷     1 − ÷  n  2.12 + 3.22 + + (n + 1)n2 n2 + − n + n+3 Bài 4: Tính giới hạn sau:   1 a) lim  1.3 + 3.5 + + (2n − 1)(2n + 1) ÷   c) lim  − i) lim + + 22 + + 2n + + 32 + + 3n 1.3.4 + 2.5.7 + 3.7.10 + + n(2 n + 1)(3n + 2) n4  12 22 32  1 n2 j) lim  1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2n − 1)(2n + 1) ÷÷            1 lim  + + + ÷ k) lim  − ÷ − ÷  − l) (3n − 2)(3n + 1)      (2n − 1)2 ÷ 1.4 4.7  Bài 5: Tính giới hạn sau:     3  a) lim  n + 2n − n − 1÷ b) lim  n + n − n + ÷ c) lim  2n − n + n − 1÷         d) lim  + n − n + 3n + ÷ e) lim n2 − n − n f) lim   n + − n2 + + + + + (2n − 1) i) lim + + + + 2n ( g) lim 4n + − n − n2 + 4n + − n h) lim ) n2 + − n6 i) lim n + − n2 n2 − n − n2 + 3n2 + − n Bài 6: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 n2 + 3sin6 n + 5cos2 (n + 1) n2 + b) lim e) lim (−1)n sin(3n + n2 ) 3n − 3sin2 (n3 + 2) + n2 c) lim − 2n cos n 3n + f) lim 3n2 − 2n + n(3cos n + 2) − 3n2      Bài 7: Cho dãy số (un) với un =  − ÷ − ÷  − ÷ , với ∀ n ≥     n  a) Rút gọn un Bài 8: a) Chứng minh: b) Tìm lim un = − (∀n ∈ N*) n n + + (n + 1) n n n +1 1 + + + b) Rút gọn: un = +2 +3 n n + + (n + 1) n GV: Nguyễn Quang Tánh Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 c) Tìm lim un u1 =  Bài 9: Cho dãy số (un) xác đònh bởi: u = u + (n ≥ 1) n  n+1  2n a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un u1 = 0; u2 = Bài 10: Cho dãy số (un) xác đònh bởi: 2u  n+2 = un+1 + un , (n ≥ 1) a) Chứng minh rằng: un+1 = − un + , ∀n ≥ 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un GV: Nguyễn Quang Tánh Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: f ( x ) = f ( x0 ) y = f(x) liên tục x0 ⇔ xlim → x0 • Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) lim f ( x ) lim − f ( x ) f ( x) B2: Tính xlim (trong nhiều trường hợp ta cần tính x → x0+ , x → x0 ) → x0 f ( x) B3: So sánh xlim với f(x0) rút kết luận → x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b) x →a + x →b • Hàm số đa thức liên tục R • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác đònh chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x) • Hàm số y = g( x ) liên tục x0 g(x0) ≠ Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c ∈ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c∈ (a; b) f ( x) f ( x) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = , M = max Khi với T [ a;b] [ a;b] ∈ (m; M) tồn số c ∈ (a; b): f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra:  x +3 −2 x ≠  x ≠ x = −1 x = b) f ( x ) =  x −  x = x =   x−5  − x + 5x − x3 x >   x ≠ x = 2; d) f ( x ) =  x − − x = c) f ( x ) =  x − 3x + 2 1  x =  ( x − 5) + x ≤ x +3  a) f ( x ) =  x −  −1 GV: Nguyễn Quang Tánh Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 1 − cos x x ≤ e) f ( x ) =  x + x >  x = ;  x −1  f) f ( x ) =  − x −  −2 x Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra:  x3 − x2 + 2x − x2  x < a) f ( x ) = 2mx − x ≥ x = ; b) f ( x ) =  x −1   3x + m m x =  x − x − x ≠ 0, x ≠ x = x = c) f ( x ) =   x ( x − 3) x =  n  x2 − x −  x ≠ x = d) f ( x ) =  x −  m x = x < x = x ≥ x ≠ x = x = Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác đònh chúng:  x3 + x +  x − 3x + x ≠ −1 x <   x + f ( x ) = ;  x = a) b) f ( x ) = 5  4 x + x > x = −1    x2 −  x2 − x ≠   x ≠ −2 ; c) f ( x ) =  x + d) f ( x ) =  x −  −4  x = −2 x = 2 Bài 4: Tìm giá trò m để hàm số sau liên tục tập xác đònh chúng: x2 + x  x2 − x − x <   x ≠ f ( x ) = ; x = ;  x −2 a) b) f ( x ) = 2   m mx + x > x =   x3 − x + x − x2  x < x ≠ ; f ( x ) =  c) f ( x ) =  d) x −1 x ≥ 2mx − 3 x + m x = Bài 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: 3 a) x − x + = b) x + x + x + = c) x + − x = Bài 6: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x − x + = b) x + x − = c) x + x − x + x + = Bài 7: Chứng minh phương trình: x − x + x − = có nghiệm (–2; 2) Bài 8: Chứng minh phương trình sau có nghiệm với giá trò tham số: a) m( x − 1) ( x − 2) + x − = b) x + mx − 2mx − = c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = d) (1 − m )( x + 1) + x − x − = GV: Nguyễn Quang Tánh Trường THPT Nguyễn Hữu Thận ĐẠI SỐ 11 e) cos x + m cos2 x = f) m(2 cos x − 2) = sin x + Bài 9: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2 a) ax + bx + c = với 2a + 3b + 6c = b) ax + bx + c = với a + 2b + 5c = c) x + ax + bx + c =  1  0;  Bài 10: Chứng minh phương trình: ax + bx + c = có nghiệm x ∈   với a ≠ 2a + 6b + 19c = GV: Nguyễn Quang Tánh ... tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới. .. số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + ∞ hệ số cao tử mẫu dấu kết –∞ hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim g) lim 2n − n + 3n2 + 2n + n4 (n... + 2n + n2 − 3n3 − 2n2 + 2n3 − 11n + n2 − Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim + 3n + 3n 2n + 5n+1 + 5n b) lim e) lim Bài 3: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim 4n + + n − n + 4n + + n 4n2 + +