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NGUYỄN KỲ KHÁNH NGUYÊN HÀM Công thức vận dụng  f  x  dx  F  x   C   F  x   '  f  x   dx  x  c x n 1  x dx  n   c 1  x n dx   n  1 x n1  C (k x  b) n 1  (k x  b) dx  k n   c 1  (k x  b)n dx  k  n  1 (kx  n)n1  C n  n dx  ln | x |  c x x  e dx  e x  a dx  x dx c e ax c ln a x  sin x dx  kx e c a dx  tan x  c dx   cot x  c * đặc biệt dx xa  x  a  2a ln x  a  c dx   x  a  x  b   b  a ln u xa  C x b u u  a du  1/ f  x   x  x  2/ f  x    x    4  x x5  2x  6 3/ f  x   x   x   x x2  5/ f  x   2x  3  4x 4/ f  x   x2  cos 13/ f 14/ f 15/ f 16/ f u  sin   x  a  x  b   a  b ln x b C xa 3 x 9  x  x 3 3x   x  x  4x  2x  x  x  2x 1  x   sin x  cos x 12/ f  x   c au c ln a  sinu du   cosu  c du ua  ln c a 2a u  a dx u  cosu du  sinu  c Câu Tìm nguyên hàm hàm số: du  ln | u |  c u  e du  e a kx c k ln a  sin kxdx   k cos x  c  sinkxdx   k cos kx  c 1  cos2 kx dx  k tan kx  c 1  sin kx dx   k cot kx  c  sin xdx   cos x  c kx  kx  a dx   cos xdx  sin x  c  cos  kx  b  k ln | kx  b |  c u n 1  u dx  n   c n 17/ f  x   cos x  sin x u du  tanu  c du   cotu  c NGUYỄN KỲ KHÁNH 6/ f  x   7/ f  x   18/ f  x   sin x  cosx  x  1 2  x  3 x  1 2x  7x  9/ f  x   x  3x  2x  10/ f  x   x x2 x2 11/ f  x   3x  x  8/ f  x   19/ f  x   cos x  sin x 20/ f  x   e x  3x 21/ f  x   e x  5 x 22/ f  x   e x e5 x 23/ f  x   sin x  cos x 24/ f  x   sin x  cos x 25/ f  x   sin x  cos x Câu Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1/ f  x    x  3 x 11/ f  x    e x  1 e x 2/ f  x   x  x   12/ f  x   5/ f  x   sin x cos x x 2x  ex 13/ f  x   x 3e  14/ f  x   tan x 6/ f  x   cos x sin x 15/ f  x   tan x 3/ f  x   x x  4/ f  x   sin x cosx 7/ f  x   cos x sin x 8/ f  x   sin x 9/ f  x   cos3 x 10/ f  x   x x  16/ f  x   17/ f  x   sin x cos x cos x  x x2  18/ f  x   e 19/ f  x   Công thức nguyên hàm đặ biệt:  xdx  x x  C  ax  bdx  a  ax  b  ax  b  C  udu  u u  C    6 x 1  x  x dx  x C x dx  ax  b  C ax  b a du  u C u NGUYỄN KỲ KHÁNH Bài tập tìm nguyên hàm 1/ f  x   x  Bài tập Tìm nguyên hàm: 1/ f  x   2x 1 sin x 2/ f  x   cosx  3/ f  x   x 3ln x  x 4/ f  x   3x  ex 5/ f  x   2e x  2/ f  x   x  3/ f  x    x 4/ f  x   x x  5/ f  x   x x  6/ f  x   x x3  7/ f  x   cos x 2sin x  8/ f  x   e x 2e x  9/ f  x   e2 x 5e x  ln x  x tan x  11/ f  x   cos x 3cot x  12/ f  x   sin x 10/ f  x   Phương pháp đổi biến 1/ f  x   x  x   3x  x  x2  ln x ln x  7/ f  x   x 8/ f  x   x  ln x  3ln x   6/ f  x   2/ f  x   x3 x  3/ f  x   e x  e x  1 4/ f  x   sin x cos x  5/ f  x   C©u : A C C©u : A x x  3x  Tìm nguyên hàm: 9/ f  x   ( x  )dx x 53 x  ln x  C 33 x  ln x  C x dx là: Kết   x2  x2  C B 1  x  x 1 1 x C C 33 x  ln x  C B  D 33 x  ln x  C 1 x C D   x  C NGUYỄN KỲ KHÁNH  x ) dx x C©u Tìm nguyên hàm: A x3  3ln x  x C 3 B x3  3lnx  x 3 C x3  3ln x  x C 3 D x3  3ln x  x C 3 C x3 ln C x C©u 4: A  (x  dx x( x  3) Tìm nguyên hàm:  x ln C x3 B  ln x C x3 D x ln C x3 C©u : A C C©u : Tìm nguyên hàm:  (1  sin x) dx x  cos x  sin x  C ; x  cos x  sin x  C ; x x C 5 C 5 ln x  x C 5 x C 5 D 5ln x  x C B 5 ln x  dx  3x C©u : Tìm nguyên hàm: A x ln C x 3 C©u : Tìm nguyên hàm:  ( x   x )dx C C©u : A C©u 10 : D x  cos x  sin x  C ; x  cos x  sin x  C ; Tìm nguyên hàm:  (  x )dx A 5ln x  A B x B x3 ln C x C x ln C x3 D ln x 3 C x x x  ln x  x C 4 x  ln x  x C dx Tính  1 x D x  ln x  x C 4 x  ln x  x C , kết là: C B 1 x B Tính  x.e x 1dx 2  x  C C 1 x C D C 1 x NGUYỄN KỲ KHÁNH x2 e C A ex C©u 11 : Họ nguyên hàm hàm số f  x   1 B C x3  x2 x   x2  C x  1  x2  C A C  B   D Tìm họ nguyên hàm: F ( x)   A F ( x )  2 ln x   C C x 1 e C D là:  C©u 12: x  1  x2  C  x2   x2  C      dx x ln x  B F ( x )  ln x   C 1 D F ( x)  ln x   C ln x   C 2x Cho f  x   Khi nguyên hàm f  x  là: x 1 F ( x)  C©u 13 :   ln 1  x   C ln  x  C A C C©u 14   B 3ln  x  C D ln  x  C   1  Nguyên hàm hàm số f x   3x   ;  là:   A x  x C B 3x  1 D C C©u 15 : x3 Tìm họ nguyên hàm: F ( x)   dx x 1 A F ( x )  ln x   C C F ( x)  C©u 16 : Cho hàm f  x   A ln x 1 C x2 C ln x2 C x 1 C©u 17 : Cho hàm f  x   A ln C x 1 C x2 C B ln x   C D 3x  1 3 x  x C ln x   C F ( x )  ln x   C F ( x)  Khi đó, nguyên hàm f  x  là: x  3x  x 1 C B ln x2 D ln x2 C x 1 Khi đó, nguyên hàm f  x  là: x  3x  x 1 B ln C x2 C x 1 e C NGUYỄN KỲ KHÁNH C ln x2 C x 1 D ln x2 C x 1 C sin x  C C©u 18 : Nguyên hàm hàm số: y = sin3x.cosx là: A sin x  C C©u 19 : Một nguyên hàm hàm số: f ( x )  x  x là: A F ( x)  C F ( x)  x2 C©u 20 : Nguyên hàm hàm số A C  4x C©u 21 : Họ nguyên hàm hàm số y  tan x là: A tan x  ln cos x +C B C tan x  ln cos x  C D C©u 22 : Hàm số f ( x)  x(1  x)10 có nguyên hàm là: A F ( x)  ( x  1)12 ( x  1)11  C 12 11 B F ( x)  ( x  1)12 ( x  1)11  C 12 11 C F (x)  ( x  1)11 ( x  1)10  C 11 10 D F ( x)  ( x  1)11 ( x  1)10  C 11 10 C©u 23 : Một nguyên hàm hàm số f (x)   2x : A C   B  x2   cos3 x  C 3  x2 B  D B C  x  1 1  x  1  (2x  1)  2x  (1  2x)  2x C B D  x2 C 4x  sin x  C D 1 C 2x    F ( x)    x  F ( x)  D tan x  ln cos x  C  tan x  ln cos x  C (2x  1)  2x (1  2x)  2x