NGUYEN HUU BAC ) Chuyên Gia Sách Luyện Thí py tL
Trang 2
PHAN |
SU DON DIEU - GIA TRI LON NHAT,
NHO NHAT CUA HAM SO CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN
DONG BIEN NGHICH BIEN CUA CAC HAM
Ge Ly THUYET
Cho ham s6 y=f(x)
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng
1 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K © Vx, x, e K, x, < x thì f(x,) < f(x,)
Hàm số y = Ấx) nghịch biến (giảm) trên K © Vx,, x, €K, x, < x, thi
f(x,) > f(x,)
2 Diéu kién cin dé ham sé don diéu: Cho ham sé f cé dao ham trén K - Nếu f đồng biến trên K thì f’(x) = 0 voi moi xeK
- Nếu f nghịch biến trên K thì 4) < 0 với mọi x e K
3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo bàm trên K - Nếu f() > 0 với mọi x e K và Ÿ{x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thuộc k thì £ đồng biến trên K
- Nếu f) < 0 với mọi x e K và ŸŒ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm
thuộc K thì f nghịch biến trên K
- Nếu f) = 0 với mọi x eK thì f là hàm hằng trên K Hai dang toan co ban
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số: + Tìm tập xác định của hàm số
+ Tinh dao ham f’(x) Tim cdc diém x, (i= 1, 2, , n) ma tai dé dao ham
Trang 3L)?Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thí
+ Sắp xếp các điểm x, theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên + Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Dang 2: Tìm các giá trị m để hàm số đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) trên khoảng cho trước
Phương pháp: Xét hàm số y=f{x) trên K
Tim tập xác định của hàm số (nếu cần) Tính f*() Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số đồng biến trên K © ƒ (+)>0,Vx e K
+ Hàm số đồng biến trên K© ƒ ()<0,Yx eK
Gi CAC DANG BAI TAP
Cho hàm bậc 3: y„=# +b +er+d (a#0) phu thuéc vao tham sé m Tìm tất cả các giá trị của tham số rrr để hàm số đồng biến trên tập xác định V > Cách giải: a>0 2
Trang 4; Chỉnh phục Câu hỏi phụ Phân Khảo sát hầm số từA đến Z a>2
Vay fe là các giá trị cần tìm của 2
Trang 5Tìm tất cả các giá trị của tham số ? để hàm số nghịch biến trên tập xác định Vỹ fe _—p^2 > Cách giải: Hàm số luôn nghịch biến trên R khi | LÊ =Ù“ =34c<0 c<0 PB Cho hàm số y=-# +23? +(2m+1)x~— 3m +2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên R > Lời giải Tập xác định: 2=R Ta có: ý'=—x? + 4x + 2m +1 Để hàm số ban đầu nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi: A›,<0©4+(2m +1)<0 << m<—Š y 2 Do đó m<~Š là giá trị cần tìm của bài toán } Vi dụ 2 ) Tìm m để hàm số y=" > lời giải: TXD: D=R\ Làm © ln nghịch biến 3m’ -6 Ta có: y'= + hàm số luôn nghịch biến khi ' <0,V+ #~3m (x+3m} â 3m2 =6<0 cm? ~2<0|2<m<ơJ2 Vay V2 <ms<J2
Bài tận van dung
1) Tim m déham s6 y=(m~1)x° +Š(m~1)z” ~3xz+2 nghịch biến trên R
Đáp số -3<m<1
2) Tìm z dé ham s6 y=-x° -2mx* + mx-2 nghich bién trén tập xác định
Trang 6¬-.ˆ F Phân Khảo sát hầm số từ A đến Z ? 3) Tìm m để hàm số y~ “#+Š x+2m nghịch biến trên tập xác định Đáp số mè e[ —2;2 ] Tìm tất cả các giá trị của tham số + để hàm số đồng biến trên khoảng (ø;+e) Vy > Cách giải: Hàm số đồng biến trên khoảng (œ;+©) khi: a>0 A'=b’ —3ac <0
a>0 > x, +2, <2a;(x, -a)(x, —a) >0
A'>0;x, <x, <a [a>0;A'>0
Cho hàm số v33 +2x? +(m+3)x+3m-2 Tim m dé ham s6
đồng biến trên khoang (1; +00) > Lời giải Tap xac dinh: D=R
Trang 8Vay hàm số đồng biến trên đoạn| 2;+œ) khi và chỉ khi 5-m>0 b <5 xo c1 N5 ST © 2m2 + tr —6 <0 Cho hàm số y=2x` -3(2m+1)x” + 6m(m +1)x +1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+œ) > Lời giải: Tập xác định D=R Ta có: y' =6x” —6(2m + 1)x + 6m(m +1); ự=0 Có A=(2m+1)ˆ ~4m(m+1)+1=1 > x= m ` x x SK ^ Ke 2 ` y=0© | nay UY hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (—œ;m) và (m +1; +00) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2; +0) khiva chikhi m+1s2<m<1 Cho hàm số y= +2z° +(m +3)x+ 3m2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+s) »> Lời giải: Tập xác định: 2=IR Ta có: y'=32 + 4x + ?m + 3 để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+0) =1>0 THỊ." 3 A'=2? — (m +3)<0 ©A'=1~m<0œm>1 Thi ham số đồng biến trên khoảng (1;+) +x, =-4
TH2: Khi A'=1—m>0=>?2<1 Theo định lý Vi-et ta có: i 5 XX, =1n+3
Trang 9_ Chuyên Gia Sách Luyện Thi
Cho hàm số: ÿ=xŸ +(1—2m)xˆ +(2~ m)x + m +2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+e)
Trang 10a Chính phục Câu hỏi phụ 2 !ần Khảo sát hàm số từ A đẩn Z
Ta cé: y'=4x° -A(m+1)x=4x|x” —m~1).Để (Cạ;) đồng biến trên (1,+e} thi y'20 yxe(1,400) <> x* -m-120 Va €(1,+0) Goi fi=x* -m-1 THỊ: x2 -m—1>0 Vxe(L+e)œ© A<0 ©4(m+1)<0 © mm <~1 A>0 m2-1 THI: f(x) =0 c6 2 nghiém x,< x,<1@ 4 f(1}20< \-m20-1<ms<0 by 0<1 2a Do m>-l, két luan -1< m<0 „„" Bai tap van dung
Trang 11»)) Mega book Tìm tất cả các giá trị của tham số ?: để hàm số nghịch biến trên khoảng (œ;+=) V > Cách giải: Hàm số nghịch biến trên khoang (a;+0) khi: a<0 A=b? -3ac<0 (ar ki #ị <#; <Œ © [x +x, <2a;(z, ~a)(x, ~a)=x,x, -a(z, +x,) +07 >0 a<0;A=b" -3ac>0 240 - we pg; © (mee) 4? >0 3a 3a 3a
Ví dự1 ) Cho hàm số y =-x° + 3x? + 3mx-1 (1) với ? là tham số thực Tìm
?m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0;+s) > Lời giải Tập xác định: D=R Cách 1 Ta có: '=~3x? + 6x + 3m Ta có: `=~3x” + 6x+ 3m <0 ©~x? +2xz+m<0 để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+s) a=-1<0 THỊ: 2 ©A'=1l+?r<0<©>m<~1 A'=1#-Œn+3)<0
Thì hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +0)
Trang 12Chinh phuc Céuhdiphu Ƒ Phần Khảo sắt hầm số từ A đến Z + Xét hàm số ƒ(*)=2#~+” với x>0 có ƒ'{x)=2-2x=0© x=1, từ đó suy ra được giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) la f)=-t Do dé dé m<2x-x?; Vx>0 khi và chỉ khi zm< ƒ(1)=~1
Kết luận ?< —1 là giá trị cần tìm của bài toán
Tìmm đểhàmsố y = “ * — 3 (C„ )luôn nghịch biến trên khoảng [2,+)
> Lời giải TXĐ: D=IR\{m}
Trang 13Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thú Sc RBREEEEEEEREE: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (—=;ø) V > Cach gidi: Ham số đồng biến trên khoảng (~s;œ} khi: a>0 A'=bˆ ~ 3ac<0 a>0 -„J*1*%2 >20;(xị —œ)(*z =ø)>0: A'>0;x› >3i>Œ a>0;A'>0 Cho hàm số y= +) 2z? + mx +2 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên khoảng (-~;1)
> Lời giải: Tập xác định D=IR Ta có: Y=#ˆ- 4x +m
Vậy hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi y'=x” - 4x + m >0,V+xe (-s;1)
m> ƒ(x)=—xˆ + 4x, V+x€(T—e;1) © mz m if) —o;]
Ta có: f'(x)=4-2x, x e(~œ;1) suy ra y/)r/0}3 Vậy?m >3 là giá trị cần tìm
Cho hàm số yaar ~2x2 + mx+2 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên khoảng (—=; 1)
> Lời giải: Tập xác định D=R Ta có: y'=x2-4x+m
Vậy hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi '= x7 — 4x + m>0,Vxe (-=;1)
a=1>0
A'=2?-m<0
khoảng (—;1)
THỊ: | ©A =4—-1t<0©>m >4thì hàm số đồng biến trên
TH2:Khi A'=4_ m >0— m< 4 Theo định lý viết ta có: G Ce ‘1 Xp
Trang 15.)WWegabook 5M 1 17 .— Cho hàm số y=-+” +4z? +(m~3)x+2m +3 Tìm ? để hàm số nghịch biến trên khoảng (—œ; 2) > Lời giải Cách 1: Tập xác định: D=lR
Ta có: y'=—3x* + 8x + m—3, dé ham s6 nghịch biến trên khoảng (—œ;2) THỊ PP 5<9 ˆ |A'=4? +3(m— 3)<0 - © A'=3m+7 = om <0 <> m<— = >> thi hàm số nghịch HT -^
biến trên khoảng (—œ;2)
TH2: Khi A'=3m+7>0=m>—
Theo dinh ly viét ta có:
Dé ham số nghịch biến trên khoảng (—œ;2) khi:
sane SE © 54 (VN)
(= -2)-(x, -2)>0 XX, —2(x, +x, )+4>0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (—œ;2) khi ø< = Cách 2: Tập xác định: D=IR
Tà có: y'=-3x" + 8x +m—3 déham số nghịch biến trên khoảng (~œ;2) khi
và chỉ khi y'=-3x? +8x+m-3<0, Vxe(-s;2)}© m< ƒ(x)=3a° ~8x+3,Vz c(—ø;2} =>m<min f(x)
xe(-<0;2)
Ta cé: f’(x)= 6x-8, P'(x)=0 2 x =Š Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
se ne4p*/ DJ 5 Vậy giá tri can tim cha m la m <2,
Trang 16
tiga Khảo sát hàm số! ea dé
Trang 17Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thí a>0>xi<ữœ<B<*z¿ '{z)}<0;Vxe|ơ,BÌ<© #4 <#›2<œ< f(z) (s8) 4a _„|Zt<#a <œ<B œ<B<#I <#2 #j <#a <œ<B s<0=| f'(x)>0;vxe(a,B) œ<B<#1<#2 a>0>xị<œ<B<*#¿ } Vi dụ 1) Cho hàm số y=x! —2mx2 — 3m +1
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;2)
> Lời giải: Tập xác định D = R Ta có: y'=4+Ÿ ~ 4mx =4x(x” ~ m)
Nếu m<0='>0,Vze(1;2) nên <0 thỏa mãn
Nếu m > 0 suy ra y`=0 có nghiệm phân biệt x = —m;x=0;x=¬lm
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (vin ; 0) , (Vm ; +0) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) khi và chỉ khi Vm<lemsl Vay gid tri cần tìm của m là (_—œ;1] Cho hàm y=-x +(m+l)x” +2mx +5 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2} > Lời giải: Tập xác định: D=lR Ta có: y'=-227 +2(0m+1)+ + 2m > 0,Vx e (0;2) Do a=-2 < 0 nên Hàm số đồng biến trên [xix | khi va chi khi y'20,Vx €(0;2) Lap bang bién thiên hàm số f(x) trên + e(0;2) ta suy ra: {vo [2 +2(m+1).0+2m >0 >2m>0 [m>0 ' <âđmmm> y'(2)>0 2.2? + (m-+1).2+2m> 0 6m >4 [m2 “= Vậy m >ã là giá trị cần tìm J Bai tap van dung 3
a) Cho ham sốy=-2x +(m+1)x? +2mx + 5 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
DS: m>0
Trang 18Chỉnh phục Câu hội phụ Phần Khảo sắt hầm b) Cho ham sy =-33" +(m~—1)x” +(m+3)x~—1 Tìm m để hàm số đồng biến trên (0; 3) 12 ĐS: S: 7 7 m>—, Tìm tất cả các giá trị của tham số zm để hàm số nghịch biến trên khoảng (ø;B) Vy > Cáchgiải: Để hàm số nghịch biến trên khoảng (ø;B) do hàm số nghịch biến 0 trên mộtkhoảnghữu hạn đó thì z< 0mà y'<0;Ơx e(,B) â (a) <0,y'(B)<0 Cho hàm vảy +ứm~1)x? +(2m~1)x +5 Tìm m để hàm số
nghịch biến trên khoảng (0; 3)
Trang 19))Megabook 5W” Gia Sach Luyén Thi
Xéthàm số ƒ ()=3xˆ +6z trên vz e(0;1) có ƒ'(x)=6x+6 >0 ,vxe(0;1)
nên hàm số f(x) đồng biến0 =3.02 + 6.0< ƒ(x)< 3.12 +6.1=9œ0< ƒ(œ)<9
Lập bảng biến thiên ham sé f(x) trén z e (0;1) ta suy ra >9 © ms<-9
3) Bài tap van dung
a) Cho ham sé y=2mx? — 3(2m +1) x7 +6(2—m)x+m nghịch bién[1;2] DS: m>t 2 'b) Cho hàm số y= +) ~(m+1)x? +2.(m— 1)x + m nghịch biến(0;4) DS: m<1 Tìm tất cả các giá trị của tham số ? để hàm số đồng biến trên đoạn có độ đài bằng k V > Cách giải: Bước 1:Tính '=3ax2 +2bx + 0
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến fs g0:
Bước 3: Biến đổi thành |xị ~+a|=k ©(xị+xa)” ~4xx; =kˆ (2) + =_P 44x12 = QZ -_ Bước 4:Si dụng định lí Vi-et 3“ đưa (2) thành phương trình theo m 11.2 = x is
Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chon nghiệm
Cho Y=—2X” + + m2) (1) Tim m để hàm số (1) đồng
biến trên đoạn có độ dài bằng 4
> Lời giải Tập xác định: 2= IR
Ta có: y'=—x? +2mx +m—2có A'= m? +m~—2
+ Nếu A'=m” +m~2<0>-2<m<l và a= -1<0 thì khi đó hàm số nghịch biến trên R, do đó không thỏa mãn
Trang 20
D1 71177 ROS eae eee 061 7ẢV 7A a”
+ Nếu A'=mˆ+m-2>0© me va a= -1<0 khi đó y' = 0 có 2
nghiệm phân biệt x„ x, (x,<x,) và hàm số đồng biến trong đoạn [x,;x.] với độ dai |x, -x,|=4 Theo định lý Vi-ét ta có: x, + x, =2m,x,xX, = 2—~m, Hàm số đồng biến trên độ dài bằng 4 khi và chỉ khi l = 4 |x, -x,|=4< (x, -x,) =(x, +x,) —4x,.x, =4m? -4(2-m) =16 ©m°+m-6=0<>m=2;m = -3 Vậy m = 2 hoặc m =-3 thì hàm số đồng biến trên độ dài bằng 4
Bai tap van dung
a) Cho y= 3x + mx? s(ma2n—3 (1) Tim m để hàm số (1) đồng biến
trên đoạn có độ dài bằng 4 ÐS: ma
b) Choy = -3x" +(m+2)x? —4x +8 () Tìm m để hàm số đồng biến
m=-24+V5
m=~2—xl5`
c) Cho y =—x” +(m—3)xŸ + 5x +8 (1) Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 ÐS: không có giá trị m thỏa mãn
trên đoạn có độ đài bằng 2 ÐS: | 4 cAc gid tri cha tham số zn để hàm số nghịch biến trên đoạn ' có độ đài bằngk ˆ ˆˆ ms r 3> Cách giải: Bước 1:Tính y' = 3ax* +2bx +e a>0
Trang 21
Rites tokens (/007en Gia Sich Luyén Thi
c
Bước 5: Giải phương trình (= ay -4 (é
3a 3a )- kP (3)= m, so voi diéu kién (1) dé chon nghiém
Cho hàm số ÿ =xŸ —3mx? +3x+3m—4.Tim m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1
> Lời giải: Tập xác định: D = IR Ta có: '= 3(x? —2mx+ ))
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình y'=0 có hai nghiệm x; x, thỏa mãn |xz — z1 =1 A'=m2~1>0— |m2>1 |xa xy | =1 *⁄ị +*ạ =2 Điều này tương đương với 2 (xị +xa}“ —4x.x; =1 Theo định lý Vi-ét ta có: | thay vào (°) ta được: m2 >1 cm= 2 Vay m= 45 là giá trị cẩn tìm V5 4m2 ~4=1 2 Cho hàmy=x”—3(m+1)x?+9x—m () Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 #j.#a =1 > Lời giải Tập xác định: D=IR Ta có: y'=3x” —6(m+])x +9 <0 @ x? ~2(m+1)x+3<0 CóA'=(m+1)~3=(m+1~x/3)(m+1+ 3)
+ Nếu A'<0<>~1~x/3 <m < ⁄3~—1 và a= 3>0 thì khi đó hàm số đồng biến trên R, do đó không thỏa mãn
m>v3-1 m<-l- 3
XX, (x,<x,) và hàm số nghịch biến trong đoạn {x¿ x,] với độ dai |x; - x, | =2
Trang 22SESS a ñ Chẳnh phục Câu hỏi phụ Phân Khảo sát hàm số từ A đến Z oS
oe) Bai tap van dung
a) Cho ham y = x’ —3m’x-2m (1) Tim m dé ham s6 (1) nghich bién trên đoạn có độ dài bằng 2 DS: m=+1 b) Cho hàm y = x? -3mx?—3x+3m-4_ () Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 v5 DS: mat
c) Tim m dé ham sé yer? ~3(m ~1)x? +3.(2m+1)x+1 nghịch biến
trên đoạn có độ dài lớn hơn 2x5, ÐĐS: m<-—1;m >5,
Trang 23| Rte D4000) (00.00 109 10 LỆ : Chuyên Gia Sách Luyện Thi GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BÃ tí THUYẾT - Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập hợp D(D c R)
+ Nếu tổn tại một điểm x, ¢D sao cho f(x)< f(x))véi moi xe D thi sé M = ƒ(ạ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ƒ trên D
+ Nếu tồn tại một điểm z„ e D sao cho ƒ()> ƒ(ạ) với mọi xe Dthì số ?.= ƒ(xạ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ƒ trên 7
Các bước tìm GTLN và GTNN:
- Giả sử hàm số liên tục va xác định trên đoạn [ ø;ð]
B1:Tìm các điểm :,%¿ *„ thuộc (a;b) tại đó hàm số ƒ có đạo hàm bằng0 hoặc không có đạo hàm
Ba: Tinh ƒ(*4), f(%;} ƒ(x„), Ƒ(2) và ƒ(b)
B3: Vẽ bảng biến thiên
B4: Từ bảng biến thiên ta suy ra được số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của ƒ trên đoạn [s;b |, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của ƒ trên đoạn[ z;b |
Đối với bài toán thuộc loại tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một tập số thực cho trước Ta sẽ ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của
hàm số để giải bài tốn mà khơng cần lập bảng biến thiên theo các bước sau:
Giả sử hàm số liên tục trên đoạn [ø;b]
+ B¡; Tìm các điểm x,,%,, ,x,, thudc(4;b) tai dé ham sé f cé dao ham bảng 0 hoặc không có đạo hàm
+ B2:Tính ƒ(,),ƒ(%;}, ƒ(x„), ƒ(a) và ƒ()
+ B3: So sánh các giá trị tìm được
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của ƒ trên đoạn [a;b | , SỐ nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của ƒ trên đoạn |[;b |
Trang 25
-))WVilegabookc Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Trang 26oe Oe em OLR MYL SLR Re Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x)=x°-32+3 trén đoạn xe [0:2] > Lời giải TXĐ: D= Ta có ƒ()=x°-3x+3 xác định và liên tục trên đoạn ze [9:2] Xét ƒ'+)=3a2 3= ƒ'(x)=0x=+1 Xét đoạn ze[ 0;1],ta có ƒ'(x)<0 do đó hàm nghịch biến: 1=ƒ<ƒ)< /()=3 Xét đoạn xe[1,2], ta có ƒ')>0 do đó hàm đồng biến: 5=ƒ/@)> ƒ)> /)=1 Vậy may ƒ@)= ƒ2)=5: mụn ƒG)= ƒ ()=1
: ) Bai tap van dung
Trang 27
30
Chuyên Gia Sách Luyện Thí
Trang 28MICHAEL JORDAN
Trang 2932 PHAN Il CUC TRI CUA HAM SO Gy Lí THUYẾT 1 ĐỊNH LÝ 1 Gia sử hàm số = ƒ() liên tục trên khoảng K = (x, —hyx, + h) và có đạo hàm trên K hoặc K\{x„} (>0) a) f')>0 trên (x,-h; x,) và F'(x)<0 trên (x3 X, + h) thi x, la một diém CD cua f(x) b) Ÿœ)<0 trên (x,-h; x,) và f'(x)>0 trên (x, x, +h) thi x, ld mét diém CT cua f(x) Nhận xét: Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định Quy tac 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 1) + Tìm tập xác định + Tinh f(x) Tim cdc điểm tại đó f'(x) hoặc f*(x) không xác định + Lập bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên dựa vào định lý 1 suy ra các điểm cực trị 2 ĐỊNH LÍ2
Giả sử y = f(x) cé dao ham c&p 2 trong K =(x, —h;x, + h) (h>0) a) Néu f’(x,)=0 ,f”(x,)>0 thì x, là điểm cực tiểu
b) Nếu £',)=0 ,f”(,)<0 thì x, là điểm cực đại
Quy tắc 1 tìm cực trị hàm số (dựa vào định lý 2)
+ Tìm tập xác định
Trang 30
+ Tim f(x) va tinh f”()
+ Dựa vào dấu của f”(x) suy ra tính chất cực trị của X,
3 CAC DANG TOAN THUONG GAP
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số cho trước
+ Phương pháp: Dựa vào quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 Dạng 2: Điễu kiện để hàm số đạt cực trị
+ Tìm tập xác định D của hàm số; + Tính f();
+ Hàm số đạt cực trị tại x, € D suy ra f') đối dấu khi qua Xụ Gi CAc DANG BAI TAP
1 CUCTRI CUA HAM BAC3
Cho ham sé y = ax’ + bx” +cx+d (a #0) trong dé a,b,c, dchita tham s6 m
Tim m dé-d6 thi ham sé bac 3 có cực tiểu; cực đại? : V
> Cáchgiải:Để đồ thịihàm số bậc 3 có cực tiểu, cực đại© i z9 2 =>m từ đó suy ra giá trị của m A'=b —3ac>0 } Vi dụ 1 )Cho hàm số /=+” +34” +(n—3)x—B5 (C) Tìm r để đồ thị hàm
số bậc 3 có cực tiểu, cực đại? > Lời giải: Tập xác định: D=lR
Ta cé: y'=3x? +6x+m-3
Để hàm số có cực dai, cuc tiéu << phuongtrinh y'=0 cé hai nghiém phan biệt và ` đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó:
Ẩ©A'=3† ~ 3.(m— 3) =18— 3m >0 c> m<6-
}Vi dụ 2 )Cho hàm số y=x° + 3x” + mx + m — 2 (C);đn là tham số Tùy theo giá
trị của m, biện luận số cực trị của hàm số > Lời giải: TXĐ: D=R
Ta có: y'=3x”+ốx+m;y'= 0 có A'=9~3m,
Trang 31
34 »») Mega book Chuyên Gia Sách Luyện Thí + A'<0€©.9-3 <0 © m >3 ¬ hàm số khơng có cực trị + A'>0©9—37m >0 © m < 3 > hàm số có 2 điểm cực trị
Bai tan van dung
a) Cho ham số y=x° + 2x? + 3(m—-3)x-1 (C) Tim m dé dé thi ham số bậc 3 có cực tiểu, cực đại? ĐS: m <= b) Cho hàm số y=2* + mx? +2mx-—m-3 (C) Tim mm để đồ thị hàm số <0 >6" c) Cho hàm số V=342 +3” +(mÊ ~3m + 1)x~m~3 (C) Tìm mè để đồ thị hàm số bậc 3 có cực tiểu, cực đại? ĐS: 0 <m < 3 bậc 3 có cực tiểu, cực đại? ÐS:
Timm dé dé thị hàm số bậc 3 không có cực tiểu, cực đại? y
> Cách giải: Để đổ thị hàm số bậc 3 không cực tiểu, cực đại a#0 ; = m: tl đó suy ra giá trị của m
A'=bˆ—3ac<0
Cho bàm số y=3e" +mx? +(4m—3)x—5 (C)CTim mè để đồ thị hàm số bậc 3 không có cực tiểu, cực đại? - _
> Lời giải: Tập xác định: D=IR Ta có: ÿ'=+x? + 2mmx + 4m — 3
Để hàm số không cực đại, cực tiểu © phương trình '=0 không hai
nghiệm phân biệt hoặc ' không bị đổi dấu khi đi qua hai nghiệm phân biệt
của phương trình: © A'=rm? — (4m — 3) = tr” — 4m + 3<0 <1<m<3 a) Cho hàm số ý=3” +22” + 5mx + 3—1 (C) Tìm mè để đồ thị hàm số 4 bậc 3 không có cực tiểu, cực đại? ĐS: 2> 15: 1
b) Cho hàm số y=z-+` + mxÌ +(Am~3)x+5m=4 (C) Tìm m để đồ thị
hàm số bậc 3 có không cực tiểu, cực đại? ĐS: 1<?<3
bà 00 0221006001, 101 00A
Trang 32- Chính phục Câu hỏi phụ 2 if
Phân Khảo sát-hàm số từA đốn - A
c) Cho ham s6 =+Ÿ - 4x +(2m + 5)x + 3m + 4 (€) Tim m để đồ thị hàm
số bậc 3 không có cực tiểu, cực đại? ÐS: < Tim m sao cho ham sé bậc 3 có 2 cực trị phân biệt hoành độ uy > Cách giải: Bước 1: Tính y=3ax” +2bx +c =0 Bước 2: Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y =0 có 2 nghiệm phân biệt
⁄ 0 sân Tân cố Xem để hàm cế cá Ta có J“Z > (*); suy ra diéu kiện của tham số m để hàm số có A'=b -3ac>0 cực đại, cực tiểu -2b X, +X, = Sa Bước 3: Theo định lý Vi-et ta có ° 2 X,.%, = d2 3a Bước 4: Để hàm số bậc 3 có 2 cực trị phân biệt hoành độ dương thì: -2 S=x,+x,= =2b >0 3a >m (1) P=x,.%, =~ >0 3a Từ (*) và (1) suy ra m cần tìm ]Vidụ1 )Cho hàm số ÿ =(m+ 2)x' +32” + mx—5 (CV Tìm m để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng đều đương > Lời giải Tập xác định: D=IR
Ta có: y'=3(m+2)3” + 6x + m
Trang 3336 .})NMiegabook Chuyên Gia Sách Luyện Thí *¡ +#¿ =— 2 2 >0 Mặt khác, áp dụng định lý Vi-et ta được: m m ©®m<0 Xi, = 2 >0 m Két hop voi diéu kién tacé me (-3;0) \ {-2} là giá trị cần tìm của bài toán ‘ ) Bài tập vận dung a) Cho hàm số =2 +ix? +(3m—2)x—1 (C) Tìm để đồ thị hàm số (c) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng đều dương DS: S<m<l hoặc t >2
b) Cho ham sé y=2° — 3x? +(2m~1)x+4 (C) Tim m để đồ thị hàm số
(C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng đều dương
DS: < m<2
c) Cho hàm số y~3+ˆ ~2x? +(m-2)x+7m-1(C) Tim m để đồ thị
Trang 34- Chính phục Câu hỏi phụ Phân Khảo sát hầm số từ Ä đến Z 5 -2b S=x,+xX,= a <0 a so với điểu kiện để có cực trị, suy ra m P=x,.X, =a.<0 Cho hàm số y=2z° -3(2m+1)x?+6m(m+1)x+1 (C) Tìm m
để đồ thị ham sé (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng đều âm
> Lời giải Tập xác định: D=R
Ta có: y'=6x? —6(2m +1)x + 6mm + 1)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu © phương trình '=0 có hai nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó: ©A'=(2m +1Ỷ ~ 4m(m+1)=1>0 © me Khi đó gọi #;;*; lần lượt là hoành độ của hai điểm cực trị, theo giả thiết #,+1%,<0 x, <0 hy chúng ta có: | Mặt khác, áp dụng định lý Viet ta được: X, +X, =2m+1 „ do đó từ hai ues XI; =m(m+1) ` 2m+1<0 _ ae ¬
điều trên suy ra: m(m+1)<0® "Š _b-2 là giá trị cần tìm của bài toán
Trang 3538 OUT VÀ Chuyên Gia Sách Luyện Thí Tìm ?rr để hàm số bậc 3 có 2 cực trị hoành độ cùng đấu nhau? y > Cách giải: Bước 1: Tính y= 3ax?+2bx+c=0 Bước 2: Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: az0 ` Ta có 3 (1) suy ra diéu kién của tham số m để hàm số A'=b“-3ac>0 có cực đại, cực tiểu Bước 3: Đề hàm số bậc 3 có 2 cực trị cùng dấu nhau thì: P=x,x, >0 2 — >0 (2) Từ (1) và (2) suy ra m 1
Cho ham s6 y=3%? + m2” +(m+6)x-2m-1 (C) Tìm m dé dé
thị hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng cùng dấu > Lời giải Tập xác định: D= Ta có: ÿ'=+ˆ +2mx + m +6 Để hàm số có cực đại, cực tiểu © phương trình '=0 có hai nghiệm phân m>3 m<—2° Khi d6 goi %1/% lan lượt là hoành độ của hai điểm cực trị, theo giả thiết chúng ta có: +,+; >0 biệt và ⁄ˆ đổi đấu khi đi qua hai nghiệm đó = A‘ =m’ —m~6>0e #¡ +*, =—2:
Trang 36; Chính phục Câu hỏi phụ Phân Khảo sát hàm số từ A đất Z ˆ đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng cùng dã DS: m>3 3 met 2
b) Cho hàm số yoie +(m—2)x? +(2m-5)x—2m-1 (C).Tim m dé
đồ thị hàm sé (C) cé hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng * m#3 cing dau DS: 5- Tn>~— ©) Cho hàm số y= +(m-1)x* +(5m—1)x-2m-1 (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) có haŸ điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng cùng dấu m>2 DS: | 1 —<m<1 5 Tìm m sao cho hàm số bậc 3 có 2 cực trị phân biệt và có hoành độ đối nhau? Á > Cách giải: + Bước 1: Tính y= 3ax” +2bx+c =0
Trang 37
Cho hàm số =2x” ~ 3(0m + 2)x” + 6(5m +1)xz—4m° +2 (C) Tìm
rr để đô thị hàm số (C} có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng đối nhau
> Lời giải Tập xác định: D=IR
Ta có: `=6x” ~ 6(m + 2)+ + 6(5m + 1)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu © phương trình y'=0 có hai nghiệm
phân biệt và ' đổi dấu khi di qua hai nghiệm đó: m>16 +<0 ` Khi đó gọi x,;x, lan lugt la hoành độ của hai điểm cực trị, theo giả thiết =A'=( +3 =4(Sm+1)=nÈ =l6m> 0= chúng ta có: +, +z, =0 x toe : " #ị +3; =1? +2 ¬ hant aE
Mặt khác, áp dụng định lý Vi-et ta được: X,x,=Sm+1 , do đó từ hai điều
trén suy ra: m=—2 là giá trị cần tìm của bài toán
|! Bai tap van dung
a) Cho hàm số y=x° —2(m+1)x? +(10m—2)x-2m+1 (C) Tim m dé dé thi ham sé (c) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng
đối nhau DS: m=-1
b) Cho bàm số v=3z` ~2m+2)x? +3(2m +1)x— 5m +1 (C) Tìm m
để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của
chúng đối nhau ĐS: m=-2
c) Cho ham s6 y=x° -3mx? +3.3m-1).2+5m+1 (C) Tìm m dé đồ
Trang 38Phân Khảo sát hầm số HỘ" es az0 Ta có ; (1) suy ra điểu kiện của tham số m để hàm số A'=b -3ac>0 : có cực đại, cực tiểu -2b Xị+X; TẾT” Bước 3: Theo định lý Vi-et ta có: a XX, =— 3a
Bước 4: Để hàm số bậc 3 có 2 cực trị nghịch đảo của nhau thì:
P=x,x, =l€ T=l@c=3a => A'= bổ —6a” >0 Suy ra m a
Cho hàm số y~3+ +(m—2)3? +(5m+4)x+m° +1 (C) Tìm m
để đồ thị hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ
của chúng là nghịch đảo của nhau > Lời giải Tập xác định: D=R
Ta có: `=+xˆ + 2(m~— 2)x + 5m + 4
Để hàm số có cực đại, cực tiểu © phương tình y'=0 có hai nghiệm phần biệt và ' đối dấu khi đi qua hai nghiệm đó:
©A'=(m~2Ÿ ~(Bm + 4)= m° -9m>0e| mo;
m<0
Khi đó gọi x,;x, lần lượt là hoành độ của hai điểm cực trị, theo giả thiết
chúng ta có: #;#Z; =1
X, +x, =2-
Mặt khác, áp dụng định lý Vi-etta được: 4”? 3 X,X, =Sm+4 ™ do dé tii hai diéu
trén suy 1a: “~=—— 5 giá trị cần tìm của bài toán
S) Bài tập vận dụng
a) Cho hàm số v33” +2#” +(2m —1)x+ m° +1 (C) Tìm m để đồ thị
hàm số (C) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng là nghịch đảo của nhau ÐS: ø = 1
b) Cho hàm số v=3x" +3(m—-1)x? +(3m—5)x+3m+1 (C) Tim m để đồ thị hàm số (C ) có hai điểm cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng là nghịch đảo của nhau ĐS: =2
®
Trang 3942
c) Cho ham số y=2x° +3.(m—2)x? +(m-3)x+2m—3 (C) Tìm m để đồ thị hàm số (C) cé hai diém cực trị phân biệt đồng thời hoành độ của chúng là nghịch đảo của nhau ĐS: =4 Tìm ?t hàm số bậc 3 có 2 cực trị phân biệt với x, = kx,;x, =kx, +n > Cách giải: Bước I: Tính y=3ax” + 2bx +c = 0 : Bước 2: Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: a0 * A'=bỶ—3ac >0 Ta có (L suy ra điều kiện của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu x,+x,=—2 (2) Bước 3: Theo định lý Vi-et ta có: ° 3a XX, = 3a @®) Bước 4: Để hàm số bậc 3 có 2 cực trị với hoành độ thỏa mãn x; = k.x, (4) x = TP _ - x, +x, => * 3a(k+1) Từ (2) và (4) : 3a <© bk thé vao (3) xX, =kx, X;=——— 3a(k+1) 4b? k c mm 4b? k =3ac(k+1) >m
Cho ham sé y~3z —mx? +(m+1)x+1.Tim ?m để hàm số có hai điểm cực trị phân biệt thỏa mãn x, =2x,
> Lời giải Tập xác định:
Tà có: '=x” —2mx + m +1, Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị khi và
chỉ khi: '=0 có hai nghiệm phân biệt và „' đổi dấu khi đi qua hai nghiệm đó A0 ©m?—m—1>0
Trang 40Chính phiạc Câu hỏi phu,- Phân Khảo sắt hàm số từ A đến Z *, +; =2m Xx, =m+1 Mặt khác, theo gia thiét: x, =2x, do vậy ta có hệ phương trình: X, = 2x, x _2m, _m 2 X,+%,=2mea, 1 3" ? 3> =m +1 2m ~ 9m —9=0 XX, =m+1 XxX, =m+1 Két hgp véi diéu kiện ban đầu suy ra giá trị ? cần tìm thỏa mãn hệ phương trình
) Bài tập van dung
a Cho hàm số y=5e —?mzˆ + (mm + 1)x + 1 Tìm mm để hàm số có hai điểm cực trị phân biệt thỏa mãn x? + x,x?2 - 2x? =0
m=2(1~42)
m=2(1+42)