0102 HS1 toan TS10CVP 1112 CT

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất thí sinh (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) ———————————— Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P( x)  1  1 x 1 x a) Rút gọn P( x) b) Tìm giá trị x để P( x)  2 Câu (3,0 điểm) Cho f ( x)  x2  (2m  1) x  m2  ( x biến, m tham số) a) Giải phương trình f ( x)  m  b) Tìm tất giá trị m để đẳng thức f ( x)  (ax  b)2 với số thực x ; a, b số c) Tìm tất giá trị m biểu thức P  để phương trình f ( x)  có hai nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 ) cho x1 x2 có giá trị số nguyên x1  x2 Câu (3,0 điể Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP  R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) điểm M (điểm M khác điểm A) a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng vuông góc với AB điểm O cắt đường thẳng BM điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON điểm I; đường thẳng PN đường thẳng OM cắt điểm J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Câu (1,0 điể Chứng minh rằng: a3  b3  c3  a b  c  b c  a  c a  b Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tồn cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn hệ:  p   x  2  p   y Hết Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: .……………………………………… Số báo danh: ………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Dành cho tất thí sinh I HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác đủ bước cho điểm tối đa - Trong câu, bước bị sai bước sau có liên quan không điểm - Câu hình học bắt buộc phải vẽ hình chấm điểm, thí sinh hình vẽ phần giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần - Điểm toàn tổng điểm ý, câu, tính đến 0,25 điểm không làm tròn II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu (2,0 điểm a) 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm  x    x 1 1  x  Điều kiện:  Khi đó: P( x)  0,50 1 x 1 x  P( x)  1 x (1  x )(1  x ) 0,50 b) 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm Theo phần a) có: P( x)  2   2 1 x   1   x  1  x  (thỏa mãn điều kiện) Mỗi dấu  cho 0,25 điểm 1 x 0,25 0,75 Câu điểm a 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm 0,25 Thay m  vào PT f ( x)  ta có: x  3x   (1) PT(1) có: a  b  c     Vậy PT có hai nghiệm là: b) 1,0 điểm ội ung t ình b y 2 1  1 1   Với m ta có: f ( x)  x   m   x   m    m2    m   2  2 2     1    f ( x)   x   m     m    m    2    0,50 0,25 iểm 0,25 0,25     f ( x)   x   m      m    Suy ra: để f ( x)   ax  b   m  0,25 3 Vậy tồn giá trị m  thỏa mãn yêu cầu 4 0,25 c 1,0 điểm ội ung t ình b y  x1  x2  2m  m  2m  5 P    P  2m   Khi ta có:  (*) 2m  4(2m  1) 2m   x1 x2  m  f ( x)  có nghiệm phân biệt     2m  1  4(m2  1)   4m    m  Do m  , nên 2m   , để P  phải có: (2m  1) ước  2m    m    P  Vậy giá trị m cần tìm 2.2  HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 Với m  thay vào (*) có: P  2.2   iểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu điểm a 1,0 điểm: x N P J I Ta có: PAO  PMO  900 0,50  PAO  PMO  1800  tứ giác APMO nội tiếp 0,50 b 2,0 điểm: M K AOM ; OP phân giác góc AOM  AOP  AOM  ABM  AOP (2 góc đồng vị)  MB // OP (1) Ta có ABM  A O B 0,25 0,25 Ta có hai tam giác AOP, OBN  OP = BN (2) Từ (1) (2)  OBNP hình bình hành 0,25  PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ Ta có: PM  OJ  I trực tâm tam giác POJ  IJ  PO (3) 0,25 0,25 Ta lại có: AONP hình chữ nhật  K trung điểm PO APO  NOP 0,25 Mà APO  MPO   IPO cân I IK trung tuyến đồng thời đường cao  IK  PO (4) Từ (3) (4)  I, J, K thẳng hàng 0,25 0,25 Câu (1 điểm ội ung t ình b y iểm Ta có:  x  y   x  y   x, y  Suy ra:  a  b   a  b     a  ab  b  ab   a  b   2 2 0,25  a3  b3  ab(a  b) (1), dấu ‘=’ xẩy  a  b Từ (1) BĐT AM – GM có: a3  b3  c3  ab(a  b)  c3  abc3 (a  b)  3c a  b (do abc  ) a  b a3  b3  c3  3c a  b , dấu ‘=’ xẩy   (2) ab(a  b)  c b  c Tương tự có: a3  b3  c3  3a b  c , dấu ‘=’ xẩy   (3) bc(b  c)  a c  a a3  b3  c3  3b c  a , dấu ‘=’ xẩy   (4) ca(c  a)  b 0,25 Vậy: Từ (2), (3) (4) có: a3  b3  c3  a b  c  b c  a  c a  b (5), dấu ‘=’ xẩy  a  b  c  vô lí, abc  , hay ta có đpcm 0,25 0,25 Câu (1 điểm Nội dung trình bày Điểm Không tính tổng quát ta giả sử x  0, y  Từ phương trình p   x suy p số 0.25 lẻ Dễ thấy  x  y  p  y  x không chia hết cho p (1) Mặt khác, ta có y  x2  p  p   y  x  y  x    mod p   y  x   mod p  (do (1)) 0.25 Do  x  y  p   y  x  p  x  y  p  y  p  x thay vào hệ cho ta 2    p   2x2  p  4x 1  p 1  2x  p   2x        2  2 x  x  p 1   p  x 1  p  px  p   p  x   Giải hệ ta p  7, x  thay vào hệ ban đầu ta suy y  Vậy p  0.25 0.25 -Hết - HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 ... , để P  phải có: (2m  1) ước  2m    m    P  Vậy giá trị m cần tìm 2.2  HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 Với m  thay vào (*) có: P  2.2   iểm 0,25... ta p  7, x  thay vào hệ ban đầu ta suy y  Vậy p  0.25 0.25 -Hết - HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012