SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho tất thí sinh (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) ———————————— Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P( x) 1 1 x 1 x a) Rút gọn P( x) b) Tìm giá trị x để P( x) 2 Câu (3,0 điểm) Cho f ( x) x2 (2m 1) x m2 ( x biến, m tham số) a) Giải phương trình f ( x) m b) Tìm tất giá trị m để đẳng thức f ( x) (ax b)2 với số thực x ; a, b số c) Tìm tất giá trị m biểu thức P để phương trình f ( x) có hai nghiệm x1 , x2 ( x1 x2 ) cho x1 x2 có giá trị số nguyên x1 x2 Câu (3,0 điể Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP R Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) điểm M (điểm M khác điểm A) a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Đường thẳng vuông góc với AB điểm O cắt đường thẳng BM điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON điểm I; đường thẳng PN đường thẳng OM cắt điểm J Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Câu (1,0 điể Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c b c a c a b Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tồn cặp số nguyên x; y thỏa mãn hệ: p x 2 p y Hết Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: .……………………………………… Số báo danh: ………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ———————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Dành cho tất thí sinh I HƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác đủ bước cho điểm tối đa - Trong câu, bước bị sai bước sau có liên quan không điểm - Câu hình học bắt buộc phải vẽ hình chấm điểm, thí sinh hình vẽ phần giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần - Điểm toàn tổng điểm ý, câu, tính đến 0,25 điểm không làm tròn II ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: Câu (2,0 điểm a) 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm x x 1 1 x Điều kiện: Khi đó: P( x) 0,50 1 x 1 x P( x) 1 x (1 x )(1 x ) 0,50 b) 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm Theo phần a) có: P( x) 2 2 1 x 1 x 1 x (thỏa mãn điều kiện) Mỗi dấu cho 0,25 điểm 1 x 0,25 0,75 Câu điểm a 1,0 điểm ội ung t ình b y iểm 0,25 Thay m vào PT f ( x) ta có: x 3x (1) PT(1) có: a b c Vậy PT có hai nghiệm là: b) 1,0 điểm ội ung t ình b y 2 1 1 1 Với m ta có: f ( x) x m x m m2 m 2 2 2 1 f ( x) x m m m 2 0,50 0,25 iểm 0,25 0,25 f ( x) x m m Suy ra: để f ( x) ax b m 0,25 3 Vậy tồn giá trị m thỏa mãn yêu cầu 4 0,25 c 1,0 điểm ội ung t ình b y x1 x2 2m m 2m 5 P P 2m Khi ta có: (*) 2m 4(2m 1) 2m x1 x2 m f ( x) có nghiệm phân biệt 2m 1 4(m2 1) 4m m Do m , nên 2m , để P phải có: (2m 1) ước 2m m P Vậy giá trị m cần tìm 2.2 HDC môn ToánHS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 Với m thay vào (*) có: P 2.2 iểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu điểm a 1,0 điểm: x N P J I Ta có: PAO PMO 900 0,50 PAO PMO 1800 tứ giác APMO nội tiếp 0,50 b 2,0 điểm: M K AOM ; OP phân giác góc AOM AOP AOM ABM AOP (2 góc đồng vị) MB // OP (1) Ta có ABM A O B 0,25 0,25 Ta có hai tam giác AOP, OBN OP = BN (2) Từ (1) (2) OBNP hình bình hành 0,25 PN // OB hay PJ // AB Mà ON AB ON PJ Ta có: PM OJ I trực tâm tam giác POJ IJ PO (3) 0,25 0,25 Ta lại có: AONP hình chữ nhật K trung điểm PO APO NOP 0,25 Mà APO MPO IPO cân I IK trung tuyến đồng thời đường cao IK PO (4) Từ (3) (4) I, J, K thẳng hàng 0,25 0,25 Câu (1 điểm ội ung t ình b y iểm Ta có: x y x y x, y Suy ra: a b a b a ab b ab a b 2 2 0,25 a3 b3 ab(a b) (1), dấu ‘=’ xẩy a b Từ (1) BĐT AM – GM có: a3 b3 c3 ab(a b) c3 abc3 (a b) 3c a b (do abc ) a b a3 b3 c3 3c a b , dấu ‘=’ xẩy (2) ab(a b) c b c Tương tự có: a3 b3 c3 3a b c , dấu ‘=’ xẩy (3) bc(b c) a c a a3 b3 c3 3b c a , dấu ‘=’ xẩy (4) ca(c a) b 0,25 Vậy: Từ (2), (3) (4) có: a3 b3 c3 a b c b c a c a b (5), dấu ‘=’ xẩy a b c vô lí, abc , hay ta có đpcm 0,25 0,25 Câu (1 điểm Nội dung trình bày Điểm Không tính tổng quát ta giả sử x 0, y Từ phương trình p x suy p số 0.25 lẻ Dễ thấy x y p y x không chia hết cho p (1) Mặt khác, ta có y x2 p p y x y x mod p y x mod p (do (1)) 0.25 Do x y p y x p x y p y p x thay vào hệ cho ta 2 p 2x2 p 4x 1 p 1 2x p 2x 2 2 x x p 1 p x 1 p px p p x Giải hệ ta p 7, x thay vào hệ ban đầu ta suy y Vậy p 0.25 0.25 -Hết - HDC môn ToánHS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 ... , để P phải có: (2m 1) ước 2m m P Vậy giá trị m cần tìm 2.2 HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012 Với m thay vào (*) có: P 2.2 iểm 0,25... ta p 7, x thay vào hệ ban đầu ta suy y Vậy p 0.25 0.25 -Hết - HDC môn Toán HS1 tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên năm học 2011-2012