1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Phép chiếu song song và phép chiếu vuông góc

9 1,7K 6
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 9
Dung lượng 245 KB

Nội dung

1.2.Định nghĩa 1 Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.. Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh Gọi tắt là

Trang 1

PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG 1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH

1.1.Ví dụ mở đầu

Trong mặt phẳng cho một đường thẳng  cố định và

một véc tơ 

v 0 sao cho 

v không là véc tơ chỉ phương của

 Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M

nhận 

v làm véc tơ chỉ phương và M’ = d   Khi đó M’

duy nhất

1.2.Định nghĩa 1

Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.

Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)

Điểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M

Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’ Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì

ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M  M’

Ví dụ 1: Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo

phương

v lên đường thẳng .Ta có thể kí hiệu là: 

v

F (M) = M’

Ví dụ 2: Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu

v là véc tơ pháp tuyến của  thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng  ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) Kí hiệu là: F 

*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.

1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình

M

M'

Trang 2

Cho một hình H Tập hợp các điểm {M’=F(M) với MH} gọi là ảnh của

hình H qua phép biến hình F Kí hiệu F(H) = H’.

1.4.Tích của hai phép biến hình

*Định nghĩa 2

Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H

có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F Ký hiệu là: H

= FG.

Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = FG(M) = F(G(M)) (Có thể mở rộng cho

tích của một số phép biến hình)

2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG 

v LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG)

2.1.Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ

v

0 không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng Phép

biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:

'

'

M

n k

MM (I)

gọi là phép chiếu theo phương

v lên đường thẳng Kí hiệu là:

v

KÝ HIỆU

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By + C = 0 Ký hiệu 

n= (A; B) là véc tơ pháp tuyến của  và 

u = (B; -A) là véc tơ chỉ phương của  -Với mỗi điểm M(xM ; yM), ta ký hiệu (M) = AxM + ByM + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ;

-Nếu M0(x0;y0) thì  0 = Ax0 + By0 + C;

-Nếu M(x; y) bất kì thì (): =(M): = Ax + By + C

Trang 3

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x 0 + at , y = y 0 + bt và đường thẳng  : Ax + By +C = 0 Hãy xác định tọa độ giao điểm d và 

biết rằng Aa +Bb 0.

Giải: Đặt

v= (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó

v .

n = Aa +Bb 0 Ta cần

xác định giá trị t0 thỏa mãn : A(x 0 + at 0 ) +B(y 0 + bt 0) + C = 0

 (Aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) = 0 t0 = -

bB aA

C By Ax

 0

n

v

0 Thay giá trị t0 vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm:

x’ 0 = x 0 + at 0 , y’ 0 = y 0 + bt 0

2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương

v

Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau

*ĐỊNH LÍ 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 và

v = (a;b) sao

cho

v .

n = Aa +Bb 0 Khi đó

v

F có biểu thức véc tơ là: MM ' k v (Ia) trong đó k = - 

n

v

) (

, () = Ax + By +C.

*Chú ý: Ta xác định

n= (A; B) theo phương trình của  và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1 Chẳng hạn : : 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy 

n =(6; - 9) mà không lấy 

n

=(2; - 3) Muốn lấy 

n =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng : 0

3

2 3

2xy 

2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương

v

Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau

*HỆ QUẢ : Nếu Fvbiến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì :

kb y y

ka x x

'

'

(Ib)

trong đó k = -  

n v.

, () = Ax + By +C và

v = (a;b).

Trang 4

Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình :

d: 2x + y - 1 = 0 và : 2x – y + 3 = 0

Giải

Kí hiệu 

v = 

d

u =(1;-2) và 

n =(2; - 1) ta có:

v .

n =4 0 Lấy M0(0;1) trên

d  0 = 2.0 -1.1 +3 = 2 Khi đó k 0 =-

n v.

0

= - 2 1

Vậy

2 ) 2 ( 2

1 1

'

2

1 1 2

1 0

'

0

0

y

x

hay d   =

(-2

1

; 2)

Ví dụ 2

Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và : 4x+5y -6 = 0

Giải

Xét 

v = 

d

u =(3;-2) và 

n =(4; 5)  v .

n =2 0 Lấy M0(1;-1) d 0 = -7

Khi đó k 0 = -

n v.

0

= 2

7 Vậy

8 ) 2 ( 2

7 1 '

2

23 3 2

7 1 '

0

0

y

x

hay d   = (

2

23

;-8)

3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG

3.1.Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ pháp

tuyến

n Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:

'

'

M

n

k

MM

(II)

gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng Kí hiệu là: F  .

*Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc

Trang 5

3.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu vuông góc

*ĐỊNH LÍ 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 Khi đó F   biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:

MH =

n

k (IIa)

trong đó k = - 2

) (

n , () = Ax + By +C.

Chứng minh

Ta cần chứng minh hai ý: 

MHcùng phương với 

n (1), và H   (2).Thật

vậy: Xét hai trường hợp

- Nếu M   nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0 Khi đó từ (IIa)  HM

- Nếu M .Khi đó từ (IIa) suy ra (1) Từ k = - 2

) (

n

k2

n = - () (3) Nhân

vô hướng hai vế của (IIa) với 

n và so sánh với (3) ta có :

MH

n = - ()

 A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By +C) Ax H + By H +C=0  (2) đúng

*Chú ý : Trong định lí 3 chọn

v = 

n ta có ngay định lí 4

3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc

*HỆ QUẢ 1: NếuF   biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) thì :

kB y y

kA x x

H

H

(IIb)

trong đó k = - 2

) (

n , () = Ax + By +C.

(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên)

Ví dụ 1: Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0 Hãy tìm tọa độ hình chiếu

vuông góc H của M trên .

Giải: Tính giá trị k 0 =- 2

) (

n

o

=- 2 2

4 3

1 2 4 1 3

=-5 2

.

Trang 6

F biến M(x;y) thành H(x H ;y H )

5

2 4 5

2 2

5

1 3 5

2 1

H

H

y

x

 H

(-5

1

; 5

2 )

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9) Hãy xác định tọa độ

chân đường cao AH của tam giác

Giải: Phương trình đường thẳng BC:

5 9

5 2

4

2

x

 : 2x - 3y + 19 =0

M0 A(0;1) suy ra k 0 =- 2

) (

n

o

=- 2

2

19 3

=- 13

16

Suy ra tọa độ của H :

13

61 ) 3 (

13

16 1

13

32 2

13

16 0

H

H

y

x

 H(

13

61

; 13

32

*Ý NGHĨA

Từ nay ta có thêm một phương pháp mới để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Ưu điểm của phép chiếu theo phương 

v là: Ta có thể chọn điểm

M0(x0;y0) bất kì d sao cho việc tính toán  0 = Ax0 + By0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu 

v .

n = Aa +Bb = 0 và  0 0 thì hai đường thẳng song song tức

là hệ vô nghiệm ; Nếu 

v .

n = Aa +Bb = 0 và  0 = 0 thì hai đường thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm

*NHẬN XÉT

Từ phép chiếu theo phương 

có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trượt với trục

đối xứng 

3.4.Các hệ quả khác

*HỆ QUẢ 2

Hai điểm M 1 và M 2 cùng phía đối với đường thẳng : (M 1 ).(M 2 ) > 0.

Trang 7

*HỆ QUẢ 3

Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH =

n

) (

= 2 2

B A

C By Ax

*ĐỊNH LÍ 3

Cho một tam giác mà ba cạnh có phương trình :

D 1 : A 1 x +B 1 y+C 1 =0; D 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 =0; D 3 : A 3 x +B 3 y +C 3 =0 Gọi d 1 là đường phân giác trong của góc đối diện cạnh 1 Khi đó

a)Nếu T 1 =

2

1

n

n

3

1

n

n < 0 thì phương trình d 1 là :    

3

3 2

2

n

D n

D

b) Nếu T 1 =

2

1

n

n

3

1

n

n > 0 thì phương trình d 1 là :    

3

3

2

2

n

D n

D

KÝ HIỆU:

Với 

a = (a1, a2) và 

b= (b1, b2) ta ký hiệu T =

b

a

=

2 1

2 1

b b

a a

= a 1 b 2 - a 2 b 1 là định thức cấp hai tạo bởi 

a và 

b

Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:

Cho D1: 3x + 4y – 6 = 0 ; D2: 4x +3y – 1 = 0 ; D3: y = 0 Gọi A = D1  D2 ;

B = D2 D3 ; C = D3 D1 Hãy viết phương trình đường phân giác trong của

Ta sẽ giải ví dụ 3 trước và chứng minh định lí 3 sau:

Giải : Do A đối diện với D3 nên ta xét T3 =

2

3

n

n

1

3

n

n

=

4 3

1 0 3 4

1 0

= 12 > 0 Do đó phương trình đường phân giác trong của góc A là

4 3

6 4 3 3

4

1 3

4

x

 d3: x + y – 1 = 0

(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phương trình d3 theo phương pháp cũ)

Trang 8

Bây giờ ta chứng minh định lí 3

Gọi A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác đối diện

với các cạnh D 1 , D 2 , D 3 và d1 là đường phân giác trong của

góc A

- Phép chiếu theo phương u3  (B3; A3)lên D2 biến B thành

A, ta có:

) (

) (.

) (

3 2 3 2

3 2 3 2

A n

u

B D y

y

B n u

B D x

x

B

A

B

A

nhân các vế lần lượt với A1, B1 cộng lại và cộng thêm

C1, và do B thuộc D1 ta có: D1(A) = - . 2( )

2 3

1 3 3

n u

B A B

A

.

2 3 2

3

1 D B u n

u n

(a)

- Tương tự (đối với C): D1(A) = - ( )

.

3 2 3

2

1 D C u n

u n

(b)

- Với chú ý rằng n2 u3  n3 u2 thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:

(D1(A))2 = - ( ) ( )

) (

) ).(

(

3 2 2 3 2

2 1 3

u n

u n u n

> 0  T1.D2(B)D3(C) < 0 (c)

- Ta giả thiết M thuộc d1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: d(M, D2) = d(M, D3) (d) đồng thời

 0 ) (

).

(

0 ) (

).

(

3

3

2

2

C

D

M

D

B

D

M

D

hoặc

 0 ) ( ).

(

0 ) ( ).

( 3 3

2 2

C D M D

B D M D

 D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) > 0 (e)

- Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T1.(D2(M).D3(M)) < 0 (f)

Cuối cùng tùy theo dấu của T1 mà từ (f) và (d)  khẳng định của định lí 3 (Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng , ta cũng có thể chứng minh được định lí 5)(Xem: Phan Đức Chính- Vũ Dương

Trang 9

Thụy- Tạ Mân- Đào Tam- Lê Thống Nhất (1998), "CÁC BÀI GIẢNG LUYỆN THI MÔN TOÁN TẬP 3" NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC.).

Ngày đăng: 23/06/2013, 01:25

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w