1.2.Định nghĩa 1 Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.. Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh Gọi tắt là
Trang 1PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẳNG 1.ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng cố định và
một véc tơ
v 0 sao cho
v không là véc tơ chỉ phương của
Với mỗi điểm M , ta xác định M’ như sau: vẽ d đi qua M
nhận
v làm véc tơ chỉ phương và M’ = d Khi đó M’
duy nhất
1.2.Định nghĩa 1
Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tương ứng mỗi điểm M xác định điểm M’ duy nhất thuộc mặt phẳng đó.
Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)
Điểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M
Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’ Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì
ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M M’
Ví dụ 1: Trong ví dụ mở đầu, ta gọi phép biến hình đó là: phép chiếu theo
phương
v lên đường thẳng .Ta có thể kí hiệu là:
v
F (M) = M’
Ví dụ 2: Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu
v là véc tơ pháp tuyến của thì ta gọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đường thẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) Kí hiệu là: F
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.Ảnh của một hình qua một phép biến hình
M
M'
Trang 2Cho một hình H Tập hợp các điểm {M’=F(M) với MH} gọi là ảnh của
hình H qua phép biến hình F Kí hiệu F(H) = H’.
1.4.Tích của hai phép biến hình
*Định nghĩa 2
Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình F và G là phép biến hình H
có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình G và F Ký hiệu là: H
= FG.
Như vậy, theo định nghĩa:H(M) = FG(M) = F(G(M)) (Có thể mở rộng cho
tích của một số phép biến hình)
2.PHÉP CHIẾU THEO PHƯƠNG
v LÊN ĐƯỜNG THẲNG (PHÉP CHIẾU SONG SONG)
2.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ
v
0 không là véc tơ chỉ phương của đường thẳng Phép
biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:
'
'
M
n k
MM (I)
gọi là phép chiếu theo phương
v lên đường thẳng Kí hiệu là:
v
KÝ HIỆU
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By + C = 0 Ký hiệu
n= (A; B) là véc tơ pháp tuyến của và
u = (B; -A) là véc tơ chỉ phương của -Với mỗi điểm M(xM ; yM), ta ký hiệu (M) = AxM + ByM + C là số thực khi thay tọa độ của M vào vế trái ;
-Nếu M0(x0;y0) thì 0 = Ax0 + By0 + C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (): =(M): = Ax + By + C
Trang 3Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x = x 0 + at , y = y 0 + bt và đường thẳng : Ax + By +C = 0 Hãy xác định tọa độ giao điểm d và
biết rằng Aa +Bb 0.
Giải: Đặt
v= (a;b) là véc tơ chỉ phương của d, tacó
v .
n = Aa +Bb 0 Ta cần
xác định giá trị t0 thỏa mãn : A(x 0 + at 0 ) +B(y 0 + bt 0) + C = 0
(Aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) = 0 t0 = -
bB aA
C By Ax
0
n
v
0 Thay giá trị t0 vào phương trình d ta xác định được tọa độ giao điểm:
x’ 0 = x 0 + at 0 , y’ 0 = y 0 + bt 0
2.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu theo phương
v
Bài toán trên cho phép ta chứng minh định lí sau
*ĐỊNH LÍ 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 và
v = (a;b) sao
cho
v .
n = Aa +Bb 0 Khi đó
v
F có biểu thức véc tơ là: MM ' k v (Ia) trong đó k = -
n
v
) (
, () = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định
n= (A; B) theo phương trình của và giữ nguyên nó trong mệnh đề 1 Chẳng hạn : : 6x – 9y +2 = 0 thì ta lấy
n =(6; - 9) mà không lấy
n
=(2; - 3) Muốn lấy
n =(2; - 3) ta phải biến đổi về dạng : 0
3
2 3
2x y
2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phương
v
Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau
*HỆ QUẢ : Nếu Fvbiến M(x;y) thành M’(x’;y’) thì :
kb y y
ka x x
'
'
(Ib)
trong đó k = -
n v.
, () = Ax + By +C và
v = (a;b).
Trang 4Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng có phương trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và : 2x – y + 3 = 0
Giải
Kí hiệu
v =
d
u =(1;-2) và
n =(2; - 1) ta có:
v .
n =4 0 Lấy M0(0;1) trên
d 0 = 2.0 -1.1 +3 = 2 Khi đó k 0 =-
n v.
0
= - 2 1
Vậy
2 ) 2 ( 2
1 1
'
2
1 1 2
1 0
'
0
0
y
x
hay d =
(-2
1
; 2)
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đường thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và : 4x+5y -6 = 0
Giải
Xét
v =
d
u =(3;-2) và
n =(4; 5) v .
n =2 0 Lấy M0(1;-1) d 0 = -7
Khi đó k 0 = -
n v.
0
= 2
7 Vậy
8 ) 2 ( 2
7 1 '
2
23 3 2
7 1 '
0
0
y
x
hay d = (
2
23
;-8)
3.PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC LÊN ĐƯỜNG THẲNG
3.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng và véc tơ pháp
tuyến
n Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:
'
'
M
n
k
MM
(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng Kí hiệu là: F .
*Lưu ý : ta thường sử dụng H thay cho M’ trong phép chiếu vuông góc
Trang 53.2.Biểu thức véc tơ của phép chiếu vuông góc
*ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho : Ax + By +C = 0 Khi đó F biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:
MH =
n
k (IIa)
trong đó k = - 2
) (
n , () = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai ý:
MHcùng phương với
n (1), và H (2).Thật
vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M nghĩa là (M) = 0 suy ra k = 0 Khi đó từ (IIa) HM
- Nếu M .Khi đó từ (IIa) suy ra (1) Từ k = - 2
) (
n
k2
n = - () (3) Nhân
vô hướng hai vế của (IIa) với
n và so sánh với (3) ta có :
MH
n = - ()
A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By +C) Ax H + By H +C=0 (2) đúng
*Chú ý : Trong định lí 3 chọn
v =
n ta có ngay định lí 4
3.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu vuông góc
*HỆ QUẢ 1: NếuF biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) thì :
kB y y
kA x x
H
H
(IIb)
trong đó k = - 2
) (
n , () = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên)
Ví dụ 1: Cho điểm M(1;2) và : 3x + 4y -1 =0 Hãy tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc H của M trên .
Giải: Tính giá trị k 0 =- 2
) (
n
o
=- 2 2
4 3
1 2 4 1 3
=-5 2
.
Trang 6
F biến M(x;y) thành H(x H ;y H )
5
2 4 5
2 2
5
1 3 5
2 1
H
H
y
x
H
(-5
1
; 5
2 )
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9) Hãy xác định tọa độ
chân đường cao AH của tam giác
Giải: Phương trình đường thẳng BC:
5 9
5 2
4
2
x
: 2x - 3y + 19 =0
M0 A(0;1) suy ra k 0 =- 2
) (
n
o
=- 2
2
19 3
=- 13
16
Suy ra tọa độ của H :
13
61 ) 3 (
13
16 1
13
32 2
13
16 0
H
H
y
x
H(
13
61
; 13
32
*Ý NGHĨA
Từ nay ta có thêm một phương pháp mới để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Ưu điểm của phép chiếu theo phương
v là: Ta có thể chọn điểm
M0(x0;y0) bất kì d sao cho việc tính toán 0 = Ax0 + By0 + C là thuận tiện và dễ dàng nhất: Nếu
v .
n = Aa +Bb = 0 và 0 0 thì hai đường thẳng song song tức
là hệ vô nghiệm ; Nếu
v .
n = Aa +Bb = 0 và 0 = 0 thì hai đường thẳng trùng nhau, tức là hệ có vô số nghiệm
*NHẬN XÉT
Từ phép chiếu theo phương
có thể mở rộng nghiên cứu phép đối xứng trượt với trục
đối xứng
3.4.Các hệ quả khác
*HỆ QUẢ 2
Hai điểm M 1 và M 2 cùng phía đối với đường thẳng : (M 1 ).(M 2 ) > 0.
Trang 7*HỆ QUẢ 3
Với mỗi điểm M(x; y) ta có : d(M, ) =MH =
n
) (
= 2 2
B A
C By Ax
*ĐỊNH LÍ 3
Cho một tam giác mà ba cạnh có phương trình :
D 1 : A 1 x +B 1 y+C 1 =0; D 2 : A 2 x +B 2 y +C 2 =0; D 3 : A 3 x +B 3 y +C 3 =0 Gọi d 1 là đường phân giác trong của góc đối diện cạnh 1 Khi đó
a)Nếu T 1 =
2
1
n
n
3
1
n
n < 0 thì phương trình d 1 là :
3
3 2
2
n
D n
D
b) Nếu T 1 =
2
1
n
n
3
1
n
n > 0 thì phương trình d 1 là :
3
3
2
2
n
D n
D
KÝ HIỆU:
Với
a = (a1, a2) và
b= (b1, b2) ta ký hiệu T =
b
a
=
2 1
2 1
b b
a a
= a 1 b 2 - a 2 b 1 là định thức cấp hai tạo bởi
a và
b
Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D1: 3x + 4y – 6 = 0 ; D2: 4x +3y – 1 = 0 ; D3: y = 0 Gọi A = D1 D2 ;
B = D2 D3 ; C = D3 D1 Hãy viết phương trình đường phân giác trong của
Ta sẽ giải ví dụ 3 trước và chứng minh định lí 3 sau:
Giải : Do A đối diện với D3 nên ta xét T3 =
2
3
n
n
1
3
n
n
=
4 3
1 0 3 4
1 0
= 12 > 0 Do đó phương trình đường phân giác trong của góc A là
4 3
6 4 3 3
4
1 3
4
x
d3: x + y – 1 = 0
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phương trình d3 theo phương pháp cũ)
Trang 8Bây giờ ta chứng minh định lí 3
Gọi A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác đối diện
với các cạnh D 1 , D 2 , D 3 và d1 là đường phân giác trong của
góc A
- Phép chiếu theo phương u3 (B3; A3)lên D2 biến B thành
A, ta có:
) (
) (.
) (
3 2 3 2
3 2 3 2
A n
u
B D y
y
B n u
B D x
x
B
A
B
A
nhân các vế lần lượt với A1, B1 cộng lại và cộng thêm
C1, và do B thuộc D1 ta có: D1(A) = - . 2( )
2 3
1 3 3
n u
B A B
A
.
2 3 2
3
1 D B u n
u n
(a)
- Tương tự (đối với C): D1(A) = - ( )
.
3 2 3
2
1 D C u n
u n
(b)
- Với chú ý rằng n2 u3 n3 u2 thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:
(D1(A))2 = - ( ) ( )
) (
) ).(
(
3 2 2 3 2
2 1 3
u n
u n u n
> 0 T1.D2(B)D3(C) < 0 (c)
- Ta giả thiết M thuộc d1 và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng), khi đó: d(M, D2) = d(M, D3) (d) đồng thời
0 ) (
).
(
0 ) (
).
(
3
3
2
2
C
D
M
D
B
D
M
D
hoặc
0 ) ( ).
(
0 ) ( ).
( 3 3
2 2
C D M D
B D M D
D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) > 0 (e)
- Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T1.(D2(M).D3(M)) < 0 (f)
Cuối cùng tùy theo dấu của T1 mà từ (f) và (d) khẳng định của định lí 3 (Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng , ta cũng có thể chứng minh được định lí 5)(Xem: Phan Đức Chính- Vũ Dương
Trang 9Thụy- Tạ Mân- Đào Tam- Lê Thống Nhất (1998), "CÁC BÀI GIẢNG LUYỆN THI MÔN TOÁN TẬP 3" NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC.).