Tuyển chọn các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của các tỉnh, thành phố năm học 2016 – 2017

Hòa Bình Cho x n được xác định như sau: Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.. THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Hai đường tròn O1vàO2tiếp xúcngoài nhau tại A.BC là một

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN

TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

TRẦN MINH NGỌC – LƯƠNG VĂN KHẢI

VÕ THÀNH ĐẠT – HOÀNG ĐÌNH HIẾU – LÊ THÀNH LONG – ĐẶNG NHÌ – NGUYỄN DUY TÙNG NGUYỄN TRƯỜNG HẢI – ĐỖ TRẦN NGUYÊN HUY – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN

TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016 – 2017

Tháng 12 năm 2016

LỜI NÓI ĐẦU Ban biên tập

"Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa."

Với mục đích giúp quý thầy cô và các bạn học sinh có một tài liệu chấtlượng để chuẩn bị cho kì thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (VMO), tập thểcác quản trị viên blog Toán học cho mọi người đã cùng nhau biên soạn cuốnsách "Tuyển chọn theo chuyên đề các bài toán trong kì thi chọn đội tuyển VMOcủa các tỉnh, thành phố"

Trong cuốn sách này, các bài toán được liệt kê trước, sau đó là phần lờigiải, đáp số Trong một số bài toán, chúng tôi có đưa ra nhiều hơn một cáchtiếp cận, nhưng cũng có những bài toán mà chúng tôi thấy chỉ cần hướng dẫn

sơ lược lời giải, qua đó giúp bạn đọc chủ động trong quá trình đọc tài liệu Nhiềubài giải của chúng tôi trong đây chưa phải là cách làm hay nhất, tốt nhất chocác bài toán tương ứng, và chúng tôi rất mong nhận được sự đánh giá, đóng gópcủa bạn đọc để những lần biên soạn sau, chất lượng cuốn tuyển tập này đượcnâng lên

Các phần của cuốn sách và người biên soạn cụ thể như sau:

• Bất đẳng thức: Võ Thành Đạt (Sinh viên khoa Toán - Tin học Đại học Khoa học

Tự nhiên Tp HCM)

• Đa thức, Phương trình và Hệ phương trình: Đỗ Trần Nguyên Huy (Học sinh

trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM) và Phạm Quốc Thắng (Họcsinh trường THPT chuyên Long An)

• Hình học: Trần Minh Ngọc (Học viên Cao học Đại học Sư phạm Tp HCM),

Lương Văn Khải và Nguyễn Duy Tùng (Sinh viên khoa Toán - Tin học trườngĐại học Khoa học tự nhiên Tp HCM)

• Số học: Phạm Thị Hồng Nhung (Học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn,

tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu)

• Tổ hợp: Hoàng Đình Hiếu (Sinh viên khoa Công nghệ thông tin trường Đại

học Khoa học Tự nhiên Tp HCM) và Đặng Nhì (Sinh viên khoa Toán - Tin họctrường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM)

• Giải tích: Nguyễn Trường Hải (Học sinh trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo,

Bình Thuận)

• Phương trình hàm: Lê Thành Long (Sinh viên khoa Điện - Điện tử trường Đại

học Bách khoa Tp HCM)

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn TS Trần Nam Dũng (trường Đại họcKhoa học Tự nhiên Tp HCM), anh Lê Phúc Lữ (FPT Software, Tp HCM), bạnĐào Nguyễn Nguyên Trân (Swiss UMEF, Thuỵ Sĩ), bạn Đỗ Thuỳ Anh (THPTchuyên Lam Sơn, Thanh Hoá), bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh (THPT chuyên Lý

Tự Trọng, Cần Thơ), bạn Hoàng Hữu Quốc Huy (THPT chuyên Lê Quý Đôn,

Bà Rịa - Vũng Tàu) đã giúp đỡ chúng tôi rất nhiều trong quá trình biên soạncuốn sách này Cảm ơn các thành viên của các diễn đàn NangKhieuToan.com(nangkhieutoan.com), Diễn đàn Mathscope (forum.mathscope.org), Diễn đàn

(artofproblemsolving.com) đã đóng góp các đề bài và lời giải

Trong quá trình biên soạn, chắc chắn chúng tôi không tránh khỏi nhữngsai sót ở các đề bài và lời giải, rất mong được lắng nghe những nhận xét, góp ý

và phê bình thẳng thắn từ các bạn Mọi thắc mắc và đóng góp xin vui lòng liên

Cảm ơn tất cả các bạn !

Phần I

CÁC BÀI TOÁN

Bài 1 (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)

1 Chox, y là các số thực dương sao cho2x + yvà2y +xkhác2 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức

đúng với mọi số thực dươngx, y, zthỏa mãn điều kiệnx + y + z = 3

Bài 3 ( THPT chuyên Đại học Vinh) Tìm tất cả các số thực ksao cho bất đẳng thứcsau đúng với mọi số thực không âma, b, c

ab + bc + ca ≤ (a + b + c)

2

3 + k max{(a − b)2, (b − c)2, (c − a)2} ≤ a2+ b2+ c2

Bài 4 (Bà Rịa - Vũng Tàu)

1 Chox, y, zlà ba số thực dương thỏa mãnx y z = 1 Chứng minh bất đẳng thức

2 Chox, y, zkhông âm và thỏax2+ y2+ z2= 1.Chứng minh bất đẳng thức

(x2y + y2z + z2x)

Ã1p

x2+ 1+

1

p y2+ 1+

1p

z2+ 1

!

≤3

2.

Bài 5 (Bắc Ninh) Cho a, b, c > 0thỏa mãn điều kiệna + b + c = 9 Tìm giá trị lớn nhấtcủa biểu thức

Bài 13 (Hòa Bình) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1 và x, y, z thuộc R

x +py+p 1

y +pz+p 1

z +px ≥ 4

Ã1

Bài 19 (Quảng Nam) Cho các số thực không âm a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức:

(a + b + c + d)3≤ 4(a3+ b3+ c3+ d3) + 24(abc + bcd + cd a + d ab)

Bài 20 (Quảng Ninh) Cho a, b, c > 0thỏa mãn(a + b)(b + c)(c + a) = 1 Tìm giá trị nhỏnhất của biểu thức:

Bài 21 (Quảng Ngãi) Cho ba số thực dương a, b, cthỏaa +b +c = 3 Chứng minh rằng

Bài 24 (Thái Nguyên)

1 Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng

Bài 25 (Thanh Hóa) Cho x, y, z > 0thỏax + y + z = 1

Bài 3 (Bến Tre) Cho phương trình

x5−1

2x

4

− 5x3+ x2+ 4x − 1 = 0

nghiệm của phương trình trên, tính tổngSbiết:S =

Bài 5 (Đà Nẵng) Tìm số nguyên dương nnhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức f (x)bậc

ncó hệ số nguyên thỏa mãn: f (0) = 0, f (1) = 1và với mọim ∈ N∗, f (m)( f (m) − 1)là bộicủa 2017

Bài 6 (Đà Nẵng) Chứng minh rằng với mọi m ∈ N,tồn tại đa thứcf m (x)có hệ số hữu

tỉ thỏa mãn với mọin ∈ N∗thì:12m+1+ 22m+1 + + n 2m+1 = f m (n(n + 1)).

Bài 7 (Đồng Nai) Cho số tự nhiên n ≥ 2vànsố thựca1, a2, , a nsao choa1> −1, a2≥

n − 1

2 Giả sử phương trìnhx n n + a1x n−1 + a2x n−2 + + a n−1 x + a n= 0có đúngn nghiệmthực Chứng minh rằng tất cả các nghiệm đó nằm trong đoạn[−a1, a1+ 2]

Bài 8 (Hà Nam) Cho P,Q, R là 3đa thức hệ số thực thỏa mãn:P (Q(x)) + P(R(x)) = c

∀x ∈ Rvớic = const ∈ R Chứng minh rằngP (x) ≡ const hoặc[Q(x) + R(x)] ≡ const

Bài 9 (Hà Tĩnh) Cho các đa thức P (x),Q(x), R(x)với hệ số thực có bậc tương ứng là

3, 2, 3thỏa mãn đẳng thứcP2(x)+Q2(x) = R2(x), ∀x ∈ R Hỏi đa thứcT (x) = P(x).Q(x).R(x)

có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực (kể cả nghiệm bội)

Bài 10 (Hải Phòng) Cho dãy đa thức hệ số thực ©P n (x)ª+∞

1 Xác định công thức tổng quát củaP n (x)

2 Tìm tất cả các số tự nhiênnđểP n (x)chia hết chox2+ 3

Bài 11 (Hòa Bình) Cho đa thức P (x) = x4+ ax3+bx2+cx +dvàQ(x) = x2+ px + q cùng

Bài 13 (Khánh Hòa) Cho P (x)là đa thức với hệ số nguyên Chứng minh rằng tồn tạihai đa thứcQ(x)vàR(x)sao cho

Bài 2 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) Tìm a để dãy số(u n)hội tụ,biếtu1= avà:

Bài 5 (Bà Rịa - Vũng Tàu)

a Tìmlim u nvớiu n=1

2·3

4· · ·2n + 1 2n + 2 n ∈ N.

b Cho dãy số(u n)xác định bởi:

Tìm công thức tổng quát của(u n)

Bài 9 (Đà Nẵng) Cho dãy Fibonacci xác định như sau:

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 12 (Hà Nam) Cho hai dãy số được xác định bởi:

Bài 14 (Hà Tĩnh) Với mỗi số nguyên dương n, xét hàm số f n trênRđược xác địnhbởi f n (x) = x 2n + x 2n−1 + + x2+ x + 1.

2 Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số f nlàs n Chứng minh dãy số(s n)có giới hạn hữuhạn

Bài 15 (Hải Phòng) Cho dãy số (u n)thỏa:

Bài 16 (Hòa Bình) Xác định tất cả các hàm f :R → Rthỏa mãn: f ([x]y) = f (x)[f (y)]

với[x]là số nguyên lớn nhất không vượt quáx

Bài 17 (Hòa Bình) Cho ( x n) được xác định như sau:

Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên

Bài 19 (Tp HCM) Cho dãy số u nxác định bởi công thức:

Bài 20 (Khánh Hòa) Tìm các hàm số f :R → Rthỏa mãn: f (x y)+ f (x −y)+ f (x +y +1) =

Chứng minh rằng dãy số(x n)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 25 (Ninh Bình) Cho hàm số f :N∗→ N∗thỏa mãn các điều kiện sau:

i f (m) < f (n) ∀m,n ∈ N∗; m < n

ii f (mn) = f (m)f (n) ∀m,n ∈ N∗; (m, n) = 1

iii ∃i ∈ N∗, i > 1sao cho f (i ) = i

1 Chứng minh rằng f (1) = 1, f (3) = 3

2 Tìm tất cả các hàm f (n)thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 26 (Ninh Bình) Cho dãy số (x n)xác định bởi hệ thức:

Bài 27 (Phú Thọ) Xét dãy số thực vô hạn x1, x2, ··· , x nthỏa mãn

|x m+n − x m − x n| < 1

m + n

với mọi số nguyên dươngm, n Chứng minh rằng(x n)là cấp số cộng

Bài 28 (Quảng Bình) Tìm tất cả hàm số f : N∗→ N∗sao cho ba sốa, f (b), f (b+ f (a)−1)

luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọia, b ∈ N∗

Bài 29 (Quảng Binh) Cho a là một số thực và dãy số thực(x n)xác định bởi

x n = 2016n + a.p3 n3+ 1

1 Tìmasao cho dãy số(x n)có giới hạn hữu hạn

2 Tìmađể dãy số là dãy tăng từ một lúc nào đó

Bài 30 (Quảng Ninh) Cho a, blà các số thực dương Xét dãy sốu nđược xác định bởi

Bài 33 (Thanh Hóa) Tìm tất cả các hàm số f :R → Rthỏa mãn:

f ( f (x) + f (y)) = f (x2) + 2x2f (y) + (f (y))2

với mọix, y ∈ R

Bài 34 (Thanh Hóa) Với số thực a 6=p−1

2 cho trước ,xét dãy sốa ncho bởi

4 Hình học

Bài 1 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nhọn(AB < AC )cóH ,O

OE //BC.OE cắt đường tròn ngoại tiếp4EBC tạiF Tiếp tuyển tạiF của đường trònngoại tiếp4EBC cắtBC , AH ởP,Q

2 P A, P Hcắt(K )ởS, T khácP Chứng minh hai tiếp tuyển của(K )tạiS, T cắt nhautại một điểm trênM E

Bài 2 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Tứ giác ABC D nội tiếp(O)saocho ABC D không phải hình thang Tiếp tuyến tạiC , Dcủa(O)cắt nhau tạiT.T Acắt

B DtạiS,Edối xứng vớiDquaS.AB cắt đường tròn ngoại tiếp4EBCtạiF.EC cắtT A

tạiP

2 Giả sửP F cắt AC tạiQ,H , K lần lượt là hình chiếu củaQ lênF A, F C.M là trung

Bài 3 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nhọn nội tiếp(O)cóH

vớiAQ cắtP H tạiG

2 AQ cắt(O)tạiRkhácA.PQcắtF RtạiL Chứng minhK L = OP

Bài 4 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) 4ABC nội tiếp(O), ngoại tiếp

(I ) Đường tròn quaB,C tiếp xúc(I )tạiP.AI giaoBC tạiX Tiếp tuyến qua X của(I )

khácBC, giao tiếp tuyến tại(I )tạiP tạiS.ASgiao(O)tạiT khácA Chứng minh rằng

AT I = 90 o

Bài 5 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) Cho 4ABC nhọn Đườngtròn(I )có tâmI thuộc BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tạiE , F.Llấy haiđiểmM , N bên trong tứ giácBC E F sao cho tứ giácE F N M nội tiếp(I )và các đườngthẳngBC , M N , E F đồng quy.M F cắtN E tạiP,AP cắtBC tạiD

2 Trên đường thẳngB N ,C Mlấy các điểmH , K sao choƒAC H =  AB K = 90 o LấyT làtrung điểmH K Chứng minhT B = T C

Bài 6 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) 4ABC có B AC tù, H là

4B M N ∼ 4HC A (H, N )nằm khác phía vớiAB

qua điểm cố định

Bài 7 (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Cho 4ABC Đường tròn(I )nội tiếp

4ABC tiếp xúc vớiBC ,C A, AB tạiD, E , F Đường thẳngD I cắt đường tròn tâm A bánkínhAE tạiM , N (N) nằm giữaM vàD) Các đường thẳng AD, E F cắt nhau tạiP cácđường thẳngM A, N P cắt nhau tạiQ GọiHlà giao điểm thứ hai củaADvà(I ) Đườngthẳng qua trung điểm củaD H , DE cắtAC tạiL Chứng minh rằng:

1 Q H ⊥ AD

2 DL//E F

Bài 8 (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Hai đường tròn (O1)và(O2)tiếp xúcngoài nhau tại A.BC là một tiếp tuyến chung ngoài của(O1)và(O2), vớiB ∈ (O1)và

C ∈ (O2) GọiMlà trung điểmBC,P,Qtheo thứ tự là điểm đối xứng củaB,CquaO1,O2

M P theo thứ tự cắtBO2, B AtạiX , Y.MQcắtCO1,C AtạiZ , T Chứng minh rằng:

1 Các tứ giácB Z T P,C X Y Qnội tiếp

2 AM , Z T, X Y đồng quy

Bài 9 (THPT chuyên ĐH Vinh) 4ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn(O) Đườngthẳng quaA song songBC cắt(O)tại điểm thứ hai làD GọiI là giao điểm củaAC và

B D Đường thẳng quaIsong songAB cắtADtạiJ Đường tròn tâmC bán kínhC Icắt

(O)tạiE vàF (E thuộc cungB AC

1 GọiSlà giao điểm củaI JvớiC D Chứng minhS, E , F thẳng hàng

Bài 10 (THPT chuyên ĐH Vinh) 4ABC cóM di chuyển trên cạnh AC Đường tròn

cắt cạnhAB tại điểm thứ hai làE

tròn

2 GọiI , J , N lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB vàD M,BC vàE M,

Bài 11 (Bà Rịa - Vũng Tàu) Trên nửa đường tròn tâm Ođường kínhAB lấy hai điểm

M , Nsao choAM < ANvàM Nkhông song song vớiAB Đường tròn ngoại tiếp4OM N

điểmE , F (Enằm giữaAvàN) Đường thẳngB Mcắt đường tròn ngoại tiếp4N ADtạihai điểmP,Q (P nằm giữaB vàM)

Bài 12 (Bắc Ninh) Tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn(O) Giả sử AD cắt BC tại N,

AB cắtC D tạiM, AC cắtB DtạiE Đường thẳngOE cắtM N tạiK Chứng minhK O làphân giác củaB K Dƒ

Bài 13 (Bến Tre) Cho đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài tại điểmT Một đườngthẳng cắt đường tròn(O1)tại hai điểmA, Bphân biệt và tiếp xúc với(O2)tạiX đườngthẳngX T cắt(O1)TạiS(SkhácT vàC là một điểm trên cung TS không chứa AvàB.ChoC Y là tiếp tuyến của(O2)tạiY sao cho các đoạn thẳngC Y vàST không cắt nhau

1 C , T, Y vàI cùng thuộc một đường tròn

2 S A = SI

Bài 14 (Bình Dương) 4ABC nội tiếp đường tròn(O) ĐiểmP nằm trong4ABC saochoP A, P B, PC cắt(O)lần lượt tạiD, E , F Tiếp tuyến tạiAcủa(O)cắtBC tạiT Chứngminh rằng nếuT A = T PthìDE = DF

Bài 15 (Bình Định) Cho 2 đường tròn (O), (O0)cắt nhau tạiA, B trên tiaB AlấyM(M

nằm ngoài(O0)) TừM Kẻ 2 tiếp tuyếnMC , M D của(O0)(C , Dlà 2 tiếp điểm) AC , AD

lần lượt cắt(O)tạiP,Q

DQ =C A

CQ

Bài 16 (Bình Thuận) Cho tam giác ABC vớiIlà tâm đường tròn nội tiêp vàM là mộtđiểm nằm trong giác Gọi A1, B1,C1là các điểm đối xứng với điểmM lần lượt qua cácđường thẳng AI , B I ,C I Chứng minh rằng các đường thẳng A A1, B B1,CC1đồng quy

Bài 17 (Bình Thuận) Cho tứ giác ABC Dnội tiếp đường tròn(O) GọiM , N , Plần lượt

là giao điểm của AB vàC D, AC và B D LấyK là trung điểm của đoạnM N ĐoạnP K

cắt(O)tạiH,M H cắt(O)tạiIkhácH,N Hcắt(O)tạiJ khácH Hãy phân tích−−→P K theohai vectơ−−→M I,−−→M J

Bài 18 ((Đà Nẵng) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp(O), H là trực tâm tam giác.Đường thẳng qua Avuông gócOHcắtBC tạiD K Llà tâm(ADB ), (ADC ).

1 Chứng minhA, K , L,Othuộc một đường tròn gọi là(S).

2 AH cắt lại(S)tạiE Fđối xứng vớiE quaBC Chứng minhH A = HF.

Bài 19 (Đà Nẵng) Cho tứ giác ABC D lồi, P là điểm nằm bên trong tứ giác thỏa



P AD =  C AB M , N đối xứngC qua AB, AD (C P M ), (C P N )cắt đoạn AB, AD tạiS, T.X , Y

tâm(P SC ), (P T C ).Q là giao củaX Y và trung trựcAP.

2 Tiếp tuyến tại P,C của (P ST ), (C ST ) cắt nhau ở G.(P ST ), (C ST ) cắt lại AP, AC ở

U ,V.Chứng minh tâm(AU V )thuộcAG

Bài 20 (Đồng Nai) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC )có M là trung điểm BC, cácđường cao AD, B E ,C F cắt nhau tại H GọiK là trung điểm AH,L là giao điểmE F và

1 Chứng minh rằng 5 điểm A, E , N , H , Fcùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh rằngH M A = ƒ LN K

Bài 21 (Đồng Nai) Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của



AI O ≤ 900⇔ 2BC ≤ AB + AC

Bài 22 (Hà Nội) 4ABC nhọn (AB < AC )có trung tuyến AM Đường thẳng AM cắt

tròn ngoại tiếp4AC E tại điểm thứ haiP Gọi(S1)là đường tròn đi quaC và tiếp xúcvớiAB tạiA,(S2)là đường tròn đi quaB và tiếp xúcAC tạiA.(S1)cắt(S2)tại điểm thứ

Bài 23 (Hà Tĩnh) 4ABCnhọn không cân nội tiếp đường tròn(O) GọiHlà trực tâm

4ABC,A0, B0,C0lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B,C xuốngBC ,C A, AB.GọiA1, B1,C1là các điểm trên(O)sao choA A1//BC , B B1//C A,CC1//AB.A01, B10,C10 là cácđiểm trên(O)sao choA1A01//A A0,B1B10//B B0,C1C10//CC0

1 Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giácO A1A01,OB1B10,OC1C10 cùng

đi qua một điểmK khácO

p , trong đóa, b, c là độ dài 3 cạnh của 4ABC và p làchu vi tam giácA1B1C1

Bài 24 (Hà Tĩnh) 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O),E là trung điểm cung BC

DS ⊥ AO GọiM là trung điểmBC,N là điểm đối xứng củaM quaAE,Rlà hình chiếu

Bài 25 (Hải Phòng) 4ABCnhọn(AB < AC )cóADlà phân giác trong đỉnhA (D ∈ BC )

quaD và vuông góc vớiBC tạiF GọiI là trung điểmDF, đường thẳngE I cắt AD tại

M, đường thẳngE F cắt đường thẳng quaMvà vuông góc vớiBC tạiK

DF

Bài 26 (Hải Phòng) 4ABC nhọn(AB < AC )có trực tâm H,D, E là chân các đườngcao kẻ từBvàC xuốngC A, AB GọiM là trung điểmBC,F là giao điểm của hai đườngthẳngDEvàBC,K là giao điểm thứ hai củaAMvới đường tròn(C )ngoại tiếp4ADE

1 Chứng minhF, H , K thẳng hàng

tròn(C )

3 Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giácO A1A01,OB1B10,OC1C10 cùng

đi qua một điểmK khácO

p , trong đóa, b, c là độ dài 3 cạnh của 4ABC và p làchu vi tam giácA1B1C1

Bài 27 (Hoà Bình) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O)vàP là một điểm

vuông góc vớiP T cắtC A, AB lần lượt tạiE , F Hai đường thẳngPE , P Fcắt đường tròn

(O)lần lượt tạiM , N khácP LấyK ,L sao choK AC = ƒ K N P =  L AB = ƒ LM P = 90 o

1 Chứng minh rằngBQF =  K AB vớiQlà giao củaE F vớiP T

2 Chứng minh rằngK BvàLC vắt nhau tại 1 điểm thuộc(O)

Bài 28 (Hoà Bình) Cho hai đường tròn (O1)và(O2)cắt nhau tạiA, B.C Dlà tiếp tuyếnchung của hai đường tròn(O1)và(O2)vớiC ∈ (O1),D ∈ (O), vàB gầnC D hơnA.

rằngE F //C D

2 GọiN là giao điểm củaAB vàE F Lấy K trênC D sao choB AC = ƒ D AK Chứngminh rằngK E = K F

Bài 29 (Tp HCM) Cho 4ABC có tâm đường tròn nội tiếpI GọiM , N , P lần lượt là

X , Y , Z lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của4AN P, 4BP M, 4C M N Chứng minhrằngI là tâm đường tròn nội tiếp của4X Y Z

Bài 30 (Tp HCM) Đường tròn nội tiếp 4ABC lần lượt tiếp xúc vớiBC ,C A, AB tại

A1, B1,C1

1 Chứng minh các đường thẳngA A1, B B1,CC1đồng quy tại một điểmT

2 Đường trònω1đi quaT tiếp xúc vớiC A,C B tạiB2, A3 Các điểmC2, A2, B3,C3xácđịnh tương tự Chứng minh sáu điểmA2, B2,C2, A3, B3,C3cùng thuộc một đườngtròn

Bài 31 (Khánh Hoà) Tứ giác ABC D nội tiếp đường tròn(O) Đường thẳng quaC cắtcác tia đối của tiaB A, D Alần lượt tạiM , N Chứng minh

4S ABC

S AM N ≤

µ

B D AC

¶2

Bài 32 (Khánh Hoà) 4ABC nhọn có AM , B N ,C P là các trung tuyến GọiR vàr lần

AM + B N +C P ≤ 4R + r.

Bài 33 (Lào Cai) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH, trực tâm K ĐườngthẳngB K cắt đường tròn đường kính tạiD, E (B D < BE) Đường thẳngC K cắt(AB )tại

F,G(C F < CG) Và(D H F )cắtBC tại điểm thứ hai làP

Bài 34 (Lạng Sơn) Cho 4ABCnhọn nội tiếp(O)vớiIlà tâm nội tiếp tam giác Đườngtròn đi quaC tiếp xúc vớiAI tạiI cắt AC tạiEvà cắt(O)tạiH (E , H 6= C )

2 Đường tròn đi quaB tiếp xúc vớiAI tạiI cắt AB tạiF và cắt(O)tạiG (G, F 6= B).Chứng minh rằng2đường tròn(E I F )và(G I H )tiếp xúc nhau

Bài 35 (Lạng Sơn) Cho 4ABCnhọn nội tiếp(O) Các đường caoAD, B E ,C F cắt nhauttai5 H (D ∈ BC ,E ∈ C A,F ∈ AB) Gọi M là trung điểm củaBC.2đường tròn(DE F )và

(H BC )cắt nhau tạiX vàY

tiếp

Bài 36 (Long An) Từ một điểm M tùy ý trong tam giác ABC, các đường thẳng

M A, M B, MC lần lượt cắtBC ,C A, ABtạiA1, B1,C1 Chứng minh rằng

1 GọiI , J lần lượt là giao điểm củaAB,C K với đường thẳng(d ) Chứng minhM làtrung điểmI JvàRQ

Bài 38 (Nghệ An) 4X Y Zđều, các đỉnhX , Y , Z lần lượt nằm trên các cạnhBC ,C A, AB

Bài 39 (Ninh Bình) Cho 4ABC Đường tròn(O)đi qua A vàC cắt các cạnh AB, BC

tạiK , N Đường tròn(K B N )cắt đường tròn(ABC )tạiB vàM TínhB MOƒ

Bài 40 (Ninh Bình) Cho 4ABC và điểm(O)nằm trog4ABC Đường thẳngd1đi qua

Osong song vớiBC lần lượt cắtAB, ACtạiJ ,G Đường thẳngd2đi quaOsong song với

C A lần lượt cắtBC ,C AtạiF, J Đường thẳngd3đi quaO song song vớiAB lần lượt cắt

C A,C B tạiH , E Dựng các hình bình hànhOE A1F,OGB1H ,OIC1J Chứng minh rằngcác đường thẳng A A1, B B1,CC1đồng quy

Bài 41 (Nam Định) Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường trònωtâm

O Một đường trònω,

đi quaB,C cắt các cạnhAB, AC lần lượt ởE , F (E , F 6= A) Đườngtròn ngoại tiếp tam giác AE F cắt lại đường tròn ωtạiK (A 6= K).K E , K F lần lượt cắtlại đường trònωtạiQ, P (P,Q 6= K) GọiT là giao điểm củaBQ vàC P;M , N lần lượt làtrung điểmB F,C E

Bài 42 (Nam Định) 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O)ngoại tiếp đường tròn(I ).

ngoại tiếp4OD H

Bài 43 (Phú Thọ) Cho tam giác ABC ngoại tiếp(I ) Các cạnhAB, AC tiếp xúc với(I )

tạiE , F Đường thằng qua B song song với AC cắt E F tạiK.C K cắt AB tạiG Chứng

Bài 44 (Phú Thọ) Cho đường tròn (O)và dây cungAB Các đường tròn(O1)và(O2)

trong với đường tròn(O) Tiếp tuyến chung tạiT của(O1), (O2)cắt đường tròn(O)tạiC

(VớiC thuộc nửa mặt phẳng bờAB chứa(O1), (O2)) Chứng minh rằngT là tâm đườngtròn nội tiếp tam giácABC

Bài 45 (Quảng Bình) Cho tam giác ABC nhọn không cân.P là một điểm bất kì trên

khácA Tương tự xác địnhZ GọiB Y cắtC Z tạiK GọiT là hình chiếu củaAlênBC,

Hlà trực tâm tam giác ABC,A0là điểm đối xứng củaAquaBC

1 Chứng minhA0, P, K thẳng hàng

luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định

Bài 46 (Quảng Nam) Cho đường tròn (O)và dây cungBC khác đường kính ĐiểmA

của hai tiếp tuyến với(O)tạiB vàC, AM cắt(O)tạiD khác A Dựng đường kínhDE

của(O) Các đường thẳngB D,C Ecắt nhau tạiX, các đường thẳngB E ,C Dcắt nhau tại

Y

thẳng cố định

Bài 47 (Quảng Ngãi) 4ABC nội tiếp đường tròn (O; R),D là điểm di chuyển trên

1 GọiE , F lần lượt là giao điểm của các đường thẳngADvàBC,AB vàC D GọiP là

luôn đi qua một điểm cố định

2 GọiH , I , K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từD đến các cạnhBC ,C A, AB.ChoBC = Rp3 Tìm GTNN của tổng AB

DK +AC

D I + BC

D H

Bài 48 (Quảng Ninh) Cho 4ABC nhọn ko cân tại A nội tiếp(O) Gọi M là trungđiểm củaBC.2tiếp tuyến tạiB vàC của(O)cắt nhau tạiP GọiD, Elần lượt là hình

và(BQE )lần lượt cắt(O)tại điểm thứ2làK , L

1 Chứng minhM K C = ƒƒ M LB

2 Kẻ đường kínhAT của(O) Giả sử các đường thẳngT B, T C , AK , ALđôi1cắt nhautại4điểm phân biệt CMR:4giao điểm này là4đỉnh của1tứ giác nội tiếp

Bài 49 (Quảng Ninh) Cho 4ABCnhọn nội tiếp(O) (AB < AC ), trực tâmH Lấy điểm

T trên(O)sao cho AT ∥ BC Giả sử AH cắt (O)tạiK,T H cắt (O)tạiD trên cung nhỏ

BC GọiI là trung điểm củaH T

cắtP D tạiX Chứng minh rằngX Alà tiếp tuyến của(O)

Bài 50 (Quảng Trị) Cho tứ giác ABC Dnội tiếp đường tròn(O) GọiIlà giao điểmAC

vàB D,H vàKlần lượt là trực tâm của4I AD và4I BC.M vàNlần lượt là trung điểm

AB vàC D;PvàQlần lượt là chân đường vuông góc kẻ từI đếnBC và AD

Bài 51 (Quảng Trị) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) Đường tròn(O0)tiếpxúc với hai cạnh AB, AC theo thứ tự tạiP.Q và tiếp xúc trong với(O)tạiS Hai đườngthẳngSP.SQcắt lại(O)theo thứ tự tạiM , N GọiE , D, F theo thứ tự là hình chiếu vuônggóc củaStrên các đường thẳngAM , M N , AN

2 AG, BC ,OP đồng quy

Bài 53 (Thái Nguyên) Cho tam giác ABC nhọn, có AC > AB GọiDlà hình chiếu của

rằng

AF ⊥ BF ⇐⇒ EF.DC = BD.DE

Bài 54 (Thanh Hoá) Cho tam giác ABC không cân tại A.GọiD, E , F lần lượt là tiếp

đường thẳng E F tạiPvàQ GọiMlà trung điểmBC,O1vàO2lần lượt là tâm đườngtròn ngoại tiếp các tam giácI AB vàI AC

O1O2

Bài 55 (Vĩnh Phúc) 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O)có AB < AC GọiD, E lần

thẳngLC cắt đường tròn ngoại tiếpAC D tại điểm thứ haiN

1 Chứng minhM , K , Lthẳng hàng vàM N ⊥ OL

Bài 56 (Vĩnh Phúc) 4ABC nhọn nội tiếp đường tròn(O),P nằm trong4ABC nằmtrên đường phân giác trong góc B AC GọiK , L lần lượt là giao điểm khác P của B P

với(APC ),C P với(AP B ) GọiE , F lần lượt là giao điểm của các phân giác trong góc



ABC , AC B với(O) các đường thẳng AE , AF cắt(APC ), (AP B )lần lượt tạiM , N khácA

Bài 5 (Khánh Hòa) Giải phương trình trên tập số thực

Bài 10 (Thái Nguyên) Giải bất phương trình

Bài 1 (Trường THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG HN)

tố thỏa mãn :

a2(a2+ 1) = 5n(5n+1 − p3)

n = a1+ a2+ + a ktrong đó(n, a k) = 1và các sốa i là nguyên dương Tính tổngtất cả các số tốt nhỏ hơn2016

Bài 2 (Trường THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG HN) Tìm tất cả các số nguyên

tốpsao cho2p2− 1là một lũy thừa của7

Bài 3 (Trường THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG HN) Cho n nguyên dương

và chia hết choS(m)(tổng các chữ số của m)

Bài 4 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Cho hàm số f :N∗→ N∗thỏamãn các điều kiện: f tăng thực sự và f (2n) = 2f (n)với mọi sốnnguyên dương

1 Giả sử f (a) = 3và p là số nguyên tố lớn hơn3 Chứng minh tồn tạin sao cho

f (n)chia hết chop

f (n)không chia hết choq với mọi số nguyên dươngn

Bài 5 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Với mỗi số nguyên dương n

,tồn tại duy nhất số tự nhiênathỏa mãna2≤ n < (a + 1)2 Đặt∆n = n − a2

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của∆n khin thay đổi và luôn thỏan = 15m2 vớim là sốnguyên dương

2 Chop, q là các số nguyên dương vàd = 5(4p + 3)q2 Chứng minh∆d≥ 5

Bài 6 (THPT chuyên ĐH Vinh) Tìm các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn

a + 2 b+ 3c = 3d! + 1,

biết rằng tồn tại các số nguyên tốp, qsao choa = (p + 1)(2p + 1) = (q + 1)(q − 1)2

Bài 7 (Bắc Ninh) Cho dãy số (a n)xác định bởi

Bài 10 (Hà Nội) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x; y; z)thỏa mãn12x + y4= 56z

Bài 11 (Hà Tĩnh) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y)thỏa mãn

x19− 1 = (x − 1)(y12− 1)

Bài 12 (Hải Dương) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho1n+ 2n+ + 2016n

không chia hết cho 2017

2 Có bao nhiêu số nguyên dươngn ≤ 10.3310thỏa mãn đồng thời

2n≡ 2017 ( mod 311) ; 2n≡ 2016 ( mod 113)?

Bài 14 (Tp HCM) Với mỗi số nguyên dương nlớn hơn 1, số 1

1 Tồn tại hay không các số thực phân biệta, bsao choa + b ∉ Qnhưnga n + b n∈ Q

với mỗi số nguyên dươngn > 1?

2 Choa, blà các số thực khác nhau sao choa n −b nlà số nguyên với mỗi số nguyêndươngn Hỏia, blà nguyên, hữu tỷ hay vô tỷ?

Bài 23 (Ninh Bình) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương mluôn tồn tại vô số

số nguyên dươngnthỏa mãn(3.2n + n) .m.

Bài 24 (Phú Thọ) Với mỗi số nguyên dương n, gọif (n)là số cách chọn các dấu cộng,trừ trong biểu thứcE n = ±1 ± 2 ± · · · ± nsao choE n= 0 Chứng minh rằng:

1 f (n) = 0khin ≡ 1,2( mod 4)

Bài 27 (Quảng Ngãi)

1 Tìm mọi nghiệm nguyên của phương trìnhx2+2016x+2017y2+y = x y +2017x y2+

2018

2 Chom, n là các số nguyên dương,mlà số lẻ Chứng minh rằng4m | 3 n+ 1khi vàchỉ khi2m | 3 n+ 1và3 | (2m) n+ 1

Bài 28 (Quảng Ninh) Cho số nguyên n ≥ 2thỏa mãn điều kiện2ϕ(n)+3ϕ(n) + +n ϕ(n)

cùng nhau vớin

từ bên phải sang) và chuyển cuốn sách đó về đúng vị trí của nó Ví dụ, trên giá có4

công việc của mình sau ít hơn2nlần xếp theo quy tắc

Bài 2 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN ) Tìm số lớn nhất phần tử của một

tập hợp là tập con của©1,2,3, 2016ªthỏa mãn hiệu hai phần tử bất kỳ khác4và7

Bài 3 (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN ) Cho n nguyên dương Các tâm

tập tốt là một bộ sưu tập sao cho với mọi sốk thỏa mãnk ≤ n!, luôn tồn tại một sốtâm thẻ trong bộ sưu tập mà tồng giá trị các thẻ này bằngk Tìm số tấm thẻ ít nhấtcủa bộ sưu tập tốt

Bài 4 (Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM ) Với các số nguyên a, b, c, d

thỏa1 ≤ a < b < c < d, kí hiệuT (a, b, c, d ) = {x, y, z, t ∈ N |1 ≤ x < y < z < t, x ≤ a, y ≤ b, z ≤

c, t ≤ d}

1 Tính số phần tử củaT (1, 4, 6, 7)

2 Choa = 1vàb ≥ 4 Gọid1là số phần tử củaT (a, b, c, d )chứa1và không chứa2,

d2là số phần tử chứa1,2nhưng không chứa3,d3là số phần tử chứa1,2,3nhưngkhông chứa 4 Chứng minh rằngd1≥ 2d2− d3 Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 5 (Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM) Trong một hệ thống máy

tính, một máy tính có thể kết nối trực tiếp với ít nhất30%máy tính khác của hệ thống

Hệ thống này có một chương trình ngăn chặn và cảnh báo khá tốt,do đó khi một máytính bị virus,nó chỉ đủ thời gian lây virus cho các máy tính được kết nối trực tiếp với

nó Chứng minh rằng dù vậy, kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính của hệ thống

mà nểu thả virus vào hai máy đó, ít nhất50%máy tính của hệ thống sẽ bị nhiễm virus

Bài 6 (THPT chuyên ĐH Vinh) Bạn An có 12 tấm thẻ, trên mỗi tấm thẻ ghi một số

nguyên từ 1 đến 12, các số trên các thẻ đều phân biệt

1 Chứng minh rằng bạn An có thể chia 12 tấm thẻ đó thành một số nhóm thỏa

thời số lớn nhất ghi trên một tấm thể nào đó bằng tổng các số ghi trên tấm thẻcòn lại

những tấm thẻ còn lại bạn An có thể chia thành một số nhóm thỏa mãn tínhchất(P )hay không?

Bài 7 (Bà Rịa - Vũng Tàu)

1 Tính số hoán vị f (1); f (2); ; f (2016)sao cho biểu thức

T = |f (1) − 1| + |f (2) − 2| + + |f (2016) − 2016|

đạt trá trị lớn nhất, trong đó f (1)là giá trị ở vị trí thứi trong mỗi hoán vị,i =

1, 2, 3, 2016

2 Trên mặt phẳng xét42điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng.Ta dựng cácđoạn thẳng nối hai điểm trong các điểm nói trên sao cho mọi bộ ba điểm đangxét luôn có hai điểm được nối với nhau Tìm giá trị nhỏ nhất của số đoạn thẳngcần dựng.

Bài 8 (Bắc Ninh)

thực hiện khác nhau ?

2 Một cuộc họp có12k( k ∈ N∗)người, trong đó mỗi người bắt tay với đúng3k + 6

người khác Biết rằng với mọi cách chọn cặp hai người(A; B )thì số người bắt tayvới cả hai ngườiAvàB luôn làm(m ∈ N∗, m ≤ 3k +6) Hỏi cuộc họp có bao nhiêungười ?

Bài 9 (Bình Dương ) Trên mặt phẳng cho2017 điểm sao cho với ba điểm bất kì ta

2015lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?

Bài 11 (Bình Dương )

một tiếng gõ, mỗi con châu chấu nhảy sang ô bên cạnh cùng một hàng hoặccùng một cột Chứng minh rằng sau một tiếng gõ có ít nhất hai con ở cùng mộtô

con châu chấu có thể nhảy đến bất kì điểm nguyên nào sau hữu hạn các bước

độ là các số nguyên)

Bài 12 (Đà Nẵng ) Trong mặt phẳng cho n ≥ 2 đường thẳng đôi một cắt nhau vàkhông có ba đường nào đồng quy Các đường này chia mặt phẳng thành các miềnhữu hạn và vô hạn Chứng minh ta có thể đánh dấu các miền đó bằng các số nguyênthỏa mãn cả ba điều kiện sau:

(i) Các số đó khác0

(ii) Trị tuyệt đối của mỗi số không lớn hơnn.

(iii) Mỗi đường thẳng đã cho sẽ phân mặt phẳng làm hai phần mà tổng các số của

Bài 13 (Đà Nẵng ) Cho bảng ô vuông2017x2017, người ta điền vào mỗi ô của bảngmột số nguyên từ 1 đến 2017 sao cho mỗi số được điền vào bảng đúng một lần

1 Chứng minh tồn tại hai số cạnh nhau trong bảng (tức thuộc hai ô chung cạnh)

có hiệu không nhỏ hơn2017

2 Tìmk ∈ N∗nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách điền để hiệu hai số cạnh nhau bất

Bài 14 (Đồng Nai) Tìm số nguyên dương nnhỏ nhất sao cho: Vớinsố nguyên dương

a1, a2, , a n đôi một khác nhau , luôn tồn tại hai chỉ sối , j ∈n1, 2, 3, , nođểa i + a j ≥

2017(a i , a j)với(a, b)là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dươnga, b.

Bài 15 (Đồng Nai) Có bao nhiêu hoán vị (a1, a2, , a10)của các số1, 2, 3, , 10sao cho

a i > a 2i với1 ≤ i ≤ 5vàa j > a 2 j +1với1 ≤ i ≤ 4

Bài 16 (Hà Nam) Gọi A là tập các bộ (x1, x2, x3) với x1, x2, x3∈©0;1;2; ;7ª Bộ x =

(x1, x2, x3) ∈ Agọi là trội hơn bộy = (y1, y2, y3) ∈ Anếux 6= y vàx i ≥ y i ∀i = 1; 2; 3 Khi đó

ta viếtx > y Tìmn mi n∈ N∗sao cho mọi tập con cón ptử của Ađều chứa ít nhất2bộ

x > y

Bài 17 (Hà Tĩnh) Cho tập S =©1,2,3, ,2016ª Hỏi có bao nhiêu hoán vị(a1, a2, , a2016)

của tậpSsao cho2(a1+ a2+ a3+ + a k) .k với∀k = 0, 1, 2, , 2016

Bài 18 (Tp HCM ) Xét tập hợp S gồm 2016số nguyên dương đầu tiên Gọi A, B,C

là 3 tập con bất kỳ củaS, đôi một không giao nhau sao cho|A| = |B| = |C | = 672và

A ∪B ∪C = S Chứng minh rằng tồn tại3sốa, b, clần lượt thuộc3tập A, B,C mà số nàybằng tổng hai số kia

Bài 19 (Khánh Hòa) Cho tập hợp A =na1, a2, , a15ogồm15phần tử Chúng ta sẽ tạo

hợp được tạo thành phải là bội của chỉ số dưới nhỏ nhất có trong tập hợp đó Có baonhiêu tập hợp như hợp như thế được tạo thành? Chẳng hạnna2, a4, a8o,na6o, là cáctập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 20 (Lạng Sơn) Cho tập M n=©1;2; ;nª (n ∈ N∗)

chính phương Tìm max| X |

2 GọiY là1tập con gồm có15phần tử của tậpM25 TậpI0gọi là tập "tốt" nếu như

cả các tập "tốt"

Bài 21 (Nghệ An) Một số nguyên dương k được gọi là "đẹp" nếu có thể phân hoạch

tập hợp các số nguyên dươngZ∗thành tập hợpA1, A2, , A ksao cho với mỗi số nguyêndươngn ≥ 15và với mọii ∈ ©1;2; ;kªđều tồn tại hai sô thuộc tậpA i có tổng làn

1 Chứng minh rằngk = 3 là đẹp.

Bài 22 (Ninh Bình) Tìm k max ∈ N∗ sao cho ta có thể phân hoạch tập hợp các sốnguyên dương thành k tập hợp A1, A2, , A k thỏa mãn với mỗin ∈ N∗, n > 14, trongmỗi tậpA i i = 1,kđều tồn tại2số có tổng bằngn

Bài 23 (Phú Thọ) Một hàng cây bưởi Đoan Hùng gồm17cây thẳng hàng đánh sốcây theo thứ tự là các số tự nhiên từ1đến17 Ban đầu mỗi cây có một con đậu trên

đó để hút mật hoa Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bêncạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau Hỏi sau một số giờ có haykhông trường hợp mà

1 Không có con ong ở cây có số thứ tự chẵn

2 Có9con ong ở cây cuối cùng

Bài 24 (Quảng Bình) Cho số nguyên dương n ≥ 4 Tìm số lớn nhất các cặp gồm haiphần tử phân biệt của tập X n=©1,2, ,nªsao cho tổng các cặp khác nhau là các số

Bài 25 (Quảng Ninh) Giả sử S là tập hợp hữu hạn các điểm mà mỗi điểm của nóđược tô bởi một trong 2 màu đỏ hoặc xanh GọiA1, A2, , A68là tập con của tậpSmà

i Mỗi tập A1, A2, , A68chứa ít nhất một điểm màu đỏ

ii Với ba điểm bất kì trongS, tồn tại chính xác 1 tập conA i chứa 3 điểm đó

Hỏi:

1 Tìm số phần tử của tậpS

2 Tồn tại hay không một tập conA i chứa 4 hoặc 5 điểm đỏ Vì sao ?

Bài 26 (Quảng Trị)

1 Cho tập hợpS =©1;2;3; ;2016ª Hỏi có bao nhiêu tập con củaScó3phần tử mà

1000?

của hình vuông nằm trong tất cả hình tròn này

Bài 27 (Thái Nguyên) Cho tập hợp E =©1;2;3;4;5ª GọiM là tập hợp tất cả các số tự

một số thuộcM Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng10

Bài 28 (Thanh Hóa) Tại bốn đỉnh của tứ diện ABC Dcó ghi tương ứng bốn sốa, b, c, d

không đồng thời bằng nhau.Thực hiện phép biến đổi số tại các đỉnh của tứ diện nhưsau: Mỗi lần biến đổi ta xóa bộ các số cũ (x; y; z; t ) và thay vào đó bộ bốn số mới

(x + y +z −3t; y +z +t −3x; z +t +x −3y; t +x + y −3z)theo thứ tự bất kỳ Chứng minh rằng

kể từ sau lần biến đổi đầu tiên, trong bốn đỉnh của tứ điện có ít nhất một đỉnh đượcghi số dương và sau một số lần thực hiện phép biến đổi luôn có ít nhất một đỉnh của

tứ diện được ghi số không nhỏ hơn2016

hoặcx = y =9 −

p65

⇔ x(x2− 9y) + y(x3− 27y) ≥ 0,

một điều luôn đúng vìx2−9y ≥ 0vàx3−27y ≥ 0 Vậy BĐT được chứng minh Dấubằng xảy ra⇔ a = b = c = 1

Tìm số nguyên dươngknhỏ nhất sao cho bất đẳng thức

x k y k z k (x3+ y3+ z3) ≤ 3

đúng với mọi số thực dươngx, y, zthỏa mãn điều kiệnx + y + z = 3

(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)

Bài 2

Lời giải

Lời giải sau đây trích từ trangnangkhieutoan.com

• Dễ dàng tìm được các bộ số để BĐT không đúng vớik = 1vàk = 2

• Nhận xét rằng nếu BĐT đúng vớik = 3thì BĐT sẽ đúng với mọik > 3vìx k y k z k (x3+

y3+ z3) = x3y3z3(x3+ y3+ z3).x k−3 y k−3 z k−3≤ 3 Điều này gợi ý cho ta chứng minhrằngk = 3là số nhỏ nhất cần tìm, bằng cách chứng minh