MỤC LỤC 1. THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG……………...1 1.1.Vẽ sơ đồ chịu lực………………………………………………………1 1.2.Lập phương trình vi phân dao động…………………………………...2 1.3.Biểu thức số ………………………………………………………….3 2. GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN………….……….3 2.1.Lập phương trình tần số………………………………………………3 2.2. Xác định các tần số riêng ………………………………………4 2.3.Tỷ số các biên độ ………………………………………………..4 2.4.Ma trận véc tơ riêng ở dạng thông thường và dạng chuẩn hóa………4 2.5.Tìm các dạng dao động riêng…………………………………………5 2.6.Phương trình dao động tự do không cản …………………………...…6 2.7.Phương trình dao động tự do không cản của hệ bằng phép biến đổi Laplace………………………………………………………...………………6 3. GIẢI HỆ PTVP CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỔNG QUÁT………….7 3.1. Lập trình theo phương pháp Runge-Kutta…………………………..7 3.2. Lập trình với việc sử dụng trình giải ODE45……………………….9 4. PHỤ LỤC………………………………………………………..………...11
1.THIẾT LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG 1.1.Vẽ sơ đồ chịu lực F (t ) x2 (t ) x1 (t ) k1 m1 m2 k2 c1 c2 Hình Mô hình hệ dao động Bỏ qua ma sát bề mặt tiếp xúc khối lƣợng với mặt phẳng nằm ngang x1(t),x2(t) đƣợc tính từ trạng thái cân tĩnh hệ Cô lập phần tử khối lƣợng Giả sử x2>x1 ta có sơ đồ chịu lực khối lƣợng nhƣ hình vẽ F (t ) FL1 FL' m2 x1 (t ) m1 N1 FC1 x2 (t ) FL N2 FC' FC G1 G2 Hình Sơ đồ lực tác dụng lên vật m1,m2 Trong đó: F(t): lực kích thích tác động lên vật m1 FL1: Lực đàn hồi lò xo có độ cứng k1: FL1=k1x1 FL2= F’L2: Lực đàn hồi lò xo có độ cứng k2: FL2= F’L2=k2(x2- x1) FC1: Lực cản giảm chấn vật so với giá: FC1 c1 x1 FC2= F’C2: Lực cản giảm chấn vật so với vật 1: FC2 F’C2 c2 ( x2 x1 ) G1 , N1 , G2 , N2 trọng lực phản lực vật vật 1.2.Lập phương trình vi phân dao động Theo định luật II newtơn ta có: m1 x1 Fk1 FL1 FC1 FL FC F (t ) N1 G1 ' ' m2 x2 Fk F F N G L2 (1.1) C2 Chiếu lên phƣơng dao động ta có: m1 x1 FL1 FC1 FL FC F (t ) m1 x1 FL1 FC1 FL FC F (t ) ' ' ' ' m2 x2 F F m2 x2 F F L2 C2 L2 C2 Thay giá trị (1) vào (3) ta có m1 x1 k1 x1 c1 x1 k2 ( x2 x1 ) c2 ( x2 x1 ) F (t ) m2 x2 k2 ( x2 x1 ) c2 ( x2 x1 ) Hệ phƣơng trình dao động dạng triển khai m1 x1 (c1 c2 ) x1 c2 x2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F (t ) m2 x2 c2 x1 c2 x2 k2 x1 k2 x2 (1.2) Hệ phƣơng trình viết dƣới dạng ma trận M q C q K q R (1.3) Trong : m + M ma trận khối lƣợng hệ: M m2 c1 c2 c2 + C ma trận cản hệ: C + K ma trận độ cứng hệ: K k1 k2 k2 c2 c2 k2 k2 + q,q,q theo thứ tự véc tơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị x1 x1 x1 ,q ,q x2 x2 x2 q F (t ) + R véc tơ tải trọng tác dụng: R 1.3.Biểu thức số Thay giá trị số cho ta đƣợc phƣơng trình vi phân dao động hệ dạng triển khai dạng ma trận Dạng triển khai: 10 x1 240 x1 120 x2 7000 x1 2000 x2 1000sin 20t 5 x2 120 x1 120 x2 2000 x1 2000 x2 (1.4) Dạng ma trận: 10 0 x1 240 120 x1 7000 2000 x1 1000sin 20t 1.5 5 x 120 120 x 2000 2000 x 2 2 2 GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN Phƣơng trình dao động tự không cản hệ viết dƣới dạng ma trận 10 0 x1 7000 2000 x1 0 5 x 2000 2000 x 0 2 2 (2.1) 2.1.Lập phương trình tần số Giả sử nghiệm (2.1) có dạng x1 X cos(t ) x2 X cos(t ) (2.2) Hệ phƣơng trình thỏa mãn với t ta có (k11 m11 ) X k12 X k12 X (k22 m22 ) X (2.3) Viết dƣới dạng ma trận K M 0 (2.4) Thay số vào ta đƣợc: 10 7000 2000 2000 2000 5 (2.5) 50 55000 10000000 (2.6) 2.2 Xác định tần số riêng 1 ,2 Giải phƣơng trình (2.6) ta xác định đƣợc 12 229,843 870,156 Ta có tần số riêng hệ 1 15.1606(rad / s) 29.4984(rad / s) 2.3.Tỷ số biên độ r1 , r2 Từ phƣơng trình (2.3) ta có tỷ số biên độ tƣơng ứng: X (1) k11 12 m11 r1 ( 2) X1 k12 ( 2) r X k11 2 m11 X ( 2) k12 (2.7) Thay số vào ta tính đƣợc r1 2,3508 r2 0,8508 2.4.Ma trận véc tơ riêng dạng thông thường dạng chuẩn hóa Ma trận véc tơ riêng dạng thông thƣờng: 1 D r1 r2 2,3508 0,8508 (2.8) Ma trận véc tơ riêng dạng chuẩn hóa 1 r2 D* r r 1 r 0.3914 0.7616 r2 0.9202 0.6480 r22 (2.9) 2.5.Tìm dạng dao động riêng Để tìm dạng dao động riêng ta thiết lập hệ phƣơng trình để tìm c1 , c2 ,1 ,2 x1 (0) c1 cos 1 c2 cos 2 0.1 x (0) rc cos r c cos 0.15 1 2 x1 (0) 1c1 sin 1 2c2 cos 2 x2 (0) r11c1 sin 1 r22c2 cos 2 (2.10) Thay giá trị ban đầu giá trị tính toán đƣợc vào (2.10) ta có hệ c1 cos 1 c2 cos 2 0.1 2.3508c cos 0.8508c cos 0.15 1 2 15,1606c1 sin 1 29,4984c2 sin 2 35.6395c1 sin 1 25.097c2 sin 2 (2.11) Giải hệ (2.11) ta đƣợc Dạng riêng thứ nhất: x1(1) 0,073422cos(15,1606t ) (1) x2 0,1726cos(15,1606t ) (2.12) Dạng riêng thứ hai: x1(2) 0.026573cos(29,4948t ) (2) x2 0,022608cos(29,4948t ) (2.13) 2.6.Phương trình dao động tự không cản Phƣơng trình dao động tự không cản hệ x1 (t ) 0,073422cos(15,1606t ) 0.026573cos(29,4948t ) x2 (t ) 0,1726cos(15,1606t ) 0,022608cos(29,4948t ) (2.14) Đồ thị đáp ứng chuyển vị hệ dao động đƣợc biểu diễn nhƣ Hình (2.1) Hình 2.1 Đồ thị đáp ứng hệ theo thời gian 2.7.Phương trình dao động tự không cản hệ phép biến đổi Laplace m1 x1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 10 x1 7000 x1 2000 x2 m x k x k x 2 2 5 x2 2000 x1 2000 x2 Thực phép biến đổi Laplace phƣơng trình ta có: L 10 x1 7000 x1 2000 x2 10 s F ( s ) sx1 (0) x1 (0) 7000 F ( s) 2000G ( s) L x2 2000 x1 2000 x2 s 2G ( s ) sx2 (0) x2 (0) 2000 F ( s) 2000G ( s) s 700s F ( s ) 10s 11000s *106 G ( s ) 0,75s 725s 5s 5500s 106 (2.15) Biến đổi Laplace ngƣợc ta đƣợc kết quả: x1 =1/82000*sum((3700+3*_alpha^2)*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(_Z^4+1100*_Z^2+200000)) x2 = 1/6560*sum((796+_alpha^2)*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(_Z^4+1100*_Z^2+200000) Thu gọn biểu thức ta đƣợc phƣơng trình dao động hệ nhƣ cách giải thông thƣờng x1 =0 26574e-1*cos(29.498*t)+0.73425e-1*cos(15.161*t) x2 =-0.22608e-1*cos(29.498*t)+0.17261*cos(15.161*t) 3.GIẢI HỆ PTVP CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỔNG QUÁT 3.1 Lập trình theo phương pháp Runge-Kutta Để giải phƣơng trình vi phân dao động phƣơng pháp Runge-Kutta ta biến đổi hệ phƣơng trình vi phân mô tả dao động hệ vệ hệ phƣơng trình vi phân cấp dạng: x1 u x v u (240 x1 120 x2 7000 x1 2000 x2 1000sin 20t ) 10 v (120 x1 120 x2 2000 x1 2000 x2 ) Hay (3.1) x1 f1 (t , x1 , x2 , u, v) x f (t , x , x , u, v) 2 u f (t , x1 , x2 , u, v) v f (t , x1 , x2 , u, v) (3.2) Theo điều kiện đầu toán: x1 (0) 0.1; x2 (0) 0.15; x1 (0) 0; x2 (0) Tính toán phần mềm matlap ta thu đƣợc kết thể Bảng 2: Bảng 2: Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải phƣơng pháp Runge-Kutta Thời gian 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Chuyển vị ngang x1 0.1 0.0774 0.0233 -0.1831 0.2455 -0.1494 -0.0457 0.2074 -0.2248 0.0862 0.1122 Chuyển vị ngang x2 0.15 0.1446 -0.1578 -0.0444 0.2568 -0.3065 0.1493 0.1094 -0.2917 0.2718 -0.0635 Đồ thị đáp ứng theo thời gian: x1(t) x2(t) Hình 3.1 Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải phƣơng pháp Runge-Kutta 3.2 Lập trình với việc sử dụng trình giải ODE45 Để giải phƣơng trình vi phân dao động trình giải ode45 Matlab ta biến đổi hệ phƣơng trình vi phân mô tả dao động Hệ dạng phƣơng trình vi phân cấp x1 u x v u (240 x1 120 x2 7000 x1 2000 x2 1000sin 20t ) 10 v (120 x1 120 x2 2000 x1 2000 x2 ) (3.3) Đặt x1 y1; x2 y2 ; u x1 y3 ; v x2 y4 dy1 y3 dy y dy3 (240 y3 120 y4 7000 y1 2000 y2 1000sin(20t )) 10 dy4 (120 y3 120 y4 2000 y1 2000 y2 ) (3.4) Theo điều kiện đầu toán: y1 (0) 0.1; y2 (0) 0.15; y3 (0) 0; y4 (0) Tính toán phần mềm matlap ta thu đƣợc kết thể Bảng 3: Bảng 3: Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải trình giải ode45 Thời gian 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 Chuyển vị ngang x1 0.1 0.0774 0.0233 -0.1831 0.2455 -0.1493 -0.0457 0.2074 -0.2247 0.0862 0.1122 Chuyển vị ngang x2 0.15 0.1446 -0.1577 -0.0444 0.2568 -0.3065 0.1493 0.1094 -0.2917 0.2717 -0.0635 Đồ thị đáp ứng theo thời gian: x2(t) x1(t) Hình 3.2 Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải trình giải ode45 10 PHỤ LỤC1 (CHUONG TRINH SO 1) % TIEU LUAN MON HOC TOAN UNG DUNG TRONG CO HOC % DE SO 01 clear all;clc; syms t a b x1 x2 omega % -Du lieu dau vao cau bai toan -m1=10;m2=5;c1=120;c2=120;k1=5000;k2=2000;F=1000*sin(20*t); % Dieu kien dau tai t=0 x1=0.10;x2=0.15;Dx1=0;Dx2=0; % -MA TRAN KHOI LUONG, MA TRAN CUNG, MA TRAN CAN-M=[m1 0;0 m2]; K=[k1+k2,-k2;-k2,k2]; C=[c1+c2,-c2;-c2,c2]; % - BAI TOAN DAO DONG TU DO KHONG CAN -% PT TAN SO, TAN SO RIENG, TY SO BIEN DO, VECTOR RIENG %2.1 Phuong trinh tan so pt=det(K-omega^2*M); disp('Phuong trinh tan so') disp(pt) %2.2 Gia tri omega1 va omega2 A=inv(M)*K; [V,D]=eig(A); t1=min(D(1,1),D(2,2)); t2=max(D(1,1),D(2,2)); omega1=sqrt(t1); omega2=sqrt(t2); disp(['Tan so rieng thu nhat omega1 = ', num2str(omega1)]); disp(['Tan so rieng thu hai omega2 = ', num2str(omega2)]); %2.3 Cac gia tri r1 va r2 r1=(k1+k2-m1*omega1^2)/k2; r2=(k1+k2-m1*omega2^2)/k2; 11 disp(['ty so bien r1 = ', num2str(r1)]); disp(['ty so bien r2 = ', num2str(r2)]); %2.4 Cac ma tran dang rieng disp('Ma tram dang rieng o dang thong thuong la D'); D=[1 1; r1 r2] r1p=1/sqrt(1+r1^2);r2p=1/sqrt(1+r2^2); disp('Ma tram dang rieng o dang chuan hoa la la Ds'); Ds=[r1p r2p; r1*r1p r2*r2p] % -PHUONG TRINH DAO DONG TU DO KHONG CAN -syms t phi1 phi2 C D A B C1 C2 omega1 omega2 r1=subs(r1,2.3508);r2=subs(r2,0.8508);omega1=subs(omega1,15.1606);omega2=subs(omega2,29.494 8); x11=C1*sin(omega1*t+phi1); x12=C2*sin(omega2*t+phi2); x1=x11+x12; x21=C1*r1*sin(omega1*t+phi1); x22= C2*r2*sin(omega2*t+phi2); x2=x21+x22; [A B]=solve('A+B=0.1','r1*A+r2*B=0.15','A,B') [C D]=solve('omega1*C+omega2*C=0','r1*omega1*C+r2*omega2*D=0','C ,D') C1=sqrt(A^2+C^2); digits(5); C1=vpa(C1) C2=sqrt(B^2+D^2); C2=vpa(C2) phi1=atan(A/C) phi2=atan(B/D) % -2.5 Hien thi cac dang dao dong rieng -disp('Dang dao dong rieng thu nhat') x11=subs(x11); x11=sym(x11); x11=vpa(x11) x12=subs(x12); x12=sym(x12); 12 x12=vpa(x12) disp('Dang dao dong rieng thu hai') x21=subs(x21); x21=sym(x21); x21=vpa(x21) x22=subs(x22); x22=sym(x22); x22=vpa(x22) % 2.6 Hien thi phuong trinh dao dong cua dia-disp('Phuong trinh dao dong cua vat la:') x1=x11+x12; x1=subs(x1);x1=sym(x1); x1=vpa(x1) x2=x21+x22; x2=subs(x2); x2=sym(x2); x2=vpa(x2) % Do thi dap ung thoi gian cua he dao dong t=0:0.001:2; figure(1) x1=subs(x1); x2=subs(x2); plot(t,x1,'b-',t,x2,'r-.');hold on; grid on; %2.7 GIAI BAI TOAN DAO DONG SU DUNG PHEP BIEN DOI LAPACE syms s F G x1 x2 s t pt1 pt2 clc; pt1=10*(s^2*F-0.1*s)+7000*F-2000*G pt2=5*(s^2*G-0.15*s)-2000*F+2000*G [F G]=solve('10*(s^2*F-0.1*s)+7000*F-2000*G=0','5*(s^2*G0.15*s)-2000*F+2000*G=0','F,G') x1=ilaplace(F,s,t) x1=vpa(x1) x2=ilaplace(G,s,t) 13 x2=vpa(x2) PHỤ LỤC2 (CHUONG TRINH SO 2) % TIEU LUAN MON HOC TOAN UNG DUNG TRONG CO HOC % DE SO 01 function RUNGE_KUTTA clear all; clc; a=0;b=2.5;h=0.01;NP=ceil((b-a)/h); t=zeros(1,NP); u=zeros(1,NP); v=zeros(1,NP); x1=zeros(1,NP); x2=zeros(1,NP); t(1)=a;u(1)=0;v(1)=0;x1(1)=0.1;x2(1)=0.15; for i=1:NP; k1=h*FXY(t(i),x1(i),x2(i),u(i),v(i)); k2=h*FXY(t(i)+0.5*h,x1(i)+0.5*k1(1),x2(i)+0.5*k1(2),u(i)+0.5* k1(3),v(i)+0.5*k1(4)); k3=h*FXY(t(i)+0.5*h,x1(i)+0.5*k2(1),x2(i)+0.5*k2(2),u(i)+0.5* k2(3),v(i)+0.5*k2(4)); k4=h*FXY(t(i)+h,x1(i)+k3(1),x2(i)+k3(2),u(i)+k3(3),v(i)+k3(4) ); t(i+1)=t(i)+h; x1(i+1)=x1(i)+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6; x2(i+1)=x2(i)+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6; u(i+1)=u(i)+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6; v(i+1)=v(i)+(k1(4)+2*k2(4)+2*k3(4)+k4(4))/6; end figure(1) plot(t,x1,'r-');hold on; 14 plot(t,x2,'b-.');grid on; %Bang dap ung theo thoi gian dao dong cua he: k=1:20:220;t1=t(k);x1=x1(k);x2=x2(k); format short disp('Bang dap ung theo thoi gian dao dong cua he:') disp([t1' x1' x2']); function ff=FXY(t,x1,x2,u,v) f1=u;f2=v; f3=-(240*u-120*v+7000*x1-2000*x2-1000*sin(20*t))/10; f4=-(-120*u+120*v-2000*x1+2000*x2)/5; ff=[f1;f2;f3;f4]; 15 PHỤ LỤC3 (CHUONG TRINH SO 3) % CHUONG TRINH SO % TIEU LUAN MON HOC TOAN UNG DUNG TRONG CO HOC % DE SO 01 function USE_ODE45 clear all;clc; tspan=[0:0.01:2]; y0=[0.1 0.15 0]; [t,y]=ode45(@HePT,tspan,y0); figure(2) plot(t,y(:,1),'r-'); hold on; plot(t,y(:,2),'b-.') grid on; k=1:20:220; t1=t(k); x1=y(k,1); x2=y(k,2); format short M=[t1 x1 x2]; disp(M); function dy=HePT(t,y) dy=zeros(4,1); dy(1)=y(3); dy(2)=y(4); dy(3)=-(240*y(3)-120*y(4)+7000*y(1)-2000*y(2)1000*sin(20*t))/10; dy(4)=-(-120*y(3)+120*y(4)-2000*y(1)+2000*y(2))/5; 16 MỤC LỤC THIẾT LẬP HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG…………… 1.1.Vẽ sơ đồ chịu lực………………………………………………………1 1.2.Lập phƣơng trình vi phân dao động………………………………… 1.3.Biểu thức số ………………………………………………………….3 GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN………….……….3 2.1.Lập phƣơng trình tần số………………………………………………3 2.2 Xác định tần số riêng 1 ,2 ………………………………………4 2.3.Tỷ số biên độ r1 , r2 ……………………………………………… 2.4.Ma trận véc tơ riêng dạng thông thƣờng dạng chuẩn hóa………4 2.5.Tìm dạng dao động riêng…………………………………………5 2.6.Phƣơng trình dao động tự không cản ………………………… …6 2.7.Phƣơng trình dao động tự không cản hệ phép biến đổi Laplace……………………………………………………… ………………6 GIẢI HỆ PTVP CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỔNG QUÁT………….7 3.1 Lập trình theo phƣơng pháp Runge-Kutta………………………… 3.2 Lập trình với việc sử dụng trình giải ODE45……………………….9 PHỤ LỤC……………………………………………………… ……… 11 17 ... -0.2917 0.2718 -0.0635 Đồ thị đáp ứng theo thời gian: x1(t) x2(t) Hình 3.1 Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải phƣơng pháp Runge-Kutta 3.2 Lập trình với việc sử dụng trình giải ODE45 Để giải... 0,1726cos(15,1606t ) 0,022608cos(29,4948t ) (2.14) Đồ thị đáp ứng chuyển vị hệ dao động đƣợc biểu diễn nhƣ Hình (2.1) Hình 2.1 Đồ thị đáp ứng hệ theo thời gian 2.7.Phương trình dao động tự không cản... -0.1577 -0.0444 0.2568 -0.3065 0.1493 0.1094 -0.2917 0.2717 -0.0635 Đồ thị đáp ứng theo thời gian: x2(t) x1(t) Hình 3.2 Đáp ứng theo thời gian dao động hệ giải trình giải ode45 10 PHỤ LỤC1 (CHUONG