Hình học phẳng luyện thi quốc gia CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TUYỂN TẬP HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG HAY VÀ ĐẶC SẮC Gia sư : Ngô Trường Sơn Pleiku tháng năm 2015 Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia Đề 01 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A (1; 5), điểm B nằm đường thẳng (d1) : 2x + y + = chân đường cao hạ đỉnh B xuống đường thẳng AC nằm đường thẳng (d2) : 2x + y − = Biết điểm M (3; 0) trung điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải tham khảo : Gọi điểm B (a; −2a − 1) EMBED Equation.3 ∈ (d1) Điểm H (b; − 2b) (d2) Ta có M trung điểm BC ∈ AC (6 − a; 2a + 1) −−→ −−→ Ta có H ∈ AC nên A H H C phương −−→ −−→ A H = (b − 1; − 2b) H C = (6 − a − b; 2a + 2b − 7) −→ −−→ b −1 − 2b A H H C phương ⇒ = ⇒ a=11-6b 6− a −b 2a + 2b − −−→ −−→ H chân đường cao hạ từ B xuống AC ⇒ AH⊥BH A H.B H = −−→ −−→ −−→ B H = (b − a; 2a − 2b + 9) ⇒ A H.B H = (b − 1) (b − a) + (3 − 2b) (2a − 2b + 9) = 5b2− 5ab − 25ab + 7a + 27 = (2) Thay (1) vào (2) ta 5b2 − 5b (11 − 6b) − 25b + (11 − 6a) + 27 = ⇒ 35b -122b+104=0 ⇔ b=2 b= 52 35 Thay ngược lại ta có điểm B C cần tìm Đề 02 : Trong hệ tọa độ Oxy hình thang cân ABCD có diện tích 45 , đáy lớn CD nằm đường thẳng (d) : x − 3y − = Biết hai đường chéo AC BD vuông góc với điểm I (2; 3) Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương Lời giải tham khảo : Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân I Ta có CD =2d(I;CD)= 2 − 3.3 − 10 =2 10 ⇒ IC= 20 Lấy C (3a + 3; a) ∈ (d) ⇒ IC2=(3a+1)2+(a-3)2 = 20 ⇔ a= ± ⇒ C(6;1) Phương trình B qua điểm I nhận IC làm vtpt ⇒ BD: x-y-1=0 D giao điểm BD CD ⇒ D(0;1) Đặt IA=IB=x ⇒ SABI= x2; SIAD=x =SICD=10 ⇒ SABCD= 45 x +2x +10= ⇔ 2 x= (tm) x=-5 (loại) ⇒ DI =2 ⇒ DI =2 IB IB (*) Gọi B (b; 2b − 1) ∈ BD từ (*) ⇒ B (3; 5) Phương trình đường thẳng BC qua B C ⇒ BC : 4x + 3y − 27 = Bài toán giải xong Đề 03: (k2pi Lần 15 - 2014) : Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD (d) : 3x − 4y − = Gọi E điểm nằm bên hình vuông ABCD cho tam giác ∆ EBC cân có ∠ BEC = 150o Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E (2; −4) Lời giải tham khảo: Tam giác BEC cân có ∠ BEC=150o ⇒ tam giác BEC cân E Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia Gọi H hình chiếu E lên AD ⇒ H trung điểm AD có HE = d (E; AD) = Đặt cạnh hình vuông AB = x Tam giác BEC cân E có∠BEC=1500 ⇒ EBC=150 Gọi I trung điểm BC ⇒ BI = x ; EI=x-3 Tam giác BIE vuông I có góc ∠EBI =150 ⇒ tan150= ⇒ 2- = EI x − = BI x 2x − ⇔ x=2 x Phương trình đường thẳng EH qua điểm E vuông góc với AD ⇒ EH : 4x + 3y + = Đường thẳng AB // EH ⇒ AB có dạng (d) : 4x + 3y + α = Ta có d(E;AB)= α −4 =BI= ⇔ α =4 ± Phương trình đường thẳng AB (d) : 4x + 3y + ± = Bài toán giải xong Đề 04 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết đường cao kẻ từ A, trung tuyến kẻ từ B phân giác kẻ từ C có phương trình (d1) : 3x − 4y + 27 = 0; (d2) : 4x + 5y − = 0; (d3) : x + 2y − = Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải tham khảo: Ta có AH ⊥ BC ⇒ đường thẳng BC có vtcp − u→4 = (3; −4) Gọi − u→5 = (a; b) vtcp đường thẳng AC Ta có CD phân giác góc ∠C ⇒ Cos( u3 ; u ) = Cos( u3 ; u5 ), có u3 =(2;-1) Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia ⇒ 2−b a +b = 10 25 b=0 ⇔ b=- a Với b=0 ⇒ u5 =(1;0) Với b=- a ⇒ chọn a=3 ⇒ b = −4 ⇒ u5 =(3;-4) loại trùng với u = (3; −4) Điểm A ∈ (d1) ⇒ A (−1 + 4a; + 3a) C ∈ (d3) ⇒ C (5 − 2c; c) −→ ⇒ A C = (6 − 2c − 4a; c − 3a − 6) −→ Ta có − u→5 A C phương ⇒ c − 3a − = (1) M trung điểm AC ⇒ M( 4a − 2c + 3a + c + ; ) Trung điểm M ∈ (d2) 2 a − 2c + 3a + c + +5 -3=0 ⇔ 31a-3a+40 =0 2 Từ (1) (2) ⇒ a = 1; c = ⇒ A (−5; 3) ; C (−1; 3) ⇒ Phương trình đường thẳng BC qua C vuông góc với AH ⇒ BC : 4x + 3y − = B giao điểm BM BC ⇒ B (2; −1) Bài toán : Biết tọa độ đỉnh tam giác tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Đề 05 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB BC là: (d1) : 7x − y + 17 = 0; (d2) : x − 3y − = Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC biết điểm M (2; −1) nằm đường thẳng AC Lời giải tham khảo : Đường thẳng AB có vtpt − n→1 = (7; −1), BC có vtpt − n→2 = (1; −3) Gọi − n→3 = (a; b) vtpt đường thẳng AC Tam giác ABC cân A ⇒ cos( n1 ; n2 )=cos( n2 ; n3 ) Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia a − 3b 10 = 50 10 10 a + b 2 ⇒ a +6ab-7b =0 ⇔ ⇒ a= b a= -7b * Với a = −7b chọn − n→3 = (7; −1) loại phương với − n→1 * Với a = b chọn − n→3 = (1; 1) ⇒ đường thẳng AC : x + y − = Tọa độ C giao điểm BC AC ⇒ C (3; −2) Phương trình đường cao xuất phát từ C (d) : x + 7y + 11 = Đề 06 : Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao đường phân giác xuất phát từ đỉnh A là: (d1) : x − 2y = 0; (d2) : x − y + = Biết điểm M (1; 0) nằm cạnh AB diện tích tam giác ABC 180 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Lời giải tham khảo : Gọi A giao điểm (d1) (d2) ⇒ tọa độ điểm A (−2; −1) Qua M kẻ đường thẳng ⊥ (d2) cắt (d2) I AC N Đường thẳng MN qua M ⊥ (d2) ⇒ (MN ) : x + y − = I giao điểm MN (d2) ⇒ I (0; 1) I trung điểm MN ⇒ N (−1; 2) Phương trình đường thẳng (AB) : x − 3y − = (AC) : 3x − y + = Điểm B ∈ AB ⇒ B (3a + 1; a), điểm C ∈ AC ⇒ C (b; 3b + 5) Ta có BC ⊥ AH ⇔ AH BC =0 AH =(2;1); BC =(b-3a-1;3b-a+5) ⇒ 2(b-3a-1)+(3b-a+5)=0 (1) ⇔ 5b-7a+3=0 Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia 8b + 14 Ta có SABC= d(C;AB).AB = (3a + 3) + (a + 1) 2 10 180 (2) SABC = Từ (1) (2) ⇒ a= 22 a=7 Thay ngược lại ta có tọa độ điểm A;B;C Bài toán coi giải xong Đề 07: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A có AC = 2AB Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB (d): 2x-y+7=0, điểm G(0; ) trọng tâm tam giác ABC.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ bé -2 Lời giải tham khảo : Gọi M trung điểm AC ⇒ AM = MC = AB ⇒ ∆BAM vuông cân A ⇒ ∠MBA= 45 Gọi n1 vtpt đường thẳng (d) ⇒ n1 = (2;-1) n2 = (a;b) vtpt đường thẳng BG ⇒ cos( n1 ; n2 )= 2 ⇔ 3a -8ab-3b =0 ⇔ 2 a=3b a=- b * Với a=3b chọn n2 = (3;1) (chọn b=1 ⇒ a=3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt n2 = (1;-3) ⇒ BG: x-3y+1=0 B giao điểm AB BG Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia ⇒ x=3 loại hoành độ điểm B nhỏ 13 a * với b= - chọn n2 = (1;-3) ⇒ đường thẳng BG qua G có vtpt n2 b ⇒ BG: x-3y+1=0 y= B giao điểm AB BG ⇒ B (−4; −1) ( thỏa mãn ) M trung điểm AC ⇒ M(3a-1;a) ∈ BG, ta có BG = BM ⇒ M(2;1) Phương trình đường thẳng AC qua điểm M vuông góc với AB ⇒ AC : x + 2y − = Tọa độ điểm A giao điểm AC AB ⇒ A (−2; 3) ⇒ C (6; −1) Bài toán giải xong Đề số 8: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có điểm B( ;1 ) Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CA AB D; E F Biết điểm D(3;1) phương trình đường thẳng EF (d): y-3=0 Tìm tọa độ đỉnh A biết đỉnh A có tung độ không âm Lời giải tham khảo: Cách giải 1: Phương trình đường thẳng BC qua điểm B D ⇒ BC : y − = ⇒ BC//EF Có AE=AF (tiếp tuyến kẻ từ A với đường tròn) ⇒ AB=AC, tam giác ABC cân A D trung điểm BC Phương trình đường thẳng AD qua D vuông góc với BC ⇒ AD : x − = Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia 25 Điểm E(a;3) ∈ EF ta có BE=BD ⇒ (a- )2+22= ⇔ (a- ) = a=2 ⇔ a=-1 • Với a=2 ⇒ phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB: 4x-3y+1=0 • với a=-1 phương trình AB qua điểm B E ⇒ AB: 4x+3y+1=0 A giao điểm AB AD ⇒ 13 A(3; ) 13 Vậy A(3; ) A(3;- ) (loại) Đề 09: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB điểm A (1; 5), phương trình đường chéo BD 3x + 4y − 13 = Tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật biết B có hoành độ âm Hướng dẫn lời giải: Xét tam giác ABD vuông A có BD2+AD2=5.AB2 ⇒ BD= AB ⇒ cos(∠ABD)= AB = DB Phương trình đường chéo BD có vtpt n1 =(3;4) Phương trình đường thẳng AD qua điểm A vuông góc với AB ⇒ AD : 2x + y−7=0 Tọa độ điểm D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1) Trung điểm I BD có tọa độ I ⇒1; C (1; 0) Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) Bài toán giải xong Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang10 ... thẳng AC Tam giác ABC cân A ⇒ cos( n1 ; n2 )=cos( n2 ; n3 ) Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia a − 3b 10 = 50 10 10 a + b 2 ⇒ a +6ab-7b =0 ⇔ ⇒ a= b a= -7b * Với a = −7b... dương Lời giải tham khảo : Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia ABCD hình thang cân ⇒ tam giác ICD vuông cân I Ta có CD =2d(I;CD)= 2 − 3.3 − 10 =2 10 ⇒ IC= 20 Lấy C (3a +... D giao điểm AD BD ⇒ D (3; 1) Trung điểm I BD có tọa độ I ⇒1; C (1; 0) Gia sư: Ngô Trường Sơn Trang Hình học phẳng luyện thi quốc gia Vậy B (−1; 4) ; D (3; 1) ; C (1; 0) Bài toán giải xong Gia