Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu nhằm hướng dẫn các bạn sử dụng tốt phần mềm giải toán miễn phí Maxima on Android và trở thành công cụ quan trọng trong học tập của các bạn. Chúng tôi không khuyến khích các bạn sử dụng phần mềm Maxima để gian lận trong kiểm tra, thi cử và sao chép tài liệu. Xin cảm ơn
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH KHOA: VẬT LÝ -oOo - Bài tiểu luận: GVHD: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Lớp: 42.01.LY.B Nhóm SV thực hiện: Nguyễn Minh Anh Vy Thùy Linh Lê Thị An Huế TP.Hồ Chí Minh, 11/2016 MỞ ĐẦU Hiện tại, có nhiều phần mềm lập trình tính toán nhằm giúp giải toán lĩnh vực Điển hình phần mềm Maple, Mathlab, Mathematica vốn sinh viên nhà nghiên cứu Toán Vật lí ưa dùng Ngay từ buổi đầu xuất hiện, phần mềm thu hút nhiều quan tâm Bằng chứng nhiều đề tài, luận văn bảo vệ, nhiều tài liệu hướng dẫn sử dụng nhiều trường đưa phần mềm vào giảng dạy Tuy nhiên phần mềm phần mềm thương mại với chi phí quyền không rẽ chút nào, phải 500$ Và để học tập, nghiên cứu được, đành nhắm mắt vi phạm quyền để sử dụng với giá 7.000 VND Ngoài chương trình đòi hỏi máy tính phải có cấu hình mạnh Vậy, giải pháp giúp sử dụng chương trình tính toán nhằm hỗ trợ việc học tập, nghiên cứu mà không bị vi phạm quyền phần mềm Giải pháp sử dụng phầm mềm miễn phí, mã nguồn mở Mặc dù miễn phí chương trình có đầy đủ chức lập trình toán Maple Và bật phần mềm toán Maxima (Trích dẫn thunhan.wordpress.com) I Giới thiệu Maxima phần mềm giải toán gọn nhẹ, mã nguồn mở hoàn toàn miễn phí Mặc dù không “mạnh mẽ” phần mềm Maple, Mathlab hay Mathematica phần mềm có khả xử lý hầu hết tính toán từ đến cao cấp học sinh, sinh viên nghiên cứu Toán học Maxima, hệ thống đại số máy tính viết Common Lisp, xuất thiết bị di động Android bạn Maxima, người tiền nhiệm Macsyma phần mềm lâu đời giới Nỗ lực phát triển ban đầu trở lại năm 1960 MIT LCS dự án Mac, tiếp tục phát triển dự án mã nguồn mở maxima.sourceforge.net Maxima Android cổng Maxima hệ điều hành Android Nhờ nỗ lực Sylvain Ageneau’ việc mang ECL đến cho hệ điều hành android Maxima hoạt động tuyệt vời mà không cần thay đổi nhiều với mã nguồn Maxima android kết hợp nhiều phần mềm mã nguồn mở: ECL android, MathJax Maxima Việc cài đặt phần mềm đòi hỏi tổng cộng 90MB vào lưu trữ Trong 30MB cần phải cài đặt nhớ trong, 60MB lại cài đặt vào thẻ SD nhớ Đối với máy có nhớ bạn nên lưu vào thẻ SD để tăng khoảng trống không gian lưu trữ thiết bị nhằm giúp máy hoạt động tốt Việc chạy ứng dụng hỏi bạn nơi bạn muốn 60MB cài đặt Sau đó, bạn thưởng thức Maxima / Macsyma điện thoại di động máy tính bảng bạn hệ điều hành Android II Một số hàm toán tử bản: Các số toán học: Một số số toán học thông thường có sẵn Maxima là: %a Khai báo a số %e Cơ số e logarit tự nhiên (𝑒 ≈2.7182…) %i Đơn vị ảo (Với 𝑖 = −1) %pi 𝜋 %phi 1+√5 %gamma inf minf 𝛾 +∞ −∞ 2 Các hàm số lượng giác, hàm lượng giác ngược: sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) asin(x) acos(x) atan(x) sinx cosx tanx cotx arcsinx arccosx arctanx Các hàm số hyprebol, hàm số mũ, hàm log: sinh(x) cosh(x) tanh(x) 𝑎^𝑥 } 𝑎 ∗∗ 𝑥 exp(𝑥) } %𝑒^𝑥 sin hyperbol cosine hyperbol tangent hyperbol log(x) lnx 𝑎𝑥 𝑒𝑥 Lưu ý: Trong Maxima có hàm logarit tự nhiên Do đó, để tính logarit số a (0 < 𝑎 ≠ 1) ta sử dụng: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = log(𝑥) log(𝑎) Các toán tử thông dụng: Toán tử “+”: Cộng hai toán hạn Toán tử “-”: Trừ toán hạng thứ hai toán hạng đầu Toán tử “*”: a*b hiểu a×b Toán tử “/”: a/b hiểu a÷b Toán tử “#”: a # b hiểu a ≠ b Toán tử “.” : dùng để nhân ma trận A, B, nghĩa là: A.B Lưu ý: Không thể sử dụng toán tử “*” để nhân hai ma trận true, false dùng để tính giá trị đúng-sai Ví dụ: Toán tử “%”: Tương đương với phím Ans máy tính cầm tay Nó có chức thay kết gần Toán tử “:” (toán tử gán) :Ta sử dụng câu lệnh ten_bien : gia_tri_gan; để gán giá trị cho biến Ví dụ: Để gán giá trị cho biến a 10 ta cần khai báo là: a:10 Nếu gán giá trị đồng thời nhiều biến ta dùng câu lệnh sau: [a , b, c] : [1, 5, 12] (nghĩa a = , b = 5, c = 12) Toán tử “:=” : dùng để khai báo hàm số Ví dụ: f (x,y) := x^2 + y^2 – exp(x*y), nghĩa gán hàm f hàm theo biến x, y xác ñịnh biểu thức: 𝑥 + 𝑦 − 𝑒 𝑥𝑦 Toán tử “sqrt(x)” : trả giá trị bậc hai x Ví dụ: sqrt(5) = √5 Toán tử “!”: Ký hiệu x! Trong Maxima định nghĩa cho hàm Gamma x!= ∞ Γ(x+1)= ∫0 𝑡 𝑥 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡, ∀x ∈ R ,trong x ∈ N ta có x! = 1.2.3 x Toán tử “!!” (giai thừa bội): nghĩa là: 2𝑚 (2𝑚 − 2) (2𝑚 − 4) … 2, 𝑛 = 2𝑚 N!!{ (2𝑘 + 1) (2𝑘 − 1) (2𝑘 − 3) … 1, 𝑛 = 2𝑘 + Toán tử “and”: phép giao Toán tử “or”: phép hợp Toán tử “abs(x)”: trị tuyệt đối x , x số phúc, toán tử phép lấy modun số phức x Ví dụ: abs(-5) = ; abs(-5+4*%i) = √41 Toán tử “round(x)”: làm tròn giá trị x Ví dụ: round(7.4) = ; round(6.51) = Toán tử “ceiling(x)”: làm tròn giá trị đến số nguyên nhỏ lớn x Ví dụ: ceiling(4.8) = Toán tử “floor(x)”: làm tròn giá trị đến số nguyên lớn nhỏ x Ví dụ: floor(3.7) = Toán tử “isqrt(x)”: trả phần nguyên giá trị bậc hai x Ví dụ: isqrt(3) = , isqrt(8) = Toán tử “compare(x,y)”: so sánh giá trị x với y Kết trả phép toán logic: = , =, # Ví dụ: compare(1/x,0) kết # ; compare(x,abs(x)) ta kết Toán tử “signum(x)”: signum(x) = { 0, 𝑥 = −1, 𝑥 < III Menu Maxima Menu giao diện gồm có: About Maxima on Android + What is Maxima on Android? ( giới thiệu phần mềm Maxima ứng dụng nó) + What’s new in this release ( Những phiên ) Maxima android 5.36.1 hỗ trợ Sách hướng dẫn tiếng Nhật cho 5.36.1 bao gồm … + Restrictions:(Hạn chế) Trong số trường hợp lệnh Lisp gây lỗi chấm dứt dòng tự động hoàn thành với $ Một số điện thoại Android ( ví dụ SH-01G Sharp Corp, Nhật Bản) hiển thị công thức đầu với phông chữ nhỏ Hạn chế sử dụng vẽ mặc định Nhiều người sử dụng không hỗ trợ , chủ sở hữu thiết bị cài đặt sử dụng cách xác MoA Tải (Lapack) thất bại sử dụng Gói Plodf không hỗ trợ phải sử dụng Drawdf thay Gói đơn vị gói SCCM không làm việc Tải (opsubst) không hoạt động, tải (‘opsubst) hoạt động + MoA User Manual (Hướng dẫn sử dụng MoA) Lựa chọn nơi để cài đặt Bắt đầu lên hình Phóng to/ thu nhỏ ngón tay Lệnh cho người bắt đầu Maximad Tái sử dụng đầu vào trước Khai thác để thực ví dụ Lệnh ví dụ Maxima Hỗ trợ Dropbox Sách hướng dẫn Maxima Gnuplot để vẽ đồ thị Gói Qepmax Làm việc với phần mềm/phần cứng Lưu/ Khôi phục lại trình đơng phiên Maxima Tùy chọn mức độ sử dụng Maxima Thoát + License ( Giấy phép) + Links (Liên kết) Maxima trang wed thức Android Trang chủ Maxima ECL Android Git Trang chủ Gnuplot Trang chủ Math Jax Trang chủ ECL Trang chủ Qepcad Trang chủ JQuery Mobile + About the auther Yasuaki Honda, Chiba, Japan Yasuaki.Honda@gmail.com Manual : (Hướng dẫn) Graph : (Biểu đồ) Quit : ( Thoát) Session: Save (Lưu) Restore ( Khôi phục) Playback ( Phát lại) Settings (Cài đặt) Next Example ( Ví dụ ) IV Các chức Maxima Giải phương trình, hệ phương trình - Solve: Dùng để giải phương trình đa thức, phương trình lượng giác Tuy nhiên chức không giải phương trình mũ phức tạp không giải triệt để toán lượng giác… Câu lệnh: solve (phương trình, biến); Ví dụ: 1) Giải phương trình: cos(3x)=0 Ta có kết sau: Khi giải phương trình lượng giác, kết ta nhận nghiệm phương trình, chương trình không đưa họ nghiệm Maxima đưa thông báo chương trình sử dụng phương pháp hàm ngược để tìm nghiệm Do đó, có số nghiệm khác ví dụ sau: 2) Giải phương trình: sin(2x)=0.5 Ta có kết sau: Khi đó, nhận dược nghiệm kết thực tế 𝜋 𝑥= + 𝑘𝜋 12 [ , (𝑘 ∈ 𝑍) 5𝜋 𝑥= + 𝑘𝜋 12 3) Giải phương trình: 52𝑥 = Ta có kết sau: Lưu ý: Tuy có nghiệm chương cho kết giống nhau, tránh hiểu nhằm phương trình có nghiệm - Find root: Tìm nghiệm gần phương trình đoạn [a; b] cho trước Ví dụ: Tìm nghiệm gần phương trình: 𝑥 + 𝑥 − = đoạn [0;1] Khi đó, ta có kết sau: - Ngoài ra, để tìm tất nghiệm đa thức, bạn dùng câu lệnh sau: allroots(phương trình) Ví dụ: 1) Giải phương trình: 𝑥 − 2𝑥 + = Ta có kết sau: 2) Giải phương trình: 𝑥 + = Khi đó, ta có: - Nếu muốn tìm nghiệm thực, bạn dùng câu lệnh: realroots (phương trình) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑥 + = Thay có nghiệm trên, ta thu nghiệm thực: - Solve linear system: giải hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình bậc nhất) Câu lệnh: linsolve ([phương trình 1, phương trình 2,…,phương trình n],[biến 1, biến 2,…,biến n]); 𝑥 − 7𝑦 + 3𝑧 = Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: { 2𝑥 − 3𝑦 = 𝑥 − 6𝑧 = 10 Ta thu kết sau: Ngoài ra, hệ phương trình có số biến nhiều số phương trình hệ phương trình ẩn, theo lý thuyết biết hệ phương trình có vô số nghiệm với ẩn tham số hay nói cách khác giải hệ phương trình tuyến tính có chứa tham số 𝑥 − 7𝑦 + 3𝑧 + 4𝑡 = Ví dụ: Giải hệ phương trình sau với tham số t: { 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑡 = 𝑥 − 6𝑧 = Ta có kết sau: Hoặc ta xem biến t tham số, ta có kết sau: - Solve algebraic system: Giải hệ phương trình đại số Cũng tương tự trên, khai báo phương trình biến hệ theo câu lệnh sau: algsys ([phương trình 1, phương trình 2,…,phương trình n],[biến 1, biến 2,…,biến n]); Ví dụ: 𝑥 + 2𝑥 + 𝑦 = 1) Giải hệ phương trình sau: { 3𝑥 + 4𝑦 = 11 Khi đó, ta nhận kết sau: 2) Giải hệ phương trình sau theo tham số t: 𝑡𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = {𝑥 + 𝑡 𝑦 + 𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 + 𝑡𝑧 = Ta nhận được: 3) Giải hệ phương trình sau theo tham số t: 𝑥 + 3𝑥𝑦 + 6𝑦 = { 𝑡𝑥 − 4𝑦 = 𝑡 Ta có: - Solve ODE: Chức dùng để giải phương trình vi phân thường cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số điều kiện đầu Để thực chức này, ta sử dụng cấu trúc lệnh sau: ode2 (phương trình, tham số biến, tham số hàm); Trong đó, biểu thức lấy đạo hàm kí hiệu sau: Đạo hàm cấp 1: ‘diff(y,x) Đạo hàm cấp n: ‘diff(y,x,n) Ví dụ: Với phương trình: y’ – y = (1), ta có câu lệnh kết sau: 12 Với phương trình vi phân cấp 2: y’’ – 2y’ + y = (2), ta có kết là: ta Hoặc với phương trình vi phương hệ số hàm: y’’ – 3y’ + 4y = sin(2x) (3), có kết : - Để giải phương trình vi phân cấp với điều kiện ban đầu 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 bạn cần giải phương trình trước ghi nhận kết nghiệm tổng quát phương trình Ví dụ: Với phương trình (1), nghiệm biểu thức %𝑐𝑒 𝑥 , bạn sử dụng chức Initial Value Problem (1) (điều kiện đầu phương trình vi phân cấp 1) cách thực câu lệnh ic1 (%, 𝒙 = 𝒙𝟎 ; 𝒚 = 𝒚𝟎 ) Lưu ý: Câu lệnh có áp dụng bạn vừa tính xong phương trình (1) áp dụng câu lệnh Đặc biệt, chương trình Maxima dùng cho máy tính, bạn sử dụng câu lệnh sau ic1 (%i1, 𝒙 = 𝒙𝟎 ; 𝒚 = 𝒚𝟎 ), với cách tiện lợi nhiều tiết kiệm thời gian Ví dụ: - Với phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số Maxima giải toán có điều kiện đầu dạng Cauchy: 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ; 𝑦′(𝑥0 ) = 𝑦′0 Để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu dạng này, bạn sử dụng chức Initial Value Problem (2) sau tìm nghiệm tổng quát Ví dụ: 13 - Trong trường hợp phương trình vi phân cấp có điều kiện biên 𝑦(𝑎) = 𝑦0 ; 𝑦(𝑏) = 𝑦1 sau giải tìm nghiệm tổng quát, bạn sử dụng chức Boundary Value Problem - Solve ODE by Laplace: Giải phương trình vi phân cách biến đổi Laplace Biến đổi biểu thức - Partial Fraction: Phân tích phân thức thành phân thức đơn giản Việc có việc tính toán tính phân hàm hữu tỉ Câu lệnh: partfrac (phân thức cần phân tích, biến); Ví dụ: 3𝑥 +2𝑥−1 1) Phân tích thành phân thức đơn giản (𝑥−1)2 (𝑥+2) Thực câu lệnh, ta được: 14 2) Phân tích biểu thức: Ta 4𝑥 +𝑥 −2𝑥 −𝑥 −𝑥+2 𝑥 −𝑥 −𝑥 +𝑥 kết sau: 5𝑥 +4𝑡 3) Phân tích biểu thức với tham số t Ta nhận được: 𝑥 +5𝑥 +4 Ngoài ra, chức khai triển biểu thức bậc cao thành đa thức Ví dụ: Khai triển biểu thức: (2𝑥 + 9)3 (𝑥 + 7𝑥 − 6𝑥 + 5)2 Ta kết quả: (hình bên) - Ngược với câu lệnh partfrac dùng để phân tích phân thức thành phân thức đơn giản, lệnh ratsimp có khả quy đồng phân thức.Đối với câu lệnh này, bạn không cần phải khai báo biến 𝑦 𝑧 Ví dụ: Quy đồng biểu thức sau: 𝑥 + + Ta có: 𝑥+2 𝑥 +4 15 Ngoài ra, ratsimp giống partfrac, khai triển biểu thức bậc cao thành đa thức Ví dụ: Khai triển biểu thức sau: 𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) + (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) Kết là: - Câu lệnh factor dùng biến đổi đa thức thành nhân tử chung Ví dụ: Phân tích biểu thức sau thành nhân tử chung: 𝑥 𝑦 𝑧 + 𝑎𝑥𝑦 𝑧 − 3𝑥𝑦 𝑧 − 3𝑎𝑦 𝑧 − 2𝑥 𝑦 − 2𝑎𝑥𝑦 + 6𝑥𝑦 + 6𝑎𝑦 Ta nhận được: - Để rút gọn biểu thức, bạn sử dụng lệnh radcan 𝑛 Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: (ln(𝑥 +𝑥)−𝑙𝑛𝑥) ln(𝑥+1)𝑛/2 Ta có: - Continued fraction: biểu diễn số dạng liên phân số Ví dụ: (hình bên) - Calculate sum: Tìm tổng chuỗi số dương Ví dụ: Tính ∞ tổng chuỗi ∑𝑘=1 ta có: 𝑘 16 - Laplace transform: Tìm phép biến đổi Laplace hàm cho trước.Ví dụ: - Invert Laplace transform: Tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm cho trước Ví dụ: - Greatest common divisor: Tìm ước số chung lớn biểu thức, đa thức Ví dụ: Devide polynomials: Thực phép chia đa thức, kết trả gồm thành phần có dạng sau: [thương , phần dư] Ví dụ: Nguyên hàm, tích phân, đạo hàm, giới hạn - Integrate: Tính tích phân bất định tích phân xác định tính tích phân phương pháp số Để thực chức này, bạn thực câu lệnh sau: integrate (biểu thức, tên biến, cận dưới, cận trên); 17 Ví dụ: Tính tích phân sau:𝐼 = ∫2 𝑑𝑥 √𝑥 +2𝑥−3 Ta được: Trong trường hợp bạn muốn tính nguyên hàm toán trên, ta thực câu lệnh sau: Đối với số toán nguyên hàm, chương trình đưa kết phức tạp so với thực tế Ví dụ: Tính nguyên 𝑠𝑖𝑛2𝑥 hàm: 𝐼 = ∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥 Ta có kết sau: Tuy nhiên, kết phức tạp Nếu ta biến đổi toán sau tính nguyên hàm có kết nhanh chống đơn giản nhiều 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝐼=∫ 𝑑𝑥 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 => 2𝐼 = ∫( +1− )𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝐼 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Khi đó, ta nhận kết gọn hơn: 18 - Differentiate: Tính đạo hàm cấp hàm số Câu lệnh: diff (hàm số tính đạo hàm, tên biến, cấp đạo hàm); Ví dụ: 1) Tính đạo hàm cấp hàm số sau: 𝑓 (𝑥 ) Ta kết = 𝑥 −4 𝑥 −𝑥 quả: 2) Tính đạo hàm cấp hàm số sau: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 Ta có: Find Limit: Tìm giới hạn hàm số với chức tìm giới hạn trái, giới hạn phải giới hạn hai phía 𝑥−1−sin(2𝑥−2) Ví dụ: Tính: lim 𝑥→1 𝑥−1+sin(3𝑥−3) Nếu bạn muốn tính giới hạn bên biểu thức thực câu lệnh sau: Trong đó: 1, plus x->1+ 1, minus x->1- 19 Ma trận - Để nhập ma trận, bạn dùng lệnh Matrix Chức Invert Matrix dùng để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận cho trước Ví dụ: - Characteristic Polynomial: Dùng để tìm đa thức đặc trưng ma trận Tuy nhiên giống ma trận nghịch đảo, Maxima cho tìm đa thức đặc trưng cho kết liền trước Do đó, kết trước, dạng ma trận chương trình báo lỗi Vì vậy, bạn nên sử dụng câu lệnh: Charpoly (biểu thức xác định ma trận, tên biến giá trị riêng), expand; Ví dụ: - Determinant: Tính định thức ma trận vuông Ví dụ: 20 - Eigenvalues: Tìm giá trị riêng ma trận cho trước Ví dụ: Tìm giá trị riêng ma trận A - Eigenvector: Tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng ma trận cho trước Ví dụ: Với ma trận A, ta có: - Adjoint: Tìm ma trận phụ hợp ma trận cho trước Ví dụ: Sau đó, ta đặt: 21 - Sử dụng chức rectform để đơn giản hóa ma trận Đối vơi sma trận trên, ta được: - Transpose: Tìm ma trận chuyển vị ma trận cho trước Ví dụ: Khai triển Taylor – Maclaurin - Tìm khai triển Taylor điểm 𝑥 = 𝑥0 hàm số Câu lệnh: taylor (hàm số f(x), x, x0, bậc cần khai triển); Ở câu lệnh trên, bạn sử dụng biến y, t,… tùy ý Với khai triển Maclaurin, bạn chọn x0=0 Ví dụ: Tìm khai triển Maclaurin hàm số sin(tanx) đến bậc Khi ta có kết sau: 22 Vẽ biểu đồ - Bao gồm lệnh để vẽ đường cong chiều mặt phẳng, mặt cong không gian - Tuy nhiên, để vẽ đường cong tọa độ cực, ta phải chuyển đường cong r = r(p) dạng tham số x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p) - Ngoài ra, để vẽ đường cong dạng tổng quát (dạng hàm ẩn), ví dụ phương trình dạng ẩn 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu lệnh có cấu trúc sau: draw2d (implicit(2*x^2+3*y^2=4, x,-2, 2, y,-2, 2)) V Tài liệu tham khảo MAXIMA - PHẦN MỀM TOÁN HỌC NGUỒN MỞ (Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân) MAXIMABOOK (math.stsnford.edu) MAXIMA ON ANDROID (sites.google.com) TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN – LÝ THUYẾT CHUỖI (Đỗ Công Khanh (chủ biên) - Nguyễn Minh Hằng - Ngô Thu Lương) VI Lời kết Như vậy, nhóm vừa trình bày vấn đề phần mềm Toán học mã nguồn mở Maxima on Android Ngoài tính trên, bạn tìm hiểu thêm tính mở rộng (thông qua mục Manual) chương trình Nhóm hy vọng phần mềm giúp cho bạn học tập 23 Trong trình thực hiện, tiểu luận hạn chế thiếu sót nên mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn để nhóm chỉnh sửa hoàn thiện qua gmail s2hoctroviet@gmail.com Xin cảm ơn! 24 [...]... y,-2, 2)) V Tài liệu tham khảo MAXIMA - PHẦN MỀM TOÁN HỌC NGUỒN MỞ (Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân) MAXIMABOOK (math.stsnford.edu) MAXIMA ON ANDROID (sites.google.com) TOÁN CAO CẤP GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN – LÝ THUYẾT CHUỖI (Đỗ Công Khanh (chủ biên) - Nguyễn Minh Hằng - Ngô Thu Lương) VI Lời kết Như vậy, nhóm vừa trình bày các vấn đề cơ bản của phần mềm Toán học mã nguồn mở Maxima on Android Ngoài những tính năng... sin(tanx) đến bậc 7 Khi đó ta có kết quả sau: 22 6 Vẽ biểu đồ - Bao gồm các lệnh để vẽ đường cong 2 chiều trong mặt phẳng, hoặc mặt cong trong không gian - Tuy nhiên, để vẽ đường cong trong tọa độ cực, ta phải chuyển về đường cong r = r(p) về dạng tham số là x = r(p).cos(p) ; y = r(p).sin(p) - Ngoài ra, để vẽ đường cong dạng tổng quát (dạng hàm ẩn), ví dụ phương trình ở dạng ẩn 2x2 + 3y2 = 4: ta dùng câu... nghiệm biểu thức là %𝑐𝑒 𝑥 , khi đó các bạn sử dụng chức năng Initial Value Problem (1) (điều kiện đầu của phương trình vi phân cấp 1) bằng cách thực hiện câu lệnh ic1 (%, 𝒙 = 𝒙𝟎 ; 𝒚 = 𝒚𝟎 ) Lưu ý: Câu lệnh này chỉ có áp dụng khi bạn vừa tính xong phương trình (1) và áp dụng ngay câu lệnh này Đặc biệt, đối với chương trình Maxima dùng cho máy tính, các bạn có thể sử dụng câu lệnh sau ic1 (%i1, 𝒙 = 𝒙𝟎 ; 𝒚... bạn có thể tìm hiểu thêm những tính năng mở rộng (thông qua mục Manual) của chương trình này Nhóm hy vọng phần mềm này sẽ giúp cho các bạn trong học tập 23 Trong quá trình thực hiện, bài tiểu luận có thể còn những hạn chế và thiếu sót nên rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các bạn để nhóm chỉnh sửa hoàn thiện hơn qua gmail s2hoctroviet@gmail.com Xin cảm ơn! 24 ... số hằng thì Maxima chỉ giải quyết được bài toán có điều kiện đầu dạng Cauchy: 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 ; 𝑦′(𝑥0 ) = 𝑦′0 Để tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện đầu dạng này, các bạn sử dụng chức năng Initial Value Problem (2) sau khi đã tìm nghiệm tổng quát Ví dụ: 13 - Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2 có điều kiện biên 𝑦(𝑎) = 𝑦0 ; 𝑦(𝑏) = 𝑦1 thì sau khi giải tìm nghiệm tổng quát, các bạn sử dụng chức năng... trước Ví dụ: Sau đó, ta đặt: 21 - Sử dụng chức năng rectform để đơn giản hóa các ma trận Đối vơi sma trận trên, ta được: - Transpose: Tìm ma trận chuyển vị của ma trận cho trước Ví dụ: 5 Khai triển Taylor – Maclaurin - Tìm khai triển Taylor tại điểm 𝑥 = 𝑥0 của một hàm số bất kỳ Câu lệnh: taylor (hàm số f(x), x, x0, bậc cần khai triển); Ở câu lệnh trên, các bạn có thể sử dụng biến y, t,… tùy ý Với khai... thức sau thành nhân tử chung: 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 + 𝑎𝑥𝑦 2 𝑧 − 3𝑥𝑦 2 𝑧 − 3𝑎𝑦 2 𝑧 − 2𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑎𝑥𝑦 2 + 6𝑥𝑦 2 + 6𝑎𝑦 2 Ta nhận được: - Để rút gọn biểu thức, bạn sử dụng lệnh radcan 𝑛 Ví dụ: Rút gọn biểu thức sau: (ln(𝑥 2 +𝑥)−𝑙𝑛𝑥) ln(𝑥+1)𝑛/2 Ta có: - Continued fraction: biểu diễn một số dưới dạng liên phân số Ví dụ: (hình bên) - Calculate sum: Tìm tổng của chuỗi số dương Ví dụ: Tính 1 ∞ tổng của chuỗi ∑𝑘=1 2 ta... năng này dùng để giải phương trình vi phân thường cấp 1 hoặc phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng không có điều kiện đầu Để thực hiện chức năng này, ta sử dụng cấu trúc lệnh như sau: ode2 (phương trình, tham số biến, tham số hàm); Trong đó, biểu thức lấy đạo hàm sẽ được kí hiệu như sau: Đạo hàm cấp 1: ‘diff(y,x) Đạo hàm cấp n: ‘diff(y,x,n) Ví dụ: Với phương trình: y’ – y = 0 (1), ta sẽ có câu... trước.Ví dụ: - Invert Laplace transform: Tìm phép biến đổi Laplace ngược của một hàm cho trước Ví dụ: - Greatest common divisor: Tìm ước số chung lớn nhất của 2 biểu thức, 2 đa thức Ví dụ: Devide polynomials: Thực hiện phép chia đa thức, kết quả trả về gồm 2 thành phần có dạng như sau: [thương , phần dư] Ví dụ: 3 Nguyên hàm, tích phân, đạo hàm, giới hạn - Integrate: Tính tích phân bất định và tích phân xác... biểu thức này thì thực hiện câu lệnh như sau: Trong đó: 1, plus là x->1+ 1, minus là x->1- 19 4 Ma trận - Để nhập 1 ma trận, các bạn dùng lệnh Matrix Chức năng Invert Matrix dùng để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của 1 ma trận cho trước Ví dụ: - Characteristic Polynomial: Dùng để tìm đa thức đặc trưng của ma trận Tuy nhiên cũng giống như ma trận nghịch đảo, Maxima chỉ cho tìm đa thức đặc trưng cho kết ... III Menu Maxima Menu giao diện gồm có: About Maxima on Android + What is Maxima on Android? ( giới thiệu phần mềm Maxima ứng dụng nó) + What’s new in this release ( Những phiên ) Maxima android. .. với mã nguồn Maxima android kết hợp nhiều phần mềm mã nguồn mở: ECL android, MathJax Maxima Việc cài đặt phần mềm đòi hỏi tổng cộng 90MB vào lưu trữ Trong 30MB cần phải cài đặt nhớ trong, 60MB lại... Hạn chế sử dụng vẽ mặc định Nhiều người sử dụng không hỗ trợ , chủ sở hữu thiết bị cài đặt sử dụng cách xác MoA Tải (Lapack) thất bại sử dụng Gói Plodf không hỗ trợ phải sử dụng Drawdf