Bài tập trác nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian, các bài tập có lời giải chi tiết đầy đủ. tài liệu soạn thảo theo phương pháp trác nghiệm bám sát đề minh họa của bộ giáo dục và đào tạo
Phương trình đường thẳng Chủ đề : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường thẳng: • ur Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) với a12 + a2 + a32 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tham số : x = x0 + a1t y = y0 + a t ; ( t ∈ ¡ ) z = z + a t • ur Cho đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ a = ( a1 ; a2 ; a3 ) cho a1a2a3 ≠ làm vectơ phương Khi ∆ có phương trình tắc : x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 II Góc: Góc hai đường thẳng: ur ∆1 có vectơ phương a1 uur ∆ có vectơ phương a2 cos ( ∆1 , ∆ ) ur uur a1.a2 = ur uur a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng: uur ∆ có vectơ phương a∆ (α) uur có vectơ phương nα uur uur a∆ nα sin ∆, ( α ) = uur uur a∆ nα III Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ : uur ∆ qua điểm M có vectơ phương a∆ Phương trình đường thẳng uur uuuuur a∆ , M M d ( M , ∆) = uur a∆ Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ur ∆1 qua điểm M có vectơ phương a1 uur ∆ qua điểm N có vectơ phương a2 ur uur uuuur a1 , a2 MN d ( ∆1 , ∆ ) = ur uur a1 , a2 IV Các dạng toán thường gặp: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm phân biệt A, B uuur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ AB Đường thẳng ∆ qua điểm M song song với d Cách giải: Trong trường hợp đặc biệt: uur r • Nếu ∆ song song trùng bới trục Ox ∆ có vectơ phương a∆ = i = ( 1;0;0 ) • Nếu ∆ song song trùng bới trục Oy ∆ có vectơ phương a∆ = j = ( 0;1;0 ) • Nếu ∆ song song trùng bới trục Oz ∆ có vectơ phương a∆ = k = ( 0;1;0 ) uur uur uur r uur r uur Các trường hợp khác ∆ có vectơ phương a∆ = ad , với ad vectơ phương d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vuông góc với mặt phẳng ( α ) uur uur uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , với nα vectơ pháp tuyến ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vuông góc với hai đường thẳng d1 , d (hai đường thẳng không phương) uur ur uur ur uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = a1 , a2 , với a1 , a2 vectơ phương d1 , d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M vuông góc với đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) uur uur uur uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = ad , nα , với ad vectơ phương d uur , nα vectơ pháp tuyến ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A song song với hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) ; ( ( α ) ,( β ) hai mặt phẳng cắt nhau) uur uur uur uur uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , nβ , với nα , nβ vectơ pháp tuyến ( α ) , ( β ) Phương trình đường thẳng Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) Cách giải: • Lấy điểm ∆ , cách cho ẩn số tùy ý • Xác định vectơ phương ∆ a∆ = nα , nβ , với nα , nβ vectơ pháp uur uur uur uur uur tuyến ( α ) , ( β ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cắt hai đường thẳng d1 , d ( A ∉ d1 , A ∉ d ) uur ur uur ur uur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = n1 , n2 , với n1 , n2 vectơ pháp tuyến mp ( A, d1 ) , mp ( A, d ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d uur uuur Cách giải: Xác định vectơ phương ∆ a∆ = AB , với A = d1 ∩ ( α ) , B = d ∩ ( α ) 10 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vuông góc cắt d Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 11 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vuông góc với d1 cắt d , với A ∉ d Cách giải: • Xác định B = ∆ ∩ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B 12 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , cắt đường thẳng d song song với mặt phẳng ( α ) Cách giải: • • Xác định B = ∆ ∩ d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, B • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ a∆ = ad , nα , với ad 13 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( α ) cắt vuông góc đường thẳng d Cách giải: uur uur uur uur uur vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) 14 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng ( α ) , nằm ( α ) vuông góc đường thẳng d (ở d không vuông góc với ( α ) ) Cách giải: • Xác định A = d ∩ ( α ) • Đường thẳng ∆ qua A có vectơ phương ∆ a∆ = ad , nα , với ad uur uur uur uur uur vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) Phương trình đường thẳng 15 Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải: AB ⊥ d1 AB ⊥ d • Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B 16 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d • Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho Cách giải: • uuur uur uur Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, ad phương, với ad vectơ phương d • uur uur Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương ad = a∆ 17 Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng d1 , d Cách giải: • uuur uur tuyến ( α ) • uur Xác định A = ∆ ∩ d1 , B = ∆ ∩ d cho AB, nα phương, với nα vectơ pháp uur uur Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương ad = nα 18 Viết phương trình ∆ hình chiếu vuông góc d lên mặt phẳng ( α ) uuur uur uur Cách giải : Xác định H ∈ ∆ cho AH ⊥ ad ,với ad vectơ phương d • • Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d vuông góc với mặt phẳng ( α ) Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) 19 Viết phương trình ∆ hình chiếu song song d lên mặt phẳng ( α ) theo phương d ' Cách giải : • • uur Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d có thêm véc tơ phương ud' Viết phương trình đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( β ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Học sinh xác định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham số Học sinh tìm hình chiếu, điểm đối xứng Phương trình đường thẳng Nhận biết Thông hiểu x = − 2t x = + 2t ' Câu Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y = − 2t d’: y = + 2t ' Xét mệnh z = − 3t z = + 9t ' đề sau: ur (I) d qua A(2 ;3 ;1) có véctơ phương a ( 2; 2;3) uur (II) d’ qua A’ (0;-3;-11) có véctơ phương a ' ( 2; 2;9 ) r uur (III) a a ' không phương nên d không song song với d’ ur uur uuur ur (IV) Vì a ; a ' AA ' = nên d d’ đồng phẳng chúng cắt Dựa vào phát biểu trên, ta kết luận: A Các phát biểu (I), (III) đúng, phát biểu (II), (IV) sai B Các phát biểu (I), (II) đúng, phát biểu (III), (IV) sai C Các phát biểu (I) đúng, phát biểu (II), (III), (IV) sai D Các phát biểu (IV) sai, phát biểu lại Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số x = + t y = −3t Phương trình tắc đường thẳng d là? z = −1 + 5t x−2 y z +1 = = A B x − = y = z + 1 −3 x + y z −1 x+2 y z −1 = = = = C D −1 −5 −3 Hướng dẫn giải Cách 1: uur d qua điểm A ( 2; 0; −1) có vectơ phương ad = ( 1; −3;5) x −2 y z +1 = = Vậy phương trình tắc d −3 Cách 2: x − = t x = + t y y = − t ⇔ =t z = −1 + 5t −3 z +1 = t Vậy phương trình tắc d x −2 y z +1 = = −3 5 Phương trình đường thẳng Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ có phương trình tắc x − y +1 z = = Phương trình tham số đường thẳng ∆ là? −3 x = + 2t x = + 3t x = −3 + 2t A y = −1 − 3t B y = −3 − t C y = − 3t z = t z = t z = t Hướng dẫn giải x = −3 − 2t D y = + 3t z = t Cách 1: uur ∆ qua điểm A ( 3; − 1;0 ) có vectơ phương a∆ = ( 2; −3;1) x = + 2t Vậy phương trình tham số ∆ y = −1 − 3t z = t Cách 2: x−3 =t x − y +1 z y +1 = = =t⇔ =t −3 −3 z = t x = + 2t Vậy phương trình tham số ∆ y = −1 − 3t z = t Câu x + y −1 z − = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : Đường thẳng −1 uur d qua điểm M có vectơ phương ad có tọa độ là: uur uur A M ( −2;1;3) , ad = ( 2; −1;3) B M ( 2; −1; −3) , ad = ( 2; −1;3) uur uur C M ( 2; −1;3) , ad = ( −2;1;3) D M ( 2; −1;3) , ad = ( 2; −1; −3 ) Hướng dẫn giải uur d qua điểm M ( −2;1;3) có vectơ phương ad = ( 2; −1;3) Câu x = t − Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = + 3t Đường thẳng d qua z = 1+ t uur điểm M có vectơ phương ad có tọa độ là: uur uur A M ( −2; 2;1) , ad = ( 1;3;1) B M ( 1; 2;1) , ad = ( −2;3;1) uur uur C M ( 2; −2; −1) , ad = ( 1;3;1) D M ( 1; 2;1) , ad = ( 2; −3;1) Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng uur d qua M ( −2;2;1) có vectơ phương ad = ( 1;3;1) Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình tham số r đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ phương a = ( 1; −2; ) ? x = −2 + t A y = − 2t z = + 2t x = + 2t B y = −2 − 3t z = − t x = − 2t C y = −2 + 3t z = + t x = + t D y = −3 − 2t z = −1 + 2t Hướng dẫn giải Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( −2;3;1) có vectơ phương x = −2 + t r a = ( 1; −2; ) y = − 2t z = + 2t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình sau phương trình tắc ∆ đường thẳng qua hai điểm A ( 1; −2;5 ) B ( 3;1;1) ? x −1 y + z − = = −4 x +1 y − z + = = C −4 Hướng dẫn giải A x − y −1 z −1 = = −2 x −1 y + z − = = D 1 B uuur ∆ qua hai điểm A B nên có vectơ phương AB = ( 2;3; −4 ) x −1 y + z − = = Vậy phương trình tắc ∆ −4 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( −1;3;2 ) , B ( 2;0;5) , C ( 0; −2;1) Phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC x +1 y − z − x −1 y + = = = = A B −4 −4 x −1 y + z + x−2 y +4 = = = = C D −2 −1 −1 Hướng dẫn giải z+2 z +1 M trung điểm BC ⇒ M ( 1; −1;3) uuuur AM qua điểm A ( −1;3;2 ) có vectơ phương AM = ( 2; −4;1) x +1 y − z − = = Vậy phương trình tắc AM −4 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A ( 1; 4; −1) , B ( 2;4;3) , C ( 2;2; −1) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC Phương trình đường thẳng x = y = +t A z = −1 + 2t B x = y = +t z = + 2t x = y = +t C z = −1 − 2t x = y = −t D z = −1 + 2t Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cẩn tìm uuur BC = ( 0; − 2; − ) = − ( 0;1;2 ) uur Vì d song song với BC nên d có vectơ phương ad = ( 0;1;2 ) uur d qua A ( 1;4; −1) có vectơ phương ad x = Vậy phương trình tham số d y = + t z = −1 + 2t Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M ( 1;3;4 ) song song với trục hoành x = 1+ t A y = y = x = B y = + t y = x = C y = y = 4−t x = D y = y = 4+t Hướng dẫn giải Gọi d đường thẳng cẩn tìm uur r Vì d song song với trục hoành nên d có vectơ phương ad = i = ( 1;0;0 ) uur d qua M ( 1;3;4 ) có vectơ phương ad x = 1+ t Vậy phương trình tham số d y = y = x = − 2t Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = t Phương trình z = −3 + 2t tắc đường thẳng ∆ qua điểm A ( 3;1; −1) song song với d x − y −1 z + = = −2 x + y −1 z − = = C −1 Hướng dẫn giải A x+3 = −2 x−2 = D B y + z −1 = y +1 z + = −1 Phương trình đường thẳng uur d có vectơ phương ad = ( −2;1; ) uur uur Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ phương a∆ = ad = ( −2;1; ) uur ∆ qua điểm A ( 3;1; −1) có vectơ phương a∆ = ( −2;1;2 ) x − y −1 z +1 = = Vậy phương trình tắc ∆ −2 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x − y −1 z − = = Phương trình −1 tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( 1;3; −4 ) song song với d x = + 2t A y = − t z = −4 + 3t x = −1 + 2t B y = −3 − t z = + 3t x = −1 + 2t C y = −3 − t z = + 3t x = + t D y = −1 + 3t z = − 4t Hướng dẫn giải uur d có vectơ phương ad = ( 2; −1;3) uur uur Vì ∆ song song với d nên ∆ có vectơ phương a∆ = ad = ( 2; −1;3) uur ∆ qua điểm M ( 1;3; −4 ) có vectơ phương a∆ x = + 2t Vậy phương trình tham số ∆ y = − t z = −4 + 3t Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Phương trình tắc của đường thẳng ∆ qua điểm M ( −2;1;1) vuông góc với ( P ) x + y −1 = = −1 x + y −1 = = C Hướng dẫn giải A ( P) z −1 z −1 x−2 = x+2 = D B y −1 z −1 = −1 y −1 z −1 = −1 −1 uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1;1) uur uur Vì ∆ vuông góc với ( P ) nên d có vectơ phương a∆ = nP = ( 2; −1;1) uur ∆ qua điểm M ( −2;1;1) có vectơ phương a∆ x + y −1 z −1 = = Vậy phương trình tắc ∆ −1 Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = Phương trình tham số đường thẳng d qua A ( 2;1; −5) vuông góc với ( α ) x = + t A y = − 2t z = −5 + 2t x = −2 − t B y = −1 + 2t z = − 2t x = −2 + t C y = −1 − 2t z = + 2t x = + 2t D y = −2 + t z = − 5t Hướng dẫn giải (α) uur có vectơ pháp tuyến nα = ( 1; −2; ) Phương trình đường thẳng uur uur Vì d vuông góc với ( α ) nên d có vectơ phương ad = nα = ( 1; −2; ) uur d qua A ( 2;1; −5) có vectơ phương ad = ( 1; −2; ) x = + t Vậy phương trình tham số d y = − 2t z = −5 + 2t Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2; −1;3) vuông góc với mặt phẳng ( Oxz ) x = A y = −1 + t z = x = B y = + t z = x = C y = − t z = x = + t D y = −1 z = + t Hướng dẫn giải ( Oxz ) r có vectơ pháp tuyến j = ( 0;1;0 ) uur r Vì ∆ vuông góc với ( Oxz ) nên ∆ có vectơ phương a∆ = j = ( 0;1;0 ) uur ∆ qua điểm A ( 2; −1;3) có vectơ phương a∆ x = Vậy phương trình tham số ∆ y = −1 + t z = Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2;1; −2 ) , B ( 4; −1;1) , C ( 0; −3;1) Phương trình d qua trọng tâm tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) x = + t A y = −1 − 2t z = −2t x = −2 + t B y = −1 − 2t z = −2t x = + t C y = − 2t z = −2t x = + t D y = + 2t z = 2t Hướng dẫn giải Gọi G trọng tâm ∆ ABC , ta có G ( 2; −1;0 ) uur Gọi ad vectơ phương d uuur AB = ( 2; −2;3) uuur AC = ( −2; −4;3) uur uuur d ⊥ AB ad ⊥ AB uur uuur uuur d ⊥ ( ABC ) ⇒ ⇒ uur uuur ⇒ ad = AB, AC = ( 6; − 12; −12 ) = ( 1; −2; − ) d ⊥ AC ad ⊥ AC uur d qua G ( 2; −1;0 ) có vectơ phương ad = ( 1; −2; −2 ) x = + t Vậy phương trình tham số d y = −1 − 2t z = −2t 10 Phương trình đường thẳng Câu (ĐH A2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y + z − = = −1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi A giao điểm d ( P ) Phương trình tham số đường thẳng ∆ nằm ( P ) , qua điểm A vuông góc với d là: x = t A y = −1 z = + t x = t B y = −1 z = t x = C y = −1 + t z = −4 + t x = 1+ t D y = z = t Hướng dẫn giải Gọi A = d ∩ ( P ) A ∈ d ⇒ A ( − t; −3 + 2t ;3 + t ) A ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ A ( 0; −1; ) uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 2;1; −2 ) uur d có vectơ phương ad = ( −1; 2;1) uur Gọi vecto phương ∆ a∆ ( P) Ta có : uur uur ∆ ⊂ ( P ) ⇒ a∆ ⊥ nP uur uur uur uur uur ⇒ a∆ = nP , ad = ( 5;0;5 ) d ⊥ ∆ ⇒ ad ⊥ a∆ uur ∆ qua điểm A ( 0; −1; ) có vectơ phương a∆ = ( 5;0;5 ) x = t Vậy phương trình tham số ∆ y = −1 z = + t Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , d: cho điểm A ( 1;2; − 1) đường thẳng x−3 y−3 z = = Phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt d song song với mặt phẳng ( Q ) : x + y − z + = là: x −1 y − = = −2 x +1 y + = = C −1 Hướng dẫn giải A z +1 −1 z −1 x +1 y + z −1 = = x −1 y − z +1 = = D −1 B Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi B = ∆ ∩ d B ∈ d ⇒ B ( + t;3 + 3t ; 2t ) uuur AB = ( t + 2;3t + 1; 2t + 1) uur ( Q ) có vectơ pháp tuyến nQ = ( 1;1 − 1) 22 Phương trình đường thẳng uuur uur ∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ uuur uur ⇔ AB.nQ = ⇔ t = −1 uuur ∆ qua điểm A ( 1;2; − 1) có vectơ phương AB = ( 1; −2; −1) x −1 y − z +1 = = Vậy phương trình ∆ −2 −1 Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y − z −1 = = x = x −1 y z +1 ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với d : y = −1 + t cắt hai z = + t đường thẳng ∆ 1; ∆ là: x = A y = − t z = − t x = −2 B y = −3 − t z = −3 − t x = −2 C y = −3 + t z = −3 + t x = D y = −3 + t z = + t Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi A = ∆ ∩ ∆ , B = ∆ ∩ ∆ A ∈ ∆ ⇒ A ( − + 3a;2 + a;1 + 2a ) B ∈ ∆ ⇒ B ( + b;2b; −1 + 3b ) uuur AB = ( −3a + b + 2; − a + 2b − 2; − 2a + 3b − ) uur d có vectơ phương ad = ( 0;1;1) uuur uur ∆ / / d ⇔ AB, ad phương uuur uur ⇔ có số k thỏa AB = kad −3a + b + = −3a + b = −2 a = ⇔ −a + 2b − = k ⇔ − a + 2b − k = ⇔ b = −2a + 3b − = k −2a + 3b − k = k = −1 Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2;2;2 ) uuur ∆ qua điểm A ( 2;3;3) có vectơ phương AB = ( 0; −1; −1) x = Vậy phương trình ∆ y = − t z = − t 23 Phương trình đường thẳng Câu (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y −1 z + = = −1 x = − + 2t d : y = + t Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : x + y − z = cắt hai z = đường thẳng d1 , d là: x − y z +1 = = −4 x + y z −1 = = C −7 −1 Hướng dẫn giải x−7 y z+4 = = 1 x − y z +1 = = D A B Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a ) B ∈ d ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3) uuur AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; − a + 5) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 7;1; −4 ) uuur uur d ⊥ ( P ) ⇔ AB, n p phương uuur uur ⇔ có số k thỏa AB = kn p − a + 2b − = k − a + 2b − k = a = ⇔ a + b = k ⇔ a + b − k = ⇔ b = − − a + = −4 k − a + k = −5 k = −1 uur uur d qua điểm A ( 2;0; − 1) có vectơ phương ad = nP = ( 7;1 − ) Vậy phương trình d Câu x − y z +1 = = −4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y − z = = Viết phương −1 trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( 2;3; −1) cắt d B cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = x+3 y+6 z−2 x−3 y−6 z+2 = = = = −5 −9 −1 x−7 y z+4 = = B 1 x−3 y−6 z+2 = = C −2 −3 x−3 y−6 z+2 = = D −1 A 24 Phương trình đường thẳng Hướng dẫn giải B ∈ d ⇒ B ( + t ; + 2t ; −t ) d ( B, ( α ) ) uuur B 3;6; − , AB = ( 1;3; − 1) ( ) t = =2 3⇔ ⇒ uuur t = − B ( − 3; −6; ) , AB = ( −5; −9;5 ) uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình ∆ x+3 y+6 z−2 x−3 y−6 z+2 = = = = −1 −5 −9 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A ( −2;2;1) cắt trục tung B cho OB = 2OA x y−6 z x y+6 z = = = = −1 −8 −1 x+3 y+6 z−2 = = C −5 −9 Hướng dẫn giải x y−6 = = x y+6 = D = −8 A B z −1 z −1 B ∈ Oy ⇒ B ( 0; b;0 ) uuur B ( 0;6;0 ) , AB = ( 2;4; −1) b = OB = 2OA ⇔ ⇒ uuur b = − B ( 0; − 6;0 ) , AB = ( 2; − 8; − 1) uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương AB Vậy phương trình ∆ x y−6 z x y+6 z = = = = −1 −8 −1 Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm B ( 1;1;2 ) x − y − z +1 83 = = C cho tam giác OBC có diện tích −2 x −1 y −1 z − x −1 y −1 z − = = = = A −2 −1 31 78 −109 x y−6 z = B = −1 x −1 y −1 z − = = C −2 −1 x −1 y −1 z − = = D 31 78 −109 Hướng dẫn giải cắt đường thẳng d : 25 Phương trình đường thẳng C ∈ d ⇒ C ( + t ;3 − 2t; −1 + t ) uuur OC = ( + t ;3 − 2t ; − + t ) uuur OB = ( 1;1;2 ) uuur uuur OB, OC = ( 5t − 7; t + 5;1 − 3t ) S∆OBC uuur t = ⇒ BC = ( 3; − 2; −1) uuur uuur = OB, OC ⇔ − uuur 31 78 109 t = 35 ⇒ BC = 35 ; 35 ; − 35 ÷ uuur ∆ qua điểm B có vectơ phương BC Vậy phương trình ∆ x −1 y −1 z − x −1 y −1 z − = = = = −2 −1 31 78 −109 Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x − y −1 z − = = −1 −1 x = t d2 : y = Phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng d1 , d z = −2 + t x = + t A y = + 2t z = − t Hướng dẫn giải x = + t B y = − 2t z = − t x = + 3t C y = − 2t z = − 5t x = + t D y = z = 1− t Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d A ∈ d1 ⇒ A ( + a;1 − a;2 − a ) B ∈ d ⇒ B ( b;3; −2 + b ) uuur AB = ( −a + b − 2; a + 2; a + b − ) ur d1 có vectơ phương a1 = ( 1; −1; −1) uur d có vectơ phương a2 = ( 1;0;1) uuur ur uuur ur AB ⊥ a1 AB.a1 = d ⊥ d1 a = ⇔ uuur uur ⇔ uuur uur ⇔ ⇒ A ( 2;1;2 ) ; B ( 3;3;1) d ⊥ d AB ⊥ a2 AB.a2 = b = uur uuur d qua điểm A ( 2;1;2 ) có vectơ phương ad = AB = ( 1;2; −1) x = + t Vậy phương trình d y = + 2t z = − t 26 Phương trình đường thẳng Vận dụng cao Câu 13 (ĐH A2012) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x +1 y z − = = , 1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = A ( 1; −1; ) Đường thẳng ∆ cắt d ( P ) M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ x −1 y +1 z − = = x +1 y + z + = = C −2 Hướng dẫn giải x +1 y −1 z + = = x−2 y−3 z−2 = = D −1 A B M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t ; t ; t + ) A trung điểm MN ⇒ N ( − 2t ; −2 − t; − t ) N ∈ ( P ) ⇒ t = ⇒ M ( 3;2;4 ) uur uuuur ∆ qua điểm M ( 3; 2; ) có vectơ phương a∆ = AM = ( 2;3; ) Vậy phương trình ∆ x −1 y +1 z − = = x − y − z − mặt cầu = = , −1 2 ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) = 29 A ( 1; −2;1) Đường thẳng ∆ cắt d ( S ) Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ x −1 y + = = x +1 y − = = B x −1 y + = = C x +1 y − = = D Hướng dẫn giải A z −1 −1 z +1 −1 z −1 −1 z +1 −1 x −1 y + z −1 = = 11 −10 x −1 y + z −1 = = 11 −10 x +1 y − z +1 = = 11 −10 x +1 y − z +1 = = 11 −10 M ∈ d ⇒ M ( + t;1 + 2t ;1 − t ) A trung điểm MN ⇒ N ( −t ; −5 − 2t ;1 + t ) uuuur t = ⇒ MN = ( −4; −10;2 ) = −2 ( 2;5; −1) N ∈ ( S ) ⇒ 6t + 14t − 20 = ⇒ 10 uuuur 14 22 20 t = − ⇒ MN = ; ; − ÷ = ( 7;11; −10 ) 3 3 27 Phương trình đường thẳng uur uuuur ∆ qua điểm A ( 1; −2;1) có vectơ phương a∆ = MN x −1 y + z −1 x −1 y + z −1 = = = = Vậy phương trình ∆ 11 −10 −1 Câu 15 (ĐH B2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai điểm A ( −3;0;1) , B ( 1; −1;3) Trong đường thẳng qua A song song với ( P) , đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ có phương trình x + y z −1 x − y +1 z − = = = = A B 26 11 −2 26 11 −2 x − y z +1 x + y −1 z + = = = = C D 26 11 −2 26 11 −2 Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi mặt phẳng ( Q ) qua A ( −3;0;1) song song với ( P ) Khi đó: ( Q ) : x − y + z + = Gọi K , H hình chiếu B lên ∆, ( Q ) Ta có d ( B, ∆ ) = BK ≥ BH Do AH đường thẳng cần tìm ( Q) uur có vectơ pháp tuyến nQ = ( 1; −2; ) uuur uur BH qua B có vectơ phương aBH = nQ = ( 1; −2;2 ) x = 1+ t BH : y = −1 − 2t z = + 2t H ∈ BH ⇒ H ( + t; −1 − 2t ;3 + 2t ) H ∈ ( P) ⇒ t = − 10 11 ⇒ H − ; ; ÷ 9 9 uur uuur 26 11 ∆ qua điểm A ( −3;0;1) có vectơ phương a∆ = AH = ; ; − ÷ = ( 26;11; −2 ) 9 9 Vậy phương trình ∆ ∆ : x + y z −1 = = 26 11 −2 x − y + z + , mặt phẳng = = −1 ( P ) : x + y + z + = Gọi M giao điểm d ( P ) Gọi ∆ đường thẳng nằm Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ( P) vuông góc với d cách M khoảng 42 Phương trình đường thẳng ∆ A x − y + z + x + y + z − = = = = −3 −3 B x−5 y + z +5 = = −3 28 Phương trình đường thẳng x+3 y + z −5 = = −3 x+3 y +4 z−5 x+3 y + z −5 = = = = D 3 Hướng dẫn giải C Gọi M = d ∩ ( P ) M ∈ d ⇒ M ( + 2t ; −2 + t ; −1 − t ) M ∈ ( P ) ⇒ t = −1 ⇒ M ( 1; −3;0 ) uur ( P ) có vecttơ pháp tuyến nP = ( 1;1;1) uur d có vecttơ phương ad = ( 2;1; −1) uur uur uur ∆ có vecttơ phương a∆ = ad , nP = ( 2; −3;1) uuuur Gọi N ( x; y; z ) hình chiếu vuông góc M ∆ , MN = ( x − 1; y + 3; z ) uuuur uur 2 x − y + z − 11 = MN ⊥ a∆ ⇔ x + y + z + = Ta có: N ∈ ( P ) 2 MN = 42 ( x − 1) + ( y + 3) + z = 42 Giải hệ ta tìm hai điểm N ( 5; −2; −5) N ( −3; −4;5) Với N ( 5; −2; −5) , ta có ∆ : x−5 y+2 z+5 = = −3 Với N ( −3; −4;5) , ta có ∆ : x+3 y+4 z−5 = = −3 x = + t Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I ( 1;1;2 ) , hai đường thẳng ∆1 : y = −1 + 2t z = ∆ : x+2 y z−2 = = Phương trình đường thẳng d qua điểm I cắt hai đường thẳng 1 ∆1 , ∆ x = + 2t A y = + t z = + t x = + 2t B y = − t z = + t C D x −1 y −1 z − = = 1 −1 Hướng dẫn giải • x −1 y −1 z − = = −1 Gọi ( α1 ) mặt phẳng qua I ∆ ur ∆ qua M ( 3; −1;4 ) có vectơ phương a1 = ( 1;2;0 ) 29 Phương trình đường thẳng uuuur IM = ( 2; −2;2 ) ( α1 ) ur ur uuuur có vectơ pháp tuyến n1 = a1 , IM = ( 4; −2; −6 ) Gọi ( α2 ) mặt phẳng qua I ∆2 • uur ∆ qua M ( −2;0;2 ) có vectơ phương a2 = ( 1;1;2 ) uuuur IM = ( −3; −1;0 ) uur uur uuuur ( α2 ) có vectơ pháp tuyến n2 = a2 , IM = ( 2; −6;2 ) uur ur uur d qua điểm I ( 1;1;2 ) có vectơ phương ad = n1 , n2 = ( −40; −20; −20 ) • x = + 2t Vậy phương trình đường thẳng d y = + t z = + t Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −1 y +1 z = = , 1 x −1 y − z = = mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) cắt d1 , d hai điểm A, B cho AB = 29 Phương trình tham số đường thẳng ∆ x = + 4t x = −1 + 2t x = + 4t A ∆ : y = 2t ∆ : y = −2 + 4t B ∆ : y = 2t z = −1 + 3t z = + 3t z = + 3t x = + 4t C ∆ : y = −2t z = + 3t x = −1 + 2t D ∆ : y = −2 + 4t z = −1 + 3t Hướng dẫn giải A ∈ d1 ⇒ A ( + a ; − + a ; a ) B ∈ d ⇒ B ( + b;2 + 2b; b ) uuur ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3 + 2b − a; b − a ) ( P) uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 1;1; −2 ) uuur uuur uur Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ b = a − Khi AB = ( − a − 3; a − 3; −3) uuur A 3;0;1 , AB = ( −4; −2; −3) ( ) a = ⇒ uuur Theo đề bài: AB = 29 ⇔ a = −1 A ( −1; −2; −1) , AB = ( −2; −4; −3) 30 Phương trình đường thẳng x = + 4t x = −1 + 2t Vậy phương trình đưởng thẳng ∆ y = 2t y = −2 + 4t z = + 3t z = −1 + 3t Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −1 y z + = = −1 x −1 y + z − = = Gọi ∆ đường thẳng song song với ( P ) : x + y + z − = cắt −2 d1 , d hai điểm A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng ∆ d2 : x = − t A y = z = − + t Hướng dẫn giải x = 12 − t B y = z = −9 + t x = C y = − t z = − + t x = − 2t D y = + t z = − + t A ∈ d ⇒ A ( + 2a ; a ; − − a ) B ∈ d ⇒ B ( + b; −2 + 3b; − 2b ) uuur ∆ có vectơ phương AB = ( b − 2a;3b − a − 2; −2b + a + ) ( P ) có vectơ uur pháp tuyến nP = ( 1;1;1) uuur uuur uur uuur uur Vì ∆ / / ( P ) nên AB ⊥ nP ⇔ AB.n P = ⇔ b = a − Khi AB = ( − a − 1; 2a − 5;6 − a ) AB = ( −a − 1) + ( 2a − ) + ( − a ) 2 = 6a − 30a + 62 49 = 6a − ÷ + ≥ ; ∀a ∈ ¡ 2 2 Dấu " = " xảy a = 7 uuur ⇒ A 6; ; − ÷, AB = − ;0; ÷ 2 2 uur 9 Đường thẳng ∆ qua điểm A 6; ; − ÷ vec tơ phương ud = ( −1;0;1) 2 31 Phương trình đường thẳng x = − t Vậy phương trình ∆ y = z = − + t Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y + z = = x − y −1 z −1 = = Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − z + = cắt hai 1 đường thẳng ∆ 1; ∆ A, B cho AB ngắn Phương trình đường thẳng d ∆2 : x −1 y − z − = = 1 x +1 y + z + = = D 1 A x − = y − = z − B C x + = y + = z + Hướng dẫn giải Gọi A = d ∩ ∆ , B = d ∩ ∆ A ∈ ∆ ⇒ A ( −1 + a ; −2 + a ; a ) B ∈ ∆ ⇒ B ( + 2b;1 + b;1 + b ) uuur AB = ( −a + 2b + 3; −2a + b + 3; −a + b + 1) uuur uur d / / ( P ) ⇒ AB.nP = ⇔ b = a − uuur AB = ( a − 5; − a − 1; −3) AB = ( a − ) + 27 ≥ 3; ∀a ∈ ¡ Dấu " = " xảy a = ⇒ A ( 1; 2; ) , B ( −2; −1; −1) uuur AB = ( −3; −3; −3) uur d qua điểm A ( 1; 2;2 ) có vectơ phương ad = ( 1;1;1) Vậy phương trình d x − = y − = z − x − y z + mặt phẳng = = , 1 ( P ) : x − y − z + = M ( 1; −1;0 ) Đường thẳng ∆ qua điểm M , cắt d tạo với ( P ) Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : góc 300 Phương trình đường thẳng ∆ x −1 y +1 z = = x −1 y +1 z = = −2 A 23 14 −1 x−2 y z+2 x−4 = = = 1 −2 x+2 y z−2 x+4 = = = C 1 −2 B y −3 z −5 = y +3 z +5 = 32 Phương trình đường thẳng x+2 y z−2 x − y −3 z −5 = = = = 5 1 −2 Hướng dẫn giải D Gọi N = ∆ ∩ d N ∈ d ⇒ N ( + 2t ; t ; − + t ) uuuur ∆ có vectơ phương MN = ( + 2t ;1 + t ; −2 + t ) ( P) uur có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1) uuuur uuuur uur t = ⇒ MN = ( 1;1 − ) MN nP sin d , ( P ) = uuuur uur ⇔ uuuur 23 14 MN nP t = ⇒ MN = ; ; − ÷ 5 5 uur uuuur ∆ qua điểm M ( 1; −1;0 ) có vectơ phương ad = MN Vậy phương trình ∆ x −1 y +1 z x −1 y +1 z = = = = 1 −2 23 14 −1 Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A ( 3; −1;1) , nằm mặt phẳng x ( P ) : x − y + z − = , đồng thời tạo với ∆ : = thẳng d x = + 7t x = + t A y = −1 − t y = −1 − 8t z = − 15t z = x = + 7t C y = −1 − 8t z = − 15t y−2 z = góc 450 Phương trình đường 2 x = + t B y = −1 − t z = x = + 7t D y = −1 − 8t z = −1 − 15t Hướng dẫn giải uur ∆ có vectơ phương a∆ = ( 1;2;2 ) uur d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 1; −1;1) uur uur d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; ( 1) ( ∆, d ) = 450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450 ⇔ a + 2b + c a +b +c 2 = 2 ⇔ ( a + 2b + c ) = ( a + b2 + c ) ; ( ) c = Từ ( 1) ( ) , ta có: 14c + 30ac = ⇔ 15a + 7c = 33 Phương trình đường thẳng x = + t Với c = , chọn a = b = , phương trình đường thẳng d y = −1 − t z = x = + 7t Với 15a + 7c = , chọn a = ⇒ c = −15; b = −8 , phương trình đường thẳng d y = −1 − 8t z = − 15t Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua điểm A ( 1; −1;2 ) , song song với ( P ) : x − y − z + = , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : Phương trình đường thẳng d x −1 y +1 z − = = A −5 x −1 y +1 z − = = C Hướng dẫn giải x −1 = x −1 = D B x +1 y −1 z = = góc lớn −2 y +1 = −5 y +1 = −5 z+2 z−2 −7 uur ∆ có vectơ phương a∆ = ( 1; −2;2 ) uur d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) uur ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1) uur uur uur uur Vì d / / ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad nP = ⇔ 2a − b − c = ⇔ c = 2a − b ( 5a − 4b ) cos ( ∆ , d ) = = 2 5a − 4ab + 2b 5a − 4ab + 2b 5a − 4b Đặt t = a 5t − ) , ta có: cos ( ∆, d ) = ( b 5t − 4t + Xét hàm số f ( t ) = ( 5t − ) 1 , ta suy được: max f ( t ) = f − ÷ = 5 5t − 4t + 2 Do đó: max cos ( ∆, d ) = ⇔ t = − ⇒ a = − 27 b Chọn a = ⇒ b = −5, c = Vậy phương trình đường thẳng d x −1 y +1 z − = = −5 Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 : , cho góc d ∆ : A x +1 y z +1 = = 2 −1 x −1 y − z + = = −1 x−3 y−2 z+3 = = nhỏ Phương trình đường thẳng d −1 2 x +1 y z +1 = = B −2 34 Phương trình đường thẳng x +1 y z +1 = = −5 −2 Hướng dẫn giải C D x +1 y z +1 = = 2 Gọi M = d ∩ ∆1 ⇒ M ( + 2t ;2 + t; −2 − t ) uur uuuur d có vectơ phương ad = AM = ( 2t + 2; t + 2; −1 − t ) uur ∆ có vectơ phương a2 = ( −1;2;2 ) t2 6t + 14t + t2 Xét hàm số f ( t ) = , ta suy f ( t ) = f ( ) = ⇔ t = 6t + 14t + uuuur Do cos ( ∆, d ) = ⇔ t = ⇒ AM = ( 2;2 − 1) cos ( d ; ∆ ) = Vậy phương trình đường thẳng d x +1 y z +1 = = 2 −1 Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng x = t d1 : y = − t z = −1 + 2t x y−2 z x +1 y −1 z +1 = = = = d : Gọi ∆ đường thẳng cắt d1 , d , d −3 −3 điểm A, B, C cho AB = BC Phương trình đường thẳng ∆ x y−2 z x−2 y−2 z = = = A = B 1 1 1 x y − z −1 x y − z −1 = = C = D = 1 −1 −1 Hướng dẫn giải d2 : Gọi A ∈ d1 , B ∈ d , C ∈ d Ta có: A ( a;4 − a; −1 + 2a ) , B ( b;2 − 3b; −3b ) , C ( −1 + 5c;1 + 2c; −1 + c ) Yêu cầu toán ⇔ A, B, C thẳng hàng AB = BC ⇔ B trung điểm AC a − + 5c = 2b a = ⇔ − a + + 2c = ( − 3b ) ⇔ b = c = −1 + 2a − a + c = ( −3b ) Suy A ( 1;3;1) , B ( 0;2;0, ) , C ( −1;1; −1) uuur ∆ qua điểm B ( 0;2;0,) có vectơ phương CB = ( 1;1;1) Vậy phương trình đường thẳng ∆ x y−2 z = = 1 35 Phương trình đường thẳng 36 [...]... uur 5 9 Đường thẳng ∆ đi qua điểm A 6; ; − ÷ và vec tơ chỉ phương ud = ( −1;0;1) 2 2 31 Phương trình đường thẳng x = 6 − t 5 Vậy phương trình của ∆ là y = 2 9 z = − 2 + t Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y + 2 z = = và 1 2 1 x − 2 y −1 z −1 = = Đường thẳng d song song với ( P ) : x + y − 2 z + 5 = 0 và cắt hai 2 1 1 đường thẳng ∆ 1;... 0 33 Phương trình đường thẳng x = 3 + t Với c = 0 , chọn a = b = 1 , phương trình đường thẳng d là y = −1 − t z = 1 x = 3 + 7t Với 15a + 7c = 0 , chọn a = 7 ⇒ c = −15; b = −8 , phương trình đường thẳng d là y = −1 − 8t z = 1 − 15t Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d đi qua điểm A ( 1; −1;2 ) , song song với ( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng. .. tuyến nQ = ( 1;1 − 1) 22 Phương trình đường thẳng uuur uur ∆ / / ( Q ) ⇒ AB ⊥ nQ uuur uur ⇔ AB.nQ = 0 ⇔ t = −1 uuur ∆ đi qua điểm A ( 1;2; − 1) và có vectơ chỉ phương AB = ( 1; −2; −1) x −1 y − 2 z +1 = = Vậy phương trình của ∆ là 1 −2 −1 Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y − 2 z −1 = = và 3 1 2 x = 3 x −1 y z +1 ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với... −1; −1) x = 2 Vậy phương trình của ∆ là y = 3 − t z = 3 − t 23 Phương trình đường thẳng Câu 8 (ĐH A2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y −1 z + 2 = = 2 −1 1 x = − 1 + 2t và d 2 : y = 1 + t Phương trình đường thẳng vuông góc với ( P ) : 7 x + y − 4 z = 0 và cắt hai z = 3 đường thẳng d1 , d 2 là: x − 2 y z +1 = = 7 1 −4 x + 2 y z −1 = = C −7 −1 4... 4 ) và có vectơ chỉ phương a∆ = AM = ( 2;3; 2 ) Vậy phương trình của ∆ là x −1 y +1 z − 2 = = 2 3 2 x − 2 y − 1 z − 1 mặt cầu = = , 1 2 −1 2 2 2 ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z + 1) = 29 và A ( 1; −2;1) Đường thẳng ∆ cắt d và ( S ) lần lượt tại Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ là x −1 y +... y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và ( P ) Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : ( P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng 42 Phương trình đường thẳng ∆ là A x − 5 y + 2 z + 5 và x + 3 y + 4 z − 5 = = = = 2 −3 1 2 −3 1 B x−5 y + 2 z +5 = = 2 −3 1 28 Phương trình đường thẳng x+3 y + 4 z −5 = = 2 −3 1 x+3 y +4 z−5 x+3 y + 4 z −5... −20 ) • x = 1 + 2t Vậy phương trình đường thẳng d là y = 1 + t z = 2 + t Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −1 y +1 z = = , 2 1 1 x −1 y − 2 z = = và mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 3 = 0 Gọi ∆ là đường thẳng song song 1 2 1 với ( P ) và cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB = 29 Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là x = 3 + 4t ... −2 ) và có vectơ chỉ phương ad = nP ; nQ = ( 62; −25;61) x = 62t Vậy phương trình tham số của d ' là y = −25t z = −2 + 61t x = 1 + 2t Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : y = −2 + 4t Hình chiếu song song z = 3+ t của d lên mặt phẳng ( Oxz ) theo phương ∆ : x +1 y − 6 z − 2 = = có phương trình là: −1 −1 1 18 Phương trình đường thẳng x = 3+ t A ... −1;2;3) và x +1 y − 2 z − 3 = = Phương trình đường thẳng đi qua điểm A , đồng thời −2 1 3 vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ là x −1 y + 1 z −1 x −7 y −2 z −4 = = = = A B 7 2 4 1 −1 1 x +1 y −1 z + 1 x +1 y −1 z + 1 = = = = C D 7 −2 4 7 2 4 Hướng dẫn giải đường thẳng ∆ : uur Gọi d là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương ad uuur AB = ( −2;3; 2 ) uur ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = ( −2;1;3) uur uuur... 5 Chọn a = 1 ⇒ b = −5, c = 7 Vậy phương trình đường thẳng d là x −1 y +1 z − 2 = = 1 −5 7 Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A ( −1;0; −1) , cắt ∆1 : , sao cho góc giữa d và ∆ 2 : A x +1 y z +1 = = 2 2 −1 x −1 y − 2 z + 2 = = 2 1 −1 x−3 y−2 z+3 = = là nhỏ nhất Phương trình đường thẳng d là −1 2 2 x +1 y z +1 = = B 4 5 −2 34 Phương trình đường thẳng x +1 y z +1 = = 4 −5 −2 Hướng ... vectơ phương d , nα vectơ pháp tuyến ( α ) Phương trình đường thẳng 15 Viết phương trình đường thẳng ∆ đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo d1 , d Cách giải: AB ⊥ d1 AB ⊥ d • Viết phương. .. ad phương, với ad vectơ phương d • uur uur Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A có vectơ phương ad = a∆ 17 Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( α ) cắt hai đường thẳng. .. định vectơ phương điểm thuộc đường thẳng cho trước phương trình Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình tắc ngược lại Học sinh lập phương trình tắc phương trình tham