Đề thi học sinh giỏi

TRờng THCS Thiệu vận Đề Thi Học sinh giỏi Môn : Toán. Năm học 2006- 2007. Thời gian: 150' I/ Trắc nghiệm: (8 đ ). 1/ Kết quả phép tính: 31628 324 31628 324 + + + là: a, 6 ; b, 3 ; c, - 6 ; d, - 3 ; 1/ Tìm x từ phơng trình: 512 2 =+ xx ; a, x = 6; b, x = -4; c, x = 6; x = -4; d, x = -6; x = 4; 3/ Ta đẵ biết 2 là số vô tỉ, 18 là sô vô tỉ. Vậy: a, 18 2 là số vô tỉ; b, 18 2 là số hữu tỉ; c, 18 2 là số nguyên; d, 18 2 là số tự nhiên; 4/ Hình vuông nhỏ nhất có cạnh là 1 (đơn vị dài) hình vuông thứ hai có cạnh bằng đ- ờng chéo hình vuông thứ nhất, hình vuông thứ ba có cạnh bằng đờng chéo của hình vuông thứ hai. Tổng các đờng chéo của ba hình vuông là: a, 3 22 + ; b, 3 + 2 ; c, 5 2 ; d, 4 2 ; 5/ Với giá trị nào của x ta có x > x. a, x > 1; b, 0 < x < 1; c, x = 0 hoặc x > 1; d, x < 1; 6/ Cho hai đờng thẳng y = 3x + 1 và y = 2x 5. Gọi , là góc tạo bởi hai đờng thẳng trên với tia 0x ta có: a, < ; b, 0 o < < < 90 o . c, 0 o < < 90 o ; d, > ; 7/ Một hình chữ nhật có một cạnh dài 15 cm, đờng chéo dài 20 cm. Khoảng cách từ một đỉnh đến đờng chéo bằng: a, 2 175 ; b, 175 ; c, 4 3 175 ; d, 3 4 175 ; 8/ Cho hình thang cân MNPO có M = 60 o , NP = 6 cm, MQ = 14 cm. Chu vi của hình thang đó là: a, 20 cm; b, 30 cm; c, 32 cm; d, 36 cm; 9/ Cho đờng trong (O,5) dây AB = 4. Khoảng cách từ O đến AB bằng: a, 3; b, 21 ; c, 29 ; d, 4 ; II/ Tự luận: (12 đ ). Bài 1: Chứng minh đẳng thức: 20072006 2006 2007 2007 2006 +>+ ; Bài 2: Cho biểu thức: A= ( ) 2 2 3 3 2 1 1 1 : 1 1 2 x x x x x x x x x - ổ ửổ ử - + ữ ữ ỗ ỗ + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ - + ố ứố ứ - ; a, Rút gọn biểu thức A; b, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 226 + ; c, Tìm giá trị của x để A = 3; Bài 3: Cho ABC Vuông tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đờng thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lợt tại D và E. Xác định vị trí của D và E để diện tích DME đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: a, Tìm số nguyên m để 23 2 ++ mm là số hữu tỉ. b, Phân tích ra thừa số : a 4 5a 3 + 10a + 4; áp dụng giải phơng trình: x x x 5 2 4 2 4 = + ; Đáp án và Biểu điểm Môn: Toán 9. I/ Trắc nghiệm: (8 điểm): Câu Kết quả đúng Biểu điểm 1 b. 3 1 đ 2 c. x = 6; x = -4. 1 đ 3 b. 18 2 là sô hữu tỉ 0,5 đ 4 a. 3. 2 2+ 1 đ 5 b. 0 < x < 1 1 đ 6 c. 0 o < < 90 o 0,5 đ 7 c. 175 4 3 . 1 đ 8 d. 36 cm. 1 đ 9 b. 21 1 đ II/ Tự luận: (12 đ ). Bài 1: (1,5 đ ). 20072006 2006 2007 2007 2006 +>+ 20072006 2006 1 2006 2006 2007 1 2007 2007 +>++ 20072006 2007 1 2006 1 20062007 +>++ 20072006 2007 1 2006 1 <> Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh. Bài 2: (4 đ ). a. A = (x + 1) 2 . (x - 1) 2 . 2 2 2 2 .(1 ) x x x - - = x x 2 2 1,5 đ ; b. Đ/K: x 0 ; x 1; x 2 (*) 0,5 đ ; với x = 226 224 226 2226 226 + + = + + =+ A 1, đ ; c. A = 3 x x 2 2 = 3 x 2 3x - 2 = 0 0,5 đ ; x 1,,2 = 2 173 (thỏa mản đ/k (*) 0,5 đ ; Bài 3: 3 đ . Vẽ MH AB, MK AC (H ẻ AB ,K ẻ AC ) Thì ta có: H, K cố định Tứ giác AKMH là hình chữ nhật. (vì HAK = MHA = MKA = 90 0 ) nên HMK = 90 0 MH HD => MD MH A D H B M C K E // // MK KE => ME MK Do S MDE = 2 1 MD. ME 2 1 MH . MK. Với MH, MK không đổi ( vì M, H, K cố định ) Đẳng thức sảy ra KE HD Vậy D và E lần lợt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích MDE nhỏ nhất. Bài 4: 3,5 đ . a. (1,5 đ ). Giả sử m 2 + m + 23 = k 2 (k N) 4m 2 + 4m + 92 = 4k 2 ; 4k 2 (2m + 1) 2 = 91 (2k 2m - 1). (2k + 2m + 1) = 91 Từ đó xét 4 khả năng và dẩn đến kết quả : m { -23; 22; 1 ; -2 } ; b. (2 đ ); Ta có: a 4 5a 3 + 10a + 4 = (a 4 - 4a 2 + 4) + 4a 2 5a (a 2 - 2) = (a 2 - 2) 2 a (a 2 2 ) 4a (a 2 - 2) = (a 2 a - 2). (a 2 4a - 2) 1 đ ; áp dụng giải phơng trình: x x x 5 2 4 2 4 = + x 4 + 4 5x 3 + 10 x = 0 (x 2 x - 2) . (x 2 4x 2 )= 0 x { -1; 2 ; 2 6 } 1 đ ; . TRờng THCS Thi u vận Đề Thi Học sinh giỏi Môn : Toán. Năm học 2006- 2007. Thời gian: 150' I/ Trắc nghiệm: