Giao trinh bai tap he pt vp tt version print

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Bài toán thực tế Sự phân rã chất Sự phân rã chất Ví dụ Một số chất A phân rã thành chất P Q Tốc độ hình thành chất P Q tỉ lệ với khối lượng chất không bị phân rã Cho x, y khối lượng chất P Q hình thành thời điểm t Hãy xác định quy luật phân rã chất A biết thời điểm ban đầu t = x = 0, y = 0, sau 1min x = c, y = c, 8 với c khối lượng ban đầu chất A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Bài toán thực tế Sự phân rã chất Tại thời điểm t tốc độ hình thành chất P Q    dx = k1(c − x − y ) dt dy   = k2(c − x − y ) dt Nghiệm hệ   x = C1 + C2e −(k1+k2)t k2  y = c + C2e −(k1+k2)t − C1 k1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Bài toán thực tế Sự phân rã chất Tìm C1, C2 dựa vào điều kiện đầu t = x = 0, y =   k1 c   C1 + C2 =  C1 = k1 + k2 k2 ⇒ k1 c  C1 − C2 = c   C = − k1 k +k Tìm k1, k2 dựa vào điều kiện t = ln ln x = c, y = c ta k1 = , k2 = 8 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Bài toán thực tế Sự phân rã chất Vậy quy luật phân rã chất A thành chất P, Q với số lượng x, y xác định sau:  3c   1− t x = c   1− t y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Hệ phương trình Hệ với hệ số Hệ với hệ số hằng-Phương pháp Euler Xét hệ dX = AX (1) dt với phần tử aij ma trận A số Nội dung phương pháp Euler sau: Tìm nghiệm (1) dạng X (t) = e λt P, với P véc-tơ Thế X (t) vào (1) ta λe λt P = APe λt ⇔ AP = λP Vậy hàm véc-tơ X (t) = e λt P nghiệm hệ (1) λ trị riêng P véc-tơ riêng ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Hệ phương trình Hệ với hệ số Tìm đa thức đặc trưng Định lý   a11 a12 a13 Cho A =  a21 a22 a23  ∈ M3(K ), a31 a32 a33 χA(λ) = |A − λI | = −λ3 + tr (A)λ2− (a11a22 −a12a21 +a22a33 −a23a32 +a11a33 −a13a31)λ +det(A) tr (A) = a11 + a22 + a33−vết ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Hệ phương trình Hệ với hệ số Định lý Nếu ma trận A có n véc-tơ riêng độc lập tuyến tính P1, P2, , Pn ứng với trị riêng λ1, λ2, , λn nghiệm e λ1t P1, e λ2t P2, , e λn t Pn tạo thành hệ nghiệm Khi nghiệm tổng quát (1) có dạng X (t) = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + + Cn e λn t Pn Chú ý Định lý không đòi hỏi trị riêng phải phân biệt, véc-tơ riêng phải độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Hệ phương trình Hệ với hệ số Trường hợp: trị riêng phân biệt Nếu A có n trị riêng phân biệt n véc-tơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính ta có hệ sau: Hệ Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt λ1, λ2, , λn với véc-tơ riêng tương ứng P1, P2, , Pn nghiệm tổng quát (1) có dạng X (t) = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + + Cn e λn t Pn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Hệ phương trình Hệ với hệ số Trường hợp: trị riêng thực bội m Ứng với λ0 trị riêng thực bội m nghiệm tương ứng hệ (1) x1 = P1(t)e λ0t , x2 = P2(t)e λ0t , , xm = Pm (t)e λ0t , P1(t), P2(t), Pm (t) đa thức có bậc không lớn m − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 41  Hệ phương trình Ví dụ x X (t) =  y  = C1 e λ1 t P1 + C2 e αt [U cos βt − V sin βt]+ z +C3 e αt [U sin βt + V cos βt] =        1 = C1 e t   + C2 e 0t   cos t −  −1  sin t  + −1      +C3 e 0t   sin t +  −1  cos t  −1   C1 e t + C2 cos t + C3 sin t  = C1 e t + C2 sin t − C3 cos t C2 (cos t + sin t) + C3 (sin t − cos t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 27 / 41 Hệ không Định nghĩa Định nghĩa Hệ dX = AX + F (t) (2) dt với phần tửaij của ma trận A f1(t)    f2(t)  số, F (t) =   gọi hệ phương   fn (t) trình tuyến tính không với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 28 / 41 Hệ không Phương pháp khử Phương pháp khử Từ phương trình hệ không ta dùng phương pháp khử để đưa phương trình vi phân cấp cao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 29 / 41 Hệ không Ví dụ Ví dụ Giải  hệ phương trình   dx = 4x − 3y + e −t (1) dt dy   = 2x − y (2) dt y +y y +y Từ (2) ta có x = ⇒x = Thay 2 x, x vào phương trình (1) ta y +y y +y = − 3y + e −t 2 ⇒ y − 3y + 2y = 2e −t (3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 30 / 41 Hệ không Ví dụ Phương trình đặc trưng k − 3k + = ⇒ k1 = 1, k2 = Nghiệm phương trình (3) ytn = C1e t + C2e 2t Tìm nghiệm riêng (3) yr = A.e −t ⇒ (yr ) = −A.e −t , (yr ) = Ae −t ⇒ A = −t Vậy yr = e Nghiệm tổng quát y = C1e t + C2e 2t + e −t ⇒ y +y x= = C1e t + C2e 2t 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 31 / 41 Hệ không Phương pháp biến thiên số Phương pháp biến thiên số Giả sử X1(t), X2(t), , Xn (t) hệ nghiệm hệ (1) ta ký hiệu φ(t) = X1(t) X2(t) Xn (t) nghiệm tổng  quát  (1) viết dạng X0 = φ(t)C với C1    C2  C =     Cn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 32 / 41 Hệ không Phương pháp biến thiên số Hệ không (2) có nghiệm   C1(t)    C2(t)  Xtq = φ(t)C (t), C (t) =     Cn (t) Dùng phương pháp biến thiên số ta tìm C1(t), C2(t), , Cn (t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 33 / 41 Hệ không Ví dụ Ví dụ    dx = dt Giải hệ phương trình dy   = dt    Hệ tương ứng   4x − 3y + e −t 2x − y (1) (2) dx = 4x − 3y dt Phương dy = 2x − y dt trình đặc trưng hệ 4−λ −3 = ⇔ λ2 − 3λ + = −1 − λ ⇔ λ1 = 1, λ2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 41 Hệ không Ví dụ Ứng với λ1 = ta xét hệ ⇒ P1 = 1 Ứng với λ2 = ta xét hệ ⇒ P2 = 3p1 − 3p2 = 2p1 − 2p2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2p1 − 3p2 = 2p1 − 3p2 = HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 35 / 41 Hệ không Ví dụ Nghiệm hệ X1(t) = e λ1t P1 = e t , X2(t) = e λ2t P2 = e 2t Vậy nghiệm tổng quát hệ X0(t) = = C1e t 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x y +C2e = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 2t = C1e t + 3C2e 2t C1e t + 2C2e 2t HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 36 / 41 Hệ không Ví dụ Nghiệm hệ không có dạng x = C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t y = C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t ⇒ x y = C1 (t)e t + C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t + 6C2 (t)e 2t = C1 (t)e t + C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t + 4C2 (t)e 2t Thay vào hệ phương trình cho ta (1) ⇒ C1 (t)e t + C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t + 6C2 (t)e 2t = 4(C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t ) − 3(C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t ) + e −t ⇒ C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t = e −t (3) (2) ⇒ C1 (t)e t + C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t + 4C2 (t)e 2t = 2(C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t ) − (C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t ) ⇒ C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t = (4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 37 / 41 Hệ không Ví dụ Giải (3) (4) ta C1(t) = −2e −2t C2(t) = e −3t   C1(t) = e −2t + C1 ⇒  C2(t) = − e −3t + C2 Vậy  x = C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t =       = (e −2t + C1 )e t + − e −3t + C2 e 2t  t 2t y = C1 (t)e + 2C2 (t)e =       = (e −2t + C1 )e t + − e −3t + C2 e 2t  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 38 / 41 Hệ không Ví dụ Nghiệm hệ phương trình cho   x(t) = C1e t + 3C2e 2t  y (t) = C1e t + 2C2e 2t + e −t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 39 / 41 Bài tập Hệ phương trình Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) y (t)   x (t) y (t)  z (t) = = = = = = = = = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2x + 3y 2x + y −x + 3y −3x + 5y 6x − y 5x + 2y 2x + y + z x + 2y + z −2x − 2y − z HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 40 / 41 Bài tập Hệ phương trình không Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình không x (t) = −3x + y + 3t y (t) = 2x − 4y + e −t x (t) = x + 2y + e t y (t) = −x + 3y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 41 / 41 ... hệ số Hệ với hệ số hằng-Phương pháp Euler Xét hệ dX = AX (1) dt với phần tử aij ma trận A số Nội dung phương pháp Euler sau: Tìm nghiệm (1) dạng X (t) = e λt P, với P véc-tơ Thế X (t) vào (1)... với P véc-tơ Thế X (t) vào (1) ta λe λt P = APe λt ⇔ AP = λP Vậy hàm véc-tơ X (t) = e λt P nghiệm hệ (1) λ trị riêng P véc-tơ riêng ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN... Nếu A có n trị riêng phân biệt n véc-tơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính ta có hệ sau: Hệ Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt λ1, λ2, , λn với véc-tơ riêng tương ứng P1, P2, , Pn nghiệm