Giao trinh bai tap ch6 bo nguon dc ppt

CHƯƠNG 4: QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH (giới thiệu) I Giới thiệu toán QHTT (linear programming) Xác định x1, x2,…xn cho: Cực đại (hay cực tiểu) hàm mục tiêu Z: Z = z(x1, x2, …xn) Đồng thời thỏa mãn ràng buộc Rj: Rj = rj(x1, x2,…xn) Trong z rj biểu thức tuyến tính x1, x2… xn Một số toán điển hình: Bài toán phối hợp sản xuất sản phẩm (product-mix) Một nhà máy sản xuất loại lều: thường chuyên dụng tuần với số liệu sau: Loại lều Công đoạn Thường Chuyên dụng Giờ công sẵn có Cắt (giờ/cái) 32 Ráp (giờ/cái) 84 Lợi nhuận/cái $50 $80 Mỗi tuần nhà phân phối bán 12 lều loại chuyên dụng Số lượng lều loại cần sản xuất tuần bao nhiêu? Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang Dạng tổng quát: Nguyên liệu Sản phẩm … j … n … i … aij … … m Giá bán hay c1 … cj … Lợi nhuận / đvị Lượng nguyên liệu có sẵn b1 … bi … bm cn Gọi xj lượng sản phẩm j cần sản xuất, aij lượng nguyên liệu i cần để sản xuất đơn vị sản phẩm jj n Max Z = ∑c x j =1 j j n Ràng buộc (s.t) ∑a x ij j =1 j ≤ bi ∀i = 1, 2, …, m xj ≥ ∀j = 1, 2, …, n Bài toán trộn sản phẩm/ dinh dưỡng Một người làm vườn muốn tạo hỗn hợp phân bón từ hai loại sản phẩm Giá mua đơn vị, lượng dưỡng chất đơn vị cho sau: Loại sản phẩm SPhẩm SPhẩm Dưỡng chất yêu cầu Po-tat/ đơn vị 14 Ni-trat/ đơn vị 1 12 Phot-phat/đvị 18 Giá mua/đơn vị $2 $4 Thành phần Số đơn vị sp sp cần mua bao nhiêu? Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang Dạng tổng quát: Dưỡng chất Sản phẩm … j … n … i … aij … … m Chi phí mua / đvị c1 … cj … Yêu cầu tối thiểu b1 … bi … bm cn Gọi xj lượng sản phẩm j cần dùng, aij lượng dưỡng chất i có đơn vị sản phẩm j n Min Z = ∑c x j =1 j j n ∑a Ràng buộc (s.t) j=1 ij xj ≥ bi xj ≥ ∀i = 1, 2, …, m ∀j = 1, 2, …, n Bài toán vận tải Có hai trạm phân phối chất đốt A B cung cấp hàng cho đại lý 1, Tổng cung, tổng cầu chi phí vận chuyển/ đơn vị chất đốt cho sau: Đại lý Trạm phân phối Tổng cung A 10 150 B 12 90 Tổng cầu 60 70 110 Vận chuyển để có tổng chi phí bé Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang Dạng tổng quát: Điểm cung cấp Điểm tiêu thụ … j … n … i … cij … … m Nhu cầu tối thiểu d1 … dj … Khả cung cấp tối đa s1 … si … sm dn Gọi xij lượng hàng vận chuyển từ i đến j cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ i đến j m Min Z = n ∑∑ c i =1 j=1 ij x ij n ∑x Ràng buộc (s.t) j=1 ij ≤ si ∀i = 1, 2, …, m ij ≥ di ∀j = 1, 2, …, n m ∑x i =1 xij ≥ ∀i = 1, 2, …, m ∀j = 1, 2, …, n II Lý thuyết tảng toán QHTT: 2.1 Dạng toán • Cực đại chuẩn (standard maximization problem) n Max Z = ∑c x j =1 j j n Ràng buộc (s.t) ∑a x j =1 ij j xj ≥ ≤ bi ∀i = 1, 2, …, m ∀j = 1, 2, …, n Trong bi ≥ Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang • Cực tiểu chuẩn (standard minimization problem) n Min Z = ∑c x j =1 j j n ∑a Ràng buộc (s.t) j=1 ij xj ≥ bi xj ≥ ∀i = 1, 2, …, m ∀j = 1, 2, …, n Trong bi ≥ • Bài toán cực đại (hay cực tiểu) với ràng buộc có dấu ≥ dấu ≤ 2.2 Nghiệm Nghiệm (feasible solution): giá trị biến thỏa mãn ràng buộc Vùng (feasible region): Tập tất nghiệm Ví dụ: Max Z = 50x1 + 80x2 Ràng buộc : Tổng cắt Tổng ráp Nh.cầu lều C.dụng Biến x1 + 3x1 + x1, x2 2x2 4x2 x2 ≤ ≤ ≤ ≥ 32 84 12 (d1) (d2) (d3) Nghiệm ? Vùng ? Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang 2.3 Phương pháp đồ thị (cho toán có biến) X2 21 16 12 (8,12) (20,6) X1 28 Z = 400 32 Z = 1480 B1 Biểu diễn ràng buộc mặt phẳng tọa độ xác định vùng B2 Vẽ đường thẳng có phương trùng với hàm mục tiêu Z Di chuyển tịnh tiến đường thẳng cho giá trị Z cải thiện Xác định giao điểm đường thẳng với biên vùng khả dĩ, nghiệm tối ưu Ghi chú: • Ràng buộc tích cực/ trói buộc (Binding constraint) • Ràng buộc không trói buộc • Nghiệm toán (nếu có) điểm cực biên (đỉnh) vùng Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang III Giới thiệu phương pháp đơn hình (simplex method) Không thể dùng phương pháp đồ thị số biến > ⇒ Phương pháp đơn hình (thuật toán, giải tay) 3.1 Phương pháp đơn hình: Khái niệm biến bù, nghiệm sở, biến sở biến không sở: a Để chuyển ràng buộc (≤) thành hệ phương trình (để …) ta dùng biến bù: Ví dụ: Max Z = 50x1 + 80x2 x1 + 2x2 ≤ 32 3x1 + 4x2 ≤ 84 x2 ≤ 12 x1, x2 ≥ ======================================== S.t Max Z = 50x1 + 80x2 S.t x1 + 2x2 + s1 + s2 3x1 + 4x2 x2 + s3 x1, x2, s1, s2, s3 = = = ≥ 32 84 12 Giải hệ phương trình: m = phương trình, n = biến Có lời giải? Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang b Lời giải sở: cho (n-m) biến có giá trị = giải biến lại ⇒ số điểm cực Số lời giải sở (basic solution) : n! / [m!(n-m)!] Ví dụ: cho biến có giá trị = giải hệ pt ẩn có 10 lời giải sở sau: X1 0 0 x2 s1 s2 s3 32 84 12 16 20 -4 21 -10 -9 12 36 32 0 0 -12 12 12 20 6 12 0 12 12 12 -4 0 28 Điểm giao O B C A H G Khả dĩ? Có F D E Có Có Có Có Lưu ý: lời giải tồn biến có giá trị âm không C X2 21 B 16 A 12 E (8,12) D (20,6) F O H 28 Z = 400 Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính G X1 32 Z = 1480 GV Nguyen Vu Quang c Các lời giải (nghiệm) sở nằm miền gọi lời giải sở (basic feasible solution) d Trong nghiệm sở, biến gán giá trị = gọi biến không sở; biến lại gọi biến sở Giải thuật đơn hình (simplex method) Là phương pháp đại số lặp lặp lại để chuyển từ lời giải sở toán sang lời giải sở khác kiểm tra giá trị hàm mục tiêu đạt tối ưu Về mặt hình học, điều tương ứng với chuyển từ cực biên sang cực biên khác miền có lời giải tối ưu 3.2 Phương pháp đơn hình cho toán MAX với ràng buộc ≤ RHS dương: Ví dụ: Max Z = 50x1 + 80x2 S.t ≤ ≤ ≤ ≥ x1 + 2x2 3x1 + 4x2 x2 x1, x2 Bước Thêm biến bù (si): x1 + 2x2 3x1 + 4x2 x2 - 50x1 - 80x2 + s1 + s2 + s3 +Z 32 84 12 = = = = 32 84 12 Bước Lập bảng đơn hình ban đầu: x1 -50 x2 -80 s1 0 s2 0 s3 0 Z 0 RHS 32 84 12 Nghiệm sở (0, 0, 32, 84, 12) *** Z = Biến sở s1, s2, s3 Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính GV Nguyen Vu Quang Bước Xác định giá trị xoay + Giao điểm cột xoay hàng xoay + Cột xoay cột có trị âm nhỏ hàng cùng… + Hàng xoay hàng có tỷ số dịch chuyển nhỏ nhất… + Tỷ số dịch chuyển = RHS / giá trị dương cột xoay + Nếu cột xoay giá trị dương ⇒ lời giải x1 -50 x2 -80 s1 0 s2 0 s3 0 Z 0 RHS 32 84 12 Bước Thực xoay hàng không âm + Chuyển giá trị xoay thành = + Chuyển giá trị khác cột xoay = x1 -50 x2 1* -80 s1 0 s2 0 s3 0 Z 0 RHS 32 84 12 x1 1* -50 x2 0 s1 0 s2 0 s3 -2 -4 80 Z 0 RHS 36 12 960 R1 = R1 + (-2)R3 R2 = R2 + (-4)R3 R4 = R4 + 80R3 R2 = R2 + (-3)R1 R4 = R4 + 50R1 Nghiệm sở (0, 12, 8, 36, 0) *** Z = 960 x1 0 x2 0 s1 -3 50 s2 0 s3 -2 2* -20 Z 0 RHS 12 12 1360 R1 = R1+2R2*1/2 R2 = R2*1/2 R3 = R3 + (-1)R2*1/2 R4 = R4 + 20R2*1/2 Nghiệm sở (8, 12, 0, 12, 0) *** Z = 1360 Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 10 GV Nguyen Vu Quang x1 0 x2 0 s1 -2 -3/2 3/2 20 s2 1/2 -1/2 10 s3 0 Z 0 RHS 20 6 1480 Hàng không âm, đạt tối ưu, nghiệm (20, 6, 0, 0, 6), Z=1480 3.3 Phương pháp đơn hình cho toán MAX với ràng buộc ≤ ≥ =: Ví dụ: Giải toán QHTT Max Z = x1 – x2 + 3x3 S.t: -x1 - x2 x1 + x3 x2 + x3 x1, x2, x3 ≥ = ≥ ≥ -20 10 Bước Chuẩn hóa toán Làm cho tất giá trị RHS thành dương ; (nhân -1, đổi dấu) Với ràng buộc ≤, thêm biến bù (ký hiệu si) Với ràng buộc ≥, thêm biền trừ (-si) biến nhân tạo… Với ràng buộc =, thêm biến nhân tạo (ký hiệu ai) Cộng –Mai vào hàm mục tiêu Z, M số lớn… Tất si, ≥ Ví dụ: Max Z = x1 – x2 + 3x3 – Ma1 – Ma2 x1 + x2 + s1 x1 + x3 + a1 x2 + x3 - s2 + a2 -x1 + x2 - 3x3 +Ma1 +Ma2 x1, x2, x3, s1, s2, a1, a2 ≥ Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 11 +Z = = = = 20 10 GV Nguyen Vu Quang Bước Lập bảng đơn hình sơ ban đầu Bảng sơ x1 1 -1 x2 1 x3 1 -3 s1 0 a1 M s2 0 -1 a2 0 M Z 0 RHS 20 10 Bảng ban đầu (sau loại M cột ai) x1 1 -M-1 x2 1 -M+1 x3 1* -3-2M s1 0 a1 0 s2 0 -1 M a2 0 Z 0 RHS 20 10 -15M R3-R2 R4+(3+2M)R2 Nghiệm sở ban đầu (0, 0, 0, 20, 5, 0, 10), Z = -15M Bước Thực xoay đến hàng không âm x1 1 -1 M+2 X2 1* -M+1 x3 0 s1 0 a1 -1 2M+3 s2 0 -1 M a2 0 Z 0 RHS 20 5 -5M+15 R1-R3 R4+(M-1)R3 Nghiệm sở (0, 0, 5, 20, 0, 0, 5), Z = -5M+15 x1 -1 X2 0 x3 0 s1 0 a1 1 -1 M+4 s2 -1 a2 -1 M-1 Z 0 RHS 15 5 10 Hàng không âm, nghiệm (0, 5, 5, 15, 0, 0, 0) Vì biến nhân tạo a1, a2 = 0, toán có nghiệm là: x1 = 0, x2 = 5, x3 = Max Z = 10 (Nếu có biến nhân tạo ≠ toán nghiệm) Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 12 GV Nguyen Vu Quang 3.4 Phương pháp đơn hình cho toán MIN: Chuyển hàm mục tiêu Min Z = Σcjxj thành Max Z* = Σ(–cj)xj giải toán MAX Ví dụ: Min Z = 2x1 + 4x2 ≥ 2x1 + x2 x + x2 ≥ ≥ x1 + 3x2 x 1, x ≥ 14 12 18 ⇒ Max Z* = – 2x1 – 4x2 ≥ 2x1 + x2 x + x2 ≥ ≥ x1 + 3x2 x 1, x ≥ 14 12 18 Bước Chuẩn hóa toán (biến bù, trừ, nhân tạo…) Max Z* = – 2x1 – 4x2 – Ma1 – Ma2 – Ma3 2x1 + x2 – s1 + a1 x + x2 – s2 + a2 x1 + 3x2 – s3 + a3 2x1 + 4x2 + Ma1 + Ma2 + Ma3 = = = = +Z 14 12 18 Bước Lập bảng đơn hình sơ ban đầu Bảng sơ x1 1 x2 1 s1 -1 0 s2 -1 0 s3 0 -1 a1 0 M a2 M a3 0 M Z 0 RHS 14 12 18 Bảng ban đầu x1 1 -4M+2 x2 1 3* -5M+4 s1 -1 0 M s2 -1 M s3 0 -1 M a1 0 a2 0 a3 0 Z 0 RHS 14 12 18 -44M R1 = R1 - R3*1/3 R2 = R2 - R3*1/3 R3 = R3*1/3 R4 = R4 – (-5M+4)R3*1/3 Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 13 GV Nguyen Vu Quang Bước Thực xoay đến hàng không âm x1 5/3* 2/3 1/3 (-7M+2)/3 x1 0 x2 0 x2 0 s1 -1 0 M s1 -3/5 2/5* 1/5 (-2M+2)/5 s2 -1 M x1 0 x2 0 s2 -1 M s3 a1 1/3 1/3 -1/3 (-2M+4)/3 s3 1/5 1/5 -2/3 (-M+6)/5 s1 0 a2 0 a1 3/5 -2/5 -1/5 (7M-2)/5 s2 -3/2 -5/2 1/2 s3 1/2 1/2 -1/2 a3 -1/3 -1/3 1/3 (5M-4)/3 a2 0 a1 -1 M Z 0 a3 -1/5 -1/5 2/5 (6M-6)/5 a2 3/2 5/2 -1/2 M-1 a3 -1/2 -1/2 1/2 M-1 Z 0 RHS 6 -14M-24 RHS 24/5 14/5 22/5 (-14M-136)/5 Z 0 RHS -30 Hàng không âm, nghiệm (9, 3, 7, 0, 0, 0, 0, 0) Vì biến nhân tạo a1, a2, a3 = 0, toán có nghiệm là: x1 = 9, x2 = Max Z* = - 30 Vậy toán gốc có Min Z = 30 Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 14 GV Nguyen Vu Quang IV Giải toán QHTT máy tính: Phương pháp đơn hình: • Khoa học toán • Hiểu rõ chất cách giải • Khó thực • Càng khó toán có từ đến hàng trăm biến Phần mềm máy tính: • Dựa vào thuật toán • Khả tính nhanh (hàng triệu phép thử / giây) • ABQM, QSB, LINDO, EXCEL… Hướng dẫn sử dụng phần mềm ABQM Excel: (Sinh viên xem tài liệu phát kèm theo giảng) Chương – Bài toán qui hoạch tuyến tính 15 GV Nguyen Vu Quang ... x2 0 s2 -1 M s3 a1 1/3 1/3 -1 /3 (-2 M+4)/3 s3 1/5 1/5 -2 /3 (-M+6)/5 s1 0 a2 0 a1 3/5 -2 /5 -1 /5 (7M-2)/5 s2 -3 /2 -5 /2 1/2 s3 1/2 1/2 -1 /2 a3 -1 /3 -1 /3 1/3 (5M-4)/3 a2 0 a1 -1 M Z 0 a3 -1 /5 -1 /5 2/5... s1 -1 0 s2 -1 0 s3 0 -1 a1 0 M a2 M a3 0 M Z 0 RHS 14 12 18 Bảng ban đầu x1 1 -4 M+2 x2 1 3* -5 M+4 s1 -1 0 M s2 -1 M s3 0 -1 M a1 0 a2 0 a3 0 Z 0 RHS 14 12 18 -4 4M R1 = R1 - R3*1/3 R2 = R2 - R3*1/3... (5M-4)/3 a2 0 a1 -1 M Z 0 a3 -1 /5 -1 /5 2/5 (6M-6)/5 a2 3/2 5/2 -1 /2 M-1 a3 -1 /2 -1 /2 1/2 M-1 Z 0 RHS 6 -1 4M-24 RHS 24/5 14/5 22/5 (-1 4M-136)/5 Z 0 RHS -3 0 Hàng không âm, nghiệm (9, 3, 7, 0, 0, 0,