Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô tối ưu hóa trình hóa học BÀI THỰC HÀNH SỐ KHẢO SÁT MỘT QUÁ TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Mục đích thực hành mô phỏng, giải toán CNHH Cụ thể : Mô hình hóa, rời rạc hóa trình dẫn nhiệt kim loại mô tả phương trình vi phân đạo hàm riêng PDE dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nhận hệ ODE Tìm nghiệm số hệ ODE Xấp xỉ nghiệm toán dùng phương pháp nội suy Lagrange Kết luận ảnh hưởng số điểm nút chọn nghiệm số Mô tả trình truyền nhiệt: Mục đích thực hành để khảo sát động học nhiệt độ T ( x, t ) phân bố kim loại Chúng ta giả sử nhiệt độ x = kim loại trì nhiệt độ môi trường bên T đầu trì nhiệt độ T thay đổi theo thời gian T 0 T ( x, t ) x x+dx T (t ) L R x Giả sử truyền nhiệt xảy theo chiều trục x Qua thực hành này, biết cách mô tiến triển biên dạng nhiệt độ T ( x, t ) kim loại (giả sử đồng bỏ qua giản nở nhiệt) Câu hỏi (Mô hình hóa toán học): Dùng định luật Fourier với cân lượng viết cho phẩn tử thể tích vô bé giũa x x+dx, động học nhiệt độ kim loại chi phối phương trình đạo hàm riêng sau: ∂T ( x, t ) ∂ 2T ( x , t ) =λ (1) ∂t ∂x Với ρ (g/cm3) khối lượng thể tích ; c (J/g/K) λ (W/cm/K) tương ứng nhiệt dung riêng khối lượng hệ số dẫn nhiệt kim loại □ ρc Phương trình (1) viết lại tương đương sau : ∂T ( x, t ) ∂ 2T ( x, t ) =D ∂t ∂x (2) Copyright © by Hoàng Ngọc Hà Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô tối ưu hóa trình hóa học với D = λ Nghiệm có phương trình (2) cần bổ sung điều kiện ban đầu điều ρc kiện biên: • Với điều kiện ban đầu T ( x,0) = T init ( x) • (3) Với điều kiện biên (4) ⎧⎪T (0, t ) = T (t ) ⎨ ⎪⎩T ( L, t ) = T (t ) Trong phương trình (1) t ∈ [0, + ∞ ) , x ∈ [0, L ] Phương trình (2) với (3) (4) miêu tả đầy đủ hệ thống Bảng cho liệu tham số hệ phản ứng nghiên cứu : D (cm2/s) L (cm) R (cm) T0 ( x) (K) T (t ) (K) T (t ) (K) (Sinh viên tùy chọn giá trị tham số cho phù hợp Có điểm ưu tiên cho việc chọn lựa tốt, sáng tạo) Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm: Trước tiên xác định biểu diễn đại số phương trình vi phân (1) mà nhận rời rạc hóa dùng phương pháp sai phân hữu hạn điểm nút Gọi h bước rời rạc không gian cho khoảng [0, L ] chia thành N khoảng có L chiều dài h, có nghĩa h = Chúng ta ký hiệu xi điểm rời rạc : N x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, , x N = L Các điểm phân bố hình học sau : x0 = x1 = h x2 = 2h x x123x xN = L x x h Copyright © by Hoàng Ngọc Hà Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô tối ưu hóa trình hóa học Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày kí hiệu T0 (t ) = T (0, t ), T1 (t ) = T (h, t ), , TN (t ) = T ( Nh, t ) Tại điểm trung gian x1 , x2 , , x N −1 sử dụng biểu thức sau để xấp xỉ đạo hàm bậc hai bậc sau : ∂ 2T ( x , t ) ∂x ≅ x = xi Ti +1 (t ) + Ti −1 (t ) − 2Ti (t ) , i = 1, , N − h2 (5) ∂T ∂x ≅ x = xi Ti +1 (t ) − Ti −1 (t ) , i = 1, , N − 2h Cuối diễn giải điều kiện biên (4) điểm đầu-cuối sau : T0 (t ) = T (t ) TN (t ) = T (t ) (6a) điều kiện ban đầu (3) điểm rời rạc sau T (ih,0) = T init (ih), i = N (6b) Sau cùng, để thuân lợi cho biểu diễn ký hiệu : ⎡T (h, t ) ⎤ ⎡T1t ⎤ ⎥ ⎢T (2h, t ) ⎥ ⎢T 2t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = X (t ) = ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣T (( N − 1)h, t )⎦ ⎣⎢T( N −1)t ⎦⎥ (7) Yêu cầu : Chọn số điểm nút (N>2) N= ? Câu hỏi : a) Dùng xấp xỉ (5), phương trình (2) điểm rời rạc i trở thành : dTit T (t ) + Ti −1 (t ) − 2Ti (t ) = D i +1 , i = 1, , N − dt h2 (8) b) Tính đến điều kiên biên (6a), phương trình (8) viết dạng hệ phương trình vi phân thường sau : dX (t ) = AX (t ) + b dt (9) với X (t ) vector cho (7) giá trị ban đầu X (t = 0) có dùng (6b) Xác định ma trận A, b ? Copyright © by Hoàng Ngọc Hà Bài thực hành môn học Mô hình hóa, mô tối ưu hóa trình hóa học c) Tìm nghiệm (9) với Matlab dùng lệnh ode Biểu diễn thay đổi nhiệt độ nhận điểm rời rạc dùng lệnh plot d) Viết biểu thức nghiệm T(x,t) dùng nội suy kiểu đa thức Lagrange từ nút giá trị Tit có Biểu diễn thay đổi biên dạng (profile) nhiệt độ với Matlab Câu hỏi (Câu hỏi mở rộng) Giả sử biểu thức lượng nội U (t ) kim loại cho : L U (t ) = πR ∫ u ( x, t )dx (10) với u ( x, t ) = ρcT mật độ thể tích lượng Dùng qui tắc hình thang, chứng minh (13) xấp xỉ sau : N −1 (T + T U (t ) it ( i +1) t ) = πR h∑ ρc i =0 (11) Lập trình tính giá trị số (11) với giá trị Tit tìm thấy Quan sát ảnh hưởng số điểm nút (tăng/giảm N) nghiệm số mô ? Kết luận Copyright © by Hoàng Ngọc Hà ... (3) (4) miêu tả đầy đủ hệ th ng Bảng cho liệu tham số hệ phản ứng nghiên cứu : D (cm2/s) L (cm) R (cm) T0 ( x) (K) T (t ) (K) T (t ) (K) (Sinh viên tùy chọn giá trị tham số cho phù hợp Có điểm... Hà Bài th c hành môn học Mô hình hóa, mô tối ưu hóa trình hóa học c) Tìm nghiệm (9) với Matlab dùng lệnh ode Biểu diễn thay đổi nhiệt độ nhận điểm rời rạc dùng lệnh plot d) Viết biểu th c nghiệm... nghiệm T(x,t) dùng nội suy kiểu đa th c Lagrange từ nút giá trị Tit có Biểu diễn thay đổi biên dạng (profile) nhiệt độ với Matlab Câu hỏi (Câu hỏi mở rộng) Giả sử biểu th c lượng nội U (t ) kim loại