Giao trinh bai tap chương 6 cơ lượng tử

Nội dung Cơ sở Cơ Học Lượng Tử Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Lưỡng tính sóng-hạt vật chất Phương trình Schrödinger Hạt giếng vô hạn chiều Hệ thức bất định Heisenberg Kính hiển vi quét dùng hiệu ứng đường ngầm (STM) 1a Giả thuyết De Broglie Lưỡng tính sóng hạt vật chất a b c d e f • Ánh sáng có lưỡng tính sóng-hạt • Các hạt vật chất phải có lưỡng tính sóng-hạt? • De Broglie, 1923 − hạt vật chất sóng, bước sóng vật chất (hay sóng De Broglie) hạt có động lượng p là: Giả thuyết De Broglie Ví dụ Kiểm chứng Ứng dụng Bản chất sóng vật chất Bài tập λ= Louis De Broglie 1892-1987 h p 1b Ví dụ 1b Ví dụ • Bước sóng De Broglie hạt bụi khối lượng 10−9 kg rơi với vận tốc 0,020 m/s • Voi Dumbo khối lượng 1000 kg, bay với vận tốc 10 m/s có bước sóng De Broglie bao nhiêu? h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ = = −9 = 3,313 × 10−23 m p 10 kg × 0,020m s h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ= = = 6,626 × 10−38 m p 10 kg × 10m s • Bước sóng nhỏ để quan sát • Các hạt vĩ mô rõ tính sóng • Bước sóng nhỏ để quan sát 1b Ví dụ 1c Kiểm chứng thực nghiệm • Một electron mạch điện hay nguyên tử có động trung bình vào khoảng eV, có bước sóng De Broglie bằng: • Davisson Germer, 1927: electron nhiễu xạ tinh thể Nickel giống tia X • Nhiễu xạ electron tinh thể tuân theo định luật Bragg • Bước sóng electron đo phù hợp với giả thuyết De Broglie h 6,626 × 10−34 J ⋅ s λ= = 2mK × 9,11 ⋅ 10−31 kg × 1,6 ⋅ 10−19 J ( ) ( = 10−9 m = 10Å • Bước sóng vào cỡ kích thước nguyên tử nên quan sát • Các hạt vi mô thể rõ tính sóng ) 1c Kiểm chứng thực nghiệm 1c Kiểm chứng thực nghiệm • G P Thomson, 1927: electron nhiễu xạ màng mỏng kim loại, tạo vân tròn tương tự tia X nhiễu xạ bột đa tinh thể • Zeilinger et al., 1988: Nhiễu xạ neutron hai khe Electron Tia X 1c Kiểm chứng thực nghiệm 1d Ứng dụng sóng De Broglie • Kính hiển vi điện tử dùng sóng electron thay cho sóng ánh sáng, có độ phóng đại lên đến triệu lần • Nhiễu xạ electron, nhiễu xạ neutron dùng để tìm hiểu cấu trúc vật chất, tương tự nhiễu xạ tia X • Sóng dừng electron bề mặt đồng, ảnh chụp Scanning Tunneling Microscope (IBM Almaden Research Center) 1e Bản chất sóng De Broglie − • Giao thoa sóng electron hệ hai khe: 100 electrons 3000 electrons 70 000 electrons Càng nhiều hạt, quy luật sóng rõ Nơi hạt đến nhiều nơi có cường độ sóng lớn 1e Bản chất sóng De Broglie − • Ψ(x,y,z) số phức, nên ta có: Ψ ( x , y, z ) = Ψ ⋅ Ψ* • Xác suất tìm thấy hạt toàn không gian V, hạt tồn tại, phải đơn vị, đó: ∫ Ψ ( x , y , z ) dV = V • Đó điều kiện chuẩn hóa hàm sóng vật chất 1e Bản chất sóng De Broglie − • Max Born, 1928: sóng vật chất sóng xác suất • Bình phương biên độ hàm sóng vị trí tỷ lệ với xác suất tìm thấy hạt • Gọi Ψ(x,y,z) hàm sóng vật chất vị trí (x,y,z) hạt, dV thể tích nhỏ bao quanh vị trí này, xác suất tìm thấy hạt thể tích dV là: dP = Ψ ( x , y , z ) dV • |Ψ(x,y,z)|2 mật độ xác suất hạt (x,y,z) 1f Bài tập • Hình bên cho thấy sóng dừng lò vi ba, màu xám nơi sóng điện từ không, màu trắng đen nơi sóng cực đại • Hãy so sánh mật độ photon vị trí A, B C củ cà-rốt 1f Bài tập 1f Bài tập Hàm sóng hạt bị “giam” khoảng từ đến L Asin(πx/L), A số Xác suất tìm thấy hạt vị trí sau lớn nhất? • Mật độ hạt (hay xác suất) tỷ lệ với bình phương biên độ sóng vật chất (sóng điện từ photon) • Biên độ sóng cực đại A C, • mật độ photon cực đại A C • Mật độ xác suất: • w = A2sin2(πx/L) • Cực trị w cho bởi: • sin(πx/L)cos(πx/L) = • πx/L = 0, π/2, π • x = 0, L/2, L • w cực đại ứng với x = L/2 • Câu trả lời (b) (a) L/4 (b) L/2 (c) 3L/4 (d) L 1f Bài tập 1f Trả lời tập Hàm sóng Mật độ xác suất L/2 Bước sóng De Broglie electron tăng tốc không vận tốc đầu hiệu điện U bằng: (a) h 2meeU (b) h meeU (c) 2h 2meeU (d) h meeU 1f Trả lời tập • Động electron sau tăng tốc: K= p = eU 2me • Suy động lượng: p = 2meeU • Vậy bước sóng De Broglie là: λ= Phương trình Schrödinger a Phương trình Schrödinger tổng quát b Phương trình Schrödinger dừng c Hàm sóng hạt tự h 2meeU • Câu trả lời (a) Erwin Schrödinger 1887-1961 2a Phương trình Schrödinger tổng quát 2b Phương trình Schrödinger dừng • Hàm sóng Ψ(x,y,z,t) hạt khối lượng m, chuyển động trường U(x,y,z,t) thỏa phương trình Schrödinger tổng quát: • Khi U không phụ thuộc vào thời gian nghiệm phương trình Schrödinger viết dạng:  ∂Ψ  ℏ2 iℏ =− ∆ +U Ψ ∂t  2m  i = −1 • ħ = h/2π, Δ Laplacian: ∂2 ∂2 ∂2 ∆= + + ∂x ∂y ∂z Ψ ( x , y , z ,t ) = e E −i t ℏ Φ( x , y,z ) • với E lượng hạt, Φ(x,y,z) hàm sóng dừng, thỏa phương trình Schrödinger dừng:  ℏ2   − 2m ∆ + U  Φ = E Φ   ∆Φ + 2m (E −U )Φ = ℏ2 2c Hàm sóng hạt tự − • Phương trình Schrödinger dừng hạt tự chuyển động theo dọc trục x: E −i t ℏ Ψ = Ae • với E động hạt Phương trình có nghiệm tổng quát là: k= 2mE p = ℏ2 ℏ Hạt giếng vô hạn chiều a b c d • Hàm sóng ứng với số hạng thứ nhất: Ψ =e ∂ 2Φ 2m + EΦ = ∂x ℏ2 Φ = Aeikx + Be −ikx 2c Hàm sóng hạt tự − Giếng vô hạn chiều Năng lượng bị lượng tử hóa Hàm sóng Bài tập ⋅ Ae p i x ℏ − i (ωt −kx ) = Ae ω= − i ( Et − px ) ℏ E ℏ k= p ℏ • sóng phẳng truyền theo trục x > 0, có tần số góc ω, vectơ sóng k, bước sóng phù hợp với giả thuyết De Broglie: λ= 2π h = k p 3a Giếng vô hạn chiều • Hạt chuyển động giếng vô hạn chiều xác định :  0< x ɶ h ∆y ⋅ ∆p y >ɶ h p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 106 m s ) = 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s ∆z ⋅ ∆pz >ɶ h • Độ bất định động lượng: • Không thể xác định xác đồng thời tọa độ động lượng vi hạt • Không thể xác định quỹ đạo vi hạt ∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10−26 kg.m s h ∆x >ɶ = 2,4 × 10−8 m = 24nm ∆p x • Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 4b Ví dụ 4b Ví dụ • Electron nguyên tử có Δx ~ kích thước nguyên tử, tức 0,1 nm Tìm Δp • Một banh golf có khối lượng 45 g bay với vận tốc 35 m/s Vận tốc đo với độ xác 1,5 % Tìm Δx • Làm tương tự Ví dụ 1, ta suy độ bất định vị trí banh: h 6,626 ⋅ 10−34 J ⋅ s ∆px >ɶ = = 6,626 ⋅ 10−24 kg.m s −9 0,1 ⋅ 10 m ∆x • Electron nguyên tử có động vào khoảng eV, có động lượng : ( )( px = 2mK = ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 J = 5,4 × 10−25 kg m s • Δp ~ 10 p ! ) ∆x >ɶ × 10−32 m • Độ bất định nhỏ: với vật vĩ mô xác định xác đồng thời vị trí động lượng 4b Ví dụ 4c Bất định thời gian lượng • Bó sóng tổ hợp tuyến tính nhiều sóng hình sin có động lượng gần • Phân bố động lượng rộng (Δp lớn), • bó sóng hẹp (Δx nhỏ) • Gọi Δt thời gian hạt tồn trạng thái; • ΔE độ bất định lượng hạt trạng thái • Giữa chúng có hệ thức: ∆t ⋅ ∆E >ɶ h • Độ bất định lượng trạng thái lớn thời gian tồn trạng thái ngắn • Do bó sóng tồn lâu 4d Hiệu ứng đường ngầm – 4d Hiệu ứng đường ngầm – • Xét hạt bị giam giếng có độ sâu U • Giả sử trạng thái hạt không bền, tồn thời gian ngắn Δt ≈ h/U • Trong khoảng thời gian độ bất định lượng hạt : ∆E >ɶ h h = =U ∆t h U • Hạt có độ bất định lượng lớn độ sâu giếng thế, thoát khỏi giếng thế! ΔE U E 4d Hiệu ứng đường ngầm – • Hiệu ứng xảy rào (hay tường thế) Hạt chui qua rào dù có lượng nhỏ chiều cao rào • Xác suất vượt rào (hệ số truyền qua) là: Scanning Tunneling Microscope U0 E a  2a  D ≈ exp − 2m (U0 − E )   ℏ  • Minh họa x Khi quét bề mặt mẫu đầu kim kéo lên hay hạ xuống thấp để giữ cho dòng e- chui ngầm không đổi Độ cao đầu kim hiển thị hình, hình ảnh bề mặt mẫu Minh họa [...]... chính xác là 1,5 % Tìm Δx • Làm tương tự như trong Ví dụ 1, ta suy ra độ bất định về vị trí của quả banh: h 6, 6 26 ⋅ 10−34 J ⋅ s ∆px >ɶ = = 6, 6 26 ⋅ 10−24 kg.m s −9 0,1 ⋅ 10 m ∆x • Electron trong nguyên tử có động năng vào khoảng 1 eV, do đó có động lượng : ( )( px = 2mK = 2 ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1 ,6 ⋅ 10−19 J = 5,4 × 10−25 kg m s • Δp ~ 10 p ! ) ∆x >ɶ 3 × 10−32 m • Độ bất định này rất nhỏ: với các vật vĩ... 2 ⋅ 10 m 6, 6 26 ⋅ 10−34 J ⋅ s • λ = 824 nm, câu trả lời đúng là (b) ) 2 ⋅ 1 52 − 32 a Hệ thức bất định của vị trí và động lượng b Ví dụ c Hệ thức bất định của thời gian và năng lượng d Hiệu ứng đường ngầm Werner Heisenberg 1901-19 76 4a Bất định của vị trí và động lượng 4b Ví dụ 1 • Giữa độ bất định (độ chính xác) của tọa độ và động lượng có hệ thức: • Một electron có vận tốc bằng 2,05 × 1 06 m/s, được... • Động lượng của electron: ∆x ⋅ ∆px >ɶ h ∆y ⋅ ∆p y >ɶ h p = mv = (9,11 ⋅ 10−31 kg) ⋅(2,05 ⋅ 1 06 m s ) = 1,87 ⋅ 10−24 kg.m s ∆z ⋅ ∆pz >ɶ h • Độ bất định động lượng: • Không thể xác định được chính xác đồng thời tọa độ và động lượng của các vi hạt • Không thể xác định quỹ đạo vi hạt ∆p = 1,5%p = 2,80 ⋅ 10− 26 kg.m s h ∆x >ɶ = 2,4 × 10−8 m = 24nm ∆p x • Δx ~ 200 lần kích thước nguyên tử ! 4b Ví dụ 2 4b ... tốc 10 m/s có bước sóng De Broglie bao nhiêu? h 6, 6 26 × 10−34 J ⋅ s λ = = −9 = 3,313 × 10−23 m p 10 kg × 0,020m s h 6, 6 26 × 10−34 J ⋅ s λ= = = 6, 6 26 × 10−38 m p 10 kg × 10m s • Bước sóng nhỏ để... trí banh: h 6, 6 26 ⋅ 10−34 J ⋅ s ∆px >ɶ = = 6, 6 26 ⋅ 10−24 kg.m s −9 0,1 ⋅ 10 m ∆x • Electron nguyên tử có động vào khoảng eV, có động lượng : ( )( px = 2mK = ⋅ 9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ 1 ,6 ⋅ 10−19 J... 6, 6 26 ⋅ 10−34 J ⋅ s • λ = 824 nm, câu trả lời (b) ) ⋅ 52 − 32 a Hệ thức bất định vị trí động lượng b Ví dụ c Hệ thức bất định thời gian lượng d Hiệu ứng đường ngầm Werner Heisenberg 190 1-1 976