Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN Phần bắt buộc với mọi thí sinh : Câu 1. Cho hàm số y = x 3 – mx 2 1) Tìm m để đồ thị có điểm uốn tại điểm có hoành độ x = 1. 2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m tìm được. 3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị vừa vẽ tại điểm uốn. Chứng minh rằng : tiếp tuyến này là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị. Câu 2. 1) Tính tích phân : 1 2 0 1 xdx I x = + ∫ . 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = e x và các đường thẳng y = 1 và x = 1. Câu 3. Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình : d : 1 1 2 2 3 1 x y z+ − − = = và d’ : 2 2 1 5 2 x y z− + = = − . 1) Chứng minh d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau. 2) Xác định vectơ đồng thời vuông góc với d và d’. Câu 4. Cho mặt phẳng P : 6x + 6y – 7z +42 = 0 1) Viết phương trình mặt cầu tâm I(1 ;4 ; -7 ) tiếp xúc với mặt phẳng P. 2) Tính thể tích tứ diện có 4 đỉnh là gốc tọa độ O và giao điểm của P với các trục tọa độ. Phần tự chọn ( chỉ giải câu 5A hoặc câu 5B) Câu 5A. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 3 2 14 n n n A C n − + = . Câu 5B. Tính tổng các số gồm 5 chữ số khác nhau. Biết rằng các số này được viết bởi các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. HƯỚNG DẪN GIẢI. Câu 1. 1) y’ = 3x 2 – 2mx ; y’’ = 6x – 2m. Do đó đồ thị có hoành độ điểm uốn là x = 3 m . Vậy điểm uốn có hoành độ x = 1 khi và chỉ khi 3 m = 1 hay m = 3. 2) Với m = 3 thì hàm số trở thành y = x 3 – 3x 2 . Các bạn dễ dành khảo sát và vẽ đồ thị. 3) Hàm số y = x 3 – 3x 2 có y’ = 3x 2 – 6x nên phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là : y – f(1) = f’(1) (x – 1 ) hay y – (- 2 ) = - 3 (x – 1 ) hay y = - 3x + 1. Tiếp tuyến tại x = x 0 bất kì có hệ số góc là : f’(x 0 ) = 2 2 0 0 0 3 6 3( 1) 3 3x x x− = − − ≥ − .Do đó hệ số góc nhỏ nhất bằng – 3 khi x 0 = 1. Câu 2. 1) 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 ( 1) 1 1 ln( 1) ln 2. 0 1 2 1 2 2 xdx d x I x x x + = = = + = + + ∫ ∫ 2) Giao của đồ thị y = e x với đường y = 1 tại (0 ; 1) và với đường x = 1 tại (1 ; e). Vậy diện tích hình phẳng là : S = 1 0 1 1 0 x x e dx e e= = − ∫ (đ.v.d.t). Câu 3. 1) Viết phương trình d và d’ dưới dạng tham số : 2 1 2 : 3 1 d': 5 2 2 2 x t x s d y t y s z t z s = − = +     = + = −     = + = −   Giải hệ : 2 1 2 3 1 5 2 2 2 t s t s t s − = +   + = −   + = −  ta thấy vô nghiệm nên d và d’ chéo nhau. 2) d có vectơ chỉ phương là (2;3;1)m ur và d’ có vectơ chỉ phương là (1;5; 2)n − r . Gọi vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d’ là ( ; ; )l a b c r thì ; l m l n⊥ ⊥ r ur r r . Do đó : 2 3 0 5 2 0 a b c a b c + + =   + − =  . Cho b = 1, giải hệ có a = 11 5 − và c = 7 5 . Vậy có thể chọn ( 11;5;7)l − r . Câu 4. 1) Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng hay bán kính mặt cầu là 6.1 6.4 7.( 7) 42 11 36 36 49 R + − − + = = + + . Do đó phương trình mặt cầu là 2 2 2 2 ( 1) ( 4) ( 7) 11x y z− + − + + = . 2) Giao điểm của P với các trục tọa độ lần lượt là (- 7 ; 0 ; 0), (0 ; - 7 ; 0), (0 ; 0 ; 6). Do đó thể tích tứ diện là V = 7x7x6 :6 = 49 (đ.v.t.t) Câu 5A. Điều kiện n là số tự nhiên không nhỏ hơn 3 3 2 2 ! ! 14 14 ( 3)! ( 2)!2! ( 1) ( 1)( 2) 14 2 5 2 5 25 0 2 5 n n n n n A C n n n n n n n n n n n n n n − + = ⇔ + = − − − ⇔ − − + =  = −  ⇔ − − = ⇔  =   Kết hợp điều kiện ta có n = 5. Câu 5B. Số các số chính là hoán vị của 5 phân tử nên có 5 ! = 120 số. Do vai trò của 5 chữ số là như nhau nên khi cộng từng hàng của các số ta thấy mỗi chữ số xuất hiện đúng 120 : 5 = 24 lần. Do đó tổng các chữ số của mỗi hàng là : 24 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 360.Vậy tổng 120 số là 360 x ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 360 x 11111 = 3999960. . ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN Phần bắt buộc với mọi thí sinh : Câu 1. Cho hàm số y =