GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ĐẶC BIỆT

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Có nhiều bài toán trong phạm vi đại số rất khó giải, nhưng nếu chúng ta biết thay đổi hình thức của bài toán thì sẽ thu đ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC

Có nhiều bài toán trong phạm vi đại số rất khó giải, nhưng nếu chúng ta biết thay đổi hình thức của bài toán thì sẽ thu được những phương trình đơn giản hơn Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài toán và thông qua miền giá trị của chúng

I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA

cos ;0

x= a t ≤ ≤t π

sin

a x

t

2 2

t∈ − π π

; cos

a x

t

= [ ]0; \

2

t∈ π  π

 

 

= − < < hoặc

x= a gt < <t π

1

.sin cos 0; 2

x

a

y

a

 =





 =





 ∈





Ta xét các ví dụ sau đây:

 VD 1 : Trên đoạn [ ]0;1 phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

8 1 2x( − x2) (8x4−8x2+ =1) 1

 Giải : Vì x∈[ ]0;1 nên tồn tại góc 0;

2

π

α ∈   sao cho x=sinα

Thu được phươnhg trình : 8sinα(1 2sin− 2α) (8sin4α −8sin2α + =1) 1

⇔8sin cos 2 cos 4α α α =1

Nhận thấy cosα = 0 không là nghiệm của phương trình nên

nhân hai vế của phương trình cho cos 0 0;

2

π

α ≠ ⇒ ∈α  ÷ ta được :

2

π

=

2

2

k m

π

π

 = − +







2

2

k m

α

α

 = +



⇔ 

 = +



; k m Z, ∈

Vì 0;

2

π

α ∈ ÷

  suy ra các nghiệm :

sin

18

; sin5

18

; sin

14

; sin5

14

 Ví dụ 2 : Cho hai phương trình :

(3 2 2+ ) (x = 2 1− )x+3 (1) và ( 2 1) 2cos

9

Giả sử x là nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng, khi

đó x cũng là nghiệm của phương trình (2)

2 1

x

+

Đặt ( 2 1+ )x=2t với t > 0

Khi đó phương trình (1) trở thành :

t

= + ⇔ − = Xét t∈ −( 1;1) , đặt t=cos ,α α∈(0;π) ta được

k

α− α = ⇔ α = ⇔ = ± +α

Vì α∈(0;π) nên ;5 ;7

π π π

α ∈ 

Rõ ràng phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét

nghiệm t∉ −( 1;1) Mặt khác 2

5

9

t = π <

và 3

7

9

t = π <

do đó nghiệm của phương trình (1) là : 1 cos

9

( 2 1) 2cos

9

Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)

 Ví dụ 3 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :

1

x+ − =x m (1)

 Giải : ĐK :0 ≤ ≤x 1

Phương trình (1) có nghiệm khi m>0

Nhận xét : Vì ( ) (2 )2

x + −x = nên khiến ta nghĩ đến lượng giác hoá bằng cách đặt :

sin ;

 =





− =

 với t 0;2

π

 

∈   (1) sin cos 2 cos

4

m

t π

⇔  − ÷=

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi : − 2≤ ≤m 2

So sánh với điều kiện m>0 ta có : 0 <m≤ 2

 Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có ngiệm :

(4m−3) x+ +3 (3m−4 1) − + − =x m 1 0 (1)

 Giải : Điều kiện : − ≤ ≤ 3 x 1

(1)

m

+ + − +

⇔ =

+ + − + Nhận thấy rằng : ( ) (2 )2 3 2 1 2

+ + − = ⇔ ÷ ÷ + ÷÷ =

Nên tồn tại góc 0;

2

π

ϕ ∈   sao cho :

2

2

1

t x

t

ϕ

+ và 1 2cos 21 22

1

t x

t

+ với tan ; [ ]0;1

2

t= ϕ t∈

2 2

+ + − +

Xét hàm số : 22 [ ]

( ) [ ]

2

2 2

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [ ]0;1 và (0) 9; (1) 7

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn [ ]0;1 khi và chỉ khi : 7 9

9≤ ≤m 7

 Ví dụ 5: Giải phương trình :

 +  − −  =

    với tham số a∈( )0;1

 Giải : 1 2 1 2 1

 +  − −  = ⇔

1

 +  = −  +

Chia cả hai vế của phương trình cho 1 2

2

x

a a

 + 

  ,

1

x x

 − 

= + ÷ +  + ÷

   Vì a∈( )0;1 nên tồn tại góc 0;

2

π

ϕ ∈ ÷ để cho

tan

ϕ = .

Thu được phương trình :

2

2 tan

2 1

1 tan

x

ϕ ϕ

=  + ÷

2 2

1 tan

2

1 tan

x

ϕ ϕ

Hàm số y=(sinϕ) (x+ cosϕ)x là hàm nghịch biến và ta có

( ) (2 )2

f = ϕ + ϕ = Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

1

x x

x

−

 Giải:

Điều kiện: x >1

Đặt 1 ; (0; );

α

= ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau :

Đặt : sin cos 2 cos

4

ĐK : 1≤ ≤t 2; sin cos 2 1

2

t

Thu được PT : 2

2

2

t

t

 =



− − = ⇔ − ⇒ =

 =



t= ⇒ = ∈α π  π⇒ =x

 ÷

 

 VD 7 : Cho PT 1+ +x 8− +x (1+x)(8−x) =m(1)

a) Giải PT (1) khi m= 3

b) Tìm m để PT (1) có nghiệm

 Giải :

Với điều kiện: x∈ −[ 1;8] gợi cho ta nghĩ đến việc chuyển PT (1) về

lượng giác bằng cách đặt : 3 sin 1





= −

π

 

∈  

Giải: a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3

⇔sint+cost+3sint.cost = 1(2)

Đặt tiếp: sin cos 2 sin ;

4

u= t+ t= t+π

  ĐK :1≤ ≤u 2

( )

2

3

= ⇒ = − ∨ =





 =



BÀI TẬP

Bài 1 : Cho phương trình : 3

x − + =x Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm x x x1; ;2 3 và thỏa điều kiện:

x = +x x = +x

Bài 2 : Giải các phương trình :

1 2 1 2 1

 +  − −  =

    với tham số a∈( )0;1

1 ) 1 8 8 )(

2 1 (

8x − x x4 − x2 + =

Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :

1 1 2

Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 )

2x+ a2−4x =a

Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :

4x −3x= 1−x ;

HD: Đk: x∈ −[ 1;1]; Đặt : cos ; ;

2 2

x= t t −π π

∈   ;

Bài 6 : Giải các PT sau :

a x + −x =x −x Đặt x=cos ;α α∈[ ]0;π

b x= + − +x Đặt x=2cos ;α α∈[ ]0;π

2

2

5

x

+ Đặt : tan ; ; ;

2 2

x= α α −π π 

∈ ÷

+ − = + −

Cách 1: Đặt cos2 ; 0; ;

2

x= α α  π

∈  

Cách 2 :Đặt u= x ≥0;v= 1− ≥x 0;

Bài 7 : Tìm m để PT sau có nghiệm :

(4m−3) x+ +3 (3m−4) 1− + − =x m 1 0;

Bài 8 : Giải các hệ phương trình sau :

a)

2 2 2

2

2

2

x y yx

y z zy

z x xz

 = −



= −



 = −



; HD : Rút x; y; z và đặt tan ;

x= α −π < <α π 

b)

3

2

 + =









HD : ĐẶT x=sin ;α y=cos ;α α∈[0;2π]

Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình:

(C): ( ) (2 )2

Tìm M (x0;y0) thuộc ( C ) sao cho (x0+y0) nhỏ nhất

HD :

⇔ ÷ + ÷ =

    đặt :

1 sin ; 2

2 cos 2

x y

α α

−



 −

