ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK GIẢI PHƯƠNGTRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆTPHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC Có nhiều bài toán trong phạm vi đại số rất khó giải, nhưng nếu chúng ta biết thay đổi hình thức của bài toán thì sẽ thu được những phươngtrình đơn giản hơn. Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phươngtrình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặcbiệt của các biến có mặt trong bài toán và thông qua miền giá trò của chúng. I .CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯC LƯNG GIÁC HÓA DẤU HIỆU NHẬN BIẾT CÁCH CHỌN 2 2 a x − sin ; 2 2 x a t t π π = − ≤ ≤ hoặc cos ;0x a t t π = ≤ ≤ 2 2 x a − ; sin a x t = { } ; \ 0 2 2 t π π ∈ − hoặc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t π π ∈ 2 2 a x + tan ; ; 2 2 x a t t π π = − < < hoặc cot ;0 ;x a gt t π = < < 2 2 1 ax bx c c + = ÷ ÷ [ ] .sin .cos 0;2 c t x a c t y a t π = = ∈ Ta xét các ví dụ sau đây: VD 1 : Trên đoạn [ ] 0;1 phươngtrình sau có bao nhiêu nghiệm? ( ) ( ) 2 4 2 8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + = Giải : Vì [ ] 0;1x∈ nên tồn tại góc 0; 2 π α ∈ sao cho sinx α = 1 ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Thu được phươnhg trình : ( ) ( ) 2 4 2 8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 1 α α α α − − + = 8sin .cos2 .cos4 1 α α α ⇔ = Nhận thấy cos 0 α = không là nghiệm của phươngtrình nên nhân hai vế của phươngtrình cho cos 0 0; 2 π α α ≠ ⇒ ∈ ÷ ta được : 8sin .cos cos2 .cos 4 cos sin8 cos sin8 sin 2 α α α α α π α α α α = ⇔ = ⇔ = − ÷ 8 2 2 8 2 2 k m π α α π π α π α π = − + = − − + ÷ 2 18 9 2 14 7 k m π π α π π α = + ⇔ = + ; ,k m Z∈ Vì 0; 2 π α ∈ ÷ suy ra các nghiệm : sin 18 x π = ; 5 sin 18 x π = ; sin 14 x π = ; 5 sin 14 x π = Ví dụ 2 : Cho hai phươngtrình : ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 x x + = − + (1) và ( ) 2 1 2cos 9 x π + = (2) Giả sử x là nghiệm của phươngtrình (1) . Chứng minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phươngtrình (2) . Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x + = − + ⇔ + = + + Đặt ( ) 2 1 2 x t+ = với t > 0. Khi đó phươngtrình (1) trở thành : 2 3 1 1 4 3 4 3 2 2 t t t t = + ⇔ − = . Xét ( ) 1;1t ∈ − , đặt ( ) cos , 0;t α α π = ∈ ta được 3 1 1 2 4cos 3cos cos3 2 2 9 3 k π π α α α α − = ⇔ = ⇔ = ± + Vì ( ) 0; α π ∈ nên 5 7 ; ; 9 9 9 π π π α ∈ suy ra 1 2 3 5 7 cos ; cos ; cos 9 9 9 t t t π π π = = = 2 ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Rõ ràng phươngtrình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm ( ) 1;1t ∉ − . Mặt khác 2 5 cos 0 9 t π = < và 3 7 cos 0 9 t π = < do đó nghiệm của phươngtrình (1) là : 1 cos 9 t π = ⇒ ( ) 2 1 2cos 9 x π + = . Vậy nếu x là nghiệm của phươngtrình (1) thì x cũng là nghiệm của phươngtrình (2) Ví dụ 3 : Tìm giá trò của m để phươngtrình sau có nghiệm : 1x x m+ − = (1) Giải : ĐK : 0 1x ≤ ≤ Phươngtrình (1) có nghiệm khi m>0 Nhận xét : Vì ( ) ( ) 2 2 1 1x x+ − = nên khiến ta nghó đến lượng giác hoá bằng cách đặt : sin ; 1 cos x t x t = − = với 0; 2 t π ∈ (1) sin cos 2 cos 4 t t m t m π ⇔ + = ⇔ − = ÷ cos 4 2 m t π ⇔ − = ÷ . Phươngtrình này có nghiệm khi và chỉ khi : 2 2m− ≤ ≤ So sánh với điều kiện m>0 ta có : 20 ≤< m Ví dụ 4 : Đònh giá trò của m để phươngtrình sau có ngiệm : ( ) ( ) 4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − = (1) Giải : Điều kiện : 3 1x − ≤ ≤ . 3 3 4 1 1 (1) 4 3 3 1 1 x x m x x + + − + ⇔ = + + − + Nhận thấy rằng : ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 3 1 4 1 2 2 x x x x + − + + − = ⇔ + = ÷ ÷ ÷ ÷ Nên tồn tại góc 0; 2 π ϕ ∈ sao cho : 2 2 3 2sin 2 1 t x t ϕ + = = + và 2 2 1 1 2cos 2 1 t x t ϕ − − = = + với [ ] tan ; 0;1 2 t t ϕ = ∈ 2 2 3 3 4 1 1 7 12 9 5 16 7 4 3 3 1 1 x x t t m m t t x x + + − + − + + = ⇔ = − + + + + − + 3 ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Xét hàm số : [ ] 2 2 7 12 9 ( ) ; 0;1 5 16 7 t t f t t t t − + + = ∈ − + + ( ) [ ] 2 2 2 52 8 60 '( ) 0, 0;1 5 16 7 t t f t t t t − − − = < ∀ ∈ − + + Suy ra hàm số nghòch biến trên đoạn [ ] 0;1 và 9 7 (0) ; (1) 7 9 f f= = Vậy phươngtrình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phươngtrình (2) có nghiệm trên đoạn [ ] 0;1 khi và chỉ khi : 7 9 9 7 m≤ ≤ Ví dụ 5: Giảiphươngtrình : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ÷ ÷ với tham số ( ) 0;1a∈ Giải : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ⇔ ÷ ÷ 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − = + ÷ ÷ Chia cả hai vế của phươngtrình cho 2 1 2 x a a + ÷ , ta được : 2 2 2 2 1 1 1 1 x x a a a a − = + ÷ ÷ + + . Vì ( ) 0;1a∈ nên tồn tại góc 0; 2 π ϕ ∈ ÷ để cho tan 2 a ϕ = . Thu được phươngtrình : 2 2 tan 2 1 1 tan x ϕ ϕ ÷ = ÷ + ÷ 2 2 1 tan 2 1 tan x ϕ ϕ − ÷ + ÷ + ÷ ( ) ( ) 1 sin cos x x ϕ ϕ ⇔ = + Hàm số ( ) ( ) sin cos x x y ϕ ϕ = + là hàm nghòch biến và ta có ( ) ( ) 2 2 (2) sin cos 1f ϕ ϕ = + = . Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình. VD6 : 2 2 2 1 x x x + = − Giải: Điều kiện: 1x > 4 ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Đặt 1 ; (0; ); cos 2 x π α α = ∈ Thu được PT mới có dạng LG như sau : 1 1 2 2 sin cos 2 2 sin cos cos sin α α α α α α + = ⇔ + = Đặt : sin cos 2 cos 4 t π α α α = + = − ÷ ĐK : 1 2;t≤ ≤ 2 1 sin .cos 2 t α α − ⇒ = Thu được PT : 2 2 2t t t= − − ⇔ 2 2 2 2 0 2 1 2 t t t t t = − − = ⇔ ⇒ = − = Với 2 0; 2. 4 2 t x π π α = ⇒ = ∈ ⇒ = ÷ VD 7 : Cho PT 1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − = (1) a) Giải PT (1) khi m= 3 b) Tìm m để PT (1) có nghiệm. Giải : Với điều kiện: [ ] 1;8x ∈ − gợi cho ta nghó đến việc chuyển PT (1) về lượng giác bằng cách đặt : 3 sin 1 3 cos 8 t x t x = + = − ; 0; 2 t π ∈ Giải: a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3 ⇔ sint+cost+3sint.cost = 1(2) Đặt tiếp: sin cos 2 sin ; 4 u t t t π = + = + ÷ ĐK :1 2u≤ ≤ ( ) 2 1 1 8 3 2 5 0 5 3 u x x u u u l = ⇒ = − ∨ = ⇔ + − = ⇔ − = BÀI TẬP Bài 1 : Cho phươngtrình : 3 3 1 0x x− + = Chứng minh rằng phươngtrình có ba nghiệm 1 2 3 ; ;x x x và thỏa điều kiện: 2 2 1 2 2 3 2 ; 2 ;x x x x= + = + Bài 2 : Giải các phươngtrình : 2 2 1 1 1 2 2 x x a a a a + − − = ÷ ÷ với tham số ( ) 0;1a∈ 5 1)188)(21(8 24 =+−− xxxx ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK Bài 3 : Tìm giá trò của m để phươngtrình có nghiệm : 2 1 1 1 m x x + = − Bài 4 : Giải và biện luận phươngtrình theo tham số a , ( a > 0 ) 2 2 4 x x a a+ − = Bài 5 : Phươngtrình sau có bao nhiêu nghiệm : 3 2 4 3 1 ;x x x− = − HD: Đk: [ ] 1;1x∈ − ; Đặt : cos ; ; 2 2 x t t π π − = ∈ ; Bài 6 : Giải các PT sau : 3 2 3 2 ) (1 ) 2(1 );a x x x x+ − = − Đặt [ ] cos ; 0;x α α π = ∈ ) 2 2 2 ;b x x= + − + Đặt [ ] 2cos ; 0;x α α π = ∈ 2 2 5 ) 1 . 2 1 c x x x + = + + Đặt : tan ; ; ; 2 2 x π π α α − = ∈ ÷ d) 2 1 (1 ) 1 3 x x x x+ − = + − Cách 1: Đặt 2 cos ; 0; ; 2 x π α α = ∈ Cách 2 :Đặt 0; 1 0;u x v x= ≥ = − ≥ Bài 7 : Tìm m để PT sau có nghiệm : (4 3) 3 (3 4) 1 1 0;m x m x m− + + − − + − = Bài 8 : Giải các hệ phươngtrình sau : a) 2 2 2 2 2 2 x y yx y z zy z x xz = − = − = − ; HD : Rút x; y; z và đặt tan ; 2 2 x π π α α − = < < ÷ b) 2 2 1 3 ( )(1 4 ) 2 x y x y xy + = − + = HD : ĐẶT [ ] sin ; cos ; 0;2x y α α α π = = ∈ . Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C): ( ) ( ) 2 2 1 2 2x y− + − = Tìm M (x 0 ;y 0 ) thuộc ( C ) sao cho (x 0 +y 0 ) nhỏ nhất. 6 ĐINH VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK HD : 2 2 1 2 (1) 1 2 2 x y− − ⇔ + = ÷ ÷ ñaët : 1 sin ; 2 2 cos 2 x y α α − = − = 7 . VĂN QUYẾT - ĐĂK LĂK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT PHƯƠNG PHÁP LƯNG GIÁC Có nhiều bài toán trong phạm vi đại số rất khó giải, nhưng nếu chúng. những phương trình đơn giản hơn. Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các dấu hiệu đặc biệt