toán 12 tóm tắt chương 1

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG Ơn tập chương I: KHỐI ĐA DIỆN ChươngI: KHỐI ĐA DIỆN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT: I KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN: Hình đa diện (đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thoả mãn tính chất: +) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung +) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện II KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN: Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi diểm ngồi khối đa diện Những điẻm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm ngồi gọi miền ngồi khối đa diện Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngồi hình đa diện tương ứng III HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình khơng gian: Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tuỳ ý Một số phép dời hình thường gặp a) Phép tịnh tiến theo vectơ phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho = b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) phép biến hình biến điểm M thuộc (P) thành nó, biến điểm khơng thuộc (P) thành điểm M’ cho (P) mặt phăng trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành mặt phẳng (P) gọi mạt phẳng đối xứng hình (H) M I P M' c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho O trung điểm MM’ Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng hình (H) M O M' ) phép đối xứng qua đường thẳng d (hay phép đối xứng qua trục d) phép biến hình biến điểm thuộc d thành nó, biến diểm M khơng thuộc d thành M’ cho d dường trung trực MM’ Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành d gọi trục đối xứng (H) d d M M' Nhận xét: +) Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình +) Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) biến đỉnh, cạnh, mặt hình (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H’) Hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện thành đa diện IV PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện (H1) (H2) cho (H1) (H2) khơng có điểm chung ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) (H2), hay lắp ghép hai khối đa diện (H1) (H2) với để khối đa diện (H) VII THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Chú ý: Thể tích hai khối đa diện đồng dạng lập phương tỉ số đồng dạng Trong số tốn ta thường sử dụng kết qủa sau: Cho khối chóp S.ABC Trên SA, SB, SC lấy điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó: VS ABC SA SB SC = VS A'B 'C ' SA' SB ' SC ' B BÀI TẬP Bài Chứng minh đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Cho ví dụ Giải: Giả sử đa diện (H) có m mặt Vì mặt có cạnh nên tổng số cạnh m mặt là: 3m Mà cạnh cạnh chung mặt nên 3m c = số cạnh (H) là: Do c số ngun nên m phải số chẵn Ví dụ: tứ diện Bài Chứng minh rằng: trung điểm cạnh tứ diện đỉnh hình bát diện Giải: Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi I, J, E, F, M N trung điểm cạnh AC, BD, AB, BC, CD DA C l A M F N E D J B Ta chứng minh cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM, JF có độ dài a/2 Thật vây, đường trung bình tam giác CAD, ABD, ACB, BCD Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD tứ diện đều) Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2 Suy tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN, JNE tam giác Tám tam giác tạo thành đa diện có đỉnh I, J, E, F, M, N mà đỉnh đỉnh chung tam giác Do đa diện đa diện loại {3; 4}, tức hình bát diện Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi E F trung điểm cạnh AA’, BB’ Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tai E’ Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ F’ Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V b) Gọi khối đa diện (H) phần lại khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau cắt bỏ khối chóp C.ABFE Tính tỉ số thể tích (H) khối chóp C.C’E’F’ Giải: a) Hình chóp C.A’B’C’ hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy đường cao nên VC A ' B 'C ' C A = V B E F A' E' C' B' F' Từ suy VC ABB ' A ' = V − V = V 3 Do EF đường trung bình hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE nủa diện tích ABB’A’ Do VC ABFE 1 = VC ABB ' A ' = V b) Áp dụng câu a) ta có V( H ) = VABC A ' B 'C ' − VCABFE = V − V = V 3 CC ' Vì EA’ song song nên theo định lý Talet, A’ trung điểm E’C’ Tương tự, B’ trung điểm F’C’ Do đó: C 'E 'F ' A ' B 'C ' Suy ra: VC E ' F ' C ' = 4.VC A ' B ' C ' = V V( H ) = VC E ' F 'C ' Vậy: S = 4.S Bàai Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc với SA = ; SB = SC = 1> Tính thể tích khối tứ diện A.SBC 2> Tính diện tích tam giác ABC Suy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) 1) V A.SBC = 1 = SA.S SBC = SA .SB.SC 3 3.4.4 = (đvdt) A S B I C 2) Gọi h = d( S/(ABC)) VA.SBC = VS ABC h= = h.S ABC 3V A.SBC S ABC Ta có: Tam giác SAC vuông S nên: AC2=SA2+SC2 = + 16=25 Vậy AC = Tương tự : AB =5 BC = Vì AB = AC nên tgiác ABC cân tai A Nên AI đường cao tam giác ABC   SABC = AI.BC Áp dụng đ/lý Pitago tam giác vng ABI có: SI2 = SB2 - (BC/2)2 = 52 - (2 2)2 = 17 ⇒ SI = 17 ⇒ S = 34 ABC 34 34 Vậy h = 3.8/2 =12/ Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Biết AB = 3a, SA = 4a, AC = 13 a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) a) VS ABC = SA.S ABC 1 = SA AB.BC Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vng B, ta có: BC2 = AC2 - AB2 = 13a2 - 9a2 = 4a2 ⇒ BC = 2a Vậy VS ABC = 4a.3a.2a = 4a3 S C 4a A 3a b) Gọi h = d(A/(SBC)) h.S SBC Ta có: V S ABC = VA.SBC = 3VS ABC ⇒ h= S SBC Theo định lý đường vng góc, BC vng góc với hình chiếu AB đường xiêng SB nên BC vng góc với SB S SBC = SB.BC với SB2 = SA2 + AB21= 16a2 + 9a2 = 25a2 ⇒SB = 5a S SBC = 5a.2a = 5a2 ⇒ a Vậy h = 5a = 12 a [...]... V 3 V( H ) 1 = VC E ' F 'C ' 2 Vậy: S = 4.S Bàai 4 Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 3 ; SB = SC = 4 1> Tính thể tích của khối tứ diện A.SBC 2> Tính diện tích tam giác ABC Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) 1) V A.SBC = 1 1 1 = SA.S SBC = SA .SB.SC 3 3 2 1 3.4.4 = 8 6 (đvdt) 3 A S B I C 2) Gọi h = d( S/(ABC)) VA.SBC = VS ABC h= 1 = h.S ABC... = 1 SA.S 3 ABC 1 1 = SA AB.BC 3 2 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vng tại B, ta có: BC2 = AC2 - AB2 = 13 a2 - 9a2 = 4a2 ⇒ BC = 2a Vậy VS ABC = 1 4a.3a.2a = 4a3 6 S C 4a A 3a b) Gọi h = d(A/(SBC)) 1 h.S SBC Ta có: V S ABC = VA.SBC = 3 3VS ABC ⇒ h= S SBC Theo định lý 3 đường vng góc, BC vng góc với hình chiếu AB của đường xiêng SB nên BC vng góc với SB 1 S SBC = 2 SB.BC với SB2 = SA2 + AB 21= ... = 9 + 16 =25 Vậy AC = 5 2 Tương tự : AB =5 và BC = 4 Vì AB = AC nên tgiác ABC cân tai A Nên AI là đường cao của tam giác ABC   1 SABC = AI.BC 2 Áp dụng đ/lý Pitago trong tam giác vng ABI có: SI2 = SB2 - (BC/2)2 = 52 - (2 2)2 = 17 ⇒ SI = 17 ⇒ S = 2 34 ABC 34 34 Vậy h = 3.8/2 =12 / Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vng ở B Cạnh SA vng góc với đáy Biết AB = 3a, SA = 4a, AC = 13 a a)... có đáy và đường cao bằng nhau nên VC A ' B 'C ' C A 1 = V 3 B E F A' E' C' B' F' Từ đó suy ra 1 2 VC ABB ' A ' = V − V = V 3 3 Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nủa diện tích ABB’A’ Do đó VC ABFE 1 1 = VC ABB ' A ' = V 2 3 b) Áp dụng câu a) ta có V( H ) 1 2 = VABC A ' B 'C ' − VCABFE = V − V = V 3 3 1 CC ' Vì EA’ song song và bằng 2 nên theo định lý Talet,... khối đa diện đều loại: {3; 3}: khối tứ diện đều {4; 3}: khối lập phương {3; 4}: khối bát diện đều (khối tám mặt đều) {5; 3}: khối 12 mặt đều {3; 5}: khối hai mươi mặt đều VII THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN +) Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V =1/ 3 Bh +) Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh +) Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích... = 3 3VS ABC ⇒ h= S SBC Theo định lý 3 đường vng góc, BC vng góc với hình chiếu AB của đường xiêng SB nên BC vng góc với SB 1 S SBC = 2 SB.BC với SB2 = SA2 + AB 21= 16 a2 + 9a2 = 25a2 ⇒SB = 5a S SBC = 5a.2a = 5a2 ⇒ 3 4 a Vậy h = 2 5a 3 = 2 12 5 a ... Trong một số bài tốn ta thường sử dụng kết qủa sau: Cho khối chóp S.ABC Trên SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S Khi đó: VS ABC SA SB SC = VS A'B 'C ' SA' SB ' SC ' B BÀI TẬP Bài 1 Chứng minh rằng một đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nó phải là số chẵn Cho ví dụ Giải: Giả sử đa diện (H) có m mặt Vì mỗi mặt có 3 cạnh nên tổng số cạnh của m mặt là: 3m... (H) Khi đó các đa diện xác định (H) được gọi là các đa diện lồi Một khối đa diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nó ln nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mạt của nó VI KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 1 Định nghĩa: Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu: +) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh; +) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt Vậy các mặt của khối đa diện