Xây dựng và Tính chất Số phức

iệc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công thức tính nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học trong nhiều thế kỉ.. Tổng quát, trên tập hợp số hữ

iệc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công thức tính nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học trong nhiều thế kỉ Chính

từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại số và thúc đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh vực toán học khác

Từ 2000 năm trước Công nguyên, người Ai Cập và người Babilon cổ đạ biết giải các phương trình bậc nhất và một số số trường hợp riêng của các phương trình bậc hai và bậc

ba

Lí thuyết giải phương trình bậc hai được trình bày lần đầu tiên trong cuốn sách “Số học” của Diophantus, nhà bác học cổ Hy Lạp thế kỉ III Cần chú ý rằng vấn đề có nghiệm của phương trình đại số luôn gắn với sự mở rộng các tập hợp số

Tổng quát, trên tập hợp số hữu tỉ mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm nhờ việc

mở rộng từ tập số hữu tỉ sang tập số thực , một lớp các phương trình bậc hai dạng

ax bx c với biệt số b2 4ac 0 có nghiệm

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

2

b x

a

Đã được biết từ thế kỉ thứ VI và điều đó thúc đẩy các nhà toán học đi tìm công thức nghiệm của các phương trình bậc ba, bậc bốn,… Tuy nhiên, phải mười thế kỉ sau ( thế kỉ XVI), công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba và thuật phương trình bậc bốn mới được các nhà toán học Italia tìm ra

Nghiệm của phương trình bậc ba x3 px q 0 (*)được cho bởi công thức sau:

Cadanel đã công bố công thức này năm 1545, trong quyển sách “ Nghệ thuật lớn của phép giải phương trình đại số”

Lẽ dĩ nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng

là không âm

V

Đại lượng cũng được gọi là biệt số của phương trình (*) Tuy nhiên, dễ chỉ ra những phương trình bậc ba với biệt số 0 , mà vẫn có nghiệm thực Chẳng hạn, xét phương trình x3 7x 6 0

Phương trình này có ba nghiệm là 3, 1, 2 nhưng biệt số

0

Điều đó dẫn đến việc thừa nhận biểu thức

Là có nghĩa và các giá trị của nó là 3, 1, 2 , mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của một số âm

Như chúng ta đã thấy, sự thừa nhận có các căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ việc đặt

1

i đã dẫn đến sự ra đời của tập hợp số phức

Như vậy, việc mở rộng các tập hợp số gắn với vấn đề có nghiệm cảu phương trình đại số

đã dừng lại ở tập hợp các số phức

Bài thu hoạch này sẽ trình bày lại cách xây dựng Trường số phức, Tính chất của trường

số phức và vấn đề dạy- học số phức ở trường phổ thông Qua bài thu hoạch này hy vọng

có thể hệ thống lại các kiến thức về Trường số phức, mang lại cái nhìn tổng quan cho việc học tập số phức của học sinh cũng như các định hướng giảng dạy số phức ở trường THPT

Người thực hiện

CHƯƠNG I

TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG SỐ PHỨC

1 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC

1.1 Trường số phức

Xét tập hợp ( , ) ,a b a b trong , ( , ), ( , )a b c d

ta định nghĩa:

 Phép cộng ( ) : ( , ) ( , )a b c d (a b c, d )

 Phép nhân (.) : ( , )( , )a b c d (ac bd ad, bc )

Khi đó không khó để kiểm tra tập cùng với phép cộng và phép nhân nêu trên lập thành một trường

- Phần tử không là (0, 0)

- Phần tử đối của phần tử ( , )a b là ( , a b )

- Phần tử nghịch đảo của phần tử ( , )a b là 2 a 2; 2 b 2

lập thành một trường gọi là trường số phức Kí hiệu là

1.2 Quan hệ giữa và

Ta xây dựng qui tắc tương ứng

: ( , 0)

f

Có thể chứng minh được f là ánh xạ và là một đơn ánh, ngoài ra các phép

toán trên tập số phức phù hợp với các phép toán trên tập số thực:

 ( , 0)a ( , 0)b (a b, 0)

 ( , 0).( , 0)a b ( , 0)ab Điều này cho phép ta xem như trường con của trường hay đồng nhất số

thực a với số phức ( , 0) a

1.3 Dạng đại số của số phức

Bây giờ ta chỉ ra rằng trong tập số phức tốn tại nghiệm của phương trình

Thật vậy, đặt i (0,1) ta có i2 (0,1).(0,1) ( 1, 0), đồng nhất

( 1, 0) với 1 ta có i2 1 i2 1 0

Do đó i (0,1) là nghiệm của phương trình x2 1 0

Với mọi số phức ( , )a b ta có:

( , )a b ( , 0) (0, )a b ( , 0) ( , 0)(0,1)a b a bi

Từ đó ta có thể suy ra:

( , ) ( , ) a c

b d

Như vậy ta đã chứng minh được kết quả sau:

dưới dạng a bi với , a b

Ta gọi biểu thức a bi là dạng đại số của số phức

2 TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG SỐ PHỨC

2.1 Tính không sắp thứ tự của trường số phức

Giả sử là trường được sắp thứ tự theo quan hệ , vớiphần tử

z z ta có z2 0, do đó 1 i2 0

Theo tính chất của trường số sắp thứ tự:

Điều này vô lí vì trong trường sắp thứ tự, phần tử đơn vị là phần tử dương

Do đó trường không thể là trường sắp thứ tự được

2.2 Tính duy nhất của trường số phức

Định lí 2.2.1 Tất cả các trường cucự tiểu( theo qua hệ bao hàm)

chứa trường số thực như là trường con và chứa một nghiệm của phương trình x2 1 0 đều đẳng cấu với nhau

Gợi ý chứng minh định lí

Giả sử cho một trường F chứa trường số thực như là trường con

và chứa 1 nghiệm của phương trình x2 1 0

Gọi nghiệm đó là i , ta có: i2 1 Các phép toán ở đây là các

phép toán xác định trong F Ta hãy tìm trường con cực tiểu của F

chứa và i, kí hiệu trường con đó là ( )i

Mọi trường con của Fchứa và i thì cũng chứa các phần tử có

dạng z a bi với a b, Nếu chứng minh được rằng tập hợp P

chứa các phần tử có dạng ấy lập thành một trường con của trường F

thì ta sẽ có P ( )i

Rõ ràng 1 1 0i nên P Vậy để chứng minh P là một

trường con của F ta chỉ cần chứng minh:

,

x y P thì x y P xy, P và nếu x 0 thì x 1 P

Giả sử x a bi y, c di khi đó ta có:

Nếu x 0 thì có ít nhất 1 trong 2 số a b, khác 0 do đó a2 b2 0

và ta có:

1

( )

Vậy ( )i P a bi a b,

Như vậy mỗi phần tử của ( )i có dạng a bi và biểu diển đó là duy nhất Thậy vậy, giả sử a bi c di thì (a c) (d b i) nếu

d b thì a c

d b , vô lí Vậy d b a c Bây giờ ta sẽ chứng minh trường ( )i đẳng cấu với trường số phức

Xét qui tắc tương ứng

:

Ta chứng minh được là song ánh và là đẳng cấu

Vì tất cả các trường đẳng cấu với một trường đã cho đều dẳng cấu với nhau nên ta có đpcm

CHƯƠNG 2 VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƯỜNG THPT

1 SƠ LƯỢC VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC SỐ PHỨC

1.1 Phân phối và thời lượng

- Nội dung số phức được giảng dạy vào học kì II, cho học sinh lớp 12 ở các trường THPT

- Thời lượng là 9 tiết (tiết 62-70), được chia ra lảm 4 bài học:

 Bài 1: Số phức chiếm 2 tiết

 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức chiếm 1 tiết

 Bài 3: Phép chia số phức chiếm 1 tiết

 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm 3 tiết

2 NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Số phức

2.1.1 Số i

Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc n đều có

nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của

phương trình x2 1 0 Như vậy: i2 1

2.1.2 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức có dạng a bi , trong đó a b, ,i2 1 được gọi là một số phức

Đối với số phứcz a bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của số phức z

Tập hợp các số phức kí hiệu là

2.1.3 Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực bằng phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

b d

 Chú ý:

- Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a a 0i

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Ta có

- Số phức 0 bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi

0

Đặc biệt i 0 1i

Số i được gọi là đơn vị ảo

2.1.4 Biểu diễn hình học số phức

x y

-b

b

a

z=a-bi

z=a+bi

O

Mỗi số phức z a bi hoàn toàn được xác định bởi căp số thực ( ; ) a b

Điểm ( ; )M a b trong hệ trục tọa độ vuông

góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu

diển số phức z a bi

2.1.5 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm ( ; ) M a b trên mặt phẳng

tọa độ

Độ dài của vectơ OM được gọi là

môđun của số phức z và kí hiệu là z

Vậy z OM hay a bi OM

Dễ thấy a bi a2 b 2

2.1.6 Số phức liên hợp

Cho số phức z a bi Ta gọi a bi là số phức liên hợp của z

và kí hiệu là z a bi

Nhận xét :

 z z

 z z

2.2 Cộng, trừ và nhân số phức

2.2.1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ da thức (coi i là biến)

Tổng quát

 (a bi) (c di) (a c) (b d i )

 (a bi) (c di) (a c) (b d i )

2.2.2 Phép nhân

Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i2 1 trong kết quả nhận được

x

y

a

b

O

M

x

y

a

b

O

M

Tổng quát : (a bi c)( di) (ac bd) (ad bc i )

Tính chất : Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân số thực

Cho z z z là các số phức Khi đó ta có : 1, ,2 3

 z1 z2 z2 z 1

 (z1 z2) z3 z1 (z2 z 3)

 z z1 2 z z 2 1

 ( ).z z z1 2 3 z z z 1.( )2 3

 z z1.( 2 z3) z z1 2 z z1 3 z z2 1 z z3 1 (z2 z z 3) 1

2.3 Phép chia số phức

2.3.1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z a bi Ta có :

2

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực

2.3.2 Phép chia hai số phức

Chia số phứcc di cho số phức a bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

c di a bi z Số phức z được gọi là thương trong phép chia c di

cho a bi và kí hiệu là:

c di z

a bi

Tổng quát, giả sử c di

z

a bi Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có (a bi z) c di

Nhân hai vế với số phức liên hợp của a bi , ta được :

(a b z) (ac bd) (ad bc i ) Nhân hai vế với số thực 2 1 2

a b , ta được :

1

Vậy

i

Nói cách khác : 1 1 2

2.4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

2.4.1 Cân bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức i2 1, ta nói i

là một căn bậc hai của 1 ; i cũng là một căn bậc hai của 1 vì

2 ( )i 1 Từ đó, ta xác định căn bậc hai của một số thực a âm là : i a

2.4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với , ,a b c ,a 0

Xét biệt số b2 4ac của phương trình Ta thấy :

 Khi 0 , phương trình có một nghiệm thực

2

b x

a

 Khi 0, có hai căn bậc hai thực của là và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt :

b x

a

 Khi 0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của Tuy nhiên, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của

là i Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức :

b i x

a

Nhận xét :

- Trên tập số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

- Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc

( 1)

1

1 1 0 0

Trong đó a a0, , ,1 a n ,a n 0 đều có n nghiệm phức(các nghiệm

không nhất thiết phân biệt)

Đó là định lí cơ bản của Đại số

3 MỘT SỐ NỘI DUNG SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

3.1 Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi là một căn bậc hai của w

y



E

O

Có thể tìm căn bậc hai của số phức như sau:

a Trường hợp w là số thực

Nếu w 0 thì căn bậc hai của w là w

Nếu w 0 thì căn bậc hai của w là i w

b Trường hợp w a bi a b,( , ),b 0

z x yi x y là căn bậc hai của wkhi và chì khi z2 w , tức là

(x yi) a bi x y 2xyi a bi

Do đó để tìm số phức z ta tìm các cặp số thực ( , ) x y là nghiệm của hệ i i

phương trình:

2

xy b

Vậy căn bậc hai của số phức w a bi là z i x i y i i

Nhận xét: mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối của nhau

3.2 Phương trình bậc hai hệ số phức

Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai

Trong đó , ,A B C là các số phức, ( A 0)đều có hai nghiệm phức(có thể trùng nhau) Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp , ,A B C là những số thực Cụ thể là:

Xét biệt thức A2 4AC

 Nếu 0 thì phương trình có hai ngiệm phân biệt:

A A trong đó là một căn bậc hai của

 Nếu 0 thì phương trình có nghiệm kép:

B

A

3.3 Dạng lượng giác của số phức

Sau đầu thế kỉ XVIII, A De Moivre, 1667 – 1754, người Anh) tìm ra đuọng mối liên hệ giữa căn của số phức với lượng giác

3.3.1 Acgumen cùa số phức z 0

Cho số phức z 0 Điểm M biểu diễn cho số phức z

Số đo (radian) của góc lượng giác tia đầu Ox ,

tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

Nếu z a bi thì

sin b, cos a; tan b

Trong đó r z

3.3.2 Dạng lượng giác của số phức

Xét số phức z a bi 0,( ,a b )

(cos sin )

z r i được gọi là dạng lượng giác của số phức z

 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z r(cos isin ),z r (cos isin ) thì

i

3.3.3 Công thức Moivre

Cho số phức z r(cos isin ) Ta có:

Mở rộng ta tìm được căn bậc n của số phức z r(cos isin )

Gọi w là căn bậc n của số phức z r(cos isin )

4 Dạy và Học nôi dung số phức ở trường THPT

Việc day học số phưc nên theo một trình tự nhất định :

 Cấu trúc của hệ thống số phức

 Các phép toán cộng và nhân trên Số phức liên hợp và số phức nghịch đảo

 Số phức bằng nhau

 Căn bậc hai của số phức

 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

 Giải phương trình bậc hai với hệ số phức

 Bài tập

Cụ thể như sau chúng ta có thể dạy các nội dung như sau :

Tiến trình đưa vào đối tượng số phức : Dạng đại số của số

phức và ứng dụng

Biểu diễn hình học của số phức và ứng dụng

2 Các phép toán trên số phức

 Phép cộng, trừ và nhân

Ngay sau khi đưa vào định nghĩa số phức, phép toán cộng và nhân ban đầu được giới thiệu một cách “hình thức” theo phép cộng và nhân các

đa thức:

Phép toán ( ) và giữa các phần tử của được xác định một

cách hình thức theo quy tắc cộng, nhân các biểu thức tuyến tính a bi (i là biến) với i được thay thế bằng 1 2

 Phép chia

Phép chia không được đề cập đến một cách trực tiếp mà chỉ được đề cập gián tiếp thông qua ví dụ

 Phép lũy thừa

Phép luỹ thừa được đưa vào chủ yếu khi đã giới thiệu biểu diễn hình học của số phức Nên đề cập nhiều đến luỹ thừa của các số phức khi đã được viết dưới dạng môđun/argument, luỹ thừa của số phức ở dạng đại

số hầu như không được quan tâm tới, trừ một số bài tính toán tới luỹ thừa 2, 3 đơn giản

 Phép khai căn

Căn bậc hai của số phức được đưa vào qua cái ví dụ tìm số phức z sao

cho z2 w

3 Phương trình bậc hai

SGK đưa vào cả phương trình bậc hai với hệ số thực và phương trình bậc hai với hệ số phức Vấn đề ở đây không phải là xây dựng công thức nghiệm bởi công thức nghiệm không thay đổi với phương trình bậc hai

có nghiệm thực thông thường Vấn đề ở đây là giải quyết trường hợp biệt thức 0

4 Biểu diễn số phức :

Biểu diễn số phức bằng một điểm Biểu diễn hình học của số phức được đưa vào ngay sau khi nhận xét rằng có một tương ứng mộtmột giữa số phức z a bi với một cặp số thực có thứ tự ( , )a b

“Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau Như vậy có tương ứng một một giữa số phức

z a bi với một cặp số thực có thứ tự( , ) a b Điều này dẫn tới việc người ta dùng điểm A với tọa độ Đề-các ( , ) a b để biểu diễn số phức

z a bi ”

 KẾT LUẬN :

Số phức được đưa vào SGK 12CB theo trình tự như sau :

Như vậy, trình tự xuất hiện của số phức trong lịch sử đã được noospheer chuyển đối Tronglịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế công cụ và chỉ là các kí hiệu hình thức chứ chưa có nghĩa đại số hay hình học cụ thể, còn trong thể chế dạy học SGK 12CB,

số phức đi theo trình tựngược lại Dạng đại số của số phức, trong lịch sử xuất hiện cuối cùng thì trong thể chế được giớithiệu đầu tiên, số phức lúc bấy giờ đóng vai trò đối tượng nghiên cứu Khi các khái niệm liên quancùng các phép toán đã được giới thiệu thì mới kết thúc vai trò đối tượng của số phức để chuyển sang cơ chế công cụ: ứng dụng số phức

để giải phương trình bậc hai với hệ số thực Cách thức chuyển đổi này cũng thường gặp trong quá trình chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri thức giảng dạy, nhằm mục đích sư phạm

Hết