Tài liệu tham khảo trường điện từ

Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích dS1,dS2,dS3,coi J không đổi trên mỗi

CHƯƠNG 1 :

MỞ ĐẦU 1.CÁC ĐẠI LƯỢNG VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ

Nhiều đại lượng vật lý như diện tích S ,khối lượng m, nhiệt độ T,điện trở R…hoàn toàn

xác định bởi trị số của chúng Những đại lượng này gọi là đại lượng vô hướng Các đại lượng khác như vận tốc v , lực F ,cường độ điện trường E ,cảm ứng từ B …chỉ được xác định hoàn toàn nếu biết trị số và cả hướng của chúng Đó là những Đạ i lượng vectơ

Một hàm toán học hoặc một phát hoạ bằng đồ thị dùng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng trong một miền cho trước được coi là sự thể hiện một Trường của đại lượng này trong miền đã cho Tuỳ thuộc lượng là Vô hướng hay Vectơ ,tương ứng ta có Trường vô hướng hay Trường Vectơ

Đối với Trường vectơ không chỉ cần mô tả trị số vectơ mà cả hướng của vectơ thay đổi như thế nào theo vị trí trong không gian Một cách tiện lợi ,có thể mô tả quy luật biến đổi các thành phần của một vectơ thay vì mô tả chính vectơ đó.Chẳng hạn ,có thể biểu diễn

vectơ A (x,y,z,t) dạng :

A (x,y,z,t) = A x (x,y,z,t) i x + Ay (x,y,z,t) i y + Az (x,y,z,t) i z

(i , x i , y i là các vec tơ đơn vị ).Như vậy,ta đã đưa bài toán mô tả trường vec tơ A về bài z

toán mô tả các trường vô hướng của các thành phần Ax, Ay, Az

Phát hoạ bằng đồ thị thể hiện một trường vectơ là các đường cong có hướng gọi là đường

sức Tại mỗi điểm trên đường sức,vec tơ đặc trưng cho đại lượng khảo sát tiếp xúc với đường sức tại điểm đó,chiều của đường sức là chiều của vec tơ ,mật độ ( mau, thưa ) của đường sức dùng để chỉ sự thay đổi trị số của vec tơ

độ cong ,tiện lợi cho việc so sánh 2 hệ toạ độ

Gọi dl1 , dl2, dl3 là những yếu tố dài trên các đường toạ độ u1, u2, u3; vì yếu tố dài trên đường toạ độ không nhất thiết bằng độ tăng vi phân của toạ độ tương ứng nên có thể viết : dl1= h1du1

dl2 = h2du2

dl3 = h3du3

Trong đó hệ số h1 , h2, h3 gọi là hệ số Larmor (hay còn gọi là hệ số metric)

Toạ độ Vec tơ đơn vị Hệ số Larmor

3 2 1

3 2 1

B B B

A A A

i i i

Độ tăng vi phân của từ điểm P(x,y,z) tới điểm Q(x + dx, y + dy, z + dz):

df dz

z

f dy y

f dx x

f

∂

∂+

∂

∂+

A dx x

A A

∂

∂+

∂

∂+

Theo định nghĩa , tích phân đường của hàm F theo đường C bằng:

F dl F dl

C i n

C

∫ là lưu số của F theo C

1.4.2 Tích phân mặt

Nếu biết mật độ thông lượng của một đại lượng vật lý nào đó tại mọi điểm trên mặt

S, ta dùng tích phân mặt để xác định thông lượng của đại lượng này gửi qua mặt S cho

trước Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường

độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích dS1,dS2,dS3,coi

J không đổi trên mỗi yếu tố diện tích này, cường độ dòng I bằng tích phân mặt:

I= lim

n

I i n

Chia thể tích V thành những yếu tố thể tích dV ,d1 V … coi mật độ điện tích khối 2 ρ

trong mỗi yếu tố thể tích này không đổi, điện tích q trong thể V tính theo tích phân thể tích:

q= →∞∑ =∫

V i i

nlim ρdV ρdv

Tích phân thể tích là tích phân 3 lớp vì dv là tích của 3 yếu tố dài

Ví dụ:Điện tích phân bố trong hình cầu bán kính a, tâm ở gốc tọa độ cầu, với mật độ điện tích khối:

1.6 CÁC VECTƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Các quá trình Điện Từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng cho

Trường Điện Từ : vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ trường từ H

Các vectơ này nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian , chúng liên hệ với nhau và liên hệ với điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định Những quy luật này được phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình liên hệ

1.6.1 Vectơ cường độ trường điện E và vectơ cảm ứng điện D

Điện tích thử q đặt trong Trường Điện chịu tác dụng lực điện F Tại mỗi điểm e

của Trường Điện , tỷ số ( F e/q ) là một đại lượng không đổi , được gọi là Cường độ trường điện tại điểm đó :

e

F E q

Khi đặt điện môi vàoTrường Điện , điện môi bị phân cực Mức độ phân cực điện môi

được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P

Vectơ phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm ,chính là

moment dipole điện của một đơn vị thể tích điện môi bao quanh điểm đó

0

lim

V

P P

 

 

 

P

∆ : moment dipole điện của điện môi thể tích V∆ Liên hệ với vectơ phân cực

điện P , vectơ cảm ứng điện D được định nghĩa bởi hệ thức :

lớn , vectơ phân cực điện P tỷ lệ với cường độ trường điện E :

0 e

P=ε x E ; xe là độ cảm điện của môi trường

0 0

1.6.2 Vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ từ trường H

Vectơ cảm ứng từ B được định nghĩa dựa trên lực từ F tác dụng lên điện tích m

thử q chuyển động với vận tốc v trong Trường Từ :

Khi v vuông góc với B lực từ đạt cực đại , khi đó cảm ứng từ B tính qua lực từ

cực đại này :

(max)

Khi đặt từ môi vào Trường Từ , từ môi bị phân cực Mức độ phân cực từ môi

được đặc trưng bởi vectơ phân cực từ M Vectơ phân cực từ xác định trạng thái phân

cực từ tại mỗi điểm của từ môi , chính là moment từ của một đơn vị thể tích từ môi bao

 

 

 

m

∆ là moment từ của từ môi thể tích V∆

Liên hệ với phân cực từ M , vectơ cường độ trường từ H được định nghĩa bởi hệ

lớn , vectơ phân cực từ M liên hệ với vectơ cường độ trường từ H theo hệ thức :

m

M =x H ; x là độ tự cảm của môi trường m

0 0

Đối với tính chất Thuận từ và Nghịch từ độ cảm từ x là hằng số (xem bảng m

dưới) , đối với chất sắt từ x phụ thuộc cảm ứng từ B m

độ điện tích khối ρtrong vật dẫn bằng 0

Cường độ dòng điện I chảy qua mặt S được định nghĩa :

0

lim

t

q I

∆ : Điện tích chuyển qua mặt S trong thời gian t∆

Mật độ dòng điện J là một vectơ , tại mỗi điểm có hướng chuyển động của điện

tích dương tại điểm đó , độ lớn bằng

0

lim

S

I J

 

 

 

∆ : Cường độ dòng điện chảy qua S∆ đặt vuông góc với dòng điện

Từ khái niệm mật độ dòng điện , có thể tính dòng điện chảy qua mặt S bất kỳ :

γ : độ dẫn điện của môi trường (S/m)

2 KHÁI NIỆM VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

2.1 KHÁI NIỆM CHUNG

Hiện tượng Điện Từ rất phổ biến và giữa vài trò cực kỳ quan trọng trong tự nhiên Hầu hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học … đều là kết quả tương tác Điện Từ giữa các nguyên tử, phân tử

Cho đến nay người ta biết có 4 dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác Điện Từ, tương tác hấp dẫn, tương tác mạnh và tương tác yếu Các tương tác khác đều có thể quy

về 4 dạng tương tác này Tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện mạnh hơn rất nhiều

tương tác hấp dẫn giữa chúng (lực điện giữa 2 electron mạnh hơn lực hấp dẫn giữa chúng gấp 1043 lần) Tương tác mạnh xảy ra trong phạm vi kích thước của hạt nhân(10-15 m) Tương tác yếu xảy ra giữa các hạt cơ bản trong các quá trình chuyển hóa nhất định Vì vậy trong thực tế đời sống và kỹ thuật, tương tác Điện Từ giữ vai trò chủ yếu.Mỗi dạng

tương tác có một Trường tương ứng Tương tác Điện Từ thông qua Trường Điện Từ Mỗi

hạt hoặc vật mang điện tao ra một Trường Điện Từ, hạt hoặc vật mang điện thứ hai đặt trong Trường này chịu tác dụng một lực điện từ Hạt hoặc vật mang điện thứ hai cũng tạo

ra một Trường Điện Từ, trường này tác dụng lực điện từ lên hạt hoặc vật mang điện thứ nhất Kết quả: có sự tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện hoặc vật mang điện Trường Điện Từ là dạng vật chất bao quanh các điện tích đứng yên cũng như chuyển động Trường Điện Từ mang năng lượng xác định, năng lượng này có thể chuyển hoá thành các dạng năng lượng khác như: năng lượng hoá học, nhiệt, chuyển động cơ học… Khối lượng của Trường Điện Từ được xác định từ hệ thức Einstein:

E = mc2

E: năng lượng Trường Điện Từ

m: khối lượng Trường Điện Từ

c: vận tốc ánh sáng trong chân không.

Vì c2 rất lớn nên mật độ khối lượng của Trường Điện Từ rất nhỏ, thường người ta không

để ý đến đặc trưng khối lượng mà chỉ quan tâm đến đặc trưng năng lượng của nó

Trong các thiết bị Vô tuyến điện, Kỹ thuật điện… có các quá trình biến đổi và truyền năng lượng Điện Từ Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp tính Trường Điện Từ cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng có ý nghĩa thực tế to lớn

Trong Lý thuyết mạch, các thông số của mạch như điện trở R, điện cảm L, điện dung C… coi như đã cho Tuy nhiên, để tính những thông số này cần biết những khái niệm và cách

tính của Lý thuyết Trường Điện Từ

2.2 NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

2.1.1 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG ĐIỆN

Định luật Gauss là một trong những định luật cơ bản của lý thuyết trường điện từ

Thông lượng của các vectơ cảm ứng điện D gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điện tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S

S

∫

2.2.2 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG TỪ

Thông lượng của các vectơ cảm ứng từ B gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng 0

0

S B dS= ∫ 2.2.3 ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ FARADAY Định luật cảm ứng điện từ Faraday thiết lập mối liên hệ giữa trường từ biến đổi theo thời gian và trường điện phân bố trong không gian do sự biến đổi của trường từ gây ra Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi vòng dây C S d EdI BdS dt = − ∫ ∫ 2.2.4 ĐỊNH LUẬT LƯU SỐ AMPÈRE – MAXWELL Định luật lưu số Ampère – Maxwell hay định luật dòng điện toàn phần , thiết lập liên hệ giữa cường độ trường từ H và dòng điện toàn phần tạo nên trường từ Lưu số của vectơ cường độ trường từ H theo đường kín C tùy ý bằng tổng đại số cường độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C C H dI =∑I ∫ 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ Trường điện từ biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell : rot = + (1)

rot = − (2)

div = 0 (3)

div = ρ (4)

Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:

= ε , = µ , = γ

Hệ phương trình Maxwell có một ý nghĩa cơ bản và quan trọng trong lý thuyết trường điện từ, nó mô tả đầy đủ quan hệ giữa các biến , , ,E B D H J , mô tả dạng hình học ,

của trường điện từ và quan hệ giữa trường và môi trường chất ở mọi chế độ tĩnh, dừng

và biến thiên

3.1 Hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện

và từ của trường điện từ biến thiên.

Các mối quan hệ ấy đặc biệt gắn bó khăng khít với TĐT biến thiên và lỏng lẻo hơn khi trường biến thiên chậm hoặc không đổi

Thực vậy, đối với TĐT biến thiên, phương trình (1) nêu rõ : những vùng có điện

trường biến thiên, tức là có mật độ dòng điện J D

t

∂+

∂ biến thiên thì ở đó có từ trường và

từ trường có tính chất xoáy ( vì rotH ≠0) Mặt khác, phương trình (2) nêu rõ những vùng có từ trường biến thiên ( B 0

t ), phương trình (1) có vế phải bằng J nêu rõ từ trường vẫn phụ thuộc vào sự

phân bố dòng điện dẫn Nhưng phương trình (2) có vế phải triệt tiêu, nêu rõ sự phân bố điện trường và dòng điện không phụ thuộc từ trường nữa: mối quan hệ giữa điện và từ bớt mật thiết Đặc biệt vì rotE=0, nên điện trường có tính chất thế, không có tính chất

xoáy nữa Nhưng vì rotH =J, từ trường vẫn có tính chất xoáy ở những vùng có dòng điện và chỉ có tính chất thế ở những vùng không có dòng điện

3.2 Hai phương trình Maxwell 3 và Maxwell 4 mô tả hình học của hai mặt thể hiện điện trường và từ trường

Thực vậy, phương trình Maxwell 3 dạng divB=0 nêu rõ : dòng vectơ từ cảm B luôn chảy liên tục Với mọi mặt kín S thì thông lượng vectơ B chảy ra và chảy vào luôn bằng nhau, không có vùng nào là xuất phát hay tận cùng của vectơ B Đó là dạng hình học của

trường vectơ từ cảm B

Phương trình Maxwell 4 với: divD=ρ nêu lên một dạng hình học khác Thông

lượng của vectơ D chảy qua một mặt kín S bằng lượng điện tích tự do bao trong mặt ấy Vậy đối với trường vectơ D có thể có những vùng xuất phát là vùng có phân bố ρ>0

và những vùng tận cùng là những nơi có phân bố ρ<0 Nó có thể chảy không liên tục,

không khép kín các nơi như vectơ B Đó là dạng hình học của trường vectơ D

3.3 Các phương trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trường và Môi trường chất

Nhìn chung sự gắn bó Trường-Chất thể hiện ở những hệ số của phương trình , , ,ε µ ρ γ là những biến và thông số hành vi của trường Với những hệ số khác nhau, sẻ có những dạng phương trình khác nhau, và do dó quy luật tương tác của hệ cũng khác nhau

CHƯƠNG 2:

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH

1 KHÁI NIỆM TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

Trường điện từ tĩnh là trường gắn với môi trường mang những điện tích phân bố tĩnh Trường Điện Từ tĩnh thoả mãn 2 diều kiện sau:

1) Các đại lượng điện từ E , D B , H , J …không thay đổi theo thời gian Do đó đạo ,hàm riêng theo thời gian các đại lượng này đều bằng không

2) Không có sự chuyển động của các điện tích, nghĩa là không có dòng điện, mật độ

H rot

H

B=µ

Vì lý do thông dụng và sự tương tự trong các mô tả toán học, giáo trình này chỉ khảo

sát Trường Điện tĩnh – đ ó là trường điện không thay đổi theo thời gian của các điện tích

Đó chính là nghiệm của phương trình : rotE=0 (vì rotgradϕ = 0)

Dấu trừ chứng tỏ quy ước chọn chiều của vectơ cường độ điện trường E là chiều

giảm của điện thế ϕ

∂

∂+

(J)

Hoặc : We 1 2 1

q CU

C

= = Với C là điện dung của tu điện:

C = q

U

= (F)

3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

3.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON-LAPLACE

Phương trình vi phân đối với thế điện ϕ được dẫn ra từ phương trình Maxwell: div D=ρ

Thay D=εE và E= −gradϕ

div( ε gradϕ)= −ρ

Nếu miền khảo sát là môi trường đồng nhất(ε =const) thì:

div gradϕ = −ρ/ε

Hay ∆ϕ =−ρ/ε : phương trình Poisson

Với ∆ là toán tử Laplace, trong hệ toạ độ Descartes:

Δφ = ϕ ϕ ϕ2 ρ/ε

2 2 2 2

∂

∂+

∂

∂

z y

Một tụ điện phẳng có bề dày d ( lấy theo chiều x) đặt dưới

điện áp U sao cho ϕ(0)=0 và ϕ(d)=U

Hãy tìm sự phân bố thế ϕ và cường độ trường trong tụ

Giải:

Dùng tọa độ Descartes, do tụ phẳng nên phân bố thế ϕ chỉ

phụ thuộc vào tọa độ x, tức là các thành phần =0

C

ϕϕ

d U

C1= và C = 0 2

Kết quả sự phân bố thế ϕ trong tụ có dạng phương trình:

x d

2ε

−

=

=

2 1 2 0

2

2

0

C d C d U

C

ερ

Giải hệ này sẽ được:

0

2

2

0 1

U C

ερ

Do đó, sự phân bố thế trong tụ sẽ có dạng là:

x d d

−

=

0 2

ρε

ρϕ

Phân bố cường độ trường trong tụ sẽ là:

ρϕ

Ví dụ 2 – 3 :

Vẫn bài toán tụ điện phẳng (ví dụ 2 – 1), nhưng với giả thiết giữa hai bản cực của

tụ có hai lớp cách điện ( điện môi) có thông số ε1 và di, ε2 và d2

Hãy tìm sự phân bố ϕ(x), E(x) ?

Giải :

Giả thiết trong hai miền 1 và 2 của tụ không có phân bố điện tích tự do, nên phương trình Laplace và nghiệm tổng quát có dạng:

ϕ = C1 x + C2

Gọi sự phân bố thế trong mỗi miền là ϕ1 (x) và ϕ2(x) thì:

1εε

1 2

3.2 PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS

Khi điện trường thể hiện tính chất xuyên tâm hình cầu, hoặc đối xứng qua trục hình trụ, thì có thể tránh được việc giải phương trình Laplace-Poisson (dạng vi phân) bằng cách vận dụng ngay luật Gauss (dạng tích phân) để tính toán trường

Đã biết rằng, với một điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm với vật dẫn, thì điện trường sẽ có

tính chất đối xứng xuyên tâm rõ rệt Lúc đó, các lượng E, D, ϕ… chỉ sẽ phụ thuộc vào khoảng cách R đến tâm cầu

Còn đối với một trục mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, thẳng, dài vô hạn đặt trong môi trường điện môi nhiều lớp hình trụ đồng trục, thì điện trường sẽ đối xứng qua trục và các đại lượng E, D, ϕ…sẽ chỉ phụ thuộc riêng khoảng cách r đến trục

a Điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu:

r

π

=

2 2

4

Q E

r

π ε

= Như vậy trường điện bên ngoài quả cầu giống như trường của điện tích điểm Q đặt tại tâm quả cầu

= Với ρ là mật độ điện tích khối

Thế điện được xác định theo hệ thức :

( )

r

ϕ =∞∫

ε

∞

=∫

3

2( )3

a r

r

ρϕ

2 2 1

Ở trường này các đại lượng E, D, ϕ… chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục, và chỉ

có thành phần xuyên trục: E=Er và D=Dr .Để tính E(r) và D(r), hãy lấy một trụ tròn S có

bán kính r và chiều dài l đồng trục với vật dẫn

Áp dụng luật Gauss cho mặt S ta có:

Hình trụ kim loại thiết diện tròn bán kính a , dài L mang điện tích Q đặt trong môi

trường đẳng hướng đồng nhất có ε=const.Xác định cường độ trường điện E và thế điện

ϕ bên trong và bên ngoài hình trụ

Giải:

Cường độ trường điện bên trong hình trụ bằng không E =0 ; thế điện tại mọi điểm trên

hình trụ đều bằng nhau.Bên ngoài hình trụ trường có tính đối xứng.Cường độ trường điện

E bên ngoài hình trụ vuông góc với trục và có giá trị như nhau tại tất cả các điểm cách

đều trục.Chúng ta vẽ mặt kín S là mặt trụ cùng trục,thiết diện tròn bán kính r>a ,dài L,các đáy là S1 và S2 Áp dụng định luật Gauss ta có:

Vì ở đáy S1 và S2 vecto cảm ứng điện D và vecto d S vuông góc nên các tích phân lấy

theo hai đáy bằng không,do đó:

D πrL=Q

2

Q D

rL

πε

= Hay

ta nhận thấy cường độ trường điện và thế điện chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm

xét đến trục mà không phụ thuộc vào bán kính thiết diện a của hình trụ dẫn.Điều đó cho

phép khi nghiên cứu trường của hình trụ dẫn mang điện có thể thay thế bằng trục mang

điện

Ví dụ:

Một dây cáp đồng trục có hai lớp cách điện với bán kính: lõi trong a1, đến bờ ngăn cách

hai lớp điện môi a2 và đến vỏ ngoài a3 được đặt dưới điện áp U Hãy tìm sự phân bố ,E D

và điện dung C trên một đơn vị dài (l=1)của dây?

Giải:

Gọi q là điện tích trên một đơn vị dài của lõi dây cáp

Do tính đối xứng qua trục mà các đại lượng D, E chỉ có thành phần bán kính và phụ

thuộc r Áp dụng định luật Gauss ta có:

q r

r

ϕ

πε

=

Thế điện gây bởi hệ n điện tích điểm q1,q2,….qn theo nguyên lý chồng trường là tổng đại số các thế điện gây bởi từng điện tích điểm riêng biệt:

1

1( )4

n i

i i

q r

4

dq d

r

ϕπε

ϕ

πε

= ∫

môi-vật dẫn),hoặc các điện tích phân cực (nếu đó là biên giới của hai môi trường điện môi khác nhau).Khi tính trường điện phải kể đến các điện tích cảm ứng và các điện tích phân cực này.Vì sự phân bố của chúng trong không gian không xác định dễ dàng nên không tiện áp dụng nguyên lý chồng trường để tìm sự phân bố cường độ điện trường và thế điện.Trong trường hợp này người ta áp dụng phương pháp ảnh điện để giải bài toán trường điện tĩnh

Nội dung phương pháp ảnh điện là tìm cách thay hai hay nhiều môi trường khác nhau bằng một môi trường đồng nhất ,đồng thời đưa thêm vào môi trường đồng nhất những điện tích mới sao cho cùng với điện tích ban đầu bảo đảm điều kiện biên như trước Do tính chất duy nhất nghiệm của bài toán bờ,nghiệm của bài toán thay thế cũng

là nghiệm của bài toán ban đầu cần tìm vì điều kiện biên vẫn như cũ,nhưng bài toán thay thế xét trong môi trường đồng nhất nên đơn giản hơn bài toán ban đầu.Các điện tích đưa thêm vào liên quan với các điện tích ban đầu theo một quy luật nào đó nên được gọi là các điện tích ảnh của điện tích ban đầu,cũng chính vì thế phương pháp này được gọi là phương pháp ảnh điện

Trong thực tế, ta thường gặp là phải giải bài toán điện trường trong miền V1 thuộc môi trường 1 giới hạn bởi bờ S tiếp giáp với miền V2 thuộc môi trường 2 với những điều kiện hỗn hợp trên bờ S Việc giải bài toán bờ thường là khó khăn Trong một số trường hợp khi bờ có những dạng hình học đơn giản (như phẳng, trụ, cầu), đặc biệt khi bờ S là bờ dẫn, tức là mặt đẳng thế, thì có thể tìm cách đưa về một bài toán đơn giản hơn

Nội dung của phương pháp được nêu ra ở đây là: tìm cách thay thế (bỏ) môi trường 2 và lấp đầy miền V2 bằng môi trường 1 để toàn không gian là đồng chất Sau đó, tìm cách đưa thêm vào miền ấy một số điện tích phân bố như thế nào đó sao cho những điện tích này cùng với những điện tích ban đầu đặt trong không gian đồng chất ấy vẫn đảm bảo đúng những điều kiện bờ vốn có ở trên bờ S Theo tính duy nhất của nghiệm bài toán bờ, hàm thế tìm được như vậy cho miền V1 sẽ chính là nghiệm cần tìm cho miền

V1.Vì bài toán thay thế này có toàn không gian là đồng nhất, nên thường đơn giản hơn bài toán ban đầu Những điện tích mới đưa thêm vào môi trường đã bị thay bỏ thường liên quan với những điện tích ban đầu theo những quy luật ban đầu Do đó, phương pháp này còn được gọi là phương pháp soi gương điện tích

Thường gặp trong thực tế là điện trường của những điện tích đặt trong nữa không gian điện môi V, nữa không gian còn lại là một môi trường rộng lớn Bờ ngăn cách hai môi trường là một mặt phẳng S Ví dụ: Điện trường của những điện tích điểm, vật dẫn, đường dây mang điện đặt trong không khí bên trên mặt đất

Vậy tóm lại, để tính điện trường trong miền V, ta lấp đầy không gian bằng môi trường điện môi và “soi gương” có đổi dấu các điện tích qua mặt S Sau đó, chọn các phương pháp tính thích hợp để tính trường trong miền V

Do tính đối xứng qua mặt S, điện trường trên mặt S chỉ có thành phần Ez và phụ thuộc tọa độ r, tức Ez(r)

Ứng dụng luật Gauss, sẽ tính được:

Cường độ điện trường tổng bằng tổng các vecto, tức là:

Từ đó, suy ra mật độ điện tích tự do mặt sẽ là:

CHƯƠNG 3 : TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 1.KHÁI NIỆM

Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho trường không phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi với mật độ dòng J Trong hệ phương

Có thể tách các phương trình trên thành hai nhóm độc lập nhau:

các phương trình rot H =J, divB=0, B=µH mô tả trường từ dừng gây bởi dòng điện

dẫn không đổi theo thời gian

các phương trình còn lại, mô tả trường điện dừng Có thể chia trường điện dừng thành

2.TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG VẬT DẪN

2.1 Điều kiện duy trì trường điện từ trong vật dẫn

Khi môi trường dẫn khép kín với các cực của một nguồn điện từ, thì trong vật dẫn

sẽ có một dòng điện chảy liên tục của các hạt mang điện Đó là vì trường điện từ

đã tiếp năng lượng cho các hạt mang điện trái dấu chuyển động ngược chiều nhau,

chúng không tích tụ, không phân bố trường tĩnh, mà chảy khép kín qua nguồn tạo thành một dòng chảy liên tục

Qua đó , nhận thấy rằng phải có hai điều kiện để duy trì dòng điện một chiều, tức là duy trì trường điện dừng trong vật dẫn Đó là :

- Điều kiện bờ : Môi trường dẫn phải khép kín qua nguồn

- Điều kiện nguồn : phải tồn tại nguồn có khả năng cung cấp năng lượng

một cách liên tục và không đổi truyền đến ( qua môi trường điện môi ) tiếp cho các hạt mang điện tích tụ do thuộc kết cấu của môi trường dẫn

2.2 Các tính chất của trường điện từ dừng

Từ điều kiện tồn tại mà suy ra được các tính chất của trường điện dừng trong vật dẫn

- Tiêu tán năng lượng

Sự tồn tại trường điện dừng trong vật dẫn thể hiện sự tác động lực và cung cấp năng lượng cho các điện tích tự do chảy trong vật dẫn Thường kèm theo quá trình năng lượng tiêu tán biến thành nhiệt năng

Công suất tiêu tán năng lượng trong một đơn vị thể tích của vật dẫn là :

rotE = 0 hoặc E = - gradϕ

Vì trường điện dừng trong điện môi bao quanh vật dẫn không khác về mặt bản chất với trường điện tĩnh trong điện môi , nên khác về cơ bản , các quy luật , hiện tượng , phương trình và phương pháp tính cũng giống như trường điện tĩnh đã khảo sát vì vậy ,ở đây chỉ khảo sát trường điện dừng trong vật dẫn

phương trình tổng quát của trường điện dừng viết cho thế ϕ là :

divgradϕ = ∆ϕ = 0

nội dung tính toán trường điện dừng thông qua hàm thế ϕ là giải bài toán bờ theo phương trình laplace

điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt phân chia hai môi trường dẫn

Từ phương trình rotE = 0 suy ra :

τ

ϕγτ

Sự tương tự giữa trường điện dừng trong môi trường dẫn với trường điện tĩnh

Trường điện dừng trong môi trường

So sánh các phương trình và điều kiện biên giữa, trường điện dừng trong môi trường dẫn

và trường điện tĩnh ở miền không có điện tích tự do (ρtd =0) như ở bảng 1, ta thấy chung tương tự nhau về mặt mô tả toán học

Ta có thể rút ra nhận xét sau đây:

-Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh để tính trường điện dừng

-Biết nghiệm của một bài toán trường điện tĩnh có thể suy ra nghiệm của bài toán trường

điện dừng tương ứng bằng cách thực hiện phép đổi lần

Ví dụ :

Tụ điện phẳng 2 lớp cách điện (điện môi thực) như hình vẽ Diện tích mỗi bản cực là S Lớp cách điện γ1=const dày d1, lớp cách điện γ2 =const dày d2 Đặt tụ điện dưới hiệu điện thế U=const Tìm phân bố của ,E J trong 2 lớp cách điện Tính dòng điện rò chảy

qua tụ Suy ra dòng điện dẫn rò, điện trở cách điện của tụ

Từ điều kiện biên J1n =J2n suy ra J1 =J2 =J

Hiệu điện thế hai bản cực:

Suy ra: 1 2

1 2 1 2 2 1

1 2

U U

2 1

1 1 2 2 1

1 2

2 1 2 2 1

U J

E

E

U J

2 1

1 1 2 2 1

1 2

E

E

U D

γ

= Khi đó bài toán trường điện tĩnh tương ứng là tụ điện phẳng 1 lớp điện môi lý tưởng ε1=

ε2= ε, suy ra điện dung là:

a a

Thì có thể suy ra biểu thức điện trở cach điện của một dây cáp hai lớp cách

điện hoặc của chính tụ điện vừa nêu là :

ln

1ln

12

11

a

a a

a l

g

R

γγ

1

2

ln2

1

a

a l R

πγ

Trường điện quanh vật dẫn nối đất

Trong kỹ thuật người ta thường nối đất vỏ các động cơ, vỏ biến thế, điểm trung tính của hệ ba pha… Để nối đất người ta nối bằng dây dẫn điện cần nối đất với vật dẫn bằng kim loại chôn sâu trong đất gọi là điện cực nối đất Kích thước và hình dạng điệ cực tùy theo yêu cầu cụ thể kỹ thuật, Khi nối đất có dòng điện chạy từ điện cực vào đất tới 1 điện cực khác hoặc tới một điểm mà tại đó điện cực chạm đất Như vậy dọc theo bề mặt đất có dòng điện chảy, và do đất có điện trở nên giữa hai điểm trên bề mặt đất ở lân cận điểm nối đất có 1 hiệu điện thế nào đó Người ta định nghĩa điện áp bước Ub là hiệu điện thế giữa hai điểm trên mặt đất cách nhau một khoảng bằng bước chân người (khoảng 0,8m) Trong kỹ thuật an toàn điện, cần chọn hệ thống nối đất sao cho điện áp bước Ub

không vượt quá giới hạn có thể gây nguy hiểm cho người

Độ dẫn điện của điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của đất, nên khi tính toán trường điện trong đất, có thể xem bể mặt của điện cực là đẳng thế,

Nếu các điện cực đặt cách nhau rất xa thì khi tính toán trường điện quanh 1 điện cực nối đất, có thể bỏ qua ảnh hưởng các điện cực khác xem như nó nằm cô lập trong môi trường đất bán vô hạn, Điện trở nối đất Rđ của 1 điện cực được định nghĩa là tỷ số giữa thế của điện cực nối đất so với miền xa vô cùng với dòng điện I chảy vào điện cực đất

Để minh họa ta xét trường hợp đơn giản nhất cho điện cực nối đất là hình bán cầu, bán kính a

Phân bố của E , J trong đất thỏa mãn phương trình:

rot E=0

div J =0

và các điều kiện

- Bề mặt điện cực là đẳng thế (do độ dẫn điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của

đất) nên các đường sức của E , J vuông góc với bề mặt điện cực ( hình bán cầu)

- Trên bề mặt tiếp giáp với không khí, E , J không có thành phần pháp tuyến chỉ

có thành phần tiếp tuyến Chọn hệ tọa độ cầu, gốc 0 là tâm bán cầu như hình vẽ

Với b= bước chân người= 0,8m

Điện áp bước cực đại khi x= a = bán kính điện cực

KHÁI NIỆM CHUNG

Trường tử dùng là trường từ gây bởi dòng điện không đổi theo thời gian , các đại lượng

đặc trưng như J B H , , không thay đổi theo thời gian Như đã trình bày, hệ phương trình

đối với trường từ dừng là:

Phương trình Laplace đối với thế từ vô hướng

Giả sử miền khảo sát không có dòng dẫn và μ= const, suy ra:

Thay Η=−gradϕmvào ta được phương trình Laplace:

D=εΕ

∆ϕ =0 Q=∫

S

S D.

S J S

Ε

=Ε

=

gọi d là khoảng cách giữa 2 cực từ, S là điện tích bề mặt cực từ ta có:

g

M M

0µ

φ =

-Năng lượng trường từ trong khe hở không khí:

2 2

0 2

1

2

12

12

1

Q

-Năng lượng trường điện

2 2

2

12

12

1

SdE d

I

-Công suất tiêu tán:

2 2

.Sd SdE gu

JE

KHẢO SÁT TRƯỜNG TỪ DỪNG DÙNG THẾ VECTƠ

Ở miền có dòng điện ta có : rotH =J ≠0,nên không thể biểu diễn trường từ qua thế vô hướng

m

ϕ Do đó người ta thường khảo sát trường từ dừng qua một đại lượng trung gian khác là thế

vectơ A ,sử dụng được ở miền có dòng điện cũng như ở miền không có dòng điện

Theo giải tích vectơ ,divrot của một vectơ bất kỳ luôn bằng 0 do đó từ phương trình

div B =0 suy ra có thể biểu diễn B qua rot của một vectơ A

B=rot A

A được gọi là thế từ véctơ

Đối với trường từ dừng người ta chọn điều kiện:

phương trình Laplace- Poisson đối với thế vecto A

Giả sử môi trường đồng nhất đẳng hướng tuyến tính có B=µHvới µ=const

rot B=µ rot Η=µJ

Thay B=rot A : rotrot A=µJ

Định nghĩa:

A∆ = −rotrotA+graddivA

Ta được: grad divA−∆A=µJ

vì div A=0 nên suy ra:

gọi là phương trình Laplace đối với A

Trong hệ tọa độ Descartes :

z

A y

A x

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

divA=0

∆A y = 2

2 2 2 2 2 2

z

A y

A x

∂

∂+

∂

∂+

z

A y

A x

∂

∂+

∂

∂+

∆A z =−µJ z

Sự tương tự giữa trường từ dừng song phẳng và trường điện tĩnh song phẳng

Có sự tương ứng giữa các đại lượng giữa hai loại trường : trường từ dừng song phẳng

khảo sát bằng thế véc tơ A =A i với trường điện tĩnh song phẳng khảo sát bằng thế vô z

hướng ϕ.Ta thấy chúng tương tự nhau về mặt mô tả toán học

ρϕ

r

µπ

=∫ với i = x, y, z;

Và

4

i v

J dV A

r

µπ

Trong đó:

- Các tích phân lấy theo thể tích V của vật dẫn có dòng điện;

- r là khoảng cách từ vi phân JdV đến điểm khảo sát

Khi điểm khảo sát ở xa dây dẫn sao cho khoảng cách r rất lớn so với kích thước tiết diện ngang S của dây dẫn thì có:

JdV

Công thức này nêu rõ: từ thế vectơ dA gây ra bởi một nguyên tố dòng idl có chiều song song với nguyên tố dòng tức là vuông góc với từ cảm dB do cùng nguyên tố dòng ấy gây ra tại điểm khảo sát Do vậy, đối với những dây thẳng, từ thế vectơ A

ở mọi điểm sẽ song song với chiều chảy của dòng điện và vuông góc với chiều của

từ cảm B

Ví dụ : Tính A , B , H gây bởi một trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện i trong môi

trường đồng nhất vô hạn µ= const