Thi học sinh giỏi lớp12 môn toán Bảng A ( Thời gian 180 phút , không kể giao đề) Bài 1( 4,0 điểm) Cho hàm số : y = )( 1 8 2 m C x mmxx ++ 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C m ) khi m = 1 2) Tìm m để cực đại , cực tiểu của (C m ) nằm về hai phía của đờng thẳng 9x 7y 1 = 0 Bài 2( 4,0 điểm) 1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y = qpxx ++ 2 trên [ ] 1;1 là bé nhất 3) Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phơng trình 1)2(log 22 2 + + yx yx . Tìm ( x; y) sao cho 2x + y lớn nhất Bài 3 ( 4,0 điểm) Cho cos3x cos2x + mcosx 1 = 0 (1) 1) Giải phơng trình (1) khi m = 3 2) Tìm m để phơng trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên 2; 2 Bài 4(4,0 điểm) 1) Tính + = 0 cos1 sin dx x xx I 2) Cho x 2 +y 2 =1 . Chứng minh : 2)(5)(20)(16 3355 ++++ yxyxyx Bài 5( 4,0 điểm) 1) Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau . Chứng minh rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau. 2) Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M sao cho MDMCMBMA +++ nhỏ nhất Hớng dẫn chấm và thang điểm thi học sinh giỏi 12 môn toán bảng a Bài Hớng dẫn chấm Điểm 1 1) Khi m = 1 )( 1 7 1 2 C x xx y ++ = *) Tập xác định : x 1 *) Sự biến thiên : 4&20; )1( 82 ' 2 2 ' === = xxy x xx y Ta có bảng biến thiên x - -2 1 4 + y + 0 - - 0 + CĐ + + y - - CT *)Hàm số đạt cực đại tại x = -2 y CĐ = -3 đạt cực tiểu tại x = 4 y CT = 9 *)x = 1 là tiệm cận đứng vì Lim f(x) = - và lim f(x) = + x1 - x1 + *) y = x + 2 là tiệm cận xiên vì lim(f(x) x 2 ) = lim 0 1 9 = x x x Đồ thị : dạng đồ thị 2)Tập xác định x 1 2 2 ' )1( 82 = x xx y ; y = 0 x =-2 ; x = 4 Vậy với mọi m thì (C m ) luôn có cực đại và cực tiểu. Theo câu 1) ta có y CĐ = m 4 tại x = -2 ; đặt A ( -2 ; m 4 ) y CT = m + 8 tại x = 4 ; đặt B ( 4 ; m + 8 ) 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 x y O 9 -2 41 -3 -7 A ; B nằm hai phía của đờng thẳng 9x 7y 1 = 0 (9x A 7y A 1 )( 9x B 7y B 1 ) < 0 ( 9 -7m )( -21 7m) < 0 -3 < m < 7 9 Vậy m 7 9 ;3 thoả mãn bài toán 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 2 1) 1)Đặt y = f(x) = x 2 + px + q ; h(x) = )(xf . Gọi max h(x) = h( ) ta có f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ; pffff +=+ 1)0()1()0()1( pffff =+ 1)0()1()0()1( Nếu p > 0 > > >+ 2 1 )0( 2 1 )1( 11 f f p h( 2 1 ) > Nếu p < 0 > > > 2 1 )0( 2 1 )1( 11 f f p h( 2 1 ) > Chú ý : Max h(x) = max )1(;)1(;) 2 ( ff p f [ ] 1;1 *) Nếu p = 0 f(x) = x 2 + q ; f(0) = f(- 2 p ) = q ; f(1) = 1 + q Giá trị lớn nhất của h(x) là một trong 2 giá trị qq + 1; Nếu 2 1 )( 2 1 )1( 2 1 1 2 1 >>>+> hfqq Nếu q < - 2 1 )( 2 1 )0( 2 1 2 1 >>> hfq Nếu q = - 2 1 2 1 ) 2 1 2 = xfx 1;0 2 1 )(max === xxxh cũng là giá trị nhỏ nhất của h() .Vậy p = 0 ; q = - 2 1 thoả mãn bài toán 2) ++< <+ ++ >+ + + )( 220 12 )( 22 12 (*)1)2(log 22 22 22 22 2 22 II yxyx yx I yxyx yx yx yx Trờng hợp 1: Nếu (x;y) thoả mãn (I) ta có x 2 +2y 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 8 9 ) 22 1 2()1(2 22 + yxxy . Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có 2 9 2 4 9 4 9 2 16 81 ) 22 1 2( 2 1 2)1() 4 9 2( 2 2 ++ +=+ yxyxyxyx đúng với mọi x ; y thoả mãn (*) . Dấu = xảy ra = = = =+ 2 1 2 2 1 22 1 2 2 1 2 9 2 y x y x yx Vậy x = 2 ; y = 2 1 thì 2x + y lớn nhất Trờng hợp 2 : ( x ; y ) thoả mãn (II) 2x + y không đạt giá trị lớn nhất Vì từ (II) 122 22 <++ yxyx 0,5 0,5 0,5 3 2) cos3x cos2x + mcosx 1 = 0 (1) 3) =+ = =+ )2(03cos2cos4 0cos 0)3cos2cos4(cos 2 2 mxx x mxxx 4) 1) Với m = 3 thì (1) += += = = Zk kx kx x x 2 3 2 2 1 cos 0cos 2 2) Xét phơng trình (2) =+ = )3(0324 1;cos 2 mtt txt Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên 2; 2 0,5 0,5 0,25 0,25 x Y - O 2 2 - y=t 1 y=t 2 Số nghiệm của (2) là số giao điểm của y = t và y = cosx trên 2; 2 với t là nghiệm của (3) . Phơng trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên 2; 2 khi và chỉ khi phơng trình (3) có hai nghiệm t 1 < t 2 thoả mãn 0 < t 1 < t 2 <1 << << > > > 4 13 3 1 4 1 0 0)1( 0)0( 0 ' m f f 0,5 4 5) 1) I = + 0 2 cos1 sin dx x xx .Đặt t = 0;0 ==== txtxx 6) dx = - dt ; sinx = sint ; cos 2 x = cos 2 t 7) + + = + + = 0 0 0 0 2222 cos1 sin cos1 sin cos1 sin cos1 sin x xdxx x xdx t tdtt t tdt I 8) == + = + = 0 1 1 4 0 2 22 2 2 1cos1 sin 2 dx t dt x xdx I 9) 4 2 = I 10) 2) Đặt x = sint ; y = cost 1cossin 22 =+ tt 11) Ta có sin5t = 16sin 5 t 20sin 3 t + 5sint 12) Cos5t = 16cos 5 t 20cos 3 t + 5cost 13) sin5t = 16x 5 20x 3 + 5x ; cos5t = 16y 5 20y 3 +5y 14) 25cos5sin)(5)(20)(16 3355 +=++++ ttyxyxyx 15) Dấu = xảy ra Zk k tkt +=+=+ 52024 5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B M H K A D I Đ I C C K P 5 Dựng mf(P) AB tại M . Gọi DK ; CH là các đờng cao của tam giác DAB và tam giác CAB . Do dt DAB = dtCAB DK = CH. Gọi C ; D lần l- ợt là hình chiếu của C ; D trên (P) MC = MD vì CH // (P) ; DK// (P) MC D cân tại M MI C D ; I là trung điểm C D Kẻ II // AB ; ( I CD ) ; IK //MI MKII là hình chữ nhật. Vậy IK là đ- ờng vuông góc chung của AB và CD và I là trung điểm CD *) Vai trò A ; B ; C ; D bình đẳng . Bằng cách dựng tơng tự mf(P ) Cd ta chứng minh K là trung điểm của AB và I K là đờng vuông góc chung của AB và CD I I ; K K Do đó tứ diện ABCD có các đờng trung bình đồng thời là đờng vuông góc chung Gọi O là trung điểm IK OA = OB = OC = OD vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD *) V KBCD = V KACD KI mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh CD và AB . Tơng tự PQ mf phân giác của góc phẳng nhị diện cạnh AC và BD. Vì KI = OPQ O cách đều các mặt của tứ diện ABCD . Vậy O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD 2) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 A B C D O P Q I K A B C D I ị N Gäi I ; J lµ trung ®iÓm AB vµ CD ; N lµ trung ®iÓm cña IJ . Víi M bÊt kú ta cã MNMJMIMDMCMBMA MDMCMJ MBMAMI 4)(2 2 2 =+=+++⇒ += += ⇒ MNMDMCMBMA 4 =+++ bÐ nhÊt ⇔ M lµ h×nh chiÕu cña N trªn mÆt ph¼ng (P) 1,0 . Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A ( Thời gian 180 phút , không kể giao đề) Bài 1( 4,0 điểm) Cho hàm số : y =. thang điểm thi học sinh giỏi 12 môn toán bảng a Bài Hớng dẫn chấm Điểm 1 1) Khi m = 1 )( 1 7 1 2 C x xx y ++ = *) Tập xác định : x 1 *) Sự biến thi n :