Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 36

đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phơng trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1. 2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5 ; 2 2 x ữ Bài 2: 1) Giải phơng trình (Sin) x + (tg) x = () x (với x là tham số, 0 < x < 2 ) 2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. 3 2- x - Sin a +1 . log (x 2 + 4x + 6) + 2 4 1 ( 3) .log 2( 1 1) x x x Sina + + =0 Bài 3: Với mọi ABC, k 3 0, 4 . Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 A B B C C A Cos Cos Cos Cosk A Cosk B Cosk C + + + + Bài 4: Xét hai dãy số: { } { } + + > = + = + 1 1 1 1 a ; 0 1 ; ; voi 1 (i=1, 2 .) n n i i i i i i b a b a b a b a b Chứng minh (a 2006 + b 2006 ) 2 > 16039 Bài 5: Cho tứ diện ABCD 1) Gọi i (i= 1, 2, , 6) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần l ợt là các cạnh của tứ diện Chứng minh: = 6 1 2 i i Cos . 2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N. Gọi V, V 1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN. Chứng minh: 1 4 1 9 2 V V 3) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: S a , S b , S c , S d . I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh: + + + = uur uur uur uur r . . . . 0 a b c d S IA S IB S IC S ID Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán. Bảng A Câu Nội dung Điểm Bài 1 5 1 3 Với m =1; Phơng trình = = 2 0 4 2 2 0 Cosx Cos x Cosx + = = = = = + x= 0 2 1 2 1 2 2 2 3 k Cosx Cosx x k Cosx x k 1 2 2 2 Phơng trình = + = 2 0 4 2 3 0 Cosx Cos x Cosx m * Cosx =0 Có 2 nghiệm: = 3 ; x= 2 2 x * Ycbt 4Cosx 2 - 2 Cosx +m - 3 =0 = = + 2 (-1 1) ( ) 4 2 3 Cosx t t f t t t m Có 2 nghiệm t 1 , t 2 thỏa mãn: < < < < 1 2 2 1 0 1: (a) 0<t<1=t (b) t t * Trờng hợp (b) loại (vì nếu t 2 =1 thì t 1 <0) * Trờng hợp (a) < < ( 1). (0) 0 1< m < 3 (0). (1) 0 f f f f Vậy giá trị m cần tìm: 1< m < 3 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 2 4 1 2 Phơng trình + = ữ ữ 1 x x Sin tg Chứng minh: ữ 0, 2 u có Sinu < u < tgu 0,5 0,5 0,5 nên: < < ữ 1 : 0, 2 Sin tg Khi đó x =0: VT =2 > VP x >0: VT > VP x <0; VT> VP Vậy phơng trình vô nghiệm 0,5 2 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) ta luôn có: xR thì: + + + 2 x 4 6 2 2 x-m 2 2 x nên TXĐ của phơng trình là R Ta có phơng trình ( ) + + + + + = + 2 2 2 4 6 2 ( 3) .log ( 4 6) 3 log (2 2) x m x x x x x m Xét hàm số: f(t) = ( ) [ ) 3 log ( ) : 2; + t t là hàm số đồng biến với x[2; +) nên phơng trình x 2 + 4x +6 = 2 x-m +2 (*) + + + = + + = 2 2 2 2 4 0 : (1) 6 4 2 0 : (2) x x m x x m Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt 0 0 0 1 (1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x (2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x (1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau = = = 3 2 5 2 2 m m m (loại) Vậy theo yêu cầu bài toán: + = = + = = + a=- 2 6 3 1 5 - '2 2 6 1 2 - "2 2 k Sina a k Sina a k Có 3 họ giá trị của a cần tìm 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 2 Mọi ABC có < < < 0 1 4 4 4 4 A C A C Cos (1) mà: = < 3 1 0 . 3 3 4 3 4 2 k B B B nên: > 3 . 0 3 4 3 Cosk B Cos B (2) Ta có: 1 2 os os os . 2 2 2 4 4 3 3 os os . : (a) 4 4 4 4 3 3 3 A C B C A C A C B C C C Cos A C B A C C Cos C Cos B Cosk B Cosk B + + = = = = ữ Chứng minh tơng tự có: 1 os os : (b) 2 2 2 3 B C C A C C Cosk C + ữ và 1 os os : (c) 2 2 2 3 C A A B C C Cosk A + ữ Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm) Dấu "=" khi A=B = C= 3 ABC đều 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 4 2 Ta có S i = (a i + b i ) (i=1,2,3 .) Thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 i+1 i+1 i+1 2 2 2 2 2 1 1 S = (a + b ) = : (i=1,2, ) 1 1 1 1 = +2 1 1 8 8 i i i i i i i i i i i i i i i i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + + ữ + + + + + ữ ữ + + + + > + + ữ nên ta có: (a 1 + b 1 ) 2 > 0 (a 2 +b 2 ) 2 > 0 (a 2 +b 2 ) 2 > (a 1 + b 1 ) 2 + 8 . (a 2006 +b 2006 ) 2 > (a 2005 + b 2005 ) 2 + 8 Cộng các bđt trên, ta có: 0,5 0,5 0,5 (a 2006 +b 2006 ) 2 > 8 . 2005 = 16040 > 16039 0,5 Bµi 5 7 B D C A I A1 D1 M H¹ IA 1 ⊥ (BCD); ID 1 ⊥ (ABC) IB 1 ⊥ (ACD); IC 1 ⊥ (ABD) Dùng A 1 M ⊥ BC 1 D M BC IM BC ⊥  ⇒  ⊥  nªn · 1 1 1 A MD α = (T¬ng tù víi α 2 …α 6 ) Ta cã: ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 6 6 i i=1 0 4 2 . . 0 4 2 ( ) 0 Cos 2 : (dpcm) IA IB IC ID r IA IB IC ID r r Cos Cos Cos α α α α + + + ≥ ⇔ + + + ≥ ⇔ − + + ≥ ⇔ ≤ ∑ uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur 1,0 1,0 1,0 2 2 G A' A B C D O M N ∆    = = = = = ⇒ = = DAMN ABCD A' lµ träng t©m BCD Gäi: O lµ trung ®iÓm BC DM DN §Æt: vµ DB DC V Ta cã: . . (1) V dt(DMA') ' 2 ( ') 2 Cã: . : (a) dt(DBO) ( ) 3 2 ( ') 2 T­ong tù ( ) 3 x y DM DN DA xy DB DC DA DM DA dt DMA x DB DO dt DBC dt DNA dt DBC + = = = ⇒ ⇒ ≠ ⇒  ≤ ≥   ≤ ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤   ≥   ≤ ≤ : (b) ( ) Tõ (a), (b) suy ra: ( ) 3 ( ) mµ . x+y=3xy ( ) 1 x y(3x-1) =x: (x ) y= 3 3x-1 1 x 0 va x 1 3 vµ 0 y 1 1 1 2 x 2 1 T­ong tù, suy ra: ; 1 2 V VËy: y dt DMN x y dt DBC dt DMN DM DN xy dt DBC DB DC x x y   = = =   −   − ⇔ − 2 1 2 1 ( ) : ;1 V 3 1 2 3x 2 2 Cã: f'(x) = =0 x= (3 1) 3 x xy f x x x x vµ: x 1 2 2 3 1 f'(x) - 0 + f(x) 1 2 4 9 1 2 1 V 4 1 9 V 2 ⇒ ≤ ≤ 0,5 0,5 0,5 0,5 3 2 I P' D A B C M' M P N' N Gọi M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) vì I ở trong tứ diện, nên: M, M', . thuộc các cạnh của tứ diện. Do: (DAM) là mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] = = = = MB ( ) ( ) MC ( ) ( ) DAMB c DAMC b V S dt AMB dt DAB dt AMC V dt DAC S điểm M đoạn BC; nên: = uuur uuuur . c b S MB MC S + = + = + = + uuur uuuur r uur uuur uur uuur r uur uur uuur . . 0 ( ) ( ) 0 . . ( ). : (1) b c b c b c b c S MB S MC S IB IM S IC IM S IB S IC S S IM Chứng minh tơng tự: + = + uur uur uuur . . ( ). : (2) d a d a S ID S IA S S IM Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM') nên các vecto uuur uuur uuuuur ; '; ';IM IM MM song song Vậy gọi vecto: = + + + r uur uur uur uur ( . . . ) a b c d v S IA S IB S IC S ID thì = + + + r uuur uuur ( ) ( ). ') a b c d v S S IM S S IM song song với uuuuur 'MM Chứng minh tơng tự: r uuuur // 'v NN và r uuur // 'v PP Nhng uuuuur 'MM ; uuuur 'NN ; uuur ';PP không đồng phẳng 0,5 0,5 0,5 0,5 nªn: = r 0v ⇒ (®pcm) Chó ý: 1)§iÓm toµn bµi lµ ®iÓm tæng céng sau khi ®· lµm trßn ®Õn 0,5 ®iÓm (vÝ dô: 5,25 lµm trßn 5,5) 2) NÕu thÝ sinh lµm c¸ch kh¸c mµ ®óng chÝnh x¸c th× cho ®iÓm tèi ®a cña c©u ®ã. . cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt 0 0 0 1 (1) có nghiệm kép x ;(2) có 2 nghiệm x (2) có nghiệm kép x ;(1) có 2 nghiệm x (1), (2) có 1 nghiệm. đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phơng trình: